2023高考能力提高专项练习 第十二章 圆锥曲线

这是一份2023高考能力提高专项练习 第十二章 圆锥曲线，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十二章 圆锥曲线章末综合检测一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(2022•四川省成都市第七中学高三(下)开学考试)已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上有两点，(点A在x轴上方)，满足，若，则直线的斜率为(    )A． B． C．2 D．3【解析】  因为，所以设，则有，根据椭圆定义：，可知：，，因为，所以，即，解得：，所以，，在中，即为直线的斜率，又，所以直线的斜率为2.故选：C.【答案】  C2．(2022•河北省衡水中学高三二模)已知椭圆的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若且线段的长为，则该椭圆方程为(    )A． B． C． D．【解析】  设椭圆的半焦距为，因为点在以线段为直径的圆上，所以.又因为，所以.又因为，所以是等腰直角三角形，于是也是等腰直角三角形，，，，得，解得，，得，所以椭圆方程为.故选：D.【答案】  D3．(2022•重庆市第八中学高三(下)第一次调研检测)已知双曲线的左､右焦点分别为，，实轴长为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值时，该双曲线的渐近线方程为(    )A． B． C． D．【解析】  因为双曲线的实轴长为，所以，由双曲线的定义可得：，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，如图，与渐近线垂直时，取得最小值，因为，所以，可得，所以双曲线的渐近线方程为：，故选：D.    【答案】  D4．(2022•天津市第一中学高三第三次月考)在平面直角坐标系中，双曲线：的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，，则的离心率为(    )A． B． C． D．【解析】  由双曲线的对称性，不妨设在轴的上方，因为过且垂直于轴，故，所以直线，整理得到，故.因为，故，整理得到，所以即，故.故选：B.【答案】  B5．(2022•四川省成都市石室中学高三专家联测卷(二))已知双曲线的右焦点为，为双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为A． B． C． D．【解析】  曲线右焦点为，周长 要使周长最小，只需 最小，如图所示，当三点共线时取到,故l=2|AF|+2a=，故选B【答案】  B6．(2022•陕西省西安中学高三二模)已知双曲线：(，)的上、下顶点分别为，，点在双曲线上(异于顶点)，直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为(    )A． B． C． D．【解析】  设点，又，，则 ，，所以，又因为点在双曲线上得，所以，故，所以，则双曲线的渐近线方程为.故选：B【答案】  B7．(2022•湖南省雅礼中学高三第六次月考)已知抛物线()与双曲线(，)有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是A． B． C． D．【解析】  因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：，因为，代入上式可得：，化简得：，两边同时除以得：，解得或(舍)，设渐近线斜率为k，由，解得，所以倾斜角应大于，所以区间可能是，故选B.【答案】  B8．(2022•四川省成都市石室中学高三二模)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为(    )A．1 B． C． D．【解析】  因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.故选：C【答案】  C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．(2022•重庆市育才中学二模)已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(    )A． B．当离心率为时，的最大值为C．椭圆C离心率的取值范围为 D．存在点Q使得【解析】  由长轴长为4，故，由点Q在椭圆上，根据椭圆的定义得，故A正确；当离心率为时，可得，则的最大值为.故B正确；点在椭圆内部，故，椭圆C离心率为，故选项C不正确； 由选项C知， 故不存在点Q使得，选项D错误.故选：AB.【答案】  AB10．(2022•江苏省苏州中学等四校高三(下)期初联合检测)设为双曲线C：的左、右焦点，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：为双曲线C的一条渐近线，则(    )A． B．弦PQ长的最小值为6C．存在点P，使得 D．点P到直线m：距离的最小值为1【解析】  由题知，a＝1，渐近线，c＝2，故A正确；|PQ|为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，，故B正确；根据双曲线定义知，∴在右支上存在点P，即当P为双曲线右顶点时，取最小值3，故C正确；∵直线m和双曲线的渐近线平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.故选：ABC.【答案】  ABC11．(2022•海南省嘉积中学高三(下)四校联考)设分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于两点，若为正三角形，则(    )A． B．双曲线的离心率C．双曲线的焦距为 D．的面积为【解析】  在正三角形中，由双曲线的对称性知，，，由双曲线定义有：，因此，，，，即半焦距，则，A正确；双曲线的离心率，B正确；双曲线的焦距，C不正确；的面积为，D正确.故选：ABD【答案】  ABD12．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是(    )A．若，则B．若，则C．若，则平分D．若，延长交直线于点M，则M，B，Q三点共线【解析】  如图，若，则，C的焦点为，则，选项A正确；延长交直线于点M，则，M，B，Q三点共线，选项D正确；若，则，C的焦点为，直线，可得，选项B不正确；时，因为，所以．又，所以平分，选项C正确．故选：ACD.【答案】  ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．(2022•黑龙江省哈三中高三一模)椭圆内，过点且被该点平分的弦所在的直线方程为______．【解析】  设直线与椭圆的两个交点为，因为在椭圆上，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以的方程为：，即，故答案为：.