2022年上海交通大学强基校测数学试卷

这是一份2022年上海交通大学强基校测数学试卷，共75页。试卷主要包含了的值等内容，欢迎下载使用。
2022年上海交通大学强基校测数学试卷

1．（2022•上海自主招生）等比数列＝（　　）
A．不存在 B． C． D．﹣2
2．（2022•上海自主招生）集合A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，C＝A∪B，C中元素和为6，则元素积为（　　）
A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8
3．（2022•上海自主招生）x，y，z为正整数，求的最小值为 　 　．
4．（2022•上海自主招生）直线kx+4y＝1垂直于（t为参数），k值为（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
5．（2022•上海自主招生）对∀x∈R恒成立，则ω的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
6．（2022•上海自主招生）椭圆在椭圆C上，kAP，kBP为相反数（k与﹣k），则kAB与（　　）
A．b，k有关，与P点无关 B．P点，b，k有关
C．P，k有关，与b无关 D．P，b有关，与k无关
7．（2022•上海自主招生）ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0表示（　　）
A．一个圆 B．一个圆与一条直线
C．两个圆 D．两条线
8．（2022•上海自主招生），，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2022•上海自主招生），求（a2+a1）（a1+a3+a5）的值．
10．（2022•上海自主招生）正四面体装水到高度的，问倒置后高度至何处．
11．（2022•上海自主招生）使3|x﹣3|+（x﹣3）sin（x﹣3）+kcos（x﹣3）＝0有唯一的解的k有（　　）
A．不存在 B．1个 C．2个 D．无穷多个
12．（2022•上海自主招生）两个圆柱体底面积S1，S2，体积V1，V2，侧面积相等，，求的值．
13．（2022•上海自主招生）双曲线，焦点为A，B，点C在双曲线上，，求△ABC的周长．
14．（2022•上海自主招生）A＝{1，2，⋯，100}，B＝{3x|x∈A}，C＝{2x|x∈A}，求B∩C中元素个数．
15．（2022•上海自主招生）在中有极大值，则a的取值范围为（　　）
A．（1，2） B．（1，+∞） C．（2，+∞） D．
16．（2022•上海自主招生）⊙O1，⊙O2与y＝kx，x轴正半轴均相切，r1r2＝2，交点P（2，2），则k＝（　　）
A．1 B． C． D．
17．（2022•上海自主招生）偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）+2f（2），求f（2022）的值．
18．（2022•上海自主招生）sin（2022πx）＝x2实根个数为 　 　．
19．（2022•上海自主招生）求方程的根为 　 　．
20．（2022•上海自主招生）F1，F2为双曲线两焦点（焦点在x轴），直线AB经过F1且与双曲线左右两支交于点A，B，2AF1＝AB，∠F1AF2＝120°，求双曲线的离心率．
21．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，f（f（x））+1＝0根的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
22．（2022•上海自主招生）△ABC，M为平面上一点，＝（　　）
A．3 B．8 C． D．
23．（2022•上海自主招生）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．9
24．（2022•上海自主招生）＝（　　）
A． B． C．2 D．1
25．（2022•上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（　　）
A．无数 B．0 C．2 D．3
26．（2022•上海自主招生）a＞b＞0，则最小值为（　　）
A． B． C． D．4
27．（2022•上海自主招生）多项式f（x），g（x），问两命题“f（x）是g（x）因式”，“f（f（x））是g（g（x））因式”充分必要关系．
28．（2022•上海自主招生）等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（　　）
A．[0，1]与{E|0≤E≤1} B．[0，1]与{a，b，c，d}
C．（0，1）与[0，1] D．{1，2，3}与{a，b，c，d}
29．（2022•上海自主招生）f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，对∀x＞0，f（x）≤0，求整数m的最小值．
30．（2022•上海自主招生）数列{an}，a1＝2，a2＝6，an+2﹣2an+1+an＝2，求．
31．（2022•上海自主招生）椭圆，弦AB中垂线过，求离心率e的取值范围．
32．（2022•上海自主招生）椭圆的焦点为F1，F2，点P在上，当∠F1PF2最大时，则＝（　　）
A． B． C． D．
33．（2022•上海自主招生）△ABC中，A＝3B＝9C，cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA＝（　　）
A． B． C． D．
34．（2022•上海自主招生）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（　　）个
A．55 B．112 C．156 D．120
35．（2022•上海自主招生），求的值．
36．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函数为g（x），（g（x2））2＝1的根有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
37．（2022•上海自主招生），f（x）在（3，f（3））处切线方程为（　　）
A．2x+y+9＝0 B．2x+y﹣9＝0 C．﹣2x+y+9＝0 D．﹣2x+y﹣9＝0

