2022年山西省强基计划模拟试卷（一）

这是一份2022年山西省强基计划模拟试卷（一），共40页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2022年山西省强基计划模拟试卷（一）
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（x）＝f（2﹣x）；③当x∈[0，1]时，；④g（x）＝f（4x）．若过点（﹣1，0）的直线l与函数g（x）的图象在x∈[0，2]上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，1） D．
2．（6分）（2022•山西自主招生）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l1∥l2，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为x（0＜x＜π），y＝EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f（x）的图像大致是（　　）

A． B．
C． D．
3．（6分）（2022•山西自主招生）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，…．下列说法错误的是（　　）

A．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式成立的n的最大值为4
D．数列{bn}的前n项和Sn＜4
4．（6分）（2022•山西自主招生）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　）

A．2+2 B． C． D．
5．（6分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（　　）
A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
二.填空题：（每小题9分，共54分）
6．（9分）（2022•山西自主招生）已知m＞0，若存在实数x∈[1，+∞）使不等式成立m•2mx+1﹣logx≤0成立，则m的最大值为 　 　．
7．（9分）（2022•山西自主招生）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑•波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，∠A＝120°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若△O1O2O3的面积为，则△ABC的周长的取值范围为 　 　．
8．（9分）（2022•山西自主招生）设整数数列a1，a2，⋯，a10，满足a10＝3a1，a2+a8＝2a5，且ai+1∈{1+ai，2+ai}，i＝1，2，⋯，9，则这样的数列的个数为 　 　．
9．（9分）（2022•山西自主招生）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝，若沿对角线BD将△BCD折起，使得AC＝3，则A，B，C，D四点所在球的表面积为 　 　．
10．（9分）（2022•山西自主招生）已知点P为抛物线y2＝4x上一动点，A（1，0），B（3，0），则∠APB的最大值为（　　）
A． B． C． D．
三、（20分）
11．（20分）（2022•山西自主招生）已知x、y、z都是非负实数，且x+y+z＝1．求证：x（1﹣2x）（1﹣3x）+y（1﹣2y）（1﹣3y）+z（1﹣2z）（1﹣3z）≥0，并确定等号成立的条件．
四、（20分）
12．（20分）（2022•山西自主招生）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2+（a+2002）x+a＝0的两根皆为整数．
（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3+（﹣a2+2a+2）x﹣2a2﹣2a＝0有三个整数根．
五、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）试求正数r的最大值，使得点集T＝{（x，y）|x、y∈R，且x2+（y﹣7）2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{（x，y）|x、y∈R，且对任何θ∈R，都有cos2θ+xcosθ+y≥0}之中．
附加题（150分）一、（50分）
14．（2022•山西自主招生）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠﹣c，z是复数，且z2﹣（a﹣c）z﹣b＝0．求证：的充分必要条件是（a﹣c）2+4b≤0．
二、（50分）
15．（2022•山西自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交于点K．求证：
（1）AK⊥BC；
（2），其中S△ABC表示△ABC的面积．

三、（50分）
16．（2022•山西自主招生）给定一个正整数n，设n个实数a1，a2，…，an满足下列n个方程：．确定和式的值（写成关于n的最简式子）．

2022年山西省强基计划模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对于任意x∈R，f（x）＝f（2﹣x）；③当x∈[0，1]时，；④g（x）＝f（4x）．若过点（﹣1，0）的直线l与函数g（x）的图象在x∈[0，2]上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是（　　）
A． B． C．（0，1） D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【答案】A
【分析】结合①②可知f（x）是周期为2的函数，再结合④可知g（x）是周期为的函数，结合③作出g（x）在[0，2]上的图像，然后利用数形结合即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）的图象关于y轴对称，所以f（x）为偶函数，即f（﹣x）＝f（x），
又因为对于任意x∈R，f（x）＝f（2﹣x），所以f（x）＝f（2﹣x）＝f（﹣x），
从而f（x）＝f（x+2），即f（x）是周期为2的函数，
因为g（x）＝f（4x），则g（x）图像是f（x）的图像的横坐标缩短为原来的得到，
故g（x）也是偶函数，且周期为2×＝，
结合当x∈[0，1]时，，可作出g（x）在[0，2]的图像以及直线l的图像，如下图所示：

