2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形附答案

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2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形附答案
1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B（-2，n），与y轴交于点C．

(1)求反比例函数解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PDy轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A、B，点A的坐标为，点B的横坐标为6．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如果点C、D分别在轴、轴上，四边形ABCD是平行四边形．求直线CD的表达式．


3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的横坐标为2．

(1)求k的值及点B的坐标；
(2)利用图象直接写出不等式x≤的解集；
(3)有一函数的图象是过原点O的一条直线，且与双曲线y＝相交于M，N两点（点M在第一象限），若以点A，B，M，N为顶点的凸四边形的面积为8，求这个函数的解析式．





4．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标系原点，矩形的边，分别在轴和轴上，其中，．已知反比例函数的图象经过边上的中点，交于点．

(1)求的值；
(2)猜想的面积与的面积之间的关系，请说明理由．
(3)若点在该反比例函数的图象上运动（不与点重合），过点作轴于点，作所在直线于点，记四边形的面积为，求关于的解析式并写出的取值范围．


5．如图，一次函数y=k1x+1的图象与反比例函数 点的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D（1，-2 ），连接OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时，x的取值范围；
(3)设点P是直线AB上一动点，且S△OAP=S菱形OACD，求点P的坐标．







6．如图1，在平面直角坐标系xOy中，线段AB在x轴的正半轴上移动，且AB=1，过点A、B作y轴的平行线分别交函数y1＝（x＞0）与y2＝（x＞0）的图象于C、E和D、F，设点A的横坐标为m（m＞0）．

(1)D点坐标　 　；F点坐标　 　；连接OD、OF，则△ODF面积为　 　；（用含m的代数式表示）
(2)连接CD、EF，判断四边形CDFE能否是平行四边形，并说明理由；
(3)如图2，经过点B和点G（0，6）的直线交直线AC于点H，若点H的纵坐标为正整数，请求出整数m的值．







7．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．








8．如图，四边形OABC为正方形，反比例函数的图象过AB上一点E，BE=2，．

(1)求k的值．
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
(3)点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．






9．如图，一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求出点D的坐标，并直接写出当＞x＋1时，x的取值范围；
（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P的坐标．

10．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点坐标为（）.

（1）求双曲线解析式及点坐标；
（2）将直线向下平移一个单位得直线，是轴上的一个动点，是上的一个动点，求的最小值；
（3）若点为轴上的一个动点，为平面内一个动点，当以、、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点坐标．







11．如图1，在直角坐标系中，点在函数（）图象上，点在轴的正半轴上，轴于点．已知△的面积为．
（1）求点的坐标与的值．
（2）如图2，设点是线段的中点，点在函数（）图象上，当四边形是平行四边形时，求点的坐标．
（3）如图3，设点在直线上，点在函数（）图象上，若四边形是平行四边形，设该四边形的面积为，△的面积为，求与的数量关系式．








12．如图，已知直线与双曲线上交于、两点，且点的纵坐标为-2．

（1）求的值；
（2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积；
（3）若、、、为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点的反比例函数解析式．






13．反比例函数的图象经过点，点是一次函数图象上的一个动点，如图所示，设点的横坐标为，且满足，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，与反比例函数分别交于，两点，连结，，．

（1）求的值并结合图象求出的取值范围；
（2）在点运动过程中，若，求点的坐标；
（3）将沿着直线翻折，点的对应点为点，得到四边形，问：四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由．







14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，在y轴上，，，点D是边上的动点（不与B，C重合），反比例函数的图象经过点D，且与交于点E，连接，，．

（1）若的面积为4，
①求k的值；
②点P在x轴上，当的面积等于的面积时，试求点P的坐标；
（2）当点D在边上移动时，延长交y轴于点F，连接，判断四边形的形状，并证明你的判断．






15．如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点， PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的横坐标为a．

（1）用字母a表示点P的坐标；
（2）求四边形ODPC的面积；
（3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．






