浙江省杭州市、宁波市部分学校2022-2023学年高三数学下学期4月联考试题（Word版附答案）

浙江省杭州市､宁波市部分学校2022-2023年高三下学期

4月联考数学试卷

一､单选题

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知，则在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

3.设，则（    ）

A.84    B.56    C.36    D.28
4.已知函数，则（    ）

A.为奇函数    B.为偶函数

C.为奇函数    D.为偶函数

5.从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知是关于的方程的两根，且，则（    ）

A.    B.4    C.-12    D.

7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证与的长度不变，当各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在点，则的离心率为（    ）

A.    B.    C.    D.

8.将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题

9.已知向量，函数，则（    ）

A.在上有4个零点

B.在单调递增

C.

D.直线是曲线的一条切线

10.已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ）

A.直线经过定点

B.的最小值为

C.点到直线的距离的最大值为

D.是锐角

11.已知曲线，则（    ）

A.曲线关于直线对称

B.曲线上恰有四个整点（横坐标与纵坐标均为整数）

C.曲线上的点到原点距离的最大值为

D.曲线上存在点在圆的内部

12.如图，在正方体中，是正方形内部（含边界）的一个动点，则（    ）

A.存在唯一点，使得

B.存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值

C.若，则三棱锥外接球的表面积为

D.若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是拋物线的一部分

三，填空题

13.已知随机变量服从，若，则__________.

14.如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上两点，已知，，则的长为__________.

15.定义：对于数列，如果存在常数，使得对于任意，都有，成立，则称数列为“摆动数列”，称为数列的摆动值.若，且数列的摆动值为0，则的取值范围为__________.

16.是抛物线准线为上一点，在抛物线上，的中点也在抛物线上，直线与交于点，则的最小值为__________.

四､解答题

17.已知函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.

18.已知数列为等比数列，是与的等差中项，为的前项和.

（1）求的通项公式及；

（2）集合为正整数集的某一子集，对于正整数，若存在正整数，使得，则，否则.记数列满足求的前20项和.

19.已知在多面体中，，且平面平面.

（1）设点为线段的中点，试证明平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

20.某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表）；

（2）由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间大致服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.

①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且.利用直方图得到的正态分布，求.

②从该高校的学生中随机抽取20名，记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求的均值.

参考数据：，若，则.

21.坐标平面中，是椭圆上一点，经过的直线（不过点）与交于两点，直线与的斜率乘积为.

（1）求的方程；

（2）直线与交于点，且.当点到直线的距离最大时，求直线的方程.

22.已知函数.

（1）若，证明：当时，；

（2）讨论函数在上零点个数.

浙江省杭州市､宁波市部分学校2022-2023年高三下学期4月联考

数学试卷参考答案

1.【答案】C

【分析】本题考查集合交集的运算，为基础题.

【解答】解：，故选.

2.【答案】C

【分析】本题考查了复数的运算､几何意义，是基础题.

【解答】解：由可得，

则在复平面内复数对应的点为，位于第三象限.

3.【答案】A

【分析】本题考查求二项式定理指定项系数，涉及组合数的性质，属于基础题.

【解答】解：由题知

.

4.【答案】B

【分析】本题考查函数的奇偶性的判断及图象平移，为基础题.

【解答】解：方法一：，则原函数关于对称，图象向左平移个单位，关于轴对称，故选.

方法二：，函数关于轴对称，为偶函数，正确.

5.【答案】A

【分析】本题考查条件概率的求法，考查等可能事件的概率，体现了转化的数学思想，属于基础题.

【解答】解：设事件表示“抽到的两张都是假钞”，事件表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即.

又，

6.【答案】C

【分析】本题考查三角求值问题，属于中档题.

【解答】解：由题知，，又，故，故.

7.【答案】D

【分析】本题考查椭圆中离心率的求解，为基础题.

【解答】解：由题意知与的长度不变，已知，

设，则，

当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长，

当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长，

故离心率为，故选.

8.【答案】D

【分析】本题考查了球和棱锥的体积､棱锥结构特征以及利用导数求最值，属于中档题.

【解答】解：设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，球的体积为，

，解得，

，

即，

，

正三棱锥的体积为：

，

，

由得，此时函数单调递增，

由得，此时函数单调递减，

当时，取得最大值，

且最大值为.

9.【答案】BCD

【分析】本题考查正弦型函数的零点问题､判断正弦型函数的单调性，导数的几何意义，属于中档题.

【解答】解：由题知

对于：当时，，

令，则，则或，即或，

故在上有2个零点，故错误；

对于：当时，，

又在区间上单调递增，故在上单调递增，故B正确；

对于，故正确；

对于，则，

又，

故在处的切线方程为，即，故正确.

10.【答案】AB

【分析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程，以及相交弦的有关应用，属于一般题目.

【解答】解：设，则以为直径的圆的方程为

，

化简得，与联立，

可得所在直线方程：，即，

故可知恒过定点正确；

到过定点的直线距离的最大值为：，

，故最小值为.

点到直线的距离，故错误；

圆心到的距离为，

当点运动到正好时，此时的张角最大，

此时，

当点位于其它点时均为锐角，故，不恒为锐角，错误.

