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    【精品同步】数学同步培优练习七年级下册第十五讲 全等三角形综合(知识梳理+含答案)

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    【精品同步】数学同步培优练习七年级下册第十五讲 全等三角形综合(知识梳理+含答案)

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    这是一份【精品同步】数学同步培优练习七年级下册第十五讲 全等三角形综合(知识梳理+含答案),共69页。
    第十五讲 全等三角形综合


    研课本 知考向




    1.课程目标要求



    授课内容
    目标层级
    1.全等三角形中的综合应用










    2.实时考向



    本讲内容属于本学期的重难点内容,在校考中考的比较难,一般压轴题都是和全等三角形相关的内容,所以本章必须掌握的比较牢固,并且可以灵活应用。













    解重点 固根基














    【模块一】全等三角形中的新定义



    题型一 全等中的新定义


    例1、(2020长郡七下期末)我们定义:在四边形中,若,且,则把四边形叫做互补等对边四边形.
    (1)如图,在等腰中,,若四边形是互补等对边四边形,求证:;
    (2)如图,在(1)的条件下,若,求的度数;
    (3)如图,在非等腰中(),若四边形仍是互补等对边四边形,求证.















    例2、(2019长郡七下期末)定义:若两个三角形,有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等,但不是全等三角形,我们就称这两个三角形为偏差三角形.
    (1)如图1,已知,,请在轴上找一个,使得与是偏差三角形。你找到的点的坐标是__________,直接写出和的数量关系__________.
    (2)如图2,在四边形中,平分,,问与是偏差三角形吗?请说明理由.
    (3)如图3,在四边形中,,与交于点,,,其中,且点到直线的距离是3,求与的面积之和.
















    例3、(2020广益七下期末)对于平面直角坐标系中的点,若点的坐标为(其中为常数,且),则称点为点的“属派生点”.例如:的“属派生点”为,即.
    (1)若点的“属派生点”的坐标为,求点的坐标;
    (2)若点在轴的正半轴上,点的“属派生点”为点,且线段的长度为线段长度的倍,求的值;
    (3)如图,已知点,点是轴上一点,且是点的“属派生点”,以线段为一边,在其一侧作如图所示等边三角线.现点沿轴运动,当点运动到原点处时,记得位置为.问三角形的面积是否是一个定值,如果是,请求出面积;如果不是,请说明理由.























    【模块二】全等三角形的综合应用




    题型二 全等三角型中的大综合


    例4、(2020中雅七下期末)已知:在中,,点在上,连接,且.
    (1)如图,求证:平分;
    (2)如图,点为的中点,过点作的垂线分别交的延长线,的延长线,于点,,,求证:;
    (3)如图,在(2)的条件下,过点分别作于点,于点,若,,求.























    例5、(2020雅礼七下期末)如图,在平面直角坐标系中,点的坐为,点的坐标为,在中,轴交轴于点.
    (1)求和的度数;
    (2)如图,在图的基础上,以点为一锐角顶点作,,交于点,求证:;
    (3)在第()问的条件下,若点的标为,求四边形的面积.















    例6、(2020湘培七下期中)在平面直角坐标系中,点,,,如图作,,交轴于点,直线交于点.
    (1)①求证:;
    ②求出线段、的位置关系和数量关系;
    (2)动点从出发,沿路线运动,速度为1个单位,到点处停止运动;动点从出发,沿运动,速度为2个单位,到点处停止运动.二者同时开始运动,都要到达相应的终点才能停止,在某时刻,作于点,于点.问两动点运动多长时间时与全等?
















    例7、(2020青一七下期末)如图,,,,、、满足.点是轴上的一个动点,点是的中点,在中,,.
    (1)则、、三点的坐标分别为: _________,_________,_________.
    (2)如图①,当点在线段上或其延长线上时,若,求点的坐标.
    (3)如图②,当点在线段的反向延长线上运动,连接.若,的值在变化,求点运动路径的长度.


