16．如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为正方形,已知点A（0,－6）,D（－3,－7）,点B,C在第三象限．
（1）点B的坐标为 ;
（2）将正方形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿y轴向上平移t秒,若存在某一时刻,使在第二象限内B,D两点的对应点 , 正好落在某反比例函数的图像上,请求出此时t的值以及这个反比例函数的表达式;
（3）在（2）的情况下,问:是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q,使得以P,Q,,四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合题意的点Q的坐标;若不存在,请说明理由．






17．如图，一次函数图象与轴、轴分别交于点和点，与反比例函数图象交于点和点，其中点的横标为1，．

（1）如图1，求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）如图2，点是轴正半轴上一点，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，直线向上平移，平移后的直线过点且交轴于点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．








18．如图，点A是反比例函数y＝（m＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC⊥x轴于点C；M为是线段AC的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、D两点．顺次连接A、B、C、D．设点A的横坐标为n．
（1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）；
（2）求证：四边形ABCD是菱形；
（3）若△ABM的面积为4，当四边形ABCD是正方形时，求直线AB的函数表达式．


参考答案：
1．(1)
(2)存在，（，）

【分析】（1）将点B（−2，n）代入y＝x＋1得点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可；
（2）由四边形DPOC为平行四边形，得PD＝OC，设P（m，），表示出点D的坐标，求出PD的长度，即可解决问题．
【解析】（1）解：由题意知，点B在一次函数的图象上，
∴，
∴点B坐标为（-2，-1），
代入反比例函数解析式可得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：存在，
理由如下：由可知，点C坐标为（0，1），
设点P坐标为（，），
∵PDy轴，且
D在线段AB上，
∴点D坐标为（，），
∴PD＝，
∵四边形DPOC为平行四边形，
∴PD＝OC＝1，即，
解得，
∵点P在第三象限，
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，用m的代数式表示PD的长度是解题的关键．
2．(1)， ；
(2)．

【分析】（1）设反比例函数为，将A点坐标代入即可求出k，进一步求出B的坐标，设一次函数表达式为，将A、B点的坐标代入求解即可；
（2）利用平行四边形的性质可得：，故可设直线CD表达式为，利用m表示C、D点的坐标，再利用即可解出m．
【解析】（1）解：设反比例函数为，一次函数表达式为，
∵过点，
∴，即，反比例函数为，
∵点B的横坐标为6，
∴，
将，代入，得，
解得：
∴一次函数表达式为
（2）解）∵ABCD是平行四边形，
∴，
设直线CD表达式为，
∴直线CD与x轴交点，与y轴交点，
∵，即：，
∴，
∴，，
当，ABCD构不成平行四边形，故舍去
∴直线CD的表达式．
【点评】本题考查求一次函数，反比例函数解析式，平行四边形的性质．要掌握待定系数法求解析式；（1）关键是求出B点的坐标；（2）利用巧妙设直线CD表达式是解题的关键．
3．(1)6，（，）
(2)x≤或0＜x≤
(3)y＝x或y＝x

【分析】（1）由直线经过点A，求出点A的纵坐标，再由点A在双曲线上求出k的值，由直线及双曲线的解析式组成方程组并且求出方程组的解即可得到点B的坐标；
（2）由函数的图象观察直线在双曲线的下方的部分对应的x的取值范围，即可得到不等式的解集；
（3）作AC⊥x轴于点C，作MD⊥x轴于点D，先由正比例函数及反比例函数的对称性判定以点A，B，M，N为顶点的凸四边形是平行四边形，再证明S梯形ACDM＝S△AOM，进而求出S梯形ACDM，再列方程求出点M的坐标，再求直线MN的解析式即可．
【解析】（1）解：∵直线y＝x经过点A，x＝2，
∴y＝×2＝，
∴A（2，），
∵双曲线经过点A（2，），
∴k＝xy＝2×＝6，
∴双曲线为y＝；
由得，或，
∴B（-2，-）．
（2）解：如图1：

