2023高考能力提高专项练习 第七章 解三角形

这是一份2023高考能力提高专项练习 第七章 解三角形，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第七章 解三角形章末综合检测一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(2022•黑龙江省哈九中模拟)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．则的值为(       )A． B．C． D．【解析】  在中，因为，，，由正弦定理得： ，解得：.因为，所以.所以.故选：C【答案】  C2．若a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，那么△ABC一定是(　　)A．直角三角形   B．等腰三角形C．等腰直角三角形   D．等边三角形【解析】  方法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得＝，由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝＝.又由余弦定理得cos A＝，所以＝，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．方法二：利用角的关系来判断：因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin(A＋B)，又因为2cos Asin B＝sin C，所以2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cos C＝＝＝，又0°<C<180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形．【答案】  D3．(2022•吉林省吉林市模拟)位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(          )A．30° B．60° C．75° D．45°【解析】  依题意，过点作的延长线交于点，如图，则，，，在中，，在中，，， 又 ，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°.故选：B.【答案】  B4．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝a2，则的最大值为(　　)A.－1   B.C.＋1   D.＋2【解析】　根据题意，有S△ABC＝a2＝bcsin A，应用余弦定理，可得b2＋c2－2bccos A＝2bcsin A，令t＝，于是t2＋1－2tcos A＝2tsin A．于是2tsin A＋2tcos A＝t2＋1，所以2sin＝t＋，从而t＋≤2，解得t的最大值为＋1.【答案】  C5．(2021•双流区校级模拟)在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值是(　　)A．2 B． C． D．1【解析】  ，，，，又正弦函数、余弦函数的值均小于等于1，，，、、，，,，，由正弦定理可得，，故选：C．【答案】  C6．(2022•山西省吕梁二模)锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围是(       )A．    B．    C．     D．【解析】  由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，所以.又，且，故，所以.又，所以，得，所以，故选：C.【答案】  C7．(2022•江西省高三阶段练)已知O是三角形ABC的外心，若，且，则实数m的最大值为(       )A． B． C． D．【解析】  设三角形的外接圆半径为，因为O是三角形ABC的外心，故可得，且，，故，即，也即，则，又，由正弦定理可得：，则，故，当且仅当，即时取得最大值.故选：A.【答案】  A8．(2021·高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB=(　　)A．表高 B．表高C．表距 D．表距【解析】  如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A．【答案】  A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是(　　)A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立C．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC必是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形【解析】  对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD．【答案】  ABD10．(2022•全国高三专题练)内角，，的对边分别为，，.已知，且，则下列结论正确的是(       )A． B．C．的周长为 D．的面积为【解析】  由正弦定理得，整理得，即，A正确；由可得，则，B正确；由余弦定理得，又，可得，整理得，的周长为，C错误；由上知：，，可得，则的面积为，D正确.故选：ABD.【答案】  ABD11．(2022•河北省石家庄二中模拟)已知中，为外接圆的圆心，为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是(       )A．外接圆半径为 B．内切圆半径为C． D．【解析】  在中，，所以，设外接圆半径为，则，则，故A错误；设内切圆半径为，则，解得，故B正确；因为，，所以，故C正确；设内切圆与三角形分别切于，则设，，解得，所以，则，，所以，故D正确.故选：BCD.【答案】  BCD12．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，BC边上的中线，则下列说法正确的有：(       )A．  B．  C．  D．∠BAD的最大值为60°【解析】  ∵．A正确；∵，∴，故B正确；由余弦定理及基本不等式得(当且仅当时，等号成立)，由A选项知，∴，解得，故C正确；对于D，(当且仅当时，等号成立)，∵，∴，又，∴∠BAD的最大值30°，D选项错误．故选: ABC【答案】  ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．(2022•江西省南昌十中模拟)锐角中，，角A的角平分线交于点， ,则 的取值范围为_________.【解析】  由已知得， ,在中，由正弦定理得， ,同理可得 ,故,而 ，因为锐角中， ,故，则，，故，故答案为：【答案】  14．(2022•辽宁省沈阳二中模拟)沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：①测量、、；②测量、、；③测量、、；④测量、、．其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_____________．【解析】  对于①，由正弦定理可得，则，若且为锐角，则，此时有两解，则也有两解，此时也有两解；对于②，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；对于③，若已知、、，由余弦定理可得，则唯一确定；对于④，若已知、、，则不确定.故答案为：②③.【答案】  ②③15．(2022•陕西省模拟)已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，设O为的内心，则的面积为_________．【解析】  当时，由正弦定，可得，结合，由余弦定理，解之得，若O为的内心，则设的内接圆半径为，由，可得，，故，∴，∴，故答案为：.【答案】  16．(2022•浙江省模拟)在△中，角所对的边分别是，若，，则的最小值为________．【解析】  ∵在△中，角所对的边分别是，，∴，∴，∴，即，，∴，因为，∴，即，又，∴，即，当且仅当时取等号，∴的最小值为为12.故答案为：12.【答案】  12四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2022•青海玉树高三阶段练)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积．(1)求角B的大小；(2)若，求．【解析】  (1)因为，所以，.又因为，所以.(2)因为，所以，即，所以，.因为，，所以，即..【答案】  (1)(2)18．(2022•西南大学附属中学校高三第六次月考)如图，中，，，，点，N线段上两点(包括端点)，.(1)当时，求的周长；(2)设，当的面积为时，求的值.【解析】  (1)，，，则，，则，在中，由余弦定理得：，则，，即，又，，而，的周长为；(2)在中，，由得：，在中，由，得，所以，由得，又，所以，则，所以.【答案】  (1)    (2)19．(2022•陕西省西安中学高三四模)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求B；(2)设D为边上一点，，且________，求面积的最小值．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答．注：如果选择①和②两个条件分别作答，则按照第一个解答计分．【解析】  (1)因为，由正弦定理，得，即，所以，由，得，所以，即，因为，所以；(2)选①，由，得，化简得，由余弦定理，得，即，解得(当且仅当时取等号)，所以的面积，故面积的最小值为．选②，由，得，即，化简得，由，得(当且仅当时取等号)，所以的面积，故面积的最小值为．【答案】  (1)    (2)20．(2022•宁夏银川市第二中学高三一模)在中，分别为内角的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【解析】  (1)由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以，(2)由正弦定理可得，所以，，所以的周长，因为，所以，所以所以，即，所以周长的取值范围为．【答案】  (1)    (2)21．(2022•湖南师范大学附属中学高三第四次月考)已知中，，，是角，，所对的边，，且.(1)求；(2)若，在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠到平面后，顶点正好落在边(设为点)上，求此情况下的最小值.【解析】  (1)因为，所以由正弦定理边角互化得，因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以，即(2)因为，，所以为等边三角形，即，如图，设，则，所以在中，由余弦定理得，整理得，设，所以，由于，故所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为【答案】  (1)    (2)22．(2022•北京市一零一中学高三(下)开学检测)在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)角的大小和的面积.条件①：；条件②：.【解析】  (1)选择条件①因为，，，由余弦定理，得，化简得，解得或(舍).所以；选择条件②因为，，所以，因为，，所以，由正弦定理得，得，解得；(2)选择条件①因为，，所以.由正弦定理，得，所以，因为，所以，所以为锐角，所以，所以，选择条件②由(1)知，，又因为，，在中，，所以因为所以，所以【答案】  (1)    (2)，