2022年上海交通大学强基校测数学试卷
参考答案与试题解析

1．（2022•上海自主招生）等比数列＝（　　）
A．不存在 B． C． D．﹣2
【考点】极限及其运算；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】D
【分析】运用等比数列前n项和公式求Sn，再求极限即可．
【解答】解：∵等比数列{an}，a1＝﹣3，＝，
∴＝，解得，q＝﹣，Sn＝，
∴＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的基本运算，极限的计算，是基础题．
2．（2022•上海自主招生）集合A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，C＝A∪B，C中元素和为6，则元素积为（　　）
A．1 B．﹣1 C．8 D．﹣8
【考点】并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；综合法；集合；数学运算；数据分析．
【答案】D
【分析】根据集合C中的元素的和为6可得B中的元素，进而可以求C中的元素，由此即可求解，注意分类讨论．
【解答】解：因为A＝{1，2，t}，B＝{a2|a∈A}，所以1∈B，4∈B，t2∈B，
所以以1∈C，4∈C，t2∈C，
若t2＝1，则t＝1（舍去）或﹣1，此时C＝{1，2，4，﹣1}，符合题意，
所以C中的元素的积为1×2×4×（﹣1）＝﹣8，
若t2＝2，则t＝或﹣，此时C＝{1，2，4，}或{1，2，4，﹣}，
与已知C中的元素和为6不符，
若t2＝t，则t＝0或1（舍去），此时C＝{1，2，4，0}，
也与已知C中的元素和为6不符，
若t2≠1，2，t，则C＝{1，2，4，t，t2}，则1+2+4+t+t2＝6，即t2+t+1＝0，方程无解，
综上，C中元素的积为﹣8，
故选：D．
【点评】本题考查了集合元素的性质以及并集的应用，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
3．（2022•上海自主招生）x，y，z为正整数，求的最小值为 　4　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】4．
【分析】直接利用关系式的变换和不等式的应用求出结果．
【解答】解：引入参数k值，使之满足10x2+10y2+z2＝kx2+ky2+（10﹣k）x2+≥2kxy+，
依据取等号的条件，有2k＝，
整理得：t＝4，
故的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的知识要点：关系式的变换，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
4．（2022•上海自主招生）直线kx+4y＝1垂直于（t为参数），k值为（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．
【答案】B
【分析】先将参数方程化为普通方程，再结合直线垂直的性质，即可求解．
【解答】解：（t为参数），
消去参数t可得，4x+3y﹣11＝0，
∵直线kx+4y＝1垂直于（t为参数），
∴，解得k＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查参数方程的应用，属于基础题．
5．（2022•上海自主招生）对∀x∈R恒成立，则ω的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】三角函数的最值；余弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】D
【分析】由余弦函数的最值和相应自变量的取值，令k＝0，可得所求最小值．
【解答】解：对∀x∈R恒成立，
可得f（x）的最大值为f（），且为1，
则﹣＝2kπ，k∈Z，
解得ω＝8k+，k∈Z，
由ω＞0，可得k＝0时，ω的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的最值和不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6．（2022•上海自主招生）椭圆在椭圆C上，kAP，kBP为相反数（k与﹣k），则kAB与（　　）
A．b，k有关，与P点无关 B．P点，b，k有关
C．P，k有关，与b无关 D．P，b有关，与k无关
【考点】椭圆的性质；直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】D
【分析】设P（m，n），则直线PA的方程为y﹣n＝k（x﹣m），与椭圆方程联立方程组可得A点坐标，同理可得B点坐标，从而可得kAB＝．
【解答】解：设P（m，n），则直线PA的方程为y﹣n＝k（x﹣m），
由，消去y得b2x2+[k（x﹣m）+n]2＝4b2，
∴（b2+k2）x2+（2nk﹣2mk2）x+k2m2﹣2mkn+n2﹣4b2＝0，
∴m+xA＝﹣，∴xA＝﹣﹣m，yA＝k（﹣﹣2m）+n，
同理可得xB＝﹣m，yB＝﹣k（﹣2m）+n，
∴kAB＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，属中档题．
7．（2022•上海自主招生）ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0表示（　　）
A．一个圆 B．一个圆与一条直线
C．两个圆 D．两条线
【考点】简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．
【答案】B
【分析】根据已知条件，推得ρ＝3或ρcosθ＝﹣1，再结合极坐标公式，即可求解．
【解答】解：∵ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0，
∴（ρ﹣3）（ρcosθ+1）＝0，解得ρ＝3或ρcosθ＝﹣1，
∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，
∴x2+y2＝9或x＝﹣1，
故ρ2cosθ+ρ﹣3ρcosθ﹣3＝0表示一个圆与一条直线．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标公式，考查转化能力，属于基础题．
8．（2022•上海自主招生），，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】设＝（1，0），＝（，），＝（cosα，sinα），根据向量的数量积以及三角函数的有关知识即可求解结论．
【解答】解：∵，，
可设＝（1，0），＝（，），＝（cosα，sinα），α∈[0，2π），
∴＝（，）•（2﹣cosα，﹣sinα）＝3﹣cosα﹣sinα＝3﹣sin（α+），
∴当sin（α+）＝1时，取最小值3﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量数量积的应用以及三角函数的有关知识，属于中档题．
