江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题

江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数其中为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

3．“”的一个充分条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知两个非零向量满足，且，则的夹角为（    ）

A． B． C． D．

5．在区间与内各随机取1个整数，设两数之和为，则成立的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

7．作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：

已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销；花费在6000元以上的报销所花费费用的.则下列说法中，正确的是（    ）

A．

B．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元

C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为

D．这100份花费费用的中位数是4200元

8．过双曲线上任意一点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形的面积为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

9．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（    ）

A．-4 B．4 C．-2 D．2

10．已知正项数列的前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

11．若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若前项和为的等差数列满足，则__________.

14．已知变量满足约束条件，则的最大值__________.

15．已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程：__________.

16．函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.

三、解答题

17．近年来随着新能源汽车的逐渐普及，传统燃油车市场的竞争也愈发激烈.近日，各地燃油车市场出现史诗级大降价的现象，引起了广泛关注.2023年3月以来，各地政府和车企打出了汽车降价促销“组合拳”，被誉为“史上最卷”的汽车降价促销潮从南到北，不断在全国各地蔓延，据不完全统计，十几家车企的近40个传统燃油车品牌参与了此次降价，从几千元到几万元助力汽车消费复苏.记发放的补贴额度为（千元），带动的销量为（千辆）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.

(1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程.

(2)（i）若该省城市在2023年4月份准备发放额度为1万元的补贴消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少销量？

（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省城市4月份发放额度为1万元的消费补贴券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为3万辆，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.

参考公式：.

参考数据：.

18．在中，角所对的边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

19．如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为1，延长直径到点，使得，分别过点作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点.

(1)证明：平面平面；

(2)点到平面的距离为，求的值.

20．已知函数，函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

21．已知椭圆方程：，其离心率为，且分别是其左顶点和上顶点，坐标原点到直线的距离为.

(1)求该椭圆的方程；

(2)已知直线交椭圆于两点，双曲线：的右顶点与交双曲线左支于两点，求证：直线的斜率为定值，并求出定值.

22．如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为.

(1)若射线与相交于异于极点的点，求；

(2)若为上的两点，且，求面积的最大值.

23．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)若为正实数，且，证明不等式.

参考答案：

1．B

【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】因为或，则，

又因为，故.

故选：B.

2．B

【分析】根据“等部复数”得的值，即可得，从而得，从而可确定其复平面内对应的点所对应的象限.

【详解】∵，

又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，

∴，解得，

∴，∴，即，

∴复数在复平面内对应的点是，位于第二象限.

故选：B.

3．D

【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可.

【详解】解：由，即，所以

对选项A，当，时，，但不满足，故A不正确，

选项B，由，则，

则或，故B项不正确，

选项C，，

则或，故C不正确，

选项D，由知，

所以，成立，故D正确，

故选：D.

4．A

【分析】根据可得，推得，结合可得，平方整理得，即可推出，利用向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由题意知两个非零向量满足，可得，

即，即

由，即，即，

即，即，

结合，可得，即得，

故，而，

故，

故选：A

5．A

【分析】列出随机试验的所有样本空间，确定满足的样本点的个数，利用古典概型公式进行计算即可

【详解】设从区间，中随机取出的整数分别为x，y，

则样本空间为

，共15种情况，

不等式等价于，

设事件A表示，

则，共种情况，

所以．

故选：A.

6．B

【分析】利用奇偶性定义判断对称性，在趋向时的变化趋势，应用排除法，即可得答案.

【详解】由题设定义域为，且，

所以为偶函数，排除D；

当时，，此时趋向，趋向，排除A、C；

故选：B

7．D

【分析】由频率之和为1可判断A，求出该病人在医院住院保险金额可判断B，根据样本中可报销的占比为0.15可判断C，根据样本中消费费用小于4000的直方图面积判断出中位数应在内，计算即可得出结果.

【详解】由频率分布直方图可得

，

经计算得，即A错误；

某病人住院花费了4300元，则报销的金额为元，所以此人实际花费为元，即B错误；

样本中可报销费用为的占比为0.15，即根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为，即C错误；

样本中花费金额小于4000的概率为

所以中位数应在区间内，

所以花费费用的中位数是元，即D正确.

故选：D

8．B

【分析】根据条件证明四边形为矩形，求点到两条渐近线的距离，由此可得四边形面积.

【详解】双曲线的渐近线为或，

直线与相互垂直，

又，

所以四边形为矩形，

又点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

又点在双曲线上，

所以，

所以四边形的面积为，

故选：B.

9．D

【分析】利用三角恒等变形及诱导公式化简可得结果．

【详解】由题意可得，

.

故选∶D．

10．C

【分析】将化简为，再利用和与项的关系可得，从而确定数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列，根据等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】因为，

所以，即，

所以，

因为数列的各项都是正项，即，

所以，即，

所以当时，，

所以数列从第二项起，构成以为首项，公比的等比数列.

所以.

故选：C

11．A

【分析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得过且垂直的截面圆最小即可.

【详解】

如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心，

可得，，

设球的半径为，在三角形中，由，

即，解得，即，

所以，

因为在中，，，

所以，，，

由题知，截面中面积最小时，截面圆与垂直，

设过且垂直的截面圆的半径为，则，

所以，最小的截面面积为.

