2020年北京市清华大学强基计划数学试卷

这是一份2020年北京市清华大学强基计划数学试卷，共33页。试卷主要包含了解答题，选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020年北京市清华大学强基计划数学试卷
一、解答题
1．（2020•北京自主招生）已知x2+y2≤1，求x2+xy﹣y2的最值．
二、选择题
（多选）2．（2020•北京自主招生）非等边三角形ABC中，BC＝AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上且OD⊥BP，下列选项正确的是（　　）
A．BODP四点共圆 B．OD∥AC
C．OD∥AB D．DP∥AC
三、解答题
3．（2020•北京自主招生）A，B，C均为{1，2，3，…，2020}子集，且A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有多少？
四、选择题
（多选）4．（2020•北京自主招生）a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，令A＝|ak|（　　）
A．A可以等于0 B．A可以等于2
C．A可以等于10 D．A可以等于12
5．（2020•北京自主招生）P为椭圆+＝1上一点，A（1，0），B（1，1），求|PA|+|PB|的最值．
（多选）6．（2020•北京自主招生）△ABC三边均为整数，且面积为有理数，则边长a可以为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
（多选）7．（2020•北京自主招生）P为双曲线﹣y2＝1上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列为定值的是（　　）
A．tanαtanβ B．tantan
C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）
（多选）8．（2020•北京自主招生）甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（　　）
A．甲对 B．乙对
C．丙对 D．以上说法均不对
（多选）9．（2020•北京自主招生）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，++＝，以下正确的是（　　）
A．∠APB＝120° B．∠BPC＝120° C．2BP＝PC D．AP＝2PC
10．（2020•北京自主招生）arctan＝（　　）
A．π B．π C． D．
五、填空题
11．（2020•北京自主招生）从0﹣9共10个数中任取5个组成一个5位或4位（0在首位）数，则该数被396整除概率为　 　．
12．（2020•北京自主招生）随机变量X等于k的概率为P（X＝k）＝，Y为X除以3的余数，求Y的数学期望E（Y）．
六、选择题
（多选）13．（2020•北京自主招生）||≤1，||≤1，|+2+|＝|﹣2|，则||的最值为（　　）
A．最大值为4 B．最大值为2 C．最小值为0 D．最小值为2
（多选）14．（2020•北京自主招生）x，y∈N+，下列说法正确的是（　　）
A．x2+2y与y2+2x可以均为完全平方数
B．x2+4y与y2+4x可以均为完全平方数
C．x2+5y与y2+5x可以均为完全平方数
D．x2+6y与y2+6x可以均为完全平方数
15．（2020•北京自主招生）sin（arctan1+arccos+arcsin）＝　 　．
16．（2020•北京自主招生）已知函数f（x）＝+sinx，则f（x）在[﹣2，2]上的最大值与最小值之和为　 　．
17．（2020•北京自主招生）f（x）的图象如图所示，f（x）与直线x＝a，x＝t，x轴围成图形的面积为S（t），问S'（t）的最大值为　 　，f'（x）的最大值为　 　．