9．（2022•上海自主招生），求（a2+a1）（a1+a3+a5）的值．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别令x＝1和x＝﹣1，可列式得a1+a3+a5＝﹣16，又利用二项展开式可得，a1＝﹣＝﹣5，＝10，从而可解．
【解答】解：当x＝0时，a0＝1，
又当x＝1时，a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0．
当x＝﹣1时，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝32，
以上两式相减得，2a1+2a3+2a5＝﹣32，则a1+a3+a5＝﹣16，
又根据二项展开式可得，a1＝﹣＝﹣5，＝10，
则a1+a2＝5，
则（a2+a1）（a1+a3+a5）＝﹣80．
【点评】本题考查二项展开式相关知识，属于中档题．
10．（2022•上海自主招生）正四面体装水到高度的，问倒置后高度至何处．
【考点】棱锥的结构特征．菁优网版权所有
【专题】整体思想；转化法；立体几何；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】设正四面体的底面积为S，高为h，体积为V＝，可得有水部分的体积为，倒置后，再由体积比是相似比的立方求解．
【解答】解：设正四面体的底面积为S，高为h，体积为V＝，
正四面体装水到高度的，则上面无水部分也为正四面体，底面积为，高为，体积为，
有水部分的体积为，
倒置后，下面正四面体的体积是，即有水部分的体积与原正四面体的体积比为，
∴倒置后高度至何处原正四面体高的．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2022•上海自主招生）使3|x﹣3|+（x﹣3）sin（x﹣3）+kcos（x﹣3）＝0有唯一的解的k有（　　）
A．不存在 B．1个 C．2个 D．无穷多个
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用；数学抽象；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】令3﹣x＝t，则3|t|+tsint+kcost＝0，构造函数f（t）＝3|t|+tsint+kcost，且t∈R，得出f（t）为偶函数，根据偶函数的对称性，假设有f（t1）＝0，必有f（﹣t1）＝0，与题设矛盾，则只有f（0）＝0，即可得出答案．
【解答】解：令3﹣x＝t，则3|t|+tsint+kcost＝0，设f（t）＝3|t|+tsint+kcost，且t∈R，
则f（﹣t）＝3|﹣t|+（﹣t）sin（﹣t）+kcos（﹣t）＝3|t|+tsint+kcost＝f（t），
∴f（t）为偶函数，则f函数（t）的图象关于y轴对称，
由偶函数的对称性，若f（t）＝0的零点不为t＝0，则有f（t1）＝0，必有f（﹣t1）＝0，不满足f（t）＝0的唯一性，
∴只能是f（0）＝0，即3|0|+0+kcos0＝0，解得k＝﹣1，故k只有唯一一个，
故选：B．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，根据函数的性质，考查转化思想，函数思想的应用，属于中档题．
12．（2022•上海自主招生）两个圆柱体底面积S1，S2，体积V1，V2，侧面积相等，，求的值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【答案】．
【分析】设出底面半径和高，由题意结合侧面积和体积的关系得到半径的比值，然后计算底面积的比值即可．
【解答】解：设两圆柱的底面半径为r1，r2，高为h1，h2，
由题意可得：2πr1h1＝2πr2h2，即，
且，
从而．
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆柱的侧面积公式，圆柱的体积公式，圆柱的底面积公式等知识，属于基础题．
13．（2022•上海自主招生）双曲线，焦点为A，B，点C在双曲线上，，求△ABC的周长．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用双曲线方程求解a，b，c，结合余弦定理，以及双曲线的定义，转化求解即可．
【解答】解：双曲线，可得a＝2，c＝4，A（﹣4，0），B（4，0），不妨设C在第一象限，
由双曲线的定义可知|AC|﹣|CB|＝2a＝4，可得|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|＝16，
cos∠ACB＝，由余弦定理可得|AB|2＝|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|cos∠ACB，
即64＝|AC|2+|BC|2﹣2|AC||BC|×，解得|AC|＝10，|BC|＝6，|AB|＝8，
则△ABC的周长为：24．
故答案为：24．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理以及双曲线定义的应用，是中档题．
14．（2022•上海自主招生）A＝{1，2，⋯，100}，B＝{3x|x∈A}，C＝{2x|x∈A}，求B∩C中元素个数．
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】集合B中的元素为300以内3的倍数，集合C中的元素为200以内2的倍数，即可解出．
【解答】解：由题意可知，集合B中的元素为300以内3的倍数，
集合C中的元素为200以内2的倍数，
所以B∩C中的元素为200以内6的倍数，
所以元素共有≈33，
即B∩C中共有33个元素．
【点评】本题考查了交集，学生的逻辑思维能力，数学运算能力，属于基础题．
15．（2022•上海自主招生）在中有极大值，则a的取值范围为（　　）
A．（1，2） B．（1，+∞） C．（2，+∞） D．
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；分类法；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】A
【分析】对f（x）求导，根据f（x）在中有极大值，可得方程f'（x）＝0在区间内有解，然后求出a的取值范围即可．
【解答】解：由，得，
∵函数在区间内有极大值，
∴方程 在区间内有解，
即方程在区间内有解，
∴在区间内有解，
故，
则a的取值范围是（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
16．（2022•上海自主招生）⊙O1，⊙O2与y＝kx，x轴正半轴均相切，r1r2＝2，交点P（2，2），则k＝（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数形结合法；直线与圆；数学抽象．
【答案】B
【分析】由题意画出图形，可得两圆交点P（2，2）在直线y＝kx的右下方，求出OP所在直线的斜率，结合选项得答案．
【解答】解：如图，

