初中数学沪科版八年级下册19.4 综合与实践 多边形的镶嵌教案设计

活动内容

教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情境

    引入课题

（5分钟）

二、问题引入概念（2分钟）

三、动手操作

探究规律

活动一：探索一种正多边形平面镶嵌的条件。（由实物到图形）

（10分钟）

四、动手操作

探究规律

活动二：探究任意一种三角形、四边形能否平面镶嵌？（由特殊到一般）

（5分钟）

五、规律应用

    拓展提升

活动三：探究用边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形中的哪两种组合可以平面镶嵌？（由简单到复杂）

（10分钟）

六、畅谈收获

    归纳总结（2分钟）

七、作业布置

    展示创新

（3分钟）

八、几何画板

导入语：拉近与学生之间的距离

师：“春秋多佳日，登高赋新诗。”在这春意盎然、百花盛开的美好时节，我很荣幸能有这次机会来到美丽如画的适之中学东山校区，和生机勃勃的你们共同度过这愉快的40分钟。同学们，你可知道百花盛开的万花丛中谁最忙吗？

师：……毫无疑问当属我们的勤劳的小蜜蜂了。那同学们知道蜂房截面的形状吗？

师：对！你们看这些蜂房之间密密麻麻地排列在一起时有什么规律吗？比如每两个蜂房之间有缝隙吗？有重叠交叉吗？

师：瞧！就连我们自然界的小精灵都知道巧妙地利用我们数学几何知识来搭建它们的温馨而又漂亮的新房。我想作为高级动物的人类更是能够将我们的几何图形广泛地运用到我们日常生活的方方面面，并且将它运用得淋漓尽致、惟妙惟肖。比如类似蜂房的构造，我们也用六边形的地砖铺砌一些人行道和停车位。伟大的建筑师们利用多边形图案设计建造了许多雄伟壮观的建筑物，比如北京奥林匹中心的水立方也是由无数个大小不同的多边形组成的。还有你看铺砌在人行道上的长方形地砖和客厅中的正方形地砖，我们真切地可以感悟到数学就在身边，生活离不开数学，离不开多边形， 今天就让我们一起来探索多边形的奥秘。正是这些缤纷神奇的图案把我们的世界装扮得如此美丽，相信同学们在前面几何图形的学习中已经领略过丰富的图形世界给我们带来的美的享受！

细心的你是否观察过我们身边的几何图案呢？

师：好漂亮的地板啊？他是怎么铺起来的呢？你知道在铺砌地砖是需要注意什么吗？像我家这样铺砌同学们觉得满意吗？

师：所以我们在铺地砖时要做到无缝隙、不重叠（教师随手板书）——这就是今天这节课我要和同学们共同探讨的课题-----19.4综合实践  多边形的镶嵌（教师板书课题）。

共同特征 ——无缝隙，不重叠

平面镶嵌:用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。

1、出示问题：小明家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种，你认为哪些可以供他选择?

——试问我们在用地砖进行铺设的时候也就是多边形的镶嵌就是在某个点的附近，用正多边形把它无缝隙、不重叠的覆盖（此时老师要事先把小组的各个成员分工明确，负责拼图、负责展示、负责填写实验报告，并且限时，看哪个小组又快、又好，并给予鼓励表扬）老师要有层次感的让学生依次按正三角形、正方形、正六边形、正五边形进行镶嵌，老师不要讲话，完全放手让学生自己完成，老师在教室巡视，然后指导不能完成或者有错误的小组，让完成较好的小组上黑板展演（并将他们按顺序排列，以便最后的板书设计能够具有概括性）老师按照三、四、六的顺序依次排列下来，然后总结出结论：正多边形能进行平面镶嵌的条件是——拼接点处的各个角之和必须等于360°。