2020年北京市清华大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题
1．（2020•北京自主招生）已知x2+y2≤1，求x2+xy﹣y2的最值．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；消元法；不等式；数学抽象．
【答案】x2+xy﹣y2的最小值为，最大值为．
【分析】设 x＝rcosθ，y＝rsinθ，则，结合三角函数的图象与性质以及辅助角公式即可求得最值．
【解答】解：设 x＝rcosθ，y＝rsinθ，其中 θ∈[0，2π），r2∈[0，1]，
∴，
又因为r2∈[0，1]，
故x2+xy﹣y2的最小值为，最大值为．
【点评】本题考查不等式的最值，考查三角函数换元法的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．
二、选择题
（多选）2．（2020•北京自主招生）非等边三角形ABC中，BC＝AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上且OD⊥BP，下列选项正确的是（　　）
A．BODP四点共圆 B．OD∥AC
C．OD∥AB D．DP∥AC
【考点】三角形五心．菁优网版权所有
【专题】探究型；数形结合；综合法；解三角形；逻辑推理；直观想象．
【答案】AD
【分析】设DO∩BP＝R，E为AB中点，推导出∠DRP＝∠CEB＝90°，从而O，R，E，B共圆，进而∠CBP＝∠RBE＝∠ROP，由此推导出B，D，O，P 共圆；推导出∠ROP＝∠ABP＝∠CBE，且∠PDB＝∠POB，从而∠PDB＝∠POB＝2∠BCE＝∠ACB，进而DP∥AC；由OD∩DP＝P，PD∥AC，得OD与AC相交；由OD⊥BP，BP与AB的夹角小于90°，得OD与AB相交．
【解答】解：设DO∩BP＝R，E为AB中点，
则∠DRP＝∠CEB＝90°，
∴O，R，E，B共圆，
∵P为△ABC的内心，∴∠CBP＝∠RBE＝∠ROP，
∴B，O，D，P 共圆，故A正确；
∵B，D，O，P 共圆，∴∠ROP＝∠ABP＝∠CBE，且∠PDB＝∠POB，
∵O是△ABC的外心，∴OC＝OB，
∴∠ACE＝∠BCE＝OBC＝，
∴∠PDB＝∠POB＝2∠BCE＝∠ACB，∴DP∥AC，故D正确；
∵OD∩DP＝P，PD∥AC，∴OD与AC相交，故B错误；
∵OD⊥BP，BP与AB的夹角小于90°，∴OD与AB相交，故C错误．
故选：AD．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查四点共圆、三角形内心、外心等基础知识，考查化归与转化思想，考查创意意识、应用意识，是中档题．
三、解答题
3．（2020•北京自主招生）A，B，C均为{1，2，3，…，2020}子集，且A⊆C，B⊆C，问有序的（A，B，C）共有多少？
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】集合思想；综合法；集合；数据分析．
【答案】见解析
【分析】这是一道有关集合子集个数的排列组合规律题，需要进行分类讨论
【解答】解：当C为空集时，AB均为空集，这样（A，B，C）个数为1；
当C含1个元素时，A有2种可能、B有2种可能，这样（A，B，C）个数为2×2×；
当C含2个元素时，A有22种可能、B有22种可能，这样（A，B，C）个数为22×22×；
当C含3个元素时，A有23种可能、B有23种可能，这样（A，B，C）个数为23×23×；
…
当C含2020个元素时，A有22020种可能、B有22020种可能，这样（A，B，C）个数为；
故答案为：
【点评】本题需要根据集合C元素的个数分类讨论，再用排列组合的思想对有序集合A、B不同的情况进行分析，本题属于难题
四、选择题
（多选）4．（2020•北京自主招生）a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，令A＝|ak|（　　）
A．A可以等于0 B．A可以等于2
C．A可以等于10 D．A可以等于12
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分析法；推理和证明；逻辑推理．
【答案】BC
【分析】进行简单的合情推理，找到可能的情况即可．
【解答】解：因为a0＝0，|ai+1|＝|ai+1|，
所以ai+12＝ai2+2ai+1，
ai+12﹣ai2＝2ai+1，
所以a22﹣a12＝2a1+1，
a32﹣a22＝2a2+1，
……
a212﹣a202＝2a20+1，
所以a212﹣a12＝2ai+20，
所以A＝|ak|＝||＝||，
由题意可知A为正整数，
所以a212只能为12，32，52，…，212，共11组，
不妨设a21＝2k﹣1，k＝1，3，5，…，11，
则A＝||＝|2k（k﹣1）﹣10|，k＝1，3，5，…，11，
当k＝1时，A＝10，当k＝3时，A＝2，
结合选项可知BC．
故选：BC．
【点评】本题考查逻辑推理能力，属于中档题．
5．（2020•北京自主招生）P为椭圆+＝1上一点，A（1，0），B（1，1），求|PA|+|PB|的最值．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】最小值为4．最大值为4+．
【分析】判断A是椭圆的右焦点，利用椭圆的定义，转化求解|PA|+|PB|的最小值．
【解答】解：椭圆+＝1，可得左焦点F（﹣1，0），右焦点A（1，0），
|BF|＝，
如图所示．
∵|PF|+|PA|＝2a＝4，|PB|+|FB|≥|PF|，
∴|PA|+|PB|≥|PA|+|PF|﹣|FB|＝4﹣|BF|≥4﹣，当且仅当三点P，A，F共线时取等号，
∴|PA|+|PF1|的最小值为4，
∴|PA|+|PB|＝|PB|+4﹣|PF|，∴|PA|+|PB|∈[4﹣|FB|，4+|FB|]，
∵|FB|＝，
∴|PA|+|PB|≤4+，
∴|PA|+|PB|的最大值是4+．
最小值为4．最大值为4+．

