2023高考能力提高专项练习 第十一章 直线和圆的方程

这是一份2023高考能力提高专项练习 第十一章 直线和圆的方程，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十一章 直线和圆的方程章末综合检测一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．(2022•全国高三专题练)已知直线，则是的(       )A．充分不必要条件 B．充要条件C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件【解析】  若两直线平行，则，解得：或，当时，两直线重合，故不符合题意，舍去；当时，两直线平行，符合题意．故．所以是的充要条件，故选：B．【答案】  B2．(2022•重庆三模)已知直线上存在一点P，满足，其中O为坐标原点．则实数k的取值范围是(       )A． B． C． D．【解析】  因为直线上存在一点P，使得，所以原点O到直线l的距离的最大值为1，即，解得：，即k的取值范围是．故选：C【答案】  C3．(2022•北大附中高三开学考试)已知圆C：和两点，，且圆C上有且只有一个点P满足，则r的最大值为(       )A． B．3 C． D．5【解析】  由题设，以为直径的圆：与圆C相切，且在圆外，当两圆外切时，，则；当两圆内切时，，则．所以r的最大值为．故选：C．【答案】  C4．(2022•江西上饶市第一中学模拟)已知，过点作圆(为参数，且)的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为(       )A． B． C． D．【解析】  圆心，半径为，圆心在直线上运动，设，则，由圆的几何性质可知，所以，，当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，且，则，则，由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，故函数在上为减函数，故当时，取得最大值．故选：C．【答案】  C5．(2022•广东汕头市第一中学高三阶段练)已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是(       )A． B． C． D．【解析】  由，得．因为，所以或．当时，；当时，．所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分．当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为．故的最大值与最小值的比值是．故选：A【答案】  A6．(2022•安徽合肥市第八中学模拟)已知曲线，等边三角形的两个顶点A，B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段长的最大值为(       )A．3 B． C． D．2【解析】  设圆心到直线AB的距离为d，则   令， 由可得，所以在上为增函数由可得，所以在上为减函数所以，故选：D【答案】  D7．(2022•河南温县第一高级中学高三阶段练)设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为(       )．A． B． C． D．2【解析】  圆的方程为：，圆心、半径.根据对称性可知，四边形PACB的面积为，要使四边形面积最小，则最需最小，即最小时为圆心到直线，，所以四边形PACB的面积的最小值为.故选：B.【答案】  B8．(2022•浙江省普陀中学高三阶段练)圆与的公共弦长为(       )A． B． C． D．【解析】  已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D.【答案】  D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．(2022•全国·高三专题练)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有(       )A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS【解析】  依题意，直线PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分别为：，，，，，由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS与QS不平行，即选项ABD正确，选项C不正确．故选：ABD【答案】  ABD10．(2022•全国·高三专题练)已知圆被轴分成两部分的弧长之比为，且被轴截得的弦长为4，当圆心到直线的距离最小时，圆的方程为(       )A． B．C． D．【解析】  设圆心为，半径为，圆被轴分成两部分的弧长之比为，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，又圆被轴截得的弦长为4，∴，∴，变形为，即在双曲线上，易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有距离最小．设切线方程为，由，消法得，∴，解得，时，，时，，即切点为或，半径为，∴圆的方程为或．故选：AB【答案】  AB11．(2022•南京外国语学校模拟)已知圆：，直线：，则下列说法正确的是(       )A．当时，直线与圆相离B．若直线是圆的一条对称轴，则C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为【解析】  当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆心相离，故A正确；若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确；当与圆相切时，取得最大值，只需此时，即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误；设的中点为，，则，，故，当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确．故选：ABD．【答案】  ABD12．(2022•河北高三阶段练)已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是(       )A．四边形面积的最小值为4B．当直线的方程为时，最小C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为【解析】  四边形面积的最小值即为时，而，，所以，A正确；当直线的方程为时，此时最小，最大，且为，B错误；圆上点到直线l的距离取值范围为，除去最远以及最近距离外均有两点到直线的距离相等，即为，C正确；设M到直线的距离为d，因为，且，所以，则，设，即，所以，D正确，故选：ACD．【答案】  ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．(2022•辽宁大连二模)已知，，点P在曲线上，则的最小值为___________．