由函数图象可知，当直线y＝x的某一部分不在双曲线y＝上方时，则x≤-2或0＜x≤．
∴不等式x≤的解集是x≤-2或0＜x≤2．
（3）解：如图2，作AC⊥x轴于点C，作MD⊥x轴于点D，交OA于点F，

设M（x，）（x＞0），
∵双曲线y＝、直线y＝x、直线MN都关于原点对称，
∴OA＝OB，OM＝ON，
∴以点A，B，M，N为顶点的凸四边形是平行四边形，且S平行四边形AMBN＝，
∴S△AOM＝S平行四边形AMBN＝×＝，
∵S△MOD＝S△AOC＝x•＝3，
∴S梯形ACDF＝S△MOF＝3﹣S△DOF，
∴S梯形ACDM＝S梯形ACDF+S△MAF＝S△MOF+S△MAF＝S△AOM＝，
∴（+）•|﹣x|＝，
∴（+）•（﹣x）＝或（+）•（x﹣）＝，
整理得，x2+4x﹣12＝0或x2﹣4x﹣12＝0，
由x2+4x﹣12＝0得，x＝2或x＝﹣6（不符合题意，舍去）；
由x2﹣4x﹣12＝0得，x＝6或x＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴x＝2或x＝6，
∴M（2，3）或M（6，1），
设直线MN的解析式为y＝ax，
则2a＝3或6a＝1，
∴a＝或a＝，
∴这个函数的解析式为y＝x或y＝x．
【点评】此题重点考查反比例函数的图象与性质、正比例函数及一次函数的图象与性质、平移的特征、利用函数图象求不等式的解集、解一元二次方程等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题．
4．(1)；
(2)，见解析；
(3)，；，

【分析】（1）根据矩形的性质及三角函数可得cos∠OBC的值，设BC＝4x，OB＝5x，由勾股定理及中点的定义可得D（2，3），再利用待定系数法可得答案；
（2）利用三角形的面积公式及中点定义可得答案；（3）分当0＜x＜2时，当x＞2时，进行分类讨论可得答案．
【解析】（1）解：四边形是矩形，
，
，
设，，
由勾股定理得，，
，
，
，
，，
是的中点，
，
，
设，
把代入得，．
（2）解：，
由题意可知，，
是的中点，
，
，
，
在反比例函数图象上，
，
，
．
（3）解：当时，如图所示：

，
，
当时，如图所示：

，
∴，
综上所述，，；

【点评】此题考查的反比例函数，利用面积公式进行解答是解决此题关键．
5．(1)，；
(2)或；
(3)(-3，-2)或(5，6)

【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）根据题意可求出点B坐标，再根据反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，写出x的取值范围即可；
（3）设直线AB与x轴的交点为M，由一次函数解析式即可求出M点坐标．根据菱形的性质求得菱形面积，即可得出的值．设P点坐标为(x，x+1)，分类讨论①当点P在x轴下方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．②当点P在x轴上方时，利用，即可求出x的值，由此即得到P点坐标．
【解析】（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D(1，-2)，
∴OE=1，ED=2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A(1，2)，
将A(1，2)代入直线，得，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
将A(1，2)代入反比例函数，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为：；

（2）联立 ，
解得：，．
∴B(-2，-1)．
∵反比例函数值大于一次函数值时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
由图象可知当或时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴当或时，反比例函数值大于一次函数值时．
（3）设直线AB与x轴的交点为M，如图，

∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴，
∵，
∴，
对于直线y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1
∴M(-1，0)．
设P点坐标为(x，x+1)，
①当点P在x轴下方时，
∴，即，
∴
解得x=-3，
∴此时P点坐标为(-3，-2)；
②当点P在x轴上方时，
∴，即
∴
解得x=5，
∴P点坐标为(5，6)．
综上可知，P点坐标为(-3，-2)或(5，6)
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
6．(1)（m+1，），（m+1，），1；
(2)不能，理由见解析；
(3)1或2或5．