2、教师深入各小组，倾听学生们的讨论，鼓励学生大胆猜想，动手实践操作。

3、让学生展示镶嵌成果，填写实验报告。分析用一种正五边形为什么不能平面镶嵌？一种正多边形能进行平面镶嵌的条件是什么？

4、检验用一种正七边形、正八边形能平面镶嵌吗？

1、出示问题：通过实践操作发现小明的愿望没能实现，因为用一种正五边形不能镶嵌。如果用一种形状、大小完全相同的三角形或者四边形的地砖来铺设她家的卧室能实现吗？

2、教师深入小组，对于分析、操作合理的小组加以肯定，对于有困难的小组加以指导。

3、展示PPT以及几何画板现场操作辅助学生顺利完成。

4、用一种多边形能进行平面镶嵌的多边形有那几种？

1、用边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形两两组合，共有多少种组合方式？

2、出示问题：小明要求把客厅装修的更漂亮些，要求用边长相等的正三角形、正四边形、正五边形、正六边形中的两种多边形地砖进行铺设，装修工人能完工吗？

3、边长相等的正四边形和正八边形能进行平面镶嵌吗？若能，在同一拼接点处需要几个正四边形？几个正八边形？

4、展示利用两种以上以及不规则的“基本单元”进行平面镶嵌的实例。

教师做简练的评价。

1、布置开放式作业：（1）设计一个可以平面镶嵌的“基本单元”，设计出自己理想中的平面镶嵌画面。（2）把本节课的收获与体会以论文的形式写出并展示。

2、用多媒体展示世界著名版画以及我用几何画板设计的变换的地板砖。

动态演示几种典型镶嵌的案例

1、欣赏图片

思考并回答教师提出的问题。

生：蜜蜂

生：——正六边形！

2、对实物和图片感知后，说出自己对平面镶嵌的理解。

生：——没有！

生：不好！

以小组合作的形式动手操作探究：用一种正多边形进行平面镶嵌的条件。

1、每组选一个代表展示小组镶嵌作品，说明探究成果。

2、填写实验报告，交流分析一种正多边形平面镶嵌的条件-----同一拼接点处的所有角的和恰好等于周角3600的周角。

3、结合探究结论，分析用一种正七边形、正八边形不能平面镶嵌。

4、归纳总结：用一种正多边形能平面镶嵌的只有正三角形、正四边形、正六边形。

1、思考，以小组合作的形式动手操作，讨论用一种任意的三角形、四边形能否平面镶嵌。（注意学生在课前准备的每一张任意三角形和四边形纸片上要标注∠1、∠2、∠3、∠4）

2、小组代表展示平面镶嵌作品（完全镶嵌或者部分镶嵌的作品）。

3、通过对多媒体、作品的感悟，交流、讨论出能平面镶嵌的理由。

三角形：2（∠1+∠2+∠3）=3600

四边形：∠1+∠2+∠3+∠4=3600

4、归纳用一种多边形能平面镶嵌的有三角形、四边形、正六边形。

1、小组合作，动手操作。展示平面镶嵌作品。

2、利用平面镶嵌的条件-----同一拼接点处所有角的和等于3600来验算。

满足ax+by=3600（a、b正多边形的边数，x、y正多边形的内角的度数）

3、欣赏图片，再次感悟平面镶嵌的条件-----同一拼接点处所有角的和恰好等于3600的周角。

学生上黑板展示

学生畅所欲言

欣赏图片，震撼于平面镶嵌的美感与丰富感。

学生观看、欣赏

看似与本节课并无关联的寥寥数语，实则从情感、认知、问题等多方面巧妙的与本节课自然地结合起来。

这些图片收集于校园的各个角落、绩溪的大街小巷以及大自然，让学生体会到几何图形无所不在，通过对生活实例画面的展示，培养学生的问题意识，让学生从实例中抽象出数学问题，激发探究兴趣，更让学生体会到数学与生活的紧密联系——数学来于生活，又为日常生产生活服务。

通过对生活实例画面的展示，培养学生的问题意识，让学生从实例中抽象出数学问题，激发探究兴趣，让学生体会到数学来于生活。

通过实践活动，培养学生的动手操作能力以及合作探究能力。并通过操作获得感性认识，经过思考、交流、思维的碰撞上升为理性认识，并建立数学模型。

对于学生来说是难点。在操作过程中可能会遇到不能镶嵌或者不能继续镶嵌的问题，从而引发学生的认知冲突，打开他们的思维空间。在领悟多媒体的形象性、直观性的同时，再次激发学生的探究兴趣。

学生在完成活动一、活动二的基础上，能顺利的完成活动三。并会用数验算形，融入数形结合的思想，逐步建立解题模型，体会从实践到理论，从理论到实践的全过程。

激发学生的课下探究兴趣。

培养学生的语言表达能力。

培养学生的审美意识，激发学生的潜能，使学生的思维由形象思维向抽象思维发展。能创造性的解决问题。

美的享受而且更加深刻地体会镶嵌的操作过程。

实

验

结

果

正n边形

内角度数

拼图

多边形个数

能否镶嵌

n=3

n=4

n=5

n=6