2022年山西省强基计划模拟试卷（二）

这是一份2022年山西省强基计划模拟试卷（二），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022年山西省强基计划模拟试卷（二）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知A＝{y|y＝sin（ωn+φ），n∈Z}，若存在φ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（　　）
A． B． C． D．
2．（6分）（2022•山西自主招生）已知（1+x）2021＝a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a2020+2a2019+3a2018+4a2017+⋯+2020a1+2021a0＝（　　）
A．2021×22021 B．2021×22020 C．2020×22021 D．2020×22020
3．（6分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足，满足a1∈（0，1），a1+a2+⋯+a2021＝2020，则下列成立的是（　　）
A． B．
C． D．以上均有可能
4．（6分）（2022•山西自主招生）已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，若α＞β，则下列叙述正确的是（　　）
A．∠APC＞∠BPD
B．∠APC＜∠BPD
C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD}
D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD}
5．（6分）（2022•山西自主招生）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线x＝3与抛物线C交于A，B两点，|AF|＝4，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（　　）
A．[﹣，9] B．[﹣3，21] C．[，21] D．[3，27]
6．（6分）（2022•山西自主招生）已知，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．（9分）（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝ex﹣1+xlnx﹣x2﹣ax满足f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是 　 　．
8．（9分）（2022•山西自主招生）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设DF＝2AF．若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为 　 　．

9．（9分）（2022•山西自主招生）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝有下列结论：
①函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增；
②函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数f（x）在[2k﹣1，2k]（k∈N*）上的最大值为ak，则数列{an}的前7项和为．
其中所有正确结论的编号是 　 　．
10．（9分）（2022•山西自主招生）空间四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AC＝4，直线BD与AC所成的角为45°，则该四面体的体积为 　 　．
11．（9分）（2022•山西自主招生）已知点A在抛物线y2＝3x上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线的焦点为F，若∠BAF＝30°，则A的坐标为　 　．
12．（9分）（2022•山西自主招生）已知直线y＝m与函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A，B，C满足2|AB|＝|BC|，则实数m＝　 　．
三、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）设p＞0，当p变化时，∁p：y2＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交∁p于原点和点Ap．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交∁p于点Ap和Bp．求证：所有的点Bp在同一条直线上．
四、（20分）
14．（20分）（2022•山西自主招生）对于公差为d（d≠0）的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥﹣1，使a1＝md．
五、（20分）
15．（20分）（2022•山西自主招生）求最大的正数λ，使得对任意实数a、b，均有λa2b2（a+b）2≤（a2+ab+b2）3．
附加题一、（50分）
16．（2022•山西自主招生）如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC．

二、（50分）
17．（2022•山西自主招生）求出能表示为（a、b、c∈Z+）的所有正整数n．
三、（50分）
18．（2022•山西自主招生）在一个（2n﹣1）×（2n﹣1）（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或﹣1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．