【分析】（1）表示出D，F的坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（2）再表示出C，E的坐标，求出CE，DF的长度，判定出CE≠DF，因为，从而四边形CDFE不是平行四边形；
（3）先用m表示出BG的解析式，进而表示出H的坐标，最后根据是正整数，建立方程即可得出结论．
【解析】（1）解：∵设点A的横坐标为m，且AB=1，
∴D（m+1，），F（m+1，），OB=m+1，
∴DF=-＝，
∴S△ODF=×（m+1）×=1，
故答案为：（m+1，），（m+1，），1；
（2）解：不能，理由如下：
∵设点A的横坐标为m，
∴C（m，），E（m，），
∴CE=-＝，DF=，
∴CE≠DF，
∵，
∴四边形CDFE不是平行四边形；
（3）解：设直线BG的解析式为：y=kx+6，
将B（m+1，0）代入y=kx+6得：k（m+1）+6=0，
∴k=-，
∴直线BG的解析式为：y=-，
当x=m时，，
∴点H（m，），
∵m＞0，
∴m+1＞1，
∵点H的纵坐标为正整数，
∴m+1=2或3或6，
∴m=1或2或5．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，用含参数表示线段和坐标是解题的关键．
7．(1)一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数为y=；
(2)B（-2，-1），
(3)△AOB的面积为；满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．

【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），根据S△AOB=OD•y+OD•y计算面积即可；
（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三种情况讨论求值即可．
【解析】（1）解：∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵点A（a，2）在直线y=x+1上
∴a=1，
即A（1，2），
又∵反比例函数y=过A点，
∴k=2，
∴反比例函数为y=；
（2）解：∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，
解得或，
∴B（-2，-1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），

∴OD=1，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD•y+OD•y=×1×1+×1×2=，
即△AOB的面积为；
（3）解：分三种情况讨论：
①当∠BAM=90°时，

设M1（0，y），
则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，
解得y=3，
∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，

同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，

则J（-，），
∵AB=，
∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的图像和性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
8．(1)48
(2)OF⊥DF，见解析
(3)

【分析】（1）设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，则3x+2=4x，求出x即可求点E坐标为（6，8），再由E点坐标即可求k 值；
（2）求出D（8，6），证明△AOF∽△BFD，则∠AOF=∠BFD，可得∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，即可得到OF⊥DF；
（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，证明△AFG≌△BFD（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），求出直线CG解析式为y=-x+10，直线OF为y=2x，联立，即可求出点P的坐标．
【解析】（1）证明：∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB，∠OAB=90°，
∵，
设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，
∴3x+2=4x，
∴x=2，
∴AE=3x=6，AO=4x=8，
∴点E坐标为（6，8），
∴k=6×8=48；
（2）解：OF⊥DF，理由如下：
将x=8代入y=得y=6，
∴D（8，6），
∴BD=BC-CD=8-6=2，
∵点F是线段AB的中点，
∴AF=BF=4，
∵，∠OAF=∠FBD=90°，
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF=∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，
∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，
∴OF⊥DF；
（3）（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，

∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，
∴△AFG≌△BFD（AAS），
∴AG=BD=2，GF=DF，
由（2）得OF⊥DF，
∴OF为线段DG的垂直平分线，
∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG，
∵OC=OA=8，
∴C（8，0），G（0，10），
设直线CG解析式为y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10），
得，解得，
∴
设直线OF为y=ax，代入F（4，8），
∴a=2，
∴y=2x，
联立直线OF、CG得，解得，
∴点P的坐标为(，)．
【点评】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．（1）A（-2，0），B（2，2）；（2）D（-4，-1）；0＜x＜2或x＜-4；（3）P（-2，0）或P（2，0）或P（-2+2，0）或P（-2-2，0）．
【分析】（1）令y=0，得到A的横坐标，令x=0，得到C的纵坐标，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，利用三角形中位线定理可得B的坐标；
（2）联立两个函数解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出点D的坐标，运用交点的横坐标，结合图像的增减性写出即可；
（3）设P（a，0），则M（a，a+1），点N（a，），根据题意，得|a+1-|=1，解绝对值方程即可．
【解析】（1）令y=0，得到x＋1=0，
解得x=-2，
∴A（-2，0）；
令x=0，得y=1，
∴C（0，1）；
∵AC＝BC，
∴点B在第一象限，
过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则CO是△AEB的中位线，
∴BE=2OC=2，AO=0E=2，
∴B的坐标为（2，2）；

