2021年江苏省南京大学强基计划数学试卷

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2021年江苏省南京大学强基计划数学试卷 1．（2021•南京自主招生）求．2．（2021•南京自主招生）已知0≤a+b，b+c，c+a≤1，求的最值．
2021年江苏省南京大学强基计划数学试卷参考答案与试题解析 1．（2021•南京自主招生）求．【考点】有理数指数幂及根式．菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】18180．【分析】根据取整运算分类讨论，再求和即可．【解答】解：（1）当1≤m＜8时，[]＝1，（2）当8≤m＜27时，[]＝2，（3）当27≤m＜64时，[]＝3，（4）当64≤m＜125时，[]＝4，（5）当125≤m＜216时，[]＝5，（6）当216≤m＜343时，[]＝6，（7）当343≤m＜512时，[]＝7，（8）当512≤m＜729时，[]＝8，（9）当729≤m＜1000时，[]＝9，（10）当1000≤m＜1331时，[]＝10，（11）当1331≤m＜1728时，[]＝11，（12）当1728≤m≤2021时，[]＝12，故＝1×（8﹣1）+2×（27﹣8）+3×（64﹣27）+4×（125﹣64）+5×（216﹣125）+6×（343﹣216）+7×（512﹣343）+8×（729﹣512）+9×（1000﹣729）+10×（1331﹣1000）+11×（1728﹣1331）+12×（2021﹣1728+1）＝1×7+2×19+3×37+4×61+5×91+6×127+7×169+8×217+9×271+10×331+11×397+12×294＝18180．【点评】本题考查了根式及分类讨论的思想方法的应用，属于基础题．2．（2021•南京自主招生）已知0≤a+b，b+c，c+a≤1，求的最值．【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；直观想象；数学运算．【答案】Mmin＝0；Mmax＝+1．【分析】由题意易知，a＝b＝c∈[0，]时，Mmin＝0；求最大值时，设x＝a+b，y＝b+c，z＝c+a，假设x≥y≥z，由柯西不等式得出+≤•，即可求最大值．【解答】解：因为0≤a+b，b+c，c+a≤1，所以当a＝b＝c∈[0，]时，Mmin＝0；设x＝a+b，y＝b+c，z＝c+a，则有x，y，z∈[0，1]，假设x≥y≥z，由柯西不等式可得：（+）2＝（×1+×1）2≤[（）2+（）2]•（12+12）＝2（x﹣z），所以+≤•，所以M＝++≤（+1）≤+1，当x＝1，y＝，z＝0，即a＝，b＝，c＝﹣时，等号成立，所以Mmax＝+1．【点评】本题考查了柯西不等式及用换元法求代数式的最值，难点在于由柯西不等式得出+≤•，属于难题．
考点卡片1．函数的最值及其几何意义【知识点的认识】函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．【解题方法点拨】①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．【命题方向】 本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．2．有理数指数幂及根式【根式与分数指数幂】规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 常考题型：例1：下列计算正确的是（　　）A、（﹣1）0＝﹣1          B、＝a             C、＝3          D、＝a（a＞0）分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．解：∵（﹣1）0＝1，∴A不正确；∵，∴B不正确；∵，∴C正确；∵∴D不正确．故选：C．点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 【有理数指数幂】（1）幂的有关概念：①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．（2）有理数指数幂的性质：①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 常考题型：例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）A、         B、am•an＝am•n          C、（am）n＝am+n         D、1÷an＝a0﹣n分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；D中，1÷an＝a0﹣n，成立．故选：D．点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/3 21:08:47；用户：陈元；邮箱：17666135761；学号：42949630