当x＝时，易知g（x）＝，即A（，），则直线l的斜率＝，
过点（﹣1，0）的直线l与函数g（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，
则只需0＜k＜kAM＝，
即直线l斜率k的取值范围是（0，）．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、周期性及图象的伸缩变化，也考查了数形结合思想，关键点是作出图象，属于中档题．
2．（6分）（2022•山西自主招生）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l1∥l2，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为x（0＜x＜π），y＝EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f（x）的图像大致是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出函数y＝f（x）的解析式，再借助函数性质分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，正△ABC的高为1，则其边长，
如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，
因OF＝1，弧FG的长为x（0＜x＜π），则∠FOG＝x，又l//l1//l2，即有，
于是得，，，
因此，，
即，0＜x＜π，显然f（x）在（0，π）上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，
而，C选项不满足，D选项符合要求，
故选：D．

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的解析式的求法，属于中档题．
3．（6分）（2022•山西自主招生）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示．如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形ABCD边长为a1，后续各正方形边长依次为a2，a3，…，an，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为b1，后续各直角三角形面积依次为b2，b3，…，bn，…．下列说法错误的是（　　）

A．从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和为
B．
C．使得不等式成立的n的最大值为4
D．数列{bn}的前n项和Sn＜4
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】C
【分析】找到规律，得到，推导出等比数列，求出通项公式，判断B选项，进而得到从正方形ABCD开始，连续3个正方形的面积之和，判断A选项，得到{bn}的通项公式，解不等式，判断C选项，利用等比数列前n项和公式进行判断D选项．
【解答】解：由题可得，，•••，
，
则，
所以数列{an}是以4为首项，为公比的等比数列，则，显然B正确；
由题意可得：，即，
于是，为等比数列，
对A：连续三个正方形面积之和，A正确；
对C：令，则，而，错误；
对D：，D正确．
故选：C．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（6分）（2022•山西自主招生）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（　　）

A．2+2 B． C． D．
【考点】平面的基本性质及推论．菁优网版权所有
【专题】计算题；分割补形法；空间位置关系与距离；立体几何；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】通过扩大几何体，先找到截面，由已知利用勾股定理、重心的相关知识求得边长得答案．
【解答】解：如图将三棱柱ABC﹣A1B1C1扩大为如图的正三棱柱，
其中AA''＝2AA1＝4，AH＝2AB＝4，
则点E为AH'的中点，点F为AC''的中点．设H'F∩B1C1＝I，
所以EF∥H'C''，
所以过点A，E，F的截面为AEIF，
因为△ABE和△AA1F均为两直角边分别为2，1的直角三角形，
∴AE＝AF＝＝，
在△A1H'D'中，如图：
连接HF，交B1C1于I，连接H'C1，
则I为三角形A1H'C1的重心，
所以B1I＝＝，FI＝，
因为H'C1＝4×sin60°＝2，C1F＝1，所以FI＝＝＝．
又因为B1E⊥平面A1B1C1，
所以三角形EB1I为直角三角形，且EB1＝1，B1I＝，所以EI＝＝，
所以，截面的周长为：2+．
故选：B．


【点评】本题考查了柱体的结构特征，考查了空间距离的求法，是难题．
5．（6分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（　　）
A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1
C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列；概率与统计；数学运算．
【答案】D
【分析】根据题意，分别分析出ξn当n分别取2，3，4，5时所对应的值，以及每个ξn的对应的概率，即可判断出正确选项．
【解答】解：依题意a2＝1或a2＝﹣1，且P（a2＝1）＝P（a2＝﹣1）＝，
ξ3＝a3的可能取值为a2+1＝2，a2﹣1＝0，a2+1＝0，a2﹣1＝﹣2，
P（ξ3＝2）＝×＝，
，P（ξ3＝0）＝2×＝，
P（ξ3＝﹣2）＝＝，
E（ξ3）＝2×+0×+（﹣2）×＝0，
由此排除A和B；
ξ4＝a4的可能取值为a3+1＝3，a3﹣1＝1，a3+1＝﹣1，a3﹣1＝﹣3，
P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，
P（ξ4＝1）＝＝，
P（ξ4＝﹣1）＝＝，
P（ξ4＝﹣3）＝P（ξ3＝﹣2）＝．．
ξ5＝a5的可能取值为4，2，0，﹣2，﹣4．
P（ξ5＝0）＝＝，
P（ξ5＝2）＝＝，
所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．
因为P（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），
故选：D．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二.填空题：（每小题9分，共54分）
6．（9分）（2022•山西自主招生）已知m＞0，若存在实数x∈[1，+∞）使不等式成立m•2mx+1﹣logx≤0成立，则m的最大值为 　　．
【考点】不等式恒成立的问题．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】．
【分析】画出y＝ax和y＝logax的图象，结合图象可知，m取得最大值时，y＝ax和y＝logax相切，利用导数的几何意义得答案．
【解答】解：依题意m＞0，存在实数x∈[1，+∞）使不等式m•2mx+1﹣logx≤0成立，即m•2mx•2﹣2log2x≤0，亦即，，令a＝2m，a＞1，则存在实数x∈[1，+∞）使不等式ax﹣logax≤0，即ax≤logax成立，
作出y＝ax和y＝logax的图象如图所示，
结合图象可知，m取得最大值时，y＝ax和y＝logax相切，
由于y＝ax和y＝logax关于直线y＝x对称，
所以m取得最大值时，y＝ax与y＝logax的相切于直线y＝x（切点相同），如图所示，
由y＝logax可知，设切点为（t，logat），则斜率为，故①，
由y＝ax可知y′＝axlna，设切点为（t，at），则斜率为atlna＝1，
则，解得t＝e，
将t＝e代入①得，即，
所以，解得．
故答案为：．