（2）∵点B（2，2）在y＝上，
∴k=4，
∴y＝，
∴x＋1＝，
整理，得，
解得，
当x=-4时，y=-1，
∴D（-4，-1）；
根据图像可得，＞x＋1时，x的取值范围是0＜x＜2或x＜-4；
（3）设P（a，0），则M（a，a+1），点N（a，），OC=1，
∵O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴CO∥MN，且CO=MN，
∴|a+1-|=1，
当a+1-=1时，整理，得，
解得a=，
当a+1-= -1时，整理，得，
解得a=，
∴点P的坐标为P（-2，0）或P（2，0）或P（-2+2，0）或P（-2-2，0）．
【点评】本题考查了一次函数的解析式，反比例函数的解析式，不等式的解集，一元二次方程的解法，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法，灵活运用平行四边形的判定，准确求解一元二次方程的根是解题的关键．
10．（1），B（-2，-1）；（2）AP+PQ 的最小值为；（3）．
【分析】（1）把的坐标代入求解的值，再求解反比例解析式为 再联立两个函数解析式，解方程组可得的坐标；
（2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时 再先求解 再利用等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当为边时，当为矩形的对角线时，再利用矩形的性质及勾股定理与中点坐标公式建立方程，解方程可得答案.
【解析】解：（1）把点坐标为（）代入得：
则

.
双曲线为

解得：或

（2）如图，作关于y轴的对称点，过作于，交轴于 则取得最小值,此时

  
将直线向下平移一个单位得直线，
的解析式为： 且是第一，第三象限的角平分线组成的，








所以最小值为；
（3）如图，当为边时，设
四边形为矩形，





则由平移的性质可得：
同理可得：

则
由平移的性质可得：
如图，当为矩形的对角线时，设

由矩形的性质：对角线相等且互相平分，再结合中点坐标可得，

解得：

综上：.
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，轴对称的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理的应用，中点坐标公式，一元二次方程的解法，做到清晰的分类讨论是解题的关键.
11．（1）P（4，2），k=8；（2）D（2，4）；（3）S1+S2=4
【分析】（1）根据，列方程求解即可得出答案；
（2）根据平行四边形性质和平移规律可得出，由点在函数图象上，建立方程求解即可；
（3）连接，运用平行四边形性质可得，再利用，利用三角形面积公式即可得出答案．
【解析】解：（1）轴于点．，，
，，
，
的面积为4，
，
，
，
，
；
（2），，点是线段的中点，
，
四边形是平行四边形，
，，
根据平移规律可得：，
点在函数图象上，
，
解得：，
；

（3）如图3，当点在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，，，
连接，

，
，
．
如图4，当点在延长线上时，连接，

四边形是平行四边形，
则，
，
．
如图5，当点在延长线上时，

四边形是平行四边形，
，
点在第二象限，不成立；
综上所述，或．
【点评】本题是关于反比例函数综合题，考查了待定系数法，求一次函数与反比例函数图像交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行四边形和三角形面积等，解题关键是熟练掌握平行四边形性质及反比例函数性质．
12．（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）由两函数解析式交点A的纵坐标坐标为−2，将y＝−2代入y＝−2x中，得：x＝1，确定出交点坐标，将交点坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值．
（2）根据k的几何意义可知S△COE＝S△BOF，所以S梯形CEFB＝S△BOC．
（3）分两种情况画出图形，根据正方形的性质得出P点的坐标即可得到过点P的反比例函数解析式．
【解析】解：（1）由题得在上，且，
则得，
∴.
又在双曲线上，
∴.
（2）如图，连接BC，过点C、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
把y＝代入y＝−得，＝−，解得x＝−4，
∴C（−4，），
∵直线y＝−2x与双曲线上交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A（1，−2），
∴B（−1，2），
∵点C、B都在双曲线y＝−上，
∴S△COE＝S△BOF＝1．
∵S△BOF＋S梯形CEFB＝S△COB＋S△COE．
∴S△BOC＝S梯形CEFB．
∵S梯形CEFB＝×（＋2）×（−1＋4）＝，
∴S△BOC＝．

