高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后复习题

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 内嵌函数专题训练1．（2022高三下·安徽期中）已知函数，则函数的零点个数为（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【解答】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故答案为：B
【分析】首先对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此得出函数的图象再结合函数零点与方程根之间的关系，求解出结果即可。2．（2022高二下·南阳月考）若函数，则方程的根的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【解答】如图， 当时， ，据此可得函数在区间上单调递减，在区间单调递增，且 ，绘制函数图象如图所示，由可得或，当时，函数有两个根，当为区间上的某一个定值时， 有唯一的实数根，综上可得：方程的根的个数为3。故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再由分段函数的图象结合方程的根的求解方法，进而得出方程的根的个数。3．（2023高一上·武汉期末）已知单调函数f（x）满足，则函数的零点所在区间为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】设，则，则，又是定义在上的单调函数，则，解之得，则则，则函数的零点所在区间为。故答案为：D
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而找出函数零点所在的区间。4．（2022高三上·重庆市月考）已知函数，若关于x的方程有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】的图象如下图， 令，则，因为关于x的方程有五个不同的实数根，所以由函数图象可知关于的方程有两个不相等的实根，且，或，，令，若，则，即，解得，若，，则，无解，综上所述，。故答案为：C
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和分段函数的解析式画出分段函数的图象，令，则，再利用关于x的方程有五个不同的实数根，所以由函数图象可知关于的方程有两个不相等的实根，且，或，，令，若，再利用判别式法和根与系数的关系，进而得出实数m的取值范围，若，结合韦达定理得出无解，从而得出实数m的取值范围。5．（2022高一上·浙江期中）已知函数关于x的方程有5个不同的实数根，则实数c的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】设，则原方程即， 的图象如图所示，函数关于x的方程有5个不同的实数根，则方程必有两根为，，，且其中一个根为1，不妨设，即与图象有3个交点，方程有2个根，由图知，，即。故答案为：A.
【分析】设，则原方程即，再利用的图象结合函数关于x的方程有5个不同的实数根，则方程必有两根为，，，且其中一个根为1，不妨设，即与图象有3个交点，方程有2个根，由函数的图象知的取值范围，进而得出实数c的取值范围。6．（2023高一上·魏县期末）定义域为的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（　　）A．1 B． C． D．0【答案】C【解析】【解答】令，作出函数的大致图象，当时，，故函数的图象关于直线对称，因为关于的方程恰有个不同的实数根，则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，设方程的两根分别为、，且，则，所以，，，因此，.故答案为：C.
【分析】令，作出函数的大致图象，当时结合函数的图象的对称性得出函数的图象关于直线对称，再利用关于的方程恰有个不同的实数根，则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设，设方程的两根分别为、，且，再结合韦达定理得出的值，进而得出的值，从而得出的值，再结合代入法和函数的解析式以及对数的运算法则，进而得出函数的值，从而得出 的值。7．（2023高三上·济南期末）已知函数，关于的方程至少有三个互不相等的实数解，则的取值范围是（　　）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由题知，(且)，所以，故在上，，单调递减，且，即，在上，，单调递减，在上，，单调递增，有，画图象如下：由至少有三个互不相等的实数解，即至少有三个互不相等的实数解，即或至少有三个互不相等的实数解，由图可知，当或时，与有一个交点，即有一个实数解，此时需要至少有两个互不相等的实数解，即，解得故或；当时，无解，舍；当时，，此时有两个不等实数解，有两个不等实数解，共四个不等实数解，满足题意.综上： 或.故答案为：C
【分析】画出图象，解方程可得或，因为，根据图象分类讨论，或时，时， 时，三种情况下根的情况即可.8．（2022高一上·湖南月考）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】当时，函数在上单调递增，， 当时，函数，当且仅当时取等号，函数的大致图象，如图，令，观察图象知，当时，方程有一个根，当时，方程有两个不等根，函数有三个零点，等价于函数有两个零点，并满足，而函数对称轴为，于是得，解得，所以的取值范围为.故答案为：D
【分析】根据给定条件，分析函数的性质，结合函数的图象确定方程根的情况，再利用已知及二次函数零点分布列式作答.9．（2022高三上·玉溪月考）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】函数 的大致图象如图所示，对于方程 有5个不同的实数解， 令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或 的一个解为-1，另一个解在 内或 的一个解为-2，另一个解在 内.当 在 ， 上各有一个实数解时，设 ，则 解得 ；当 的一个解为-1时， ，此时方程的另一个解为-3，不在 内，不满足题意；当 的一个解为-2时， ，此时方程的另一个解为 ，在 内，满足题意.综上可知，实数a的取值范围为 .故答案为：D.