【解析】  设，由题意，点在，即点在以为圆心，半径为的下半圆上，，其中表示为点到点的距离的平方，当点到点的距离最小时，取最小值，点到点的最小距离为，所以的最小值为．故答案为：【答案】  14．(2022•山东烟台三模)已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________.【解析】  设，则有整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆点到直线的距离直线交于，两点，则则的面积解之得或，故答案为：或1【答案】  或115．(2022•天津市第四十七中学模拟)过点与圆相切的直线是_________．【解析】  由题意，因为，所以点在圆上，所以过点与圆相切的直线的斜率，所以切线方程为，即，故答案为：.【答案】  16．(2022•河南郑州四中高三阶段练)已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______．【解析】  圆，即，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，又，所以，所以，即，所以最短时，最短，点C到直线的距离即为的最小值，故答案为： 所以，所以的最小值为【答案】  四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2022•全国高三专题练习)已知直线，点．求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线的方程；(3)直线关于点对称的直线的方程．【解析】  (1)因为点，设点关于直线的对称点的坐标为，，直线，解得，所以，(2)设直线与直线的交点为，联立直线与直线，，解得，所以；在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点，则，解得，所以，经过点，所以所以直线的方程为整理得．(3)设直线关于点对称的直线的点的坐标为，关于点对称点为，在直线上，代入直线方程得：，所以直线的方程为：．【答案】  (1)    (2)    (3)18．(2022•大观区校级期中)正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，求的取值范围．【解析】  以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，，设点，则由，得，整理得，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，圆心到点的距离为，所以，，所以的取值范围是，．【答案】  ，19．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。求：(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长。【解析】　两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和。(1)当两圆外切时，＝＋。解得m＝25＋10。(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值。故有－＝5，解得m＝25－10。因为kMN＝＝，所以两圆公切线的斜率是－。设切线方程为y＝－x＋b，则有＝。解得b＝±。容易验证，当b＝＋时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去。故所求公切线方程为y＝－x＋－，即4x＋3y＋5－13＝0。(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0。则公共弦的长为2× ＝2。【答案】  (1)25＋10    (2)4x＋3y＋5－13＝0    (3)220．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,0)，B(2,2)，C(1，－)，记△ABC外接圆为圆M．(1)求圆M的方程；(2)在圆M上是否存在点P，使得PA2－PB2＝4？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【解析】　(1)根据题意，设△ABC外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，△ABC的顶点坐标分别是A(0,0)，B(2,2)，C(1，－)，则有，解得：D＝－4，E＝0，F＝0，则圆M的方程为x2＋y2－4x＝0．(2)设P的坐标为(x，y)，因为PA2－PB2＝4，所以x2＋y2－(x－2)2－(y－2)2＝4，化简可得x＋y－3＝0，即P的轨迹为直线x＋y－3＝0；圆心M到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝＜2，则直线x＋y－3＝0与圆M相交，故满足条件的点P有2个．【答案】  (1)x2＋y2－4x＝0    (2)2个21．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4，直线l：4x＋3y－20＝0，A为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．(1)若MN∥l，求△PMN的面积；(2)判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．【解析】　(1)∵MN∥l，∴可设直线MN的方程为4x＋3y＋m＝0，∵点A在MN上，代入坐标可求得m＝－5，∴直线MN的方程为4x＋3y－5＝0．由点到直线距离公式可得，点O到直线MN的距离为1，从而MN＝2＝2．两平行线MN，l之间的距离为＝3，∴S△PMN＝×2×3＝3．(2)直线PM与圆O相切，证明如下：设M(x0，y0)，则直线MN的斜率为k＝＝，∵OP⊥MN，∴直线OP的方程为：y＝－x，与直线l的方程4x＋3y－20＝0联立，解得P点的坐标为，∴＝，又∵＝(x0，y0)，且x＋y＝4，∴·＝－x－－y＝－4＝0，∴⊥，∴MP⊥OM，∴直线PM与圆O相切．【答案】  (1)3    (2)见解析22．(2022•全国高三专题练)圆．(1)若圆与轴相切，求圆的方程；(2)求证：不论为何值，圆必过两定点；(3)已知，圆与轴相交于两点，(点在点的左侧)．过点任作一条与轴不重合的直线与圆相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．【解析】  (1)圆的方程：，其中恒成立，因为圆与轴相切，所以，解得或，所以圆的方程为或．(2)圆的方程即：，联立方程组：可得：，或，则圆恒过定点和．(3)因为圆将代入，可得，变形得，所以或，因为，点在点的左侧，所以，，因为直线的倾斜角不为0，所以可设直线的方程为，代入圆的方程可得，整理后为，因为直线上点在圆内部，所以该直线与圆必然有两个交点，并设两交点坐标为，，，，由韦达定理可得，，因为直线的方程为，所以，，若，则直线与直线关于轴对称，所以，所以，整理得，将，代入，可得，即，因为对任意，都有成立，即任意，，所以，所以存在，使得．【答案】  见解析