2023年湖南省衡阳市衡山县中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省衡阳市衡山县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列运算结果为正数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列食品图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“”，甲说他看到的是“”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“”，则下列说法正确的是(    )
 

A. 甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B. 丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C. 甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D. 甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边

6.  我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为从而得到两个一元一次方程：或进而得到原方程的解为，这种解法体现的数学思想是(    )

A. 函数思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 公理化思想

7.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是一块矩形的场地，长米，宽米，从，两处入口的路宽都为米，两小路汇合处路口宽为米，其余部分种植草坪面积为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11.  中世纪意大利数学家斐波那契年年，编写的计算之书记载一道数学题，译文如下：一组人平分枚硬币，每人分得若干，若再加上人，平分枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第二次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为人，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

12.  方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  已知单项式与是同类项，则 ______ ．

14.  某中学规定学生的学期体育成绩满分为，其中体育课外活动占，期末考试成绩占，小彤的这两项成绩依次是，则小彤这学期的体育成绩是______ ．

15.  勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若此类勾股数的勾为为正整数，则其弦是______结果用含的式子表示．

16.  如图，在平面直角坐标中，点为坐标原点，菱形的顶点在轴的正半轴上，点坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．
 

17.  如图，点是的重心，，如果，那么线段的长为______ ．

18.  如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点过点作，垂足为点，交边于点若，，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知：是方程的一个根，求代数式的值．

20.  本小题分
初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图，已知线段，运用尺规作图画出，使斜边，一条直角边．
如图是小亮所作的，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有______填序号
请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个，使满足上述条件．不写作法，但保留作图痕迹
 

21.  本小题分
年月日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图、图分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，为头部，假设，，三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．
求此滑雪运动员的小腿的长度；
求此运动员的身高．参考数据：，，
 

22.  本小题分
“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校个班中随机抽取了、、、，个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

王老师采取的调查方式是______填“普查”或“抽样调査”，王老师所调查的个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；
在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角的度数为______；
如果全校参展作品中有件获得一等奖，其中有名作者是男生，名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．要求用树状图或列表法写出分析过程

23.  本小题分
如图，已知中，是边上一点，过点分别作交于点，作交于点，连接．
下列条件：
是边的中点；
是的角平分线；
点与点关于直线对称．
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程；
若四边形是菱形，且，，求的长．

24.  本小题分
在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，为圆的直径，是的一条弦，为弧的中点，作于点，交的延长线于点，连接．
若，则圆心到“杠杆”的距离是多少？说明你的理由；
若，求阴影部分的面积．结果保留
 

25.  本小题分
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
【应用】如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有若，那么 ______ ．
【拓展】如图，在等腰直角三角形中，，，是边中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点所经过的路径长是多少？
 

26.  本小题分
已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点点在点的左侧，与轴交于点
直接写出点的坐标为；
如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；
若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论．
【解答】
解：是边上的高，故此选项符合题意；
B.不是三角形的高，故此选项不合题意；
C.不是三角形的高，故此选项不合题意；
D.是边上的高，故此选项不合题意；
故选A．  

2.【答案】 

【解析】解：、，结果为负数；
B、，结果为正数；
C、，结果为负数；
D、，结果为负数；
故选：．
分别根据有理数的加、减、乘、除运算法则计算可得．
本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是
故选：．
原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．
此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，甲说他看到的是“”，丁说他看到的是“”，说明两人坐对面，乙和丙坐对面，
又乙说他看到的是“”，
乙在甲右边，则丙在丁的右边．
故选D．
根据图形分析出四个人在桌子边的位置进而判断即可．
此题是推理与论证，判断出甲、乙、丙、丁所坐的位置是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为从而得到两个一元一次方程：或进而得到原方程的解为，这种解法体现的数学思想是转化思想，
故选：．
根据解一元二次方程因式分解法，即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，数学常识，解一元一次方程，一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据同底数幂的乘法、算术平方根、开立方运算及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法、算术平方根、开立方运算及幂的乘方运算，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以


，
故选：．
将变形为，再代入计算即可．
本题考查提公因式法分解因式和代数式求值，将变形为是正确解答的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，得：，
则“”表示的不等式的解集为，
的解集为，
的解集为，
的解集为，
的解集为，
故选：．
由，得：，则“”表示的不等式的解集为，据此求出各选项不等式的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：


平方米，
种植草坪面积为平方米，
故选：．
根据平移的性质可得，种植草坪的部分可以看作是长为米，宽为米的矩形，然后进行计算即可解答．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：若设第一次分硬币的人数为人，则第二次分钱的人数为人，
依题意得：．
故选：．
设第一次分硬币的人数为人，则第二次分钱的人数为人，根据两次每人分得的硬币相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：依题意得方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，

