数学（全国乙卷文）2023年高考第三次模拟考试卷（全解全析）

这是一份数学（全国乙卷文）2023年高考第三次模拟考试卷（全解全析），共22页。试卷主要包含了函数的图象大致是等内容，欢迎下载使用。
2023年高考数学第三次模拟考试卷高三数学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，∴．故选：C.2．已知复数，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，故选：D.  3．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝【答案】D【解析】根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.【详解】由共线向量定理可知存在实数λ，使，即，又与是不共线向量，∴，解得故选：D4．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ）A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4【答案】B【解析】，，故选B．5．若变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由可得，作出直线并平移可得，当直线经过点C时，其在轴上的截距最大，此时取得最大值，由，解得，即，所以的最大值为，故选A．6．已知为抛物线上一点，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛物线的焦点，准线方程为，过点作与准线垂直并交准线于点．令直线为直线，变形可得，令，解得，则直线经过定点．设，连接，取的中点为，则的坐标为，．若，则在以为直径的圆上，以为直径的圆上，其方程为．又由，得，如图，的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点，则即为的最小值，即，故选D．7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是A．56      B．54        C．36      D．64【答案】B【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：a=1，b=1，S=2，c=1+1=2，S=2+2=4；c≤20，a=1，b=2，c=1+2=3，S=4+3=7；c≤20，a=2，b=3，c=2+3=5，S=7+5=12；c≤20，a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;c≤20，a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;c≤20，a=8,b=13,c=8+13=21,S=33+21=54.c＞20,此时结束循环，S=54.故答案为B.8．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，则，故为上的奇函数，故的图象关于对称，故排除C；又当时，令，则，故，故当时，，故排除D；而，故排除A，故选B．9． 在正方体中，点E，F，M分别是棱BC，，的中点，点，M到平面AEF的距离分别为，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，取的中点，连接，，易证．又因为平面，平面，所以平面，同理可证平面．因为，平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面，所以，故选:C．10．若数列为等差数列，数列为等比数列，则下列说法中正确的个数有（    ）①（）为等差数列；②为等比数列；③为等比数列；④为等差数列；⑤为等比数列．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】设数列的公差为，数列的公比为，对于①：，故①正确；对于②：，故②正确；对于③：，故③正确；对于④：不为定值，故④错误；对于⑤：，故⑤正确，所以正确的个数有4个，故选C．11．已知函数的定义域为，．若，，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，当时，，故函数在上单调递减，而，故，则，解得，故选C．12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球表面积为，则正方体外接球的体积为A． B．36  C．  D． 【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则，因为三棱锥内切球的表面积为，所以三棱锥内切球的半径为1，设内切球的球心为， 到平面的距离为，则，，，又，，又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，正方体外接球的半径为，其体积为，故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13． 已知等比数列的前n项和为，若，，则_______．【答案】140【解析】方法1：由，，易得公比，根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，又，所以，．方法2：根据等比数列前n项和的性质，可得，即，解得，所以．方法3：根据等比数列前n项和的性质，可知，，成等比数列，则，即，解得．14．某公司三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．如果从该公司职工中随机抽选1人，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为__________.【答案】【解析】第一分厂有男职工4000人，女职工1600人；第二分厂有男职工3000人，女职工1400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人．记事件A为该职工为女职工或为第三分厂职工，由等可能事件概率公式得：，则该职工为女职工或为第三分厂职工的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查概率计算公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．15．在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是__________【答案】【解析】设三角形的外接圆方程是，由点,，在圆上可得，，解得，故三角形的外接圆方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于中档题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.16．已知函数（其中为自然对数的底数）为偶函数，则实数的值为__________【答案】1【解析】因为为偶函数，所以恒成立，即，整理得到恒成立，故，故填.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用（或）恒成立来求参数的大小.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）设的内角的对边分别为，，且为钝角．（1）证明：；（2）求的取值范围．【解析】（1）由及正弦定理，得，所以，即．又为钝角，因此+(，)，故=+，即=；（2）由（1）知，=(+)=(2+)=2>0，所以，于是===，因为0<<，所以0<<，因此<2．由此可知的取值范围是（，]．18．（12分）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，且，、分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）若，求点到的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为菱形，且，为的中点，因为为的中点，所以，且，在直四棱柱中，且，为的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，所以，，又∵，，，∴平面，∴平面．（2）解：若，则和为等边三角形，，平面，平面，，，则，由勾股定理可得，同理，连接，则，所以，所以，而，设点到面的距离为，则由（1）知及，得，解得，所以点到面的距离． 19．（12分）湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式,新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目,制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2）,具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中,政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：等级ABCDE比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间生物学科各等级对应的原始分区间现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据,作出茎叶图：（1）根据茎叶图,分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科,其原始分为82分,乙同学选考生物学科,其原始分为91分,根据赋分转换公式,分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分,得到样本数据,请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数,并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.等级ABCDE原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分T的赋分区间附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：,,分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；,分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数）附3：,,.【答案】解：（1）由茎叶图知：政治成绩的中位数为72,生物成绩的众数为73. (2分)（2）甲同学选考政治学科的等级为A,由转换赋分公式：,得.乙同学选考生物学科的等级A,由换赋分公式：,得.故甲、乙两位同学的转换分都为87分. (6分)（3）因为,,说法1：等级转换赋分法公平,因为相关系数十分接近于1,接近于函数关系,因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性.说法2：等级转换赋分法不公平.在同一等级内,原始分与转化分是确定的函数关系,理论上原始分与转化分的相关系数为1,而在实际赋分过程中由于数据的四舍五入,使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差,极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象. (12分)20．（12分）已知函数：(I)当时，求的最小值；(II)对于任意的都存在唯一的使得，求实数a的取值范围．【答案】(I)答案不唯一，见解析(II)【解析】(I)时，递增，,时，递减，，时，时递减，时递增，所以综上，当；当当 (II)因为对于任意的都存在唯一的使得成立,所以的值域是的值域的子集.因为递增，的值域为 (i)当时，在上单调递增，又，所以在[1,e]上的值域为,所以，即，(ii)当时，因为时，递减，时，递增，且，所以只需即，所以 (iii)当时，因为在上单调递减，且，所以不合题意.综合以上，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值,分类讨论思想,等价转化思想,本题属于难题.解题方法总结:像”对于任意的都存在唯一的使得，”已知条件,一般是转化为两个函数的值域得包含关系,口诀是:任意是存在的子集.21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴长为，点在椭圆上，轴，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）将椭圆按照坐标变换得到曲线，若直线与曲线相切且与椭圆相交于，两点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，，，则椭圆的标准方程为．（2）由，则曲线：，当直线斜率存在且为时，设：，由直线与圆相切，则，由，设，，则，且恒成立，由，由，则，令，则，，令，则，，则，；当直线斜率不存在时，：，，综上：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程、弦长公式、坐标变换，解题的关键是根据直线与曲线相切求出切线方程中参数的关系，化简后借助二次函数性质求出弦长范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的普通方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．23.（10分）设．（1）证明：； （2）用表示的最大值，证明：．【解析】（1）证明：即（2）证法一：不妨设，由可知，，，，当且仅当时，取等号，，即．证法二：不妨设，则而矛盾，∴命题得证．