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形三边大小关系、三点共线，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
（多选）6．（2020•北京自主招生）△ABC三边均为整数，且面积为有理数，则边长a可以为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形的面积公式．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分类法；解三角形；数学运算．
【答案】CD
【分析】首先判断a＝1，2不成立，再由边长3，4，5构成的三角形，计算面积，即可得到结论．
【解答】解：若a＝1，三角形的三边只能1，1，1或1，2，2，它们构成的三角形的面积不为有理数；
若a＝2，三角形的三边只能是2，2，2；1，2，2；2，2，3；2，3，3；2，3，4；它们构成的三角形的面积不为有理数；
由3，4，5为三角形的三边，可得32+42＝52，其面积S＝×3×4＝6，
对照选项可能a＝3或4，
故选：CD．
【点评】本题考查三角形的面积的求法，以及运算能力和判断能力，属于基础题．
（多选）7．（2020•北京自主招生）P为双曲线﹣y2＝1上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列为定值的是（　　）
A．tanαtanβ B．tantan
C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】AC
【分析】可设P（m，n），代入双曲线的方程，求得直线PA，PB的斜率之积为定值，即可得到所求结论．
【解答】解：可设P（m，n），可得﹣n2＝1，
即m2﹣4＝4n2，
则kPAkPB＝•＝＝＝，
可得tanαtanβ＝﹣为定值，
由S△PABtan（α+β）＝×4|n|•＝2|n|•（﹣）＝±•＝±，
故选：AC．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
（多选）8．（2020•北京自主招生）甲、乙、丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（　　）
A．甲对 B．乙对
C．丙对 D．以上说法均不对
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；试验法；推理和证明；逻辑推理．
【答案】AB
【分析】根据题意进行分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论．
【解答】解：假设甲做对了，则乙、丙做错：
则乙、丙的说法正确，符合题意；
假设乙做对了，则甲、丙做错：
则甲、丙说法正确，符合题意；
假设丙做对了，则甲、乙做错：
则乙、丙说法错误，甲说法正确，符合题意．
故甲说法正确．
故选：AB．
【点评】本题主要考查推理和证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．
（多选）9．（2020•北京自主招生）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，++＝，以下正确的是（　　）
A．∠APB＝120° B．∠BPC＝120° C．2BP＝PC D．AP＝2PC
【考点】平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】ABCD
【分析】根据平面向量的平行四边形法则判断A，B，构造相似三角形判断C，D．
【解答】解：在直线PA，PB，PC上分别取点M，N，G，使得||＝||＝||＝1，
以PM，PN为邻边作平行四边形PMQN，则＝，
∵++＝，即+＝，
∴＝，∴P，G，Q三点共线且PQ＝1，
故△PMQ和△PNQ均为等边三角形，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，故A正确，B正确；
∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，∴AC＝2，∠ACB＝60°，
在△ABC外部分别以BC、AC为边作等边三角形BCE和等边三角形ACD，
则B，C，D三点共线，A，P，E三点共线，
∴∠BCD＝120°，故∠BCD＝∠BPC，
∴△BPC∽△BCD，
∴，即PC＝2BP，故C正确，
同理可得：△APC∽△ACB，
∴＝2，即AP＝2PC，故D正确．
故选：ABCD．


