2023高考能力提高专项练习 第五节 数学归纳法

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【能力提高练】  第五节 数学归纳法1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+…+=2时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证(    )A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立【解析】  由数学归纳法的证明步骤可知，假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即时等式成立，不是，因为是偶数，是奇数，故选：B．【答案】  B2．设，那么等于(    )A． B．C． D．【解析】  由题意，，则，所以，即.故选：C.【答案】  C3．用数学归纳法证明“”时,第一步需要验证的不等式是A． B．C． D．【解析】  第一步验证时的情况，即，故选C【答案】  C4．用数学归纳法证明：()能被整除．从假设成立 到成立时，被整除式应为A． B． C． D．【解析】  由于当n=k+1 时，x2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，故选C．【答案】  C5．用数学归纳法证明 ，从到，不等式左边需添加的项是(    )A． B．C． D．【解析】  时，左边为,时，左边为,所以左边需添加的项是 ，选B.【答案】  B6．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当时，，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即，则当时，.故当时，不等式成立.则上述证法(    )A．过程全部正确 B．的验证不正确C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确【解析】  在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确.故选：D.【答案】  D7．上一个层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为，则下列猜想正确的是(　　)A． B． C． D．【解析】  上一个层的台阶，所有不同上法的总数为，那么可以从第个台阶上两层到第层的台阶，也可以从第个台阶上一层到第层的台阶，故，其中，但，，故选：D.【答案】  D8．用数学归纳法证∈N*)时,从“n=k”到“n=k+1”,等式左边需增添的项是(　　)A． B．C． D．【解析】  假设n=k时，++…+=等式成立；那么n=k+1时，++…++=+，所以从”k→k+1”需增添的项是．故选：C【答案】  C9．利用数学归纳法证明凸多边形的对角线的条数是时，第一个可以取到的自然数_______.【解析】  多边形中三角形的对角线条数可认为是0，四边形有两条对角线，因此第一个自然数可以是．故答案为：3【答案】  310．设为正偶数，，则____________.【解析】  ，，因此，.故答案为：.【答案】  11．已知数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)记为的前项和，证明：．【解析】  (1)当时， ，即，所以，由因为，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以，所以，经检验不满足，所以 ，(2)由(1)可得 ，所以，要证明，即证明，数学归纳法证明如下：当时，左边，右边，左边=右边，所以不等式成立；假设当时成立，即成立，当时，左边等于 右边，即当时，不等式也成立，综上所述：当时，不等式成立，故.【答案】  (1)；(2)证明见解析.12．已知正实数列满足，，．(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)证明：．【解析】  (Ⅰ)用数学归纳法证明：．①时，，，显然满足；②假设时，成立，即，则，即，所以，即时，也成立；综上，对应任意的，都有成立；(Ⅱ)因为，所以，则，所以.【答案】  (Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.