2022年山西省强基计划模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知A＝{y|y＝sin（ωn+φ），n∈Z}，若存在φ使得集合A中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分类法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】A
【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，结合诱导公式判断是否存在φ使得集合A中恰有3个元素，再确定ω的取值．
【解答】解：对A，当时，，
函数的周期T＝，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，，
当n＝2时，，
当n＝3时，，
当n＝4时，，
当n＝5时，，
当n＝6时，，
令时，，
所以，
，
，
所以存在φ使得n＝1时的y值等于n＝6时的y值，n＝2时的y值等于n＝5时的y值，n＝3时的y值等于n＝4时的y值，
但当n＝0，1，2，3时，不存在φ使得这个y值中的任何两个相等，
所以当时，集合A中至少有4个元素，故A错误；
对B，当时，y＝sin（+φ），
函数的周期T＝，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，y＝sin（），
当n＝2时，y＝sin（），
当n＝3时，y＝sin（）＝sin（﹣），
当n＝4时，y＝sin（）＝sin（﹣），
令φ＝，sin＝1，
sin（）＝sin（﹣）＝cos，
sin（）＝sin（﹣）＝cos，
所以时，符合题意，故B正确；
对于C，当时，，
函数的周期，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，y＝sin（）＝cosφ，
当n＝2时，y＝sin（π+φ）＝﹣sinφ，
当n＝3时，，
令φ＝0，则sin0＝﹣sin0＝0，
cos0＝1，﹣cos0＝﹣1，
所以当时，符合题意，故C正确；
对于D，当时，，
函数的周期为，
在一个周期内对n赋值，
当n＝0时，y＝sinφ，
当n＝1时，，
当n＝2时，，
令φ＝0，sin0＝0，
，
，
所以当时，符合题意，故D正确；
故选：A．
【点评】本题一共有三个变量：ω，n，φ属于多变量题目，对于该题，要先确定一个变量，再对第二个变量赋值，然后再对第三个变量赋值，以此分类讨论即可，属于难题．
2．（6分）（2022•山西自主招生）已知（1+x）2021＝a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2021x2021，则a2020+2a2019+3a2018+4a2017+⋯+2020a1+2021a0＝（　　）
A．2021×22021 B．2021×22020 C．2020×22021 D．2020×22020
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【答案】B
【分析】由题可知，，对所给等式，两边分别求导，再令x＝1，可得结论．
【解答】解：由题可知，，对 等式，
两边分别求导可得：，
因为，所以，
所以，
令x＝1，有：2021×22020＝a2020+2a2019+3a2018+⋯+2021a0，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求函数的导数，属于中档题．
3．（6分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足，满足a1∈（0，1），a1+a2+⋯+a2021＝2020，则下列成立的是（　　）
A． B．
C． D．以上均有可能
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】直接利用数列的关系式的变换，数列的递推关系式，基本不等式的应用判断关系式的结论．
【解答】解：由数列{an}满足，且a1∈（0，1），
由数学归纳法得到：an＞0，
将递推关系式整理得：，
结合a1∈（0，1），知：an∈（0，1）；
所以＞0，
即数列{an}为单调递增数列；
所以：a1＜a2＜....＜a2021，
故2021a2021＞a1+a2+...+a2021＝2020，
所以，
设函数f（x）＝lnx+，利用求导确定函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝0，
故（x＞0），
当时，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：数列的关系式的变换，数列的递推关系式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
4．（6分）（2022•山西自主招生）已知点P是正方体ABCD﹣A'B'C'D'上底面A'B'C'D'上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，若α＞β，则下列叙述正确的是（　　）
A．∠APC＞∠BPD
B．∠APC＜∠BPD
C．max{∠APD，∠BPC}＞max{∠APB，∠CPD}
D．min{∠APD，∠BPC}＞min{∠APB，∠CPD}
【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；分析法；空间角；逻辑推理；直观想象．
【答案】C
【分析】结合正方体的几何特征，面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，α＞β，判断点P所在的大致位置，利用正方体的特点，判断点P接近于点D'时，∠APC＞∠BPD，故可判断选项A，B，因为PH＜PE，则∠APD＞∠APB，由PG＜PF，故∠BPC＜∠CPD，即可判断选项C，D．
【解答】解：如图，取正方体的下底面的各边中点E，F，G，H，上底面的中心为O，下底面的中心为O'，
面ADP与面BCP所成的锐二面角为α，面ABP与面CDP所成的锐二面角为β，且α＞β，
等价于点P到HF的距离比到EG的距离大，
所以点P在如图所示的范围内，
在△APC和△BPD中，AC＝BD，PQ为公共边，Q为公共的中点，
∠APC，∠BPD的大小由PQ与AC，BD所成的角的大小所确定，
所成的角越小，则对应的角越大，
因为PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定，
当点P在靠近A'时，PQ与直线AC所成的角较小，与直线BD所成的角接近90°，
此时∠BPD＞∠APC，
同样当点P接近于点D'时，∠APC＞∠BPD，
故选项A错误，选项B错误；
∠APD与∠BPD的大小关系看点P是在EG的左侧还是右侧，
若是在左侧，则∠APD＞∠BPC，
若是在右侧，则∠APD＜∠BPC，
若是在EG上，则∠APD＝∠BPC；
同样，点P在HF的前面，则∠APB＞∠CPD，
点P在HF上，则∠APB＝∠CPD，
点P在HF的后面，则∠APB＜∠CPD，
所以当点P在A'OH内时，max{∠APD，∠BPC}＝∠APD，min{∠APD，∠BPC}＝∠BPC，
max{∠APB，∠CPD}＝∠APB，min{∠APB，∠CPD}＝∠CPD，
因为PH＜PE，
则∠APD＞∠APB，
因为PG＜PF，
故∠BPC＜∠CPD，
故选项C正确，选项D错误；
根据对称性可知，在其余范围内，具有相同的结论．
故选：C．

