2023年湖南省邵阳市新邵县小塘镇中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省邵阳市新邵县小塘镇中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数轴上表示数的点和原点的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  根据有关数据，目前全球稀土资源储量为亿吨，而中国储量为万吨，占全球总储量的，居世界第一位，请用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在▱中，，，，则▱的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一组数据由个数组成，其中个数分别为，，，且这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是(    )

A.  B.
C. 随的增大而增大 D. 时，

9.  如图，线段，相交于点，如果，，，，那么的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在圆中，、是圆上的两点，已知，直径，连接，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若关于的方程的解是，则的值为           ．

13.  如图，是的外角，若，，则 ______ ．

14.  在中，，若，则______．

15.  正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，若点坐标为，则 ______ ．

16.  经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两人经过该路口，则恰好有一人直行，另一人左拐的概率为______．

17.  已知关于，的二元一次方程组满足，则的取值范围是______ ．

18.  如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处，若，，则：______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，然后从，，，中选一个合适的值代入求解．

21.  本小题分
如图，在和中，，，点，，依次在同一直线上，且．
求证：≌．
连结，当，时，求的长．

22.  本小题分
为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进、两种艺术节纪念品若购买件进种纪念品，购买件种纪念品，需要元；若购进种纪念品件，种纪念品件，需要元．
求购进、两种纪念品每件各需多少元？
若该商店购买种纪念品的数量比种纪念品的倍少件，且购买种纪念品不少于件，考虑市场需求和资金周转，用于购买纪念品的资金不超过元，那么该商店有多少种进货方案？

23.  本小题分
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
若该校有名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
李老师计划从，，，四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中，两人的概率．

24.  本小题分
在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部处测得办公楼底部处的俯角是，从综合楼底部处测得办公楼顶部处的仰角恰好是，综合楼高米请你帮小明求出办公楼的高度结果精确到，参考数据，，

25.  本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．
证明：≌；
如图，连接，，交于点．
证明：在点的运动过程中，总有；
若，当的长度为多少时为等腰三角形？
 

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点，与直线交于点．
求抛物线的解析式；
若点是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点使四边形的面积为，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
平行于的一条动直线与直线相交于点，与抛物线相交于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：数轴上表示数的点和原点的距离是；
故选：．
根据两点间的距离公式即可求解．
本题考查了数轴的性质，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，幂的乘方与完全平方公式对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
▱的面积为，
故选：．
利用平行四边形的性质得，再利用勾股定理求出即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握其性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项A、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意知，另外一个数为，
所以这组数据为，，，，
则这组数据的中位数为，
故选：．
先根据算术平均数的概念求出另外一个数据，从而得出这组数据，再利用中位数的概念求解可得．
本题主要考查中位数和算术平均数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，

故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
，A错误；
函数值随的增大而减少，C错误；
图象与轴的交点为
，B正确；
图象与轴的交点为
时，，D错误．
故选：．
根据一次函数的性质结合图象即可的出结论．
本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，，
．
，
∽．
．
．
故选：．
先判断与的关系，再利用相似三角形的性质得结论．
本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质和判定是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，，
．
故选：．
先根据，求出的度数，根据平行线的性质得出，由圆周角定理得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
先提公因式，分解成，而可利用平方差公式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解答】
解：把代入方程得：
，
解得：，
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：是的外角，，，
．
故答案为：．
直接利用三角形的外角性质即可求解．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，若，
得，
故答案为：．
根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，若点坐标为，
，，
，，
，
故答案为．
根据待定系数法求得、，即可求得的值．
本题是反比例函数与一次函数的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好有一人直行，另一人左拐的结果数为，
所以恰好有一人直行，另一人左拐的概率．
故答案为．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好有一人直行，另一人左拐的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解一元一次不等式、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确利用加减消元法得到的值．
根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到，再根据，即可得到，从而可以求得的取值范围．
【解答】
解：，
，得，
，
，
解得，
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形
，
，