    例8、(2020广益七下期末)已知:的高所在直线与高所在直线相交于点.
    (1)如图,若为锐角三角形,且,,过点作,交直线于点,请直接写出、、之间的数量关系:_________________;
    (2)如图,若,过点作,交直线于点,探究、、之间满足的数量关系并加以证明;
    (3)在(2)的条件下,将一个角的顶点与点重合并绕点旋转,这个角的两边分别交线段于、两点(如图),连接,线段分别与线段、线段、线段相交于、、三点.
    ①探究,,之间数量关系并加以证明;
    ②求证:.














    勤练习 促掌握




    1、 (2020湘培七下期中)如图,是的中线,,分别是和延长线上的点,且,连结,.下列说法:
    ①和面积相等;
    ②;
    ③;
    ④;
    ⑤.
    其中正确的有____________.(把你认为正确的序号都填上)
    2、(2020长郡七下期末)如图,在中,为的角平分线,,,,,动点以的速度从点向点运动,动点以的速度从点向点运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动,设运动时间为.
    (1)求证:;
    (2)当取何值时,与全等;
    (3)在()的前提下,若,的面积为,求的面积.













    3、(2019雅礼七下期末)根据全等多边形的定义,我们把四个角,四条边分别相等的两个凸四边形叫做全等四边形,记作:四边形四边形
    (1)若四边形四边形,已知,,,,,则__________,__________,__________(直接写出答案);
    (2)如图1,四边形四边形,连接交于点,连接,求证:;
    (3)如图2,若,,,,,求证:四边形四边形












    4、(2019青一七下期末)在平面直角坐标系中,,,,过点作轴交轴于点;
    (1)求证:;
    (2)在平面直角坐标系中找一点(不和,重合),使得成立,求出符合条件的点坐标;
    (3)在轴上有两个动点、,从点出发,以每秒5个单位长度沿轴向左运动,从出发,以每秒1个单位长度沿轴向运动,当到达点时,两点停止运动,设运动时间为秒,请问:是否存在某一时刻,使得、分别平分、,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.


















    七年级培优教材答案
    第一讲 实数及其简单应用
    题型一、求平方根、算术平方根
    例1、(1) (2) (3)
    例2、
    演练1、 演练2、
    例3、
    演练1、 演练2、
    易错题1、 易错题2、 易错题3、
    题型二、开平方及相关运算
    例4、 (1) (2) (3) (4)或
    演练1、 或
    题型三、求立方根、开立方及相关运算
    例5、
    演练1、 演练2、
    题型四、平方根和立方根的简单应用
    例6、
    演练1、
    例7、
    演练1、 演练2、
    例8、
    演练1、
    题型五、实数的概念与分类
    例9、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例10、
    演练2、
    题型六、实数的计算
    例11、 (1) (2)或
    演练1、(1) (2)或
    例12、
    演练1、(1) (2) 演练2、 演练3、
    加餐练习、
    1. 2. 3. 4. 5. 6.
    题型七、实数的估算
    例13、
    演练1、
    例14、
    演练1、 演练2、
    勤练习 促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或
    9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

    第二讲 实数的综合应用
    题型一、利用实数性质解题
    例1、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例2、
    例3、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例4、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例5、
    演练1、(1) (2)
    例6、
    演练1、
    题型二、实数与化简
    例7、
    演练1、 演练2、(1) (2)
    题型三、实数中其他应用
    例8、 ① ② ③ ④
    演练1、
    例9、
    例10、
    题型四、实数中的新定义
    例11、
    演练1、
    例12、 (1) (2)
    例13、
    演练1、 演练2、
    例14、
    演练1、(1) (2) (3)
    勤学习 促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
    8. (1) (2) 9. 10.