11.【答案】AC

【分析】本题考查了曲线的对称性问题，不等式证明以及整点问题，属于拔高题.

【解答】解：将坐标代换成得，与原曲线方程相同，故曲线关于直线对称，故选项正确；

由方程得：，因为有解，

所以，可得，

若为整数，则，

当时，没有整数解，

当时，解得的整数解为0和3，

当时，解得的整数解为-3和3，

当时，解得的整数解为0和-3，

所以曲线经过个整点，故选项错误.

，

所以，故，当且仅当时等号成立，正确；

由得，故，当且仅当时等号成立，所以曲线上任一点到原点的距离最小值为，故选项错误；

12.【答案】BCD

【分析】本题考查立体几何中的动点问题，属于较难题.

【解答】解：对于：连接，则，

又平面，故，

平面，

平面，

当在线段上时，平面，

，故错误；

对于：连接，

平面，

直线与平面所成的角即为，

，

又在正方形（含边界）内，

故当与重合时，取最大值，

即取最小值，即取最小值，

故存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值，故正确；

对于：

设，则为中点，，

建立如图所示空间直角坐标系，则

，

故为三棱锥外接球的球心，

所以三棱锥外接球的表面积为，

故C正确；

对于：设，

则，

，

，

所以动点的轨迹是抛物线的一部分，故正确.

13.【答案】0.3

【分析】本题考查正态分布有关概率的求解，为基础题.

【解答】解：随机变量服从.

14.【答案】

【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

【解答】解：在中，由正弦定理得：

在中，由余弦定理得：

.

故答案为：.

15.【答案】

【分析】本题考查数列的新定义问题，属于中档题.

【解答】解：由题知，

当为偶数时，，

故当为奇数时，，

即当为奇数时，，

故的取值范围为.

16.【答案】6

【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查方程思想，为较难题.

【解答】解：设的中点坐标为，

的中点坐标为，因都在抛物线上，

则有，

则为方程的两个根，，

直线与交于点，直线的方程为：

，可得，易得，，

当且仅当时取得最小值.

17.【答案】解：（1）

令，

解得，

则函数的单调递增区间为，

（2），因为，则，

要满足对恒成立，

只需，即，

所以的取值范围为.

【点睛】本题考查正弦型函数的求值运算，涉及和与差公式和二倍角公式，属于基础题.

18.【答案】解：（1）设的公比为是与的等差中项，，

，

.

（2）由题意知，，

又，即，故，

又，

.

【点睛】本题考查等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前项和公式，分组（并项）法求和，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题.

（1）利用等差中项，等比数列的通项公式列方程解出，代入公式即可；

（2）根据上问得出，又，可得，即，再根据题意求得的前20项和.

19.【答案】解：（1）证明：取的中点，连接，

由在中，所以，

由平面平面，且交线为，得平面，

因为，且，

又，所以，且，

四边形为平行四边形，，

平面；

（2）解：由平面，

以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，

由平面，所以直线与平面所成的角为，

所以，

取平面的法向量，

设平面的法向量，

由，得，令，故，

，

故二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，空间中二面角的求解，为中档题.

20.【答案】解：（1），

（2）①由题意知，

，

②由①知，可得，

.

【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，以及正态分布对称性的应用，属于中档题.

（1）根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.

（2）①由题意知，结合正态分布的对称性，即可求解.

②结合正态分布的对称性，以及期望公式，即可求解.

21.【答案】解：（1）设，则，且，

因为在上，所以，两式相减得，，

因为，

所以，即，

代入中解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）当直线与轴不垂直时，设直线方程为：，

联立直线与椭圆方程，消去得，，

设，当，

即时，有，

因为，所以，

因为

，

所以，

整理得，，

，

因为直线不过点，所以，所以，

所以直线经过定点，

当直线垂直于轴时，设方程为：，

则，且，①

由得，，②

由①②解得，或（舍），所以此时直线也经过定点，

综上，直线经过定点，

当垂直于直线时，点到直线的距离最大，

此时，所以直线的斜率为-1，直线方程为：，

故所求直线方程为：.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.

22.【答案】解：（1）若，则.

①先证：当时，.

设，

则的导函数，

设，则的导函数，

因为，所以，

所以在上单调递增，又，

所以，即，

所以在上单调递增，

又，所以当时，，即.

②再证：时，.

设.

，

所以在上单调递增，又，

所以当时，，即.

由①②得，当时，，

所以当时，，即.

（2）①若，则，

由（1）可知，当时，，所以，

又由（1）可知，当时，，

所以，

所以，

所以在上无零点.

②若，

当时，，

则，

故在上无零点.

③若，

的导函数，

设，则的导函数，

设，则的导函数，

（i）当时，在上单调递增，

即在上单调递增，

又，

所以在上存在唯一零点，记作.

当时，单调递减，即单调递减；

当时，单调递增，即单调递增.

（ii）当时，，

单调递增，即单调递增.

综合（i）（ii），可得当时，单调递减；

当时，单调递增.

又因为，

所以存在唯一实数，使得，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

又因为，所以时，；

由（1）已证，所以，

又在上单调递增，所以在上存在唯一零点.

综上，当时，在上无零点；

当时，在上存在唯一零点.

【点睛】本题考查利用导数证明不等式，研究函数零点有关问题，为难题.