【点评】本题考查了空间角的理解与应用，二面角的平面角的应用，解题的关键是从正方体的几何特征出发，利用题中信息判断点P的大致区域，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于较难题．
5．（6分）（2022•山西自主招生）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线x＝3与抛物线C交于A，B两点，|AF|＝4，圆E为△FAB的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（　　）
A．[﹣，9] B．[﹣3，21] C．[，21] D．[3，27]
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p，进而得到抛物线的方程，求得A，B，F的坐标，直线AF的方程，可得圆的半径，求得圆心，设N的坐标，求得M的坐标，结合向量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，
设A（3，），
所以|AF|＝3+＝4，解得p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
A（3，2），B（3，﹣2），F（1，0），
所以直线AF的方程为y＝（x﹣1），
设圆心坐标为（x0，0），
所以（x0﹣1）2＝（3﹣x0）2+12，
解得x0＝5，即E（5，0），
∴圆的方程为（x﹣5）2+y2＝16，
不妨设yM＞0，设直线OM的方程为y＝kx，则k＞0，
根据＝4，解得k＝，
由，
解得M（，），
设N（4cosθ+5，4sinθ），
所以•＝cosθ+sinθ+9＝（3cosθ+4sinθ）+9，
因为3cosθ+4sinθ＝5sin（θ+φ）∈[﹣5，5]，
所以•∈[﹣3，21]．
故选：B．

【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
6．（6分）（2022•山西自主招生）已知，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a
【考点】不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】设f（x）＝，x＞0，则f′（x）＝＜0，xf（x）＝在（0，+∞）上是增函数，从而a＜，设g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1，推导出ex＞x+1，从而c＝e0.2＞1.2＝a，再由b5≈2.72741，c5＝e≈2.71828，进行比较即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：设f（x）＝，x＞0，则f′（x）＝＜0，x＞0，
∴f（x）＝在（0，+∞）上是增函数，
∴a＝1.2＜b＝，
设g（x）＝ex﹣x﹣1，则g′（x）＝ex﹣1，令g′（x）＝0，解得x＝0，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）＞f（0）＝0，∴ex＞x+1，
∴c＝e0.2＞1.2＝a，
由，故b5≈2.72741，
由c＝e0.2，故c5＝e≈2.71828，
因为c5＜b5，所以a＜c＜b，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式比较大小，指数幂的运算，属于基础题．
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．（9分）（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝ex﹣1+xlnx﹣x2﹣ax满足f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，0]　．
【考点】利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】（﹣∞，0]．
【分析】根据题意，分离参数，构造函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，可得判断最值及成立条件，即可求得a的取值范围．
【解答】解：由f（x）≥0，得ax≤ex﹣1+xlnx﹣x2，得恒成立，
设，则g（x）＝ex﹣1﹣lnx+lnx﹣x，
对于h（x）＝ex﹣x﹣1，h′（x）＝ex﹣1，
则当x＞0时，h′（x）＞0，当x＜0时，h′（x）＜0，
所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（0）＝0，即ex≥x+1，
所以ex﹣1﹣lnx≥x﹣1﹣lnx+1，
所以g（x）＝ex﹣1﹣lnx+lnx﹣x≥（x﹣1﹣lnx+1）+lnx﹣x＝0，
当且仅当x﹣1﹣lnx＝0，即x＝1+lnx，x＝1时，取“＝”号，
故a≤0，a的取值范围是（﹣∞，0]，
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性与最值，考查常见函数的放缩，同构法的应用，考查转化思想，属于中档题．
8．（9分）（2022•山西自主招生）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角形，设DF＝2AF．若在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率为 　　．