折叠
，
在中，
，
，
，且
∽

故答案为：
由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可求：的值．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证∽是本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：原式

，
，，，时分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
又，，
≌；
≌，
，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
先根据平行线的性质证明，即可用“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由勾股定理可求解．
 

22.【答案】解：设种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，由题意得：
，
解得：．
答：种纪念品每件元，种纪念品每件元；
设商店可购进纪念品件，则购进纪念品件，
由题意得，
解得：．
购买种纪念品不少于件，
．
有三种方案：可购进种纪念品件，种纪念品件；
可购进种纪念品件，种纪念品件；
可购进种纪念品件，种纪念品件． 

【解析】设种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，根据条件建立方程组求出其解即可；
设商店可购进纪念品件，则购进纪念品件，根据购买这件纪念品的资金不超过元为不相等关系建立不等式求出其解即可．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题运用及列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时找到反应全体题意的等量关系及不相等关系建立方程及不等式是关键．
 

23.【答案】，
绿色部分的人数为人，
补全图形如下：

估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数人；
列表如下：

由表格知，共有种等可能结果，其中恰好抽中，两人的有种结果，
所以恰好抽中，两人的概率为． 

【解析】解：此次调查一共随机采访学生名，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：，；
见答案
见答案
见答案
由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中，两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：由题意可知米，，
，
．
，
米．
故办公楼的高度约为米． 

【解析】由题意可知米，，因为，可求出，又由，可求出，即得到答案．
本题考查的是解直角三角形的实际应用仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是本题的解题关键．
 

25.【答案】证明：如图，

由旋转得：，，
，
，
，
≌；
证明：如图，在等腰直角三角形中，，

，
点，分别为，的中点，
是的中位线，
，，，
，，，
，，
≌，
，
；
分两种情况：
如图，时，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
如图，当时，，

，，
，
，
当的长度为时，为等腰三角形；
综上，当的长度为或时，为等腰三角形． 

【解析】根据可证明≌；
证明≌，可得，从而根据两角的和可得结论；
分两种情况：如图，时，如图，当时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．
 

26.【答案】方法一：
解：抛物线过点，
．
对称轴，
．
抛物线过点，
，
由解得，，，，
抛物线的解析式为；

假设存在满足条件的点，如图所示，连结、、，过点作轴于点，轴于点．
设点的坐标为，其中，
则，，
，
，
．
令，
即，
则，
方程无解，
故不存在满足条件的点；

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为．
由，
顶点，
又点在直线上，则点，
于是．
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，因为，只须，
设点的坐标是，则点的坐标是．
当时，，
由，
解得：或．
当时，线段与重合，舍去，
，．
当或时，，
由，
解得，经检验适合题意，
此时，
综上所述，满足题意的点有三个，分别是，，
方法二：
略．
，，
：，
过点作轴垂线，交于，设，
，
，
，
，
，
方程无解，故不存在满足条件的点．

，
当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
：，
，
，
设点的坐标是，则点的坐标是，
，
或，
，，，，
经检验，当时，线段与重合，故舍去．
，， 

【解析】方法一：
先把代入，得出，再由抛物线的对称轴，得到，抛物线过点，得到，然后由可解得，，，，即可求出抛物线的解析式为；
假设存在满足条件的点，连结、、，过点作轴于点，轴于点设点的坐标为，则，，先根据三角形的面积公式求出，，再由，得到令，即，由，得出方程无解，即不存在满足条件的点；
先运用待定系数法求出直线的解析式为，再求出抛物线的顶点，由点在直线上，得到点，于是若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，因为，只须，设点的坐标是，则点的坐标是分两种情况进行讨论：当时，，解方程，求出的值，得到；当或时，，解方程，求出的值，得到，
方法二：
略．
利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出的面积函数，进而求出点坐标，因为，所以无解．
因为，所以只需即可，求出的参数长度便可列式求解．
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．