【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及数形结合思想，属于难题．
7．（9分）（2022•山西自主招生）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑•波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在△ABC中，∠A＝120°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若△O1O2O3的面积为，则△ABC的周长的取值范围为 　　．
【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；分析法；解三角形；数学运算．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示图形，把几何问题转化为代数问题解答，即可求出△ABC 周长的取值范围．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：

设AB＝x，AC＝y，∠BAC＝120°，
所以以AC、AB为边作等边三角形，其中一边在BA、CA的延长线上；
由；所以，
同理，；

所以等边△O1O2O3的面积为，
解得（x+y）2＝24，所以；
在△ABC中，由∠BAC＝120°，
所以，
所以△ABC的周长为，
又（x+y）2＝x2+y2+2xy＝24，且x2+y2⩾2xy，
所以4xy≤24，解得xy≤6，当且仅当时取“＝”；
又x＞0，y＞0，所以0＜xy≤6，
，
即△ABC的周长最小值为．
故答案为：．

【点评】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（9分）（2022•山西自主招生）设整数数列a1，a2，⋯，a10，满足a10＝3a1，a2+a8＝2a5，且ai+1∈{1+ai，2+ai}，i＝1，2，⋯，9，则这样的数列的个数为 　80　．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【答案】80．
【分析】略
【解答】解：设bi＝ai+1﹣ai∈{1，2}（i＝1，2，⋯，9），则有
2a1＝a10﹣a1＝b1+b2+•••+b9，①，
b2+b3+b4＝a5﹣a2＝a8﹣a5＝b5+b6+b7，②，
用t表示b2，b3，b4中值为2的项数，
由②知，t也是b5，b6，b7中值为2的项数，其中t∈{1，2，3}，
因此b2，b3，•••b7的取法为（C30）2+（C31）2+（C32）2+（C33）2＝20，
取定b2，b3，•••b7后，任意指定b8，b9的值有22＝4种方式，
最后由①知，应取bi∈{1，2}使得b1+b2+•••+b9为偶数，
这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列b1，b2•••b9唯一对应一个满足条件的数列，a1，a2，⋯，a10．
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4＝80．
【点评】略
9．（9分）（2022•山西自主招生）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝，若沿对角线BD将△BCD折起，使得AC＝3，则A，B，C，D四点所在球的表面积为 　28π　．
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】28π．
【分析】由题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．
【解答】解：如图所示，取BD的中点F，连接AF，CF，则AF＝CF＝3，
∵AC＝3，∴cos，
∴∠AFC＝，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E在CF的延长线上，
且∠AFE＝，
∴AE＝AF•sin＝，EF＝＝，
设四面体ABCD外接球的球心为O，三角形BCD的外心为O′，OO′＝x，
由O′B＝＝2，O′F＝＝1，
由勾股定理可得R2＝x2+4＝（+1）2+（﹣x）2，
解得R2＝7，
∴四面体的外接球的表面积为4πR2＝28π，
故答案为：28π．

【点评】本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
10．（9分）（2022•山西自主招生）已知点P为抛物线y2＝4x上一动点，A（1，0），B（3，0），则∠APB的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；演绎法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】设出点的坐标，结合抛物线的定义和余弦定理得到cos∠APB的表达式，然后利用导数求得其最小值即可确定∠APB的最大值．
【解答】解：设抛物线上点的坐标为P（4m2，4m）（m＞0），
由于点A为抛物线的焦点，由抛物线的定义可知：|PA|＝4m2+1，
由两点之间距离公式可得：，
在△ABP中，由余弦定理可得：