【考点】几何概型．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】．
【分析】根据题意，设DF＝2t，则AF＝t，在△ADB中，由余弦定理求出AD的长，即可得的值，结合几何概型公式可得答案．
【解答】解：根据题意，设DF＝DE＝EF＝2t，则AF＝BD＝CE＝t，
则有AD＝BE＝CF＝3t，
在△ADB中，∠ADB＝120°，
则AB2＝AD2+BD2﹣2AD×DB×cos120°＝13t2，故AD＝t，
则＝＝；
故在大等边三角形内任取一点P，则该点取自小等边三角形内的概率P＝；
故答案为：．
【点评】本题考查几何概型的计算，注意几何概型的计算公式，属于基础题．
9．（9分）（2022•山西自主招生）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝有下列结论：
①函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增；
②函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数f（x）在[2k﹣1，2k]（k∈N*）上的最大值为ak，则数列{an}的前7项和为．
其中所有正确结论的编号是 　①④　．
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【答案】①④．
【分析】由f（x）是奇函数，则f（0）＝0，写出f（x）在（﹣6，﹣5）上的函数解析式，作出函数x≥0的图象，
对于①，由图可知，函数f（x）在（5，6）上单调递增，由奇函数性质可知，函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调性，即可判断①是否正确；
对于②，结合函数的奇偶性可知，f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点，即可判断②是否正确；
对于③，设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，解得t＝a或t＝1，结合图象，分两种情况：（1）t＝a＝，（2）t＝a＝﹣，讨论f（x）＝a的实数根的和，即可判断③是否正确；
对于④，函数f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝1，即a1＝1，则函数解析式及性质可知，数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即可判断④是否正确．
【解答】解：当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程，
若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）＝f（x﹣2）＝（2|x﹣3|﹣1），
若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）＝f（x﹣2）＝（2|x﹣5|﹣1），
作出函数x≥0的图象，如图所示：

对于①，由图可知，函数f（x）在（5，6）上单调递增，
由奇函数性质可知，函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增，故①正确；
对于②，可知函数在x＞0时的图象与直线y＝x有1个交点，
结合函数的奇偶性可知，f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，
解得t＝a或t＝1，


当t＝1时，即f（x）＝1对应一个交点为x1＝2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1）t＝a＝，即f（x）＝对应3个交点，且x2+x3＝2，x4＝4，
此时4个实数根的和为8，
（2）t＝a＝﹣，即f（x）＝﹣对应3个交点，且x2+x3＝﹣2，x4＝4，
此时4个实数根的和为4，故③错误；
对于④，函数f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝1，即a1＝1，
由函数解析式及性质可知，数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
则数列的前7项和为＝，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查命题真假的判断，解题关键是熟悉函数的性质，属于中档题．
10．（9分）（2022•山西自主招生）空间四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝2，AC＝4，直线BD与AC所成的角为45°，则该四面体的体积为 　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】．
【分析】由题意画出图形，由已知求D到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：如图，