【点评】本题考查平面向量的几何运算，三角形相似等，构造相似三角形是难点．
10．（2020•北京自主招生）arctan＝（　　）
A．π B．π C． D．
【考点】数列的极限．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】因为，所以＝，进而求得极限值．
【解答】解：设，
则 ，
∴，tanα＝k+1，tanβ＝k﹣1，
即 ，
所以＝arctan2﹣arctan0+arctan3﹣arctan1+arctan4﹣arctan2+…+arctan（n+1）﹣arctan（n﹣1）
＝
∴．
故选：A．
【点评】本题考查反三角函数得概念，正切函数的和差公式，考查裂项相消法求和以及数列的极限，综合性比较强，属于难题．
五、填空题
11．（2020•北京自主招生）从0﹣9共10个数中任取5个组成一个5位或4位（0在首位）数，则该数被396整除概率为　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；概率与统计；数学运算．
【答案】．
【分析】396＝9×4×11，先考虑被9整除的组合，再考虑被11整除，最后考虑被4整除，求出所有情况数，由此能求出该数被396整除概率．
【解答】解：396＝9×4×11，
先考虑被9整除的组合，
（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），任意两组，加上0，9，（1）
（1，2，3，4，8），（1，2，3，5，7），（1，2，4，5，6），（2）
（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4），加上0，9，（3）
再考虑被11整除，（1）中只能加0，
最后考虑被4整除，（1，2，3，5，7）舍去，（1，3，5）加上0，9舍去，
（1）中所有情况数为：+＝48，
（2）中所有情况数为：＝8，
（3）中所有情况数为＝8，
综上共有：8+8+48＝64种情况，
∴该数被396整除概率为P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列数公式的应用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
12．（2020•北京自主招生）随机变量X等于k的概率为P（X＝k）＝，Y为X除以3的余数，求Y的数学期望E（Y）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】．
【分析】由题意可知，Y的取值只有0，1，2，求出相应的概率，进而求出期望．
【解答】解：由题意可知，Y的取值只有0，1，2，
当Y取0时，X为3的倍数，此时的概率构成一个以为首项，为公比的等比数列，此时概率等于所有项的和P（X＝k）＝＝；
当Y取1时，X为3的倍数加1，此时的概率构成一个以为首项，为公比的等比数列，此时概率等于所有项的和P（X＝k）＝＝；
当Y取2时，X为3的倍数加2，此时的概率构成一个以为首项，为公比的等比数列，此时概率等于所有项的和P（X＝k）＝＝；
∴E（Y）＝0×+1×+2×＝．
【点评】本题考查了等比数列所有项的和的求法，统计概率中的期望的求法，比较抽象，学生不易理解，属于难题．
六、选择题
（多选）13．（2020•北京自主招生）||≤1，||≤1，|+2+|＝|﹣2|，则||的最值为（　　）
A．最大值为4 B．最大值为2 C．最小值为0 D．最小值为2
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】BC
【分析】先根据平面向量的线性运算结合三角形中两边之差少于第三边的性质可以得到，进而求出||的最大值（注意验证取等）；再根据平面向量的线性运算结合三角形中两边之差少于第三边的性质可以得到，进而求出||的最小值（注意验证取等）．
【解答】解：∵，
∴，
，
由柯西不等式知 （*） 右端 ，∴，
当 时取到等号，
，
当 时，，
故选：BC．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，考查三角形中的性质，属于中档题．
（多选）14．（2020•北京自主招生）x，y∈N+，下列说法正确的是（　　）
A．x2+2y与y2+2x可以均为完全平方数
B．x2+4y与y2+4x可以均为完全平方数
C．x2+5y与y2+5x可以均为完全平方数
D．x2+6y与y2+6x可以均为完全平方数
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；反证法；推理和证明；逻辑推理．
【答案】CD
【分析】利用反证法及举例法分析即可．
【解答】解：A：x2+2y与y2+2x
由对称性不妨设x≤y，
则y2+2x≤y2+2y＜y2+2y+1＝（y+1）2，
而y2+2x＞y2，且大于y2的最小完全平方数是（y+1）2，
故y2+2x≥（y+1）2，
这与上述矛盾，A错误；
B：x2+4y与y2+4x：
不妨设x≤y，
则y2+4x≤y2+4y＜y2+4y+4＝（y+2）2，
而y2+4x≥（y+1）2，
故y2+4x＝（y+1）2＝y2+2x+1⇔4x＝2y+1，
x2+4y＝x2+8x﹣2⇔（x+4）2﹣t2＝18，
（x+4﹣t）（x+4+t）＝18，
此时无解，B错误；
选项C，只需令x＝y＝4，则两个式子都等于36，满足要求；
选项D，只需令x＝y＝2，则两个式子都等于16，满足要求．
故选：CD．
【点评】本题考查对于完全平方知识的灵活运用，属于中档题目．
15．（2020•北京自主招生）sin（arctan1+arccos+arcsin）＝　1　．
【考点】反三角函数．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】1．
【分析】根据反三角函数的定义，求出各自对应角，进而求出结论．
【解答】解：设arctan1＝α，则α＝，
arccos＝β，则cosβ＝，sinβ＝＝，tanβ＝；
arcsin＝γ，则sinγ＝，cosγ＝＝，tanα＝．
∴tan（γ+β）＝＝＝1；
∴γ+β＝．
∴sin（arctan1+arccos+arcsin）＝sin（）＝sin＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查反三角函数的定义和性质，属于基础题．
16．（2020•北京自主招生）已知函数f（x）＝+sinx，则f（x）在[﹣2，2]上的最大值与最小值之和为　2　．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】2．
【分析】令，可得函数g（x）为奇函数，所以g（x）max+g（x）min＝0，于是f（x）max+f（x）min＝g（x）max+1+g（x）min+1＝2．
【解答】解：∵，
令，
因为，且函数g（x）定义域关于原点对称，
所以函数g（x）为奇函数，
不妨设g（x）max＝M，
又因为奇函数图象关于原点对称，
所以g（x）min＝﹣M，
∵f（x）＝g（x）+1，
则f（x）max+f（x）min＝g（x）max+1+g（x）min+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的应用，注意解题方法的积累以及常见奇函数的识别，属于中档题．
17．（2020•北京自主招生）f（x）的图象如图所示，f（x）与直线x＝a，x＝t，x轴围成图形的面积为S（t），问S'（t）的最大值为　f（c）　，f'（x）的最大值为　f′（a）　．