故选：A

12．D

【分析】由参变量分离法可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.

【详解】当时，由可得，

令，其中，

则，

令，其中，

则，所以，函数在上为增函数，

因为，，

所以，存在，使得，

即，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，

因为，则，则，

由可得，则，

即，可得，则，

且当时，，即，此时函数单调递减，

当时，，即，此时函数单调递增，

所以，，所以，，

故选：D.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

13．

【分析】根据等差数列的下标和性质和求和公式计算即可.

【详解】解：由等差数列的性质知

因为前项和为的等差数列满足，

所以，即，

所以，

所以.

故答案为：

14．5

【分析】作出可行域,设，根据的几何意义，求得的最小值和最大值，进而得到的最大值.

【详解】作出可行域，如图，

令，可得，令，可得，

设，

则直线过点时，取最小值，

过点时，取最大值，

因此的最大值是5.

故答案为:5.

15．或

【分析】由题可知两圆相交，两圆有2条公切线，求出切线与两圆圆心连线的交点，点斜式设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径，计算即可.

【详解】圆圆心，半径，

圆圆心，半径，

由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为，

如图所示，

则 ，即，所以，

解得，所以，

设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离 ，解得 ， 所以公切线方程为，即或.

故答案为：或

16．616

【分析】由题知的图象关于直线对称，的图像关于点对称，进而得、、，从而得到，结合的值，再解方程即可得答案.

【详解】由函数为偶函数，则，即函数关于直线对称，

故；

由函数为奇函数，则，整理可得，

即函数关于对称，故；

因为对于，均有，

所以，

因为关于直线对称，所以，

因为关于点对称，所以，

所以，

又，解得，，

所以.

故答案为：616.

17．(1)；

(2)（i）3.525万辆；（ii）答案见解析.

【分析】（1）根据给定的数表，求出，再利用最小二乘法公式求解作答.

（2）利用（1）的回归方程，计算的估计值，再求出比值并判断作答.

【详解】（1）依题意，，

于是，

所以所求线性回归方程为.

（2）（i）由（1）知，当时，，

所以预计能带动的消费达3.525万辆.

（ii）因为，所以发放的该轮消费补贴助力消费复苏不是理想的.

发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，

比如：城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；

城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.

年轻人开始更加注重出行的舒适性和环保性，而传统燃油车的排放和能耗等问题也逐渐成为了消费者们考虑的重点.（只要写出一个原因即可）.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；

（2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.

【详解】（1）解：因为

所以

整理可得，

所以，由正弦定理可得：.

由余弦定理知，，

因为，所以

（2）解：由（1）知，，所以，

又是锐角三角形，

所以，且，解得，

因为，由正弦定理知：，，

所以

所以

因为，

所以，所以

所以，面积的取值范围为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直及面面垂直的判定即可证得．

（2）利用等体积法求点到平面的距离为.

【详解】（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，

所以平面，则，且，

又平面

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）因为，，，

所以，

又，，

所以，

所以，

所以，且的面积为，

因为，

所以，

所以为等腰三角形，其底边上的高为，

所以的面积为，

因为，

所以

所以.

20．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)

【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；

（2）先求出解析式，利用导数，分类讨论研究函数单调性和最值，可求实数的取值范围.

【详解】（1），函数定义域为R，

则且，

令，，在上单调递增，

所以，所以的单调递增区间为，

，，所以的单调递减区间为.

（2），，

则，且，

令，，

令，时，

所以在上单调递增，

①若，，

所以在上单调递增，所以，

所以恒成立.

②若，，

所以存在，使，

故存在，使得，

此时单调递减，即在上单调递减，

所以，故在上单调递减，

所以此时，不合题意.

综上，.

实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：

1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

21．(1)，

(2)证明见解析，

【分析】（1）易得两点坐标，在中利用等面积法可得，再结合离心率即可求得标准方程；（2）易知，设出直线方程并于双曲线联立，再结合在椭圆上，即可得两点的坐标表示，利用两点间斜率公式以及直线，化简变形整理即可得.

【详解】（1）由已知可知，所以，

在中，等面积可得

又因为该椭圆离心率为，即

解得

所以该椭圆方程为.

（2）设，

由，可设直线方程：，直线BE方程：

将直线AE与双曲线联立可得，，

又因为，代入上式中可得

解得，代入直线方程：，

所以点坐标为

同理可得点坐标为：

所以直线的斜率.

所以直线的斜率为定值，该定值为

22．(1)

(2)

【分析】（1）联立曲线与射线极坐标方程可得答案；（2）设，

，由题结合可得及表达式，后利用辅助角公式可得答案.

【详解】（1）联立曲线与射线极坐标方程可得：，即；

（2）设，.由题结合，

可得.

则

，当，即时，

，即面积的最大值为.

23．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将函数写成分段函数，结合函数图象求解即可；

（2）解法一：根据基本不等式“1”的用法分析证明；解法二：利用柯西不等式直接证明即可.

【详解】（1）由题知，

其函数图象如图所示，

所以，.

（2）由（1）可知，则，

解法一：利用基本不等式：

，

当且仅当时取等号.

所以，.

解法二：利用柯西不等式：，

当且仅当时取等号.

所以，.