在△ABC中，由AB＝2，BC＝，AC＝4，可得AB2+BC2＝AC2，
则△ABC是以AC为斜边的直角三角形，同理△ADC是以AC为斜边的直角三角形．
过B作BE⊥AC，垂足为E，求得BE＝，AE＝1，
过D作DF⊥AC，垂足为F，可得DF＝，CF＝1，
在平面ABC中，过B作BG∥EF且BG＝EF，连接DG、FG，
则四边形BEFG为平行四边形，得FG⊥AC，即BG⊥FG，
又DF⊥AC，AC∥BG，∴BG⊥DF，而DF∩FG＝F，∴BG⊥平面DFG．
∴BG⊥DG，在Rt△DGB中，BG＝EF＝2，∠DBG为直线BD与AC所成的角为45°，
可得DG＝2，
∵BG⊥平面DFG，BG⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面DFG，在平面DFG中，
过D作DH⊥FG，垂足为H，则DH⊥平面ABC．
∵DF＝FG＝，DG＝2，∴cos，则sin，
∴DH＝DF•sin∠DFG＝．
∴四面体ABCD的体积为V＝＝．
故答案为：．

【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证及运算求解能力，属难题．
11．（9分）（2022•山西自主招生）已知点A在抛物线y2＝3x上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线的焦点为F，若∠BAF＝30°，则A的坐标为　（，）或（，﹣）　．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】（，）或（，﹣）．
【分析】设A（，n），由导数的几何意义，可得A处的切线的斜率，求得直线AF的斜率，由两直线的到角公式，解方程可得n，即可得到所求A的坐标．
【解答】解：设A（，n），由y2＝3x，两边对x求导，可得2yy′＝3，
即有y′＝，可得A处的切线的斜率为，
抛物线y2＝3x的焦点F（，0），
由直线AF的斜率为＝，
所以tan30°＝＝，
化为＝，
解得n＝，＝，
可得A（，）．
故答案为：（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线相切的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
12．（9分）（2022•山西自主招生）已知直线y＝m与函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的图象相交，若自左至右的三个相邻交点A，B，C满足2|AB|＝|BC|，则实数m＝　1或2　．
【考点】正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】1或2．
【分析】根据题意将条件转化为直线y＝m﹣与函数y＝sin（ωx+）的图象相交，由三角函数的周期性结合已知得出|AB|的长并用A和B的横坐标之差表示，再结合A和B的中点函数值取最值即可求解．
【解答】解：由题知，直线y＝m与函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）的图象相交，
等价于直线y＝m﹣与函数y＝sin（ωx+）的图象相交，
设A（x1，m﹣），B（x2，m﹣），C（x3，m﹣），
所以|AC|＝，
又由2|AB|＝|BC|得，|AB|＝|AC|＝，
即x2﹣x1＝，
化简得ωx2﹣ωx1＝，①
由题知点A和点B的中点坐标为（，m﹣），
当直线y＝m﹣与y＝sin（）的交点在x轴上方时，
，
即，
化简得，k∈Z，②
由①②联立得，
所以，
即m﹣＝，
解得m＝2；
当直线y＝m﹣与y＝sin（）的交点在x轴下方时，
，
即，
化简得，k∈Z，③
由①③联立得，
所以，
即，
解得m＝1，
所以m＝1或2，
故答案为：1或2．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，用到了分类讨论的思想，属于难题．