＝
＝
＝，
考查函数：f（m）＝256m6+96m2+64+9m﹣2（m＞0），
则，
很明显导函数单调递增，且，
故函数f（m）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函数的最小值为，
从而可知．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线中的最值问题，余弦定理的应用，利用导数研究函数最值的方法等知识，属于中等题．
三、（20分）
11．（20分）（2022•山西自主招生）已知x、y、z都是非负实数，且x+y+z＝1．求证：x（1﹣2x）（1﹣3x）+y（1﹣2y）（1﹣3y）+z（1﹣2z）（1﹣3z）≥0，并确定等号成立的条件．
【考点】不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；不等式；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】先对左边进行化简，再利用基本不等式进行证明即可．
【解答】解：左式＝x（1﹣5x+6x2）+y（1﹣5y+6y2）+z（1﹣5z+6z2）
＝1﹣5（x2+y2+z2）+6（x3+y3+z3）
＝1﹣5（x2+y2+z2）+6[3xyz+（x+y+z）（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx）]
＝1+x2+y2+z2﹣6（xy+yz+zx）+18xyz
＝1+（x+y+z）2﹣8（xy+yz+zx）+18xyz
＝2﹣8（xy+yz+zx）+18xyz
＝2﹣8xy﹣8z（x+y）+18zxy
＝2﹣8z（1﹣z）+2xy（9z﹣4）．
（因为x+y+z＝1，x+y＝1﹣z）
不妨设z为x、y、z中的最小者，则．
又∵，
∴左式．
故只须证明下列不等式：．
它等价于．
化简后变为，这显然成立．
因此，原不等式得证，且等号成立的条件为
或或或．
【点评】本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．
四、（20分）
12．（20分）（2022•山西自主招生）（1）求出所有的实数a，使得关于x的方程x2+（a+2002）x+a＝0的两根皆为整数．
（2）试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3+（﹣a2+2a+2）x﹣2a2﹣2a＝0有三个整数根．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【答案】（1）a＝﹣4000，0，﹣2664，﹣1336，﹣2064，﹣1936，﹣2040，﹣1960．
（2）a＝﹣3，﹣1，9，11．
【分析】（1）设两个整数根为x1、x2，则，进一步可得x1+x2+x1x2＝﹣2002，即（x1+1）（x2+1）＝﹣2001，然后求解即可；
（2）将原式变形为（x﹣a）（x2+ax+2a+2）＝0，所以x2+ax+2a+2＝0有两个整数根，令Δ＝a2﹣8（a+1）＝t2，则有（a﹣4+t）（a﹣4﹣t）＝23×3，即•＝2×3，然后分别求解即可．
【解答】解：（1）设两个整数根为x1、x2，则，
两式相加得x1+x2+x1x2＝﹣2002．
有（x1+1）（x2+1）＝﹣2001＝﹣3×23×29．
不妨设x1≤x2，则x1+1≤x2+1．再由上式可知x1+1＜0，x1+1＞0．
于是，＝；；；；；；；．
所以，﹣a﹣2000＝x1+x2+2＝2000，﹣2000，664，﹣664，64，﹣64，40，﹣40，
即a＝﹣4000，0，﹣2664，﹣1336，﹣2064，﹣1936，﹣2040，﹣1960．
（2）经观察，发现有一个根为x＝a，故可分解得（x﹣a）（x2+ax+2a+2）＝0．
从而，a为整数，且x2+ax+2a+2＝0有两个整数根．
令判别式Δ＝a2﹣8（a+1）＝t2（t为非负整数），则（a﹣4）2＝t2+24，
于是有（a﹣4+t）（a﹣4﹣t）＝23×3．
又由于a﹣4+t与a﹣4﹣t的奇偶性相同，
所以，a﹣4+t与a﹣4﹣t同为偶数，且•＝2×3，≥．
故；；；．
解得；；；．
因此，a＝﹣3，﹣1，9，11．
【点评】本题考查了方程的解，也考查了学生分析问题的能力和分类讨论思想，属于中档题．
五、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）试求正数r的最大值，使得点集T＝{（x，y）|x、y∈R，且x2+（y﹣7）2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{（x，y）|x、y∈R，且对任何θ∈R，都有cos2θ+xcosθ+y≥0}之中．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；不等式；逻辑推理．
【答案】4．
【分析】根据题意可得半径为r的圆的圆心（0，7）到直线y＝﹣xcosθ﹣cos2θ的距离为，r应满足r≤，利用基本不等式，即可得出答案．
【解答】解：S集即为由直线y＝﹣xcosθ﹣cos2θ确定的上半平面的交集（θ不同，相对应的上半平面一般也不同，但所有的这种上半平面有公共部分即交集；另外，可以规定上半平面也包含可这条直线），而半径为r的圆的圆心（0，7）到直线y＝﹣xcosθ﹣cos2θ的距离为，
由题意知，r应满足r≤，
故r的最大值为W＝的最小值，
而W＝＝＝2+≥2＝4，
等号成立当且仅当2＝，即cosθ＝±1时成立，
所以rmax＝4．
【点评】本题考查函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．
附加题（150分）一、（50分）
14．（2022•山西自主招生）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠﹣c，z是复数，且z2﹣（a﹣c）z﹣b＝0．求证：的充分必要条件是（a﹣c）2+4b≤0．
【考点】复数的运算；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】证明题；整体思想；反证法；逻辑推理；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】首先由（a﹣c）2+4b≤0求得方程的复数根，推理计算可证明充分性；利用反证法可证明必要性．
【解答】证明：若（a﹣c）2+4b≤0，则由求根公式得．
所以，
＝
＝
＝
＝
＝，
充分性得证．
若，假设（a﹣c）2+4b＞0，
则z2﹣（a﹣c）z﹣b＝0有两个不相等的实根，
从而，或﹣1，即z＝a或，
当把z＝a代入z2﹣（a﹣c）z﹣b＝0时，得到ac﹣b＝0，与条件b≠ac矛盾；
当把代入z2﹣（a﹣c）z﹣b＝0时，可得到（b﹣ac）[（a﹣c）2+4b]＝0，
与条件b≠ac及前而的假设（a﹣c）2+4b＞0矛盾，
因此，都不是方程z2﹣（a﹣c）z﹣b＝0的根，这就产生了矛盾．
故必有（a﹣c）2+4b≤0．必要性得证．
【点评】本题考查了利用反证法证明不等式的成立问题，属于中档题．
二、（50分）
15．（2022•山西自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交于点K．求证：
（1）AK⊥BC；
（2），其中S△ABC表示△ABC的面积．