（3）①当是正方形的边时，如图所示，过正方形的顶点分别作坐标轴的平行线，
根据正方形的性质可得：
或，
∴解析式为；

②当时正方形的边时，可得点在轴上，或，
∴P在轴上，不存在反比例函数，

③当是正方形的对角线时，或，
∴过点的解析式为


综上：过点的解析式为或．
【点评】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
13．（1），；（2） 或；（3）能，
【分析】（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论；
（2）设，则，，可得，再设，则，进而求出，，将代入可得知，将代入可得知，进而求出a、b的值即可得出结论.
（3）当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y＝−x＋6上即可得出结论．
【解析】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴把代入，解得，
∴令，
解得：，
由图像可知表示一次函数图像在反比例函数图像上方的取值范围，
∴；
（2）如图，连接OP，

设，则，
∵点D在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
在上，
∴，∴①，
在上，∴②，
解①②得，，
，，
点的坐标是或.
（3）四边形能为菱形，
∵当时，四边形为菱形，
∴由对称性得到，即，
∴此时横纵坐标相等且在直线上，即，
解得：，即.
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解．
14．（1）①8；②P(，0)或(-，0)；（3）四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）①根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得到答案；②根据割补法求出的面积=15，设P(x，0)，列出关于x的方程，即可求解；
（2）D(，4)，E(8，)，设EF的函数解析式为：y=ax+b，可得b=OF=，从而得CF=AE，进而即可得到结论．
【解析】解：（1）①∵的面积为4，反比例函数的图象经过点D，
∴k=2×4=8；
②∵，的面积为4，
∴CD=2，
∵的面积=的面积为4，，
∴AE=1，
∴的面积=4×8-×（8-2）×（4-1）-4-4=15，
∵点P在x轴上，
∴设P(x，0)
∴的面积=|x|×4=15，解得：x=，
∴P(，0)或(-，0)；
（2）连接AC，四边形是平行四边形，理由如下：

由题意得：D(，4)，E(8，)，
设EF的函数解析式为：y=ax+b，
则，解得：，
∴OF=，
∴CF=OF-4==AE，
又∵CF∥AE，
∴四边形是平行四边形．
【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，是解题的关键．
15．（1）P（2a，）；（2）2；（3）见解析
【分析】（1）先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标；
（2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用，即可求出答案；
（3）证明△DPC≌△EAC，即可得到结论．
【解析】解：（1）∵点D的横坐标为a，且点D在函数图象上，
∴点D的纵坐标，
又PB⊥y轴，且点P在图象上，
∴点P的纵坐标，
∴点P的横坐标为x＝2a，
∴P（2a，）；
（2）∵，，
∴；
（3）∵PA⊥x轴于点A，交函数图象于点C，
∴点C的坐标为（2a，），
又P（2a，），
∴PC＝CA＝，
∵DP∥AE，
∴∠PDE＝∠DEA，∠DPA＝∠PAE，
∴△DPC≌△EAC，
∴DP＝AE，
∴四边形DAEP是平行四边形．
【点评】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．
16．（1）;（2）此时t的值为 ,反比例函数解析式为 ;（3）存在,满足要求的点Q的坐标为 或 或
【分析】（1）过点B作轴,垂足为点E,过点D作轴,垂足为点F,证明 ,得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示和点的坐标,再根据点,正好落在某反比例函数的图像上，得和点的横､纵坐标的积相等,列出t的方程求得t,进而求得反比例函数的解析式；
（3）分两种情况:BD为平行四边形的边，BD为平行四边形的对角线，分别解答问题．
【解析】（1）如图,过点B作轴,垂足为点E,过点D作轴,垂足为点F,则 ,