【分析】作差函数 的大致图象，对于方程 有5个不同的实数解，令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或 的一个解为-1，另一个解在 内或 的一个解为-2，另一个解在 内，分类讨论，求出实数a的取值范围.10．（2022高三上·河南月考）已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】如图，画出的图象，设结合图象知：当或时有且仅有1个实根；当时有2个实根；问题转化为在内有两个不同的零点，从而，解得.故答案为：D
【分析】利用数形结合的办法，画出分段函数的图象，结合方程根与零点的关系分析列出不等式组进行求解，得出a的取值范围。11．（2022高三上·黑龙江开学考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时， ，如果关于x的方程恰有7个不同的实数根，那么的值等于（　　）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】C【解析】【解答】函数是定义域为R的偶函数，当时，作出的大致图象，如图示：令 ，由图象可知时，有3个根，时，有4个根，当时，有2个根，当时，有6个根，故关于x的方程恰有7个不同的实数根，则需为的两实数根，故，即，则 ，故，故答案为：C
【分析】利用函数的性质结合解析式作出函数的大致图象，数形结合，采用换元法将方程.12．（2022高二下·德州期末）设，已知关于x的方程恰有6个不同的实数根，则k的取值范用为（　　）A．（-2，0） B．（-3，-2） C．［-3，-2） D．［-2，0）【答案】B【解析】【解答】 的图象如图所示， 令，设关于 的方程的两个根分别为 ，由关于 的方程恰好有6个不同的实数根，等价于关于 的图象与 公有6个交点，由图可知： 或者，设，当时，则 ；当， 则 不符合要求；故故答案为：B
【分析】由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合二次函数的图象作出函数f(x)的图象，利用数形结合法以及方程根的情况，即可得出关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。13．（2022·和平模拟）已知函数，关于的方程R)有四个相异的实数根，则的取值范围是(　　)A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】=，当时时，单调递减，时，单调递增，且当，当， 当时，恒成立，时，单调递增且，方程R)有四个相异的实数根.令=则，，即. 故答案为：A
【分析】根据题意对函数求导由导函数的性质，即可得出函数的单调性由函数的单调性结合方程根的情况，即可得出关于m的不等式，结合二次函数的图象和性质即可求出m的取值范围。14．（2022·柳州模拟）函数 是定义域为R的偶函数，当 时， ，若关于x的方程 ， 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）  A．（－ ，－ ） B．（－ ，－ ）C． D．（－ ，－ ）【答案】D【解析】【解答】解：作出函数的图像，如图所示，由图像可得，
∵关于x的方程 ， 有且仅有6个不同实数根，
设 ，
∴ t2+at+b=0有两个根，不妨设为t1，t2，且 ，
又∵-a=t1+t2，
∴
故选：D

【分析】作出函数的图像，设 ，从而可化条件为方程t2+at+b=0有两个根，利用数形结合可得 ， 根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.15．（2022高二下·赣州期中）函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】作出函数的图像如下所示，当，时，， 所以时递增，当时递减，所以当时，在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；因为，即，解得或，当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，要使关于的方程恰有四个不同的实数根，则需要与图像有三个不同交点，只需要，即.故答案为：D.
【分析】首先根据题意对函数求导由导函数的性质即可得出函数的单调性，由此作出函数的图象，然后由数形结合法利用方程根的情况即可得出a的取值范围。16．（2022高一下·鹤峰月考）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（　　）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】的图像如图所示：则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根；则解得：.故答案为：D.
【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时再结合函数f (x)的图象，确定b的取值范围.17．（2022高二下·甘孜期末）已知函数 ，若关于的方程有四个不相等实数根，则实数的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】当时，，， 令，解得；令，解得；所以在递增，在递减，，且当时，，作出函数的图象如下：关于的方程有四个不相等实数根，令，则有两个不等的实根，且，又，所以，解得，所以关于的方程有四个不相等实数根时，。故答案为：D
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最值，再结合分段函数的图象结合关于的方程有四个不相等实数根，令，则有两个不等的实根，且，又，所以，进而得出实数a的取值范围。18．（2022高一下·广州期末）已知函数，，若方程有4个不相等的实根，则实数的取值范围是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】因为，所以的图象如下所示， 因为所以开口向下，且最大值为1的二次函数，令，，则关于的方程有两个小于1的实根，即与，有两个交点，由图象易知当且仅时满足题意.故答案为：C
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象得出二次函数的开口方向和最大值，令，，则关于的方程有两个小于1的实根，再利用方程的根与两函数交点的横坐标的等价关系，即与，有两个交点，再利用绝对值的定义和分段函数的图象得出实数a的取值范围。19．（2022·南开模拟）设函数，函数，在[0，1]上有3个不同的零点，则实数的取值范围为（　　）A． B．（1，2） C． D．【答案】C【解析】【解答】，，分别画出与的图象，的图象是由的图象向左平移一个单位得到的，且过点，当时，，此时，计算得有4个交点；当时， ，此时，计算得，有2个交点.综上所述，的取值范围为，故答案为：C.
【分析】 作出两个函数的图象，结合对数函数的单调性，利用数形结合即可得到答案.20．（2022·安阳模拟）已知函数 （ 且 ），若函数 的零点有5个，则实数a的取值范围为（　　）  A． B． 或 C． 或 或  D． 或 【答案】D【解析】【解答】解：依题意函数 的零点即为方程 的根， ①当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有两个根 ， （ ， ），而 对应2个根，所以需要 对应3个根，所以 ，即 ，解得 ；②当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有两个根 ， （ ， ），而 对应2个根， 对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；③当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有三个根 ， ， ，从而 ， ， ，所对应2、2、1个根，即共5个根，所以满足题意；④当 时函数 的函数图象如下所示：所以 有三个根 ， ， ，（ ， ， ），而 ， ， 分别对应2、2、0个根，即共四个根，所以不满足题意；综上可得实数 的取值范围为 或 ；故答案为：D
【分析】依题意函数的零点即为方程的根，对分四种情况讨论，结合函数图形即可得解.