⊙O1，⊙O2均与直线y＝kx相切，则两圆交点P（2，2）在直线y＝kx的右下方，
而OP所在直线当斜率为1，可得k＞1，
结合选项可知，k＝．
故选：B．
【点评】本题考查圆与圆、直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
17．（2022•上海自主招生）偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）+2f（2），求f（2022）的值．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由偶函数的定义和赋值法，可得f（2）＝0，推得f（x）的周期，计算可得所求值．
【解答】解：偶函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）+2f（2），
令x＝﹣2，则f（2）＝f（﹣2）+2f（2），
即f（2）+f（﹣2）＝0，
又f（﹣2）＝f（2），可得f（2）＝0，
所以f（x+4）＝f（x），
即f（x）的最小正周期为4，
所以f（2022）＝f（4×505+2）＝f（2）＝0．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18．（2022•上海自主招生）sin（2022πx）＝x2实根个数为 　4044　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分类讨论；数形结合法；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【答案】4044．
【分析】设f（x）＝sin（2022πx），g（x）＝x2，求出f（x）的周期，由f（x）的最大值为1，x∈[﹣1，1]，时，0≤g（x）≤1，利用f（x）的周期，得出两者图象交点的个数，从而得出答案．
【解答】解：设f（x）＝sin（2022πx），g（x）＝x2，
∴g（﹣1）＝g（1）＝1，x＞1或x＜﹣1时，g（x）＞1，f（x）≤1，两者无交点，
∴f（x）＝sin（2022πx）的周期为T＝＝，在[0，1]上有1011个周期，在[﹣1，0）上有1011个周期，
f（﹣1）＝sin（﹣2022π）＝0，f（1）＝sin（2022π）＝0，x＝﹣1在f（x）增区间上，x＝1在f（x）增区间上，
因此在[﹣1，1]上的每个区间[﹣1+，﹣1+）（k∈N*，k≤2021）上，
f（x）与g（x）的图象都是两个交点，共4044个交点，即原方程有4044个解．
故答案为：4044．
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
19．（2022•上海自主招生）求方程的根为 　无实数解　．
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】无实数解．
【分析】对于方程，两边平方，利用三角函数的平方关系、倍角公式、三角函数的单调性与值域即可得出结论．
【解答】解：∵方程，
两边平方可得：sin2x+cos2x+|2sinxcosx|＝，
∴1+|sin2x|＝
∴|sin2x|＝﹣1＜0，
因此方程无实数解．
故答案为：无实数解．
【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、三角方程的解法、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
20．（2022•上海自主招生）F1，F2为双曲线两焦点（焦点在x轴），直线AB经过F1且与双曲线左右两支交于点A，B，2AF1＝AB，∠F1AF2＝120°，求双曲线的离心率．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理即可求解结论．
【解答】解：如图，
∵2AF1＝AB，∠F1AF2＝120°，
设2AF1＝AB＝2x，则AF2＝2a+x，BF2＝3x﹣2a，且∠BAF2＝60°，
∴在△ABF2中，AF22＝AB2+BF22，可得（3x﹣2a）2＝（2x）2+（2a+x）2﹣2•2x•（2a+x）×cos60°，①
在△AF1F2中，F1F22＝AF12+AF22，可得（2c）2＝x2+（2a+x）2﹣2•x•（2a+x）×cos120°，②
可得：x＝2a且4c2＝3x2+4a2+6ax，
代入可得c＝a，
故离心率e＝．
故答案为：．