三、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）设p＞0，当p变化时，∁p：y2＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交∁p于原点和点Ap．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交∁p于点Ap和Bp．求证：所有的点Bp在同一条直线上．
【考点】直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】设l：y＝kx（k≠0），与∁p的方程联立得点Ap的坐标，据此可得直线MAp的方程，与抛物线方程联立可得y＝﹣ka，即点Bp的纵坐标为定值，从而可得所有的点Bp均在平行于x轴的直线y＝﹣ka上．
【解答】证明：设l：y＝kx（k≠0），与∁p的方程联立得点Ap的坐标为，
又设点M的坐标为（a，0），则a≠0，
易得直线MAp的方程为，①
由y2＝2px，得，
代入①得，
即，
∵，∴，
解得y＝﹣ka，即点Bp的纵坐标为定值．
故所有的点Bp均在平行于x轴的直线y＝﹣ka上．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点共线的证明方法等知识，属于中等题．
四、（20分）
14．（20分）（2022•山西自主招生）对于公差为d（d≠0）的等差数列{an}，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥﹣1，使a1＝md．
【考点】等差数列的性质；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】见证明过程．
【分析】由题意，利用等差数列的定义、通项公式，分必要性和充分性分别证明即可．
【解答】证明：①先证必要性：任取等差数列{an}中不同的两项as，at，（s≠t），
存在整数k使得as+at＝ak，则2a1+（s+t﹣2）d＝a1+（k﹣1）d，得a1＝（k﹣s﹣t+1）d，
故存在m使得m＝k﹣s﹣t+1，使得a1＝md，m∈Z，
再整m≥﹣1：反证法证明：假设当d≠0时，m≥﹣1不成立，则m＜﹣1恒成立，
对于不同的两项a1，a2，应存在al，使得a1+a2＝al，即（2m+1）d＝md+（l﹣1）d，
所以l＝m+2，又因为m是小于﹣1的整数，故l≤0，
所以假设不成立，故m≥﹣1．
②再证充分性：当a1＝md，m≥﹣1，m∈Z，
任取等差数列{an}中不同的两项as，at，（s≠t），则as+at＝2a1+（s+t﹣2）d＝a1+（s+t+m﹣2）d，
因为s+t+m﹣2≥0且s+t+m﹣2∈Z，
所以a1+（s+t+m﹣2）d＝as+t+m﹣1，
综上①②可得，数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m≥﹣1，使a1＝md．
【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式，考查了充要条件的证明方法以及数列中的范围问题，考查了学生的运算能力以及推理能力，属于中档题．
五、（20分）
15．（20分）（2022•山西自主招生）求最大的正数λ，使得对任意实数a、b，均有λa2b2（a+b）2≤（a2+ab+b2）3．
【考点】不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；不等式；数学运算．
【答案】．
【分析】利用基本不等式进行证明即可．
【解答】证明：当ab＞0时，，
当且仅当即a＝b时等号成立；
当ab≤0时，≥
＝，
当且仅当，即或时等号成立．
综上可得，等号分别a＝b和或时取得．
因此，所求的．
【点评】本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．
附加题一、（50分）
16．（2022•山西自主招生）如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC．