【考点】定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；导数的概念及应用；数学运算．
【答案】f（c），f′（a）．
【分析】结合定积分和导数的意义求出函数的最值即可．
【解答】解：S（t）＝f（x）dx，
∴S′（t）＝f（t）≤f（c），
∴S′（t）max＝f（c），
f′（x）max≤f′（a），
故答案为：f（c），f′（a）．
【点评】本题考查了定积分以及导数的意义，考查数形结合思想，是一道常规题．

考点卡片
1．集合的包含关系判断及应用
【知识点的认识】
概念：
1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；
2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

【解题方法点拨】
1．按照子集包含元素个数从少到多排列．
2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．
3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．
4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．

【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．反三角函数
【知识点的知识】
反三角函数：
名称
反正弦函数
反余弦函数
反正切函数
反余切函数
定义
y＝sinx（x∈
[﹣，]的反
函数，叫做反正弦
函数，记
作x＝arcsiny
y＝cosx（x∈[0，π]）的反函数，叫做反余弦函数，记作x＝arccosy
y＝tanx（x∈（﹣，
）的反函数，叫
做反正切函数，记作
x＝arcoty
y＝cotx（x∈（0，
π））的反函数，
叫做反余切函
数，记作
x＝arccoty
理解
arcsinx表示属
于[﹣，]
且正弦值等于x的角
arccosx表示属于[0，π]，且余弦值等于x的角
arcotx表示属于
（﹣，），且正切
值等于x的角
arccotx表示属
于（0，π）且余切
值等于x的角
图象