【点评】本题主要考查双曲线的定义应用以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
21．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，f（f（x））+1＝0根的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，求出f（x）的表达式，利用换元法转化为两个函数交点个数问题进行求解即可．
【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x+1）﹣x+（x﹣2）＝﹣x﹣3，
当﹣1＜x＜0时，f（x）＝x+1﹣x+（x﹣2）＝x﹣1，
当0≤x≤2时，f（x）＝x+1+x+（x﹣2）＝3x﹣1，
当x＞2时，f（x）＝x+1+x﹣（x﹣2）＝x+3，
作出f（x）的图象如图：
设t＝f（x），
由f（t）+1＝0，得f（t）＝﹣1，
得t＝0或t＝﹣2，
当t＝0时，f（x）＝0，有两个根，
当t＝﹣2时，f（x）＝﹣2，有1个根，
综上f（f（x））+1＝0的根的个数为3个，
故选：C．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据绝对值的意义求出函数f（x）的表达式，利用换元法转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键，是中档题．
22．（2022•上海自主招生）△ABC，M为平面上一点，＝（　　）
A．3 B．8 C． D．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有
【专题】对应思想；数形结合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】延长AM交BC于G，则＝λ+（1﹣λ），因为A，M，G三点共线，所以，即＝t（），所以＝，则，故且t＝，又＝，故，所以＝，，从而可得面积之比．
【解答】解：如图，延长AM交BC于G，则＝λ+（1﹣λ），因为A，M，G三点共线，所以，
即＝t（），
所以＝，则，故且t＝，
又＝，故，
所以＝，，
所以S△BGM＝S△ABM＝S△ABM，
所以＝3．
故选：A．

【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于中档题．
23．（2022•上海自主招生）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）
A．4 B．5 C．8 D．9
【考点】集合中元素个数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；集合．
【答案】D
【分析】集合A的元素代表圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即可得到结论
【解答】解：根据题意：A＝{（x，y）|x2+y2≤2，x，y∈Z}＝{（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1）}共9个元素，是平面直角坐标系中9个点．
故选：D．
【点评】本题考查集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合A的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题．
24．（2022•上海自主招生）＝（　　）
A． B． C．2 D．1
【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】D
【分析】由两角差的正弦公式、正切公式，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求值．
【解答】解：tan15°+2sin15°＝tan（45°﹣30°）+2sin（45°﹣30°）
＝+2×＝2﹣+﹣1＝1．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
25．（2022•上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（　　）
A．无数 B．0 C．2 D．3
【考点】点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】A
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为，