∵点A的坐标为（0,－6）,D的坐标为（－3,－7）,
∴DF=3,AF=1,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD, ,
∴ ,
∴,
∴,
∴DF=AE=3,AF=BE=1,
∴OE=OA-AE=3,
所以点B的坐标为 ;
（2）由题意,得正方形ABCD沿y轴向上平移了2t个单位长度．
∵点B的坐标为,D的坐标为（－3,－7）,
∴和点的坐标分别为（-1,-3+2t）,（-3,-7+2t）,
设点落在反比例函数 的图象上,
则 ,解得 ,
所以解得k=-6,
即这个反比例函数的表达式为;
（3）存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q,使得以P,Q,,四点为顶点的四边形是平行四边形．
设P（n,0）,由（2）知和点的坐标分别为（-1,6）,（-3,2）,
当为平行四边形的边时,则,B'D'=QP,
∴点Q的坐标为（n+2,4）或（n-2,-4）,
把Q（n+2,4）代入中,得,4（n+2）=-6,解得,
∴点Q的坐标为,
把Q（n-2,-4）代入中,得,-4（n-2）=-6,解得,
∴点Q的坐标为;
②当为平行四边形的对角线时,则B'D'的中点坐标为（-2,4）,
∴PQ的中点坐标为（-2,4）,
∴Q点的坐标为（-4-n,8）,把Q点坐标代入中,得,8（-n-4）=-6,
解得, ,
∴点Q的坐标为,
综上所述,满足要求的点Q的坐标为 或 或．
【点评】本题考查了是反比例函数与正方形结合的综合题,主要考查了反比例函数的图象与性质,待定系数法,全等三角形的性质与判定,平行四边形的性质,解题的关键是证明全等三角形和分情况讨论．
17．（1），；（2）（3），，
【分析】（1）根据题意，分别求得点的坐标，用待定系数法求得一次函数的解析式，再求得点的坐标，用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）过点作轴于点,根据梯形求解即可；
（3）根据平行线的性质，分情况讨论，①当为边时，，上、下平移点即可求得点的坐标
②当为对角线时，根据，，利用中点坐标求解的坐标
【解析】（1）点和点分别是轴、轴的点，且,根据图像可知：

设直线的解析式为：
将点代入，得：

解得：


点在直线上，且横标为1，


又在反比例函数图像上
设反比例函数解析式为：，
将代入，得


（2）如图，过点作轴于点,则,


，

梯形



（3）存在，理由如下：
设直线的解析式为


解得：

平移后经过点
设平移后的直线的解析式为
将代入，求得


如图：以、、、为顶点的四边形是平行四边形
①当为边时，时，
都在轴上
轴

或者

②当为对角线时，设对角线交点为
，,设




解得

综上所述，，，
【点评】本题考查平移的性质，一次函数与反比例函数图像的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，熟练一次函数与反比例函数图像的性质是解题的关键．
18．（1）B（2n，）；（2）见解析；（3）y＝x＋
【分析】（1）由点A在双曲线上，确定出A坐标，进而得出 B的坐标，即可得出结论；
（2）由（1）得到的点B，D，M的坐标判断出，得出四边形ABCD是平行四边形，再用即可；
（3）由（2）结合建立方程求出n，m，从而得到点B，A的坐标即可．
【解析】（1）当时，，
，
由题意知，BD是AC的中垂线，
点B的纵坐标是，
把代入得，
B（2n，）；
（2）证明：∵BD⊥AC，AC⊥x轴，
∴BD⊥y轴，由（1）知，B（2n，），A（n，），
∴D（0，），M（n，），
∴BM＝MD＝﹣n，
∵AC⊥x轴，
∴C（n，0），
∴AM＝CM，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（3）当四边形ABCD是正方形时，
为等腰直角三角形，
，
的面积是4，
,
，
为线段AC的中点，
，
，
，
设直线AB的解析式为，
，
解得
直线AB的函数表达式为y＝x＋．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是用m，n表示出点A，B，D，M的坐标．