【考点】与圆有关的比例线段；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】先充分性：过点N作EF∥BC分别交AB、AC于E、F，连结OC、OD、OE、OF．由题意可证得N、O、E、D四点共圆，从而∠NDO＝∠NEO．据此可证得OE＝OF．进一步可得BM＝CM．再证明必要性：用同一法，作出辅助线，证明点重合即可证得ON⊥BC．
【解答】证明：充分性．过点N作EF∥BC分别交AB、AC于E、F，连结OC、OD、OE、OF．
因ON⊥BC，则ON⊥EF．
又OC⊥AC，则N、O、C、F四点共圆．
故∠NFO＝∠NCO．
同理，由N、O、E、D四点共圆得∠NDO＝∠NEO．

因∠NCO＝∠NDO，则∠NFO＝∠NEO．故OE＝OF．从而，EN＝FN．
所以，BM＝CM．
必要性．用同一法．作ON'⊥BC交CD于N'，连结AN'并延长交BC于M'．
类似充分性的证明可得BM'＝CM'．而BM＝CM，则点M'与M重合，
因此，点N'是CD与AM的交点．故N'与N重合，ON⊥BC．
【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，充分条件由必要条件的判定，四点共圆的证明等知识，属于中等题．
二、（50分）
17．（2022•山西自主招生）求出能表示为（a、b、c∈Z+）的所有正整数n．
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；推理和证明；逻辑推理；数学运算．
【答案】n＝1，2，3，4，5，6，8，9
【分析】不妨设a≤b≤c，（a，b，c）是使c最小的一组解．讨论可得，据此分类讨论：c＝1时，a＝b＝1，则n＝9．当c≥2时，n≠7．令．n＝9，3，1．故满足题设的正整数n＝1，2，3，4，5，6，8，9．
【解答】解：不妨设a≤b≤c，（a，b，c）是使c最小的一组解．
由得c2+2（a+b）c+（a+b）2＝nabc，
即c2﹣[nab﹣2（a+b）]c+（a+b）2＝0．①
设方程①的另一根为c'，则c+c'＝nab﹣2（a+b）∈Z，cc'＝（a+b）2＞0，所以c'∈Z+．
因而（a，b，c'）也是满足题设的一组解，且c'≥c．因此，（a+b）2＝cc'≥c2，故c≤a+b．
又，，，
则．
（1）当c＝1时，a＝b＝1，则n＝9．
（2）当c≥2时，，则n≤8．
下面证明n≠7．假设n＝7．
若a≥2，则c≥2，，矛盾．
若a＝1，则1≤b≤c≤1+b．
所以，c＝b或1+b．
当c＝b时，（2b+1）2＝7b2，b无整数解；
当c＝1+b时，（2b+2）2＝7b（1+b），即4（b+1）＝7b，b无整数解．
因此，n≠7．
（3）令．因为，则当k＝1，3，9时，n＝9，3，1．
又，则当k'＝1，2，4时，n＝8，4，2．
显然，F（1，2，3）＝6，F（1，4，5）＝5．
故满足题设的正整数n＝1，2，3，4，5，6，8，9．
【点评】本题主要考查推理知识的应用，整除的应用，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．
三、（50分）
18．（2022•山西自主招生）在一个（2n﹣1）×（2n﹣1）（n≥2）的方格表的每个方格内填入1或﹣1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．
【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【答案】1种
【分析】首先利用反证法证明中间一列（行）全为1．再证明对任意成功填法，其中一定不含有﹣1．故成功填法只有1种．
【解答】解：假设存在某种成功填法，其中含有﹣1．
首先证明：若此种成功填法关于中间一列（行）对称，则中间一列（行）全为1．
设．若a1＝1，由a1＝a0×a2×1，得a2＝1．
同理，．
若，同理可得．
因此，若a1＝﹣1，则．这样，，
因此，中间一列（行）全为1．

其次，若此种成功填法不关于中间一列对称，先将此种填法沿中间一列翻转180°，得另一种填法，
再将两种填法处于相同位置的数相乘，就得到关于中间一列对称的成功填法，其中含有﹣1．此种成功填法可进一步转化为既关于中间一行，
又关于中间一列对称的成功填法，其中含有﹣1．
对这样的（2n﹣1）×（2n﹣1）的成功填法，去掉中间一行与中间一列的所有1，
就可得到4个（2n﹣1﹣1）×（2n﹣1﹣1）的成功填法，至少有一个其中含有﹣1．
对这个成功填法，一直重复上面的操作，最终可得到一个3×3的成功填法，其中含有﹣1，
但中间一行和中间一列全为1，这与成功填法的定义矛盾．
因此，对任意成功填法，其中一定不含有﹣1．故成功填法只有1种，即每个方格中均填1．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于中档题．

考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．

【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a+b的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣q＝﹣a﹣b＝＝（b2﹣a2）＝，
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B

方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（　　）
A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜
解：由指数函数的单调性可知，＞，
由幂函数的单调性可知，＞，
则＞＞，
故＜＜，
故选：B．
4．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
5．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
6．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
9．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

10．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
11．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

12．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则
＝
当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
13．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）＝称为事件A的几何概率．
14．计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
共同点
都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事
n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
【解题方法】
1．计数原理的应用
（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；
（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．
2．解题步骤
（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；
（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
（4）作答．

【命题方向】
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．
常见考题类型：
（1）映射问题
（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）
（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）
15．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
16．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）
（1）找出两类事物之间相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．
17．与圆有关的比例线段
【知识点的知识】
1、相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2、割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
3、切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
4、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【解题方法点拨】
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．
因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．
18．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：

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