所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1，
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF是点P到直线A1D1的距离，
所以，
同理点P到直线AB、CC1的距离也是，
所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：A．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法，考查了推理论证能力，属于中档题．
26．（2022•上海自主招生）a＞b＞0，则最小值为（　　）
A． B． C． D．4
【考点】等式与不等式的性质．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可解．
【解答】解：∵a＞b＞0，则a＝≥2＝3，
当且仅当，即a＝，b＝时取等号．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式相关知识，属于基础题．
27．（2022•上海自主招生）多项式f（x），g（x），问两命题“f（x）是g（x）因式”，“f（f（x））是g（g（x））因式”充分必要关系．
【考点】充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：不充分反例：设f（x）＝x﹣1，g（x）＝x（x﹣1），
故f（f（x））＝x﹣2，g（g（x））＝x（x﹣1）（x2﹣x﹣1），故不充分，
不必要反例：设f（x）＝x，g（x）＝x（x﹣1），
故f（f（x））＝x+1，g（g（x））＝x（x+1）（x2+x+1），故不必要．
∴“f（x）是g（x）因式”是“f（f（x））是g（g（x））因式”的既不充分也不必要条件．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
28．（2022•上海自主招生）等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（　　）
A．[0，1]与{E|0≤E≤1} B．[0，1]与{a，b，c，d}
C．（0，1）与[0，1] D．{1，2，3}与{a，b，c，d}
【考点】集合的含义．菁优网版权所有
【专题】整体思想；定义法；集合；逻辑推理．
【答案】A
【分析】根据等势集合的定义，即可解出．
【解答】解：根据等势集合的定义可判断选项A正确，
选项B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查了等势集合的定义，学生的逻辑推理能力，属于基础题．
29．（2022•上海自主招生）f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，对∀x＞0，f（x）≤0，求整数m的最小值．
【考点】利用导数研究函数的最值；不等式恒成立的问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】结合函数解析式的特征分别考查m＝0和m＝1两种情况即可求得整数m的最小值．
【解答】解：当m＝0时，f（x）＝lnx+x+1，此时f（1）＞0不合题意，
当m＝1时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x+1，
，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
函数的最大值为，
即m＝1满足题意，
下面证明当m≥1时，f（x）≤0对x＞0恒成立，
由于f（x）≤（x﹣1）﹣mx2+（1﹣2m）x+1＝﹣mx2+（1﹣2m）x，
其对称轴为，
故当x＞0时，f（x）＜0，
综上可得，整数m的最小值为1．
【点评】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与函数的最值等知识，属于中等题．
30．（2022•上海自主招生）数列{an}，a1＝2，a2＝6，an+2﹣2an+1+an＝2，求．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；构造法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】．
【分析】变形可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2，设bn＝an+1﹣an，可得数列{bn}是首项为4，公差为2的等差数列，根据等差数列的通项公式求得bn，再利用累加法求得an，然后由裂项求和法，得解．
【解答】解：因为an+2﹣2an+1+an＝2，所以（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2，
设bn＝an+1﹣an，则bn+1﹣bn＝2，且b1＝a2﹣a1＝6﹣2＝4，
所以数列{bn}是首项为4，公差为2的等差数列，
所以bn＝4+（n﹣1）×2＝2（n+1），
所以an+1﹣an＝2（n+1），
所以an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+（6﹣2）+2
＝2[n+（n﹣1）+…+2+1]＝2×＝n（n+1），
所以＝＝﹣，
所以＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．
【点评】本题考查数列的求和，根据数列递推式，构造新数列，熟练掌握累加法，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
31．（2022•上海自主招生）椭圆，弦AB中垂线过，求离心率e的取值范围．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（，1）．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，则，整理化简得x1+x2＝，再由﹣2a＜x1+x2＜2a即可求出结果．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，令b2＝9，
则，即，
∴＝，
∴x1+x2＝，
∵﹣a≤x1≤a，﹣a≤x2≤a，
∴﹣2a＜x1+x2＜2a，
则＞﹣2a，即，
∴＞，又0＜e＜1，
∴，
即离心率e的取值范围（，1）．
【点评】本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题．
32．（2022•上海自主招生）椭圆的焦点为F1，F2，点P在上，当∠F1PF2最大时，则＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【答案】A
【分析】由平面几何知识可得当过F1与F2的圆与直线相切时，切点P满足∠F1PF2最大，此时圆心A在y轴上，设A（0，t），则圆的半径r＝AP＝AF2，又∠BPF2＝∠BF1P，从而得△∠BPF2∽△BF1P，从而得＝＝，再计算即可得解．
【解答】解：由题意可得F2（，0），
且直线与x轴的交点B为（，0），
由平面几何知识可得：
当过F1与F2的圆与直线相切时，切点P满足∠F1PF2最大，
此时圆心A在y轴上，设A（0，t），则圆的半径r＝AP＝AF2，
又∠BPF2＝∠BF1P，∴△BPF2∽△BF1P，
∴＝＝
＝＝＝．
故选：A．