【答案】  14．(2022•浙江省名校协作体高三(下)3月联考)已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆半径为，的内切圆半径为，，则此双曲线离心率的取值范围为___________．【解析】  设、的内切圆圆心分别为、，设圆切、、分别于点、、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，由切线长定理可得，，，所以，，则，所以点的横坐标为.故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.在中，，，，，所以，，所以，，则，所以，即，所以，，可得，可得，则，因此，.故答案为：.【答案】  15．(2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三(上)期末)已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共焦点，，是它们在第一象限的交点，且，则的最小值为________．【解析】  由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，在双曲线的右支上，由椭圆的定义，由双曲线的定义，所以有，，因为，由余弦定理可得，整理得，所以，当且仅当时取等号，故答案为：．【答案】  16．(2022•河北省衡水中学高三六调)如图，已知抛物线及两点和，其中.过、分别作轴的垂线，交抛物线于、两点，直线与轴交于点，此时就称、确定了.依此类推，可由、确定、.记，、、、.给出下列三个结论：①数列是递减数列；②对任意，；③若，，则.其中，所有正确结论的序号是_____．【解析】  由题意知，，，直线的斜率为，则直线的方程为，令，则，，即，在等式两边取倒数得.，，由此可得出，，，命题②正确；，则，由②知，对任意的，，，即数列是单调递减数列，命题①正确；若，，则，，，命题③正确.故答案为：①②③.【答案】  ①②③.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)已知抛物线的焦点为．点在上， ．(1)求;(2)过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．【解析】  (1)因为点在上，所以 ①，因为，所以由焦半径公式得 ②，由①②解得，所以．(2)由(1)知抛物线的方程为，焦点坐标为，当直线与轴平行时，此时的方程为，的方程为，，此时为等腰直角三角形且，故.当直线与轴不平行且斜率存在时，若为定值，则定值比为，下面证明.要证明，只需证明，只需证，即，设直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程得，设，则，所以，，联立方程得，所以，所以，所以，即，所以.综上，为定值，.【答案】  (1) ；(2)是定值，.18．(2022•重庆市育才中学高三第五次适应性考试)离心率为的椭圆C：的左、右焦点分别为，过右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点(A，B均不为椭圆的顶点)，直线分别交y轴于M，N两点，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求.【解析】  (1)由椭圆的离心率，可得，又由椭圆的右焦点，可得，所以，则，所以椭圆的方程为.(2)设直线，且，联立方程组，整理得，可得，由，则有，故，同理，则，由，可得，可得整理的，解得或，又由椭圆的定义，可得，当时，可得；当时，可得.【答案】  (1)    (2)或19．(2022•西南大学附属中学校高三第六次月考)已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.【解析】  (1)∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切，∴，即，可得，即，则椭圆的方程为：；(2)①若直线的斜率不存在，设方程为，则点，，，，由，即，解得，此时直线的方程为；②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，设，，，，则，整理可得：，，且，，由，可得，即，即，，，故直线的方程为，即直线过定点，综上所述：直线过定点．【答案】  (1)    (2)答案见解析20．(2022•云南省师范大学附属中学高三第七次月考)已知抛物线：，焦点为F，点Р是上任一点(除去原点)，过点P作的切线交准线于点Q．(1)求抛物线在处的切线方程；(2)若点Р在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧．①证明：；②求面积的最小值．【解析】  (1)由得，，则切线斜率为，故切线方程为，即．(2)①设，由(1)得切线斜率为．所以，且切线为，即．令得，即．当时，，；，，满足．当时，，，所以．因为在第一象限，所以，，故．综上，．②由①得，，点到切线的距离为，所以，令，，则，所以当，；当，．故当时，取最小值．所以当时，取最小值．【答案】  (1)    (2)① 证明见解析；②21．(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)已知椭圆C：的左､右焦点分别为，且短轴上的一个顶点和､构成边长为2的等边三角形.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设为椭圆C的左顶点，若过点的直线l与椭圆C交于P､Q两点，直线､分别与直线交于点M､N，且，求直线l的方程.【解析】  (1)由题意可得：，解得：，所以椭圆C的方程为，离心率.(2)由题意，要构成，则直线l的斜率不为0.可设直线l的.设，则，消去x，可得：，所以.所以设，所以.因为，所以.直线AP：，令x=2，解得.同理可求得：.所以.因为，所以.因为，所以，即，即，解得：，所以直线l的方程为：，即【答案】  (1)椭圆C的方程为，离心率．   (2)22．(2022•海南省嘉积中学高三(下)四校联考)如图所示，已知圆，点，点为圆上的动点，线段的垂直平分线和半径相交于点.(1)当点在圆上运动时，求点的运动轨迹的方程；(2)判断直线和曲线的位置关系，并给出证明.【解析】  (1)点在线段的垂直平分线上，.又点在半径上，且圆半径为.故当点在圆上运动时，点满足，即点的运动轨迹为以为焦点的椭圆，且，，因此点的运动轨迹的方程为.(2)直线与椭圆相切，证明如下：若，此时或的方程为或，它们与椭圆相切，若或，此时的方程为或，它们与椭圆C相切，若，设点与点的中点为，直线斜率为，则其垂直平分线的斜率为，直线的方程为，即      ①，又点在圆上，      ②，将②代入①得直线：，由，得，判别式，      ③将②代入③解得，所以直线与椭圆相切，综上所述：直线与椭圆相切.【答案】  (1)    (2)直线与椭圆相切，证明见解析.