它们的交点在第一象限，
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方；

的实根所在的范围．
故选：．
首先根据题意推断方程的实根是函数与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根所在范围．
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据同类项的定义得：，，
所以，，
所以，
故答案为：．
根据同类项的定义，求出，，再求和即可．
本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键，即：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
 

14.【答案】 

【解析】解：小彤这学期的体育成绩是，
故答案为：．
将小彤体育课外活动、期末考试的成绩分别乘以对应的百分比，再求和即可．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，则叫做这个数的加权平均数．
 

15.【答案】 

【解析】解：为正整数，
为偶数，设其股是，则弦为，
根据勾股定理得，，
解得，
弦为；
故答案为：．
根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用菱形的性质、全等三角形、直角三角形勾股定理，以及反比例函数图象的性质；把点的坐标与线段的长度相互转化也是解决问题重要方法．
要求的值，求出点坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出的值．
【解答】
解：过点、作轴，轴，垂足为、，

是菱形，
，
易证≌，
点，，
，，，
在中，，
，


故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：点是的重心，
为中线，，
，
，
∽，
，即，
．
故答案为．
先根据三角形重心性质得到，，再证明∽，然后利用相似比可计算的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是理解三角形重心的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，，

四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
≌，≌，
，
设，
，，
，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
解得：，
，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故答案为：．
连接，，，由正方形的性质可得，，，可证得≌，可得，，从而可得，根据等腰三角形三线合一可得点为中点，由可证得≌，≌，可得，设，则，，由勾股定理解得，可得，由勾股定理可得，从而可得，由勾股定理可得，即可求解．
本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
 

19.【答案】解：是方程的一个实数根，
，
，






． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：亮的作图过程用到的基本作图有．
故答案为：；
如图，即为所求．

根据小亮的作图过程可直接得出结论；
作线段，作线段的垂直平分线交线段于点，以点为圆心为半径画圆，再以点为圆心，以为圆心，以为半径画圆交于点，连接，即可．
本题考查的是作图复杂作出，熟知直角三角形的作法是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，
，
解得，
此滑雪运动员的小腿的长度为．
由得，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，，
运动员的身高为． 

【解析】在中，，，，即可得出．
由得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

22.【答案】抽样调査；，
条形统计图为：
；
  ；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为，
所以恰好抽中一男一女的概率． 

【解析】解：王老师采取的调查方式是抽样调査，
，
所以王老师所调查的个班共征集到作品件，
班的作品数为件，
故答案为：抽样调査；；
条形统计图为：

在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角度数；
故答案为；
见答案．
根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出班的作品数后补全条形统计图；
用乘以班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示班的扇形圆心角的度数；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
 

23.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，，
能证明四边形是菱形的条件为：或，证明如下：
条件，是的角平分线，
，
，
，
平行四边形是菱形；
条件，点与点关于直线对称，
，
平行四边形是菱形；
四边形是菱形，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
即的长为． 

【解析】证四边形是平行四边形，，再由条件证，或由条件证，即可得出结论；
由菱形的性质得，再证∽，得，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：连接，

为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
的长是圆心到“杠杆”的距离，
，
；
，
，
由得：，
，
，
，
，，
，
，
解得：，
． 

【解析】直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出，即可得出圆心到“杠杆”的距离为圆的半径；
利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法等知识，利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出是解题关键．
 

25.【答案】 

【解析】证明：延长到，使，连接，，则，

是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形，
，
；
解：如图中，设交于点．

，，
，
，
由翻折的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，

故答案为：；
过点作，，如图，

，，
．
是边中点，
，
同理：，
，
．
四边形为正方形，
．
，
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
为等腰直角三角形，
当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线，
即所经过的路径为，
，，

的中点所经过的路径长为．
延长到，使，连接，，则，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
如图中，设交于点证明，可得结论；
过点作，，如图，证明四边形为正方形，再证明≌推出为等腰直角三角形，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：，
；
设，，
抛物线对称轴为直线，
，
又，
，
，，
，，
将代入，解得，
，
设，则，，
根据题意，得
解得，舍去，
；
线段，
，，
，
解得，
，
当时，
对于抛物线，随的增大而增大，
对于反比例函数，随的增大而减小，
时，双曲线在抛物线上方，
即，解得，
当时，双曲线在抛物线下方，
即，解得，
所以的取值范围． 

【解析】变形为，所以；
设，，易得，又，因此，所以，，，，将代入，解得，，设，则，，根据题意，得，解得，舍去，所以；
由线段，得，，，，当时，对于抛物线，随的增大而增大，对于反比例函数，随的增大而减小，当时，双曲线在抛物线上方，即，解得，当时，双曲线在抛物线下方，即，解得，所以的取值范围．
本题是函数综合题，熟练运用二次函数的性质与反比例函数的性质是解题的关键．