【点评】本题考查椭圆的性质，平面几何知识，属中档题．
33．（2022•上海自主招生）△ABC中，A＝3B＝9C，cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】B
【分析】运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和，即可求解．
【解答】解：∵△ABC中，A＝3B＝9C，C＝，
∴cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA＝[cos（A+B）+cos（A﹣B）+cos（C+B）+cos（B﹣C）+cos（A+C）+cos（A﹣C）]
＝[cos2C+cos4C+cos6C+cos8C+cos10C+cos12C]＝[cos+cos+cos+cos+cos+cos]，
又sincos＝[sin﹣sin]，
sincos＝[sin﹣sin]，
sincos＝[sin﹣sin]，
sincos＝[sin﹣sin]，
sincos＝[sin﹣sin]，
sincos＝[sin﹣sin]，
上述各式相加得，cos+cos+cos+cos+cos+cos＝﹣，
即有cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA＝×（﹣）＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了三角变换求值，对角为等差数列的余弦和一般乘以角的正弦累加即可，是中档题．
34．（2022•上海自主招生）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（　　）个
A．55 B．112 C．156 D．120
【考点】计数原理的应用；弧长公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；对应思想；分析法；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】B
【分析】根据题意，用排除法分析，先利用组合数公式计算其中三角形的数目，排除其中直角三角形的数目，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，
在其中任取3个点，可以组成C＝120个三角形，
其中没有锐角三角形，直角三角形有8个，（包含AB两点在内8个三角形），
则钝角三角形有120﹣8＝112个．
故选：B．

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及圆周角定理，属于基础题．
35．（2022•上海自主招生），求的值．
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】3
【分析】易知an+1＝an（an+1），可得＝﹣+，再采用裂项求和法，推出＝4﹣，然后求得0＜＜1，即可得解．
【解答】解：因为an+1＝an2+an＝an（an+1），
所以＝＝﹣，即＝﹣+，
所以＝++…+
＝（﹣+）+（﹣+）+…+（﹣+）
＝﹣＝4﹣，
因为an+1＝an2+an＞an，所以＜，且a5＞1，
所以a2023＞1，所以0＜＜1，
所以＝[4﹣]＝3．
【点评】本题考查数列的求和，熟练掌握裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
36．（2022•上海自主招生）f（x）＝|x|+2x+1+3x的反函数为g（x），（g（x2））2＝1的根有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】反函数；函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由（g（x2））2＝1求得g（x2）＝±1，根据反函数的定义列方程求解即可．
【解答】解：因为（g（x2））2＝1，所以g（x2）＝±1，
当g（x2）＝1时，f（1）＝1+2+1+3＝7，令x2＝7，解得x＝±；
当g（x2）＝﹣1时，f（﹣1）＝1﹣2+1+3﹣1＝，令x2＝，解得x＝±；
所以方程（g（x2））2＝1的根有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了反函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
37．（2022•上海自主招生），f（x）在（3，f（3））处切线方程为（　　）
A．2x+y+9＝0 B．2x+y﹣9＝0 C．﹣2x+y+9＝0 D．﹣2x+y﹣9＝0
【考点】导数及其几何意义；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出f'（3）＝﹣2，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
【解答】解：∵，令△x＝x﹣2，

