2023高考要点归纳 第五节 数学归纳法

第五节 数学归纳法

【要点归纳】

数学归纳法证题的关键点

1．验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．

2．递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

3．利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

【夯实基础练】

1．(2022•西北工业大学附属中学高三九模)利用数学归纳法证明不等式(，)的过程中，由到时，左边增加了(    )

A．1项 B．k项 C．项 D．项

【解析】  当时，不等式左边的最后一项为，而当时，最后一项为，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加，所以增加了项.故选：D

【答案】  D

2．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是(    )

A．

B．

C．

D．

【解析】  当时，左边，共个连续自然数相加，

当时，左边，

所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C.

【答案】  C

3．用数学归纳法证明不等式()时，以下说法正确的是(    )

A．第一步应该验证当时不等式成立

B．从“到”左边需要增加的代数式是

C．从“到”左边需要增加项

D．从“到”左边需要增加的代数式是

【解析】  第一步应该验证当时不等式成立，所以不正确；

因为，

所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；

所以从“到”左边需要增加项，所以不正确.故选:D.

【答案】  D

4．已知，证明不等式时，比多的项数是(    )

A．项 B．项 C．项 D．以上都不对

【解析】  因为，，

所以，

所以比多的项数是.故选：C.

【答案】  C

5．利用数学归纳法证明“”时从“”变到“”时，左边应增加的项是______________.

【解析】  当时，等式为，当时，等式为，因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.故答案为：.

【答案】 

6．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=________.

【解析】  用数学归纳法证明：时，

在验证时，把当代入，左端.故答案为：.

【答案】  .

7．设数列{an}满足a1=3，．

(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．

【解析】  (1)由题意可得，，

由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，

证明如下：

当时，成立；

假设时，成立.

那么时，也成立.

则对任意的，都有成立；

(2)由(1)可知，

，①

，②

由①②得：

，

即.

【答案】  (1)，，，证明见解析；(2).

8．数列满足.

(1)计算，并猜想的通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

【解析】  (1)当时，，∴；

当时，，∴；

当时，，∴；

由此猜想；

(2)证明：①当时，结论成立，

②假设(，且)时结论成立，即，

当时， ，

∴，∴，

∴当时结论成立，

由①②可知对于一切的自然数，成立.

【答案】  (1) ；；；.(2)证明见解析.