【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】证明题；转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．
【分析】（1）显然PD＝DQ，AP＝AQ，不妨设AB≥AC，则∠ADC≤∠ADB，∠ADC为直角或锐角，作AE⊥BC，E为垂足，E在线段DC上，易知A、P、D、E四点共圆，且A，D、E、Q也四点共圆，得到①②③④，即可得证；
（2）设高线AE交DQ于点F，则AE≥AF＞AQ，根据，得到，又CD＞DQ＝PD，得到α＜β，即可得证．
【解答】解：（1）证明：显然PD＝DQ，AP＝AQ，
不妨设AB≥AC，则∠ADC≤∠ADB，∠ADC为直角或锐角，
如图，作AE⊥BC，E为垂足，E在线段DC上，

易知A、P、D、E四点共圆，且A，D、E、Q也四点共圆，
则BP⋅BA＝BD⋅BE，CQ⋅CA＝CD⋅CE，故，①
∵AD为∠BAC的平分线，∴，②
由①、②得，即，③
又∵AP＝AQ，∴，即，④
由④及Ceva定理的逆定理知AE、BQ、CP三线共点，
即BQ与CP的交点K在高线AE上，而AE⊥BC，故AK⊥BC；
（2）如图，设高线AE交DQ于点F，则AE≥AF＞AQ，

∵，∴，
∵CD＞DQ＝PD，∴α＜β，
又∵γ+β＝90°＝δ+α，∴γ＜δ，∴AP＞AK，
综上，AK＜．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，属于难题．
三、（50分）
16．（2022•山西自主招生）给定一个正整数n，设n个实数a1，a2，…，an满足下列n个方程：．确定和式的值（写成关于n的最简式子）．
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】．
【分析】由题设知，从而，有①，①的两边同乘以后仍然是恒等式，②，代入计算即可．
【解答】解：由题设知，
其中P（x）的次数不超过n，对x＝1，2，3，…，n成立，
所以（k为待定的常数），
从而，有，①
①的两边同乘以后仍然是恒等式，
，②
这是因为②的次数不超过n，且有x＝1，2，3，…，n这n个根，
除此之外，还有无穷多个根（因为除去之外的数皆为其根，这是由于①为恒等式），
取得，
即，
于是，
再把k代入式①，并取得

＝，
故．
【点评】本题考查了数列的求和，属于难题．

考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
5．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
6．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
7．不等式恒成立的问题
v．
8．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
9．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

10．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
11．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．

2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
12．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

13．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
14．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
15．相似三角形的性质
【知识点的知识】
相似三角形的性质
性质定理：
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方；
④相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方．
16．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：

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