∴＝，解得f'（3）＝﹣2，
∴f（x）在（3，f（3））处切线方程为y﹣3＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣9＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．

考点卡片
1．集合的含义
【知识点的认识】
1、集合的含义：
集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．
2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出集合的每一个元素．
（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）
用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．

【典型例题分析】
题型一：判断能否构成集合
典例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．
（1）小于5的自然数；
（2）某班所有个子高的同学；
（3）不等式2x+1＞7的整数解．
分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．
解答：（1）小于5的自然数为0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．
（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．
（3）由2x+1＞7得x＞3，因为x为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．
点评：本题主要考查集合的含义和表示，利用元素的确定性，互异性是判断元素能否构成集合的条件，比较基础．

典例2：下列集合中表示同一集合的是（　　）
A．M＝{（3，2）}N＝{3，2}B．M＝{（x，y）|x+y＝1}N＝{y|x+y＝1}
C．M＝{（4，5）}N＝{（5，4）}D．M＝{2，1}N＝{1，2}
分析：利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断．
解答：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；
B、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；
C、M＝{（4，5）} 集合M的元素是点（4，5），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误；
D、M＝{2，1}，N＝{1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；
故选D．
点评：此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．

题型二：集合表示的含义
典例3：下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．
分析：根据集合的代表元素，确定集合元素的性质，A为数集，B为数集，C为点集．
解答：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；
B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；
C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．
点评：本题的考点用描正确理解用描述法表示集合的含义，要通过代表元素的特点正确理解集合元素的构成．

【解题方法点拨】
研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清楚其元素表示的意义是什么．
2．集合中元素个数的最值
【知识点的认识】
【命题方向】
【解题方法点拨】
求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．
3．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．

【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．

【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
4．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．

【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．

【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
5．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
6．等式与不等式的性质
【知识点的认识】
1．不等式的基本性质
（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：
①a＞b⇔a﹣b＞0；
②a＜b⇔a﹣b＜0；
③a＝b⇔a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔b＜a；
②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；
⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧开方法则：a＞b＞0⇒（ n∈N，且n＞1）．
7．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
8．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
9．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
10．弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．

【命题方向】
已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（　　）
A．2 B． C．2sin1 D．sin2
【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．
解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交 于D，
∠AOD＝∠BOD＝1，AC＝AB＝1，
Rt△AOC中，AO＝＝，
从而弧长为α•r＝，
故选B．
【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．

【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．

11．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
12．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
13．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
14．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是　π　．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cos2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
15．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　
解：，，，，
∴原式＝．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
16．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
17．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
18．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝．

2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
19．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
20．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
21．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．

2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．

【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．

题型二：求切线方程
典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．

【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
22．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a

2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：


3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
23．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
24．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
25．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
26．不等式恒成立的问题
v．
27．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
28．数量积表示两个向量的夹角
【知识点的知识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ＝．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【典型例题分析】
例：复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　60°　．
解：＝＝＝＝＝cos60°+isin60°．
∴复数z＝+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．

【考点点评】
这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．
29．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
30．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
31．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征

根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥＝Sh．

32．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
33．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


34．圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
1．圆与圆的位置关系

2．圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
35．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
36．直线与椭圆的综合
v．
37．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
38．计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
共同点
都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事
n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
【解题方法】
1．计数原理的应用
（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；
（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．
2．解题步骤
（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；
（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
（4）作答．

【命题方向】
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．
常见考题类型：
（1）映射问题
（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）
（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）
39．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
40．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．

二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）

三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．

四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）

五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
41．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
42．直线的参数方程
【知识点的认识】
直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
直线
y﹣y0＝tan α（x﹣x0）
（t为参数）
圆
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2
（θ为参数）
椭圆
+＝1（a＞b＞0）
（θ为参数）
双曲线
﹣＝1
（θ为参数）
抛物线
y2＝2px（p＞0）
（t为参数）
【解题思路点拨】
1．选取参数时的一般原则是：
（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；
（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；
（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．
2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：
（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；
（2）选择适当的参数；
（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；
（4）证明（常常省略）．
3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；
（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；
（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝tM＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP＝．
4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．
5．参数方程与普通方程互化时，要注意：
（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；
（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；
（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．
6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．
7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．
8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．
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