性质
定义域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
（﹣∞，+∞）
（﹣∞，+∞）
值域
[﹣，]
[0，π]
（﹣，）
（0，π）
单调性
在[﹣1，1]上是增函数
在[﹣1，1]上是减函数
在（﹣∞，+∞）上是增数
在（﹣∞，+∞）上是减函数
奇偶性
arcsin（﹣x）＝﹣arcsinx
arccos（﹣x）＝π﹣arccosx
arcot（﹣x）＝﹣arcotx
arccot（﹣x）＝π﹣arccotx
周期性
都不是同期函数
恒等式
sin（arcsinx）＝x（x∈[﹣1，1]）arcsin（sinx）＝x（x∈[﹣，]）
cos（arccosx）＝x（x∈[﹣1，1]） arccos（cosx）＝x（x∈[0，π]）
tan（arcotx）＝x（x∈R）arcot（tanx）＝x（x∈（﹣，）
cot（arccotx）＝x（x∈R）
arccot（cotx）＝x（x∈（0，π））
互余恒等式
arcsinx+arccosx＝（x∈[﹣1，1]）
arcotx+arccotx＝（x∈R）
4．数列的极限
【知识点的知识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an}中的项 ）
2、几个重要极限：

3、数列极限的运算法则：

4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S＝Sn．
（2）
【典型例题分析】
典例1：已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，
∴a1＝1．当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，
∴2（an+an﹣1）＝an2﹣an﹣12，又{an}各项均为正数，
∴an﹣an﹣1＝2．数列{an}是等差数列，
∴an＝2n﹣1．
∴＝＝＝．
故选：C．

典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1（n∈N*）．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn＝，求的值；
（3）若dn＝2dn﹣1+an﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{dn+n}为等比数列，并求{dn}的通项公式．
解：（1）∵点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，
∴bn＝2an+1，a1＝0，
∵等差数列{an}的公差为1（n∈N*），
∴an＝0+（n﹣1）＝n﹣1．
bn＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．
（2）解：由（1）可得an﹣a1＝n﹣1，bn﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴|P1Pn|＝＝＝（n≥2）．
∴cn＝＝＝，
∴c2+c3+…+cn＝…+＝，
∴＝＝；
（3）证明：n≥2，dn＝2dn﹣1+an﹣1，＝2dn﹣1+n﹣2，
∴dn+n＝2（dn﹣1+n﹣1），
∴数列{dn+n}为等比数列，
首项为d1+1＝2，公比为2，
∴，
∴．

【解题方法点拨】
（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．
（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
（3）求数列极限最后往往转化为（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．
（4）求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以nm或an．
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．
③利用已知数列极限（如等）．
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．
⑤∞﹣∞，，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．
5．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例1：定积分|sinx|dx的值是．
解：|sinx|dx＝
＝﹣cosx+cosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．

【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积


2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为

3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
6．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
7．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
8．三角形五心
【知识点的认识】
三角形五心包括：
（1）重心
（2）外心
（3）内心
（4）垂心
（5）旁心．
9．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
10．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
11．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
12．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
13．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）
（1）找出两类事物之间相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．
14．三角形的面积公式
三角形的面积公式
①已知三角形的底边长为a，高为h，则三角形面积S＝底×高÷2＝；

②已知三角形的两边及其夹角，则三角形的面积公式：S＝absinC＝bcsinA＝casinB．
③已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积S＝；

④已知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积S＝；

⑤已知三角形AOB中，向量＝，＝，则三角形的面积S＝•．此公式也适用于空间三角形求面积．
⑥在平面直角坐标系中，△ABC的三顶点分别为：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），记K＝，则三角形的面积S＝|K|＝|x1y2+x2y3+x3y1﹣x1y3﹣x2y1﹣x3y2|；特别的，当C（0，0），此时S＝|x1y2﹣x2y1|．
⑦海伦公式：△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，p＝（a+b+c），则三角形面积S＝．
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