    第三讲 实数的综合应用
    题型一、平面直角坐标系与点的坐标
    例1、
    例2、
    演练1、 一
    例3、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例4、
    演练1、 演练2、
    例5、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例6、
    例7、
    题型二、坐标系中的平移
    例8、
    演练1、 演练2、
    例9、
    例10、
    演练1、
    例11、
    演练1、 演练2、 演练3、
    题型三、坐标系中的对称、位置
    例12、
    演练1、(1) (2),为任意实数 (3)
    例13、
    演练1、
    题型四、坐标系的面积
    例14、 (1) (2) (3)或
    例15、 (1),, (2)
    (3) 或
    演练1、(1),, (2)略
    (3)
    演练2、 (1),, (2)
    勤学习 促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6.
    7. 8. 9. ,
    10. (1),, (2).
    11. (1)略 (2),,
    第四讲 坐标系中的规律探究与新定义
    题型一 一般规律问题
    例题 1. 2. 3.
    演练 1. 2.
    例题 4.
    演练 1.
    题型二 正方形中的规律问题
    例题 5.
    演练 1. 2.
    例题 6.
    演练 1.
    题型三 旋转类规律问题
    例题 7.
    演练 1.
    例题 8.
    题型四 坐标系中的新定义
    例题 9. 10.(1)①,;②;(2)“识别距离”最小值为,
    11. (1);(2);(3)
    12. (1);(2);(3),
    勤练习,促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6.(1);(2);(3)等腰三角形,理由如下:根据题意可求出
    第五讲 坐标系中的综合应用
    题型一、坐标与面积
    例1、 (1) (2)
    (3)设

    , 或
    例2、①

    ③当在线段上时,当在点左侧时
    题型二、坐标与角度、面积的结合
    例3、(1)
    (2)的平分线和的平分线交于点



    设,则
    作,则






    (3)存在某一时刻,使的面积等于长方形面积的,
    作 轴于,,


    例4、 (1)∵且
    ∴,
    又∵点关于轴对称点为点
    ∴点的坐标
    (2)∵为中点,为中点
    ∴为重心

    又∵

    (3)由题意可得:

    又∵

    又∵

    题型三、坐标与平行、面积的结合
    例5、 (1)由题意得:,,
    ∴,,
    ∴点、、的坐标为:,,
    (2)不变,
    如图2,过点做
    ∵,

    ∴,
    ∵,∴
    ∵,∴

    ∵、分别平分,
    ∴,

    (3)设点
    ①若点位于轴正半轴上且,过点作轴,则
    ,,


    由题意得:,即,解得.此时点
    ②若点位于轴负半轴上,则,




    由题意:,即,解得,此时
    ③若点位于轴正半轴上且,此时显然不成立
    综上所述:存在或使的面积等于的面积的

    例6、 (1)∵
    ∴,
    ∴,
    ∴,

    (2)存在点或使,证明如下:
    设坐标为,在

    ∴,
    ∴坐标为或
    (3) (过点作轴平行线即可)

    例7、 (1)


    (2)





    (3)设旋转t s后OA与CN平行
    ①当时








    ②当时




    同理可得

    (舍)
    ③时,如图2


    同理可得:


    综上所述或
    题型四、坐标系中的定值问题
    例8、 (1)
    (2)


    (3) 定值为3
    例9、 (1)




    (2) 当入射角为时,反射光线与平行
    (3)
    题型五、坐标系中的动态问题分析
    例10、 (1)
    (2)根据平移性质得: ,
    ∴ ,解得:AC=6,
    (3)∵AC∥x轴,AC=6,∴C的坐标为(6,3),根据平移性质得D(4,7),

    ∴,∵B点横坐标为2,
    又∵ ,
    ∴当P点在M,N点时等式成立,
    满足条件的时间t如下:
    1) 开始到第一次掉头时, ;
    2) 第一次掉头到第二次掉头时, ;
    3) 第二次掉头到第三次掉头时, ;
    4) 第三次掉头到第四次掉头时, ;
    5) 第四次掉头到第五次掉头时,(不符合题意),
    ∴符合的时间有:0s,18s,27s,33s,37.5s
    例11、 (1)
    (2) ① ② ③
    (3) 或
    勤练习 促掌握
    1. (1) (2) (3)
    2. (1)
    (2) 或
    (3)
    3. (1),
    (2)的大小不变
    延长、交于点
    ∵直线与直线垂直相交于



    ∵、分别是和的角平分线
    ∴,




    ∵、分别是和的角平分线


    (3)∵与的角平分线相交于
    ∴,

    ∵、分别是和的角平分线

    在中
    ∵有一个角是另一个角的倍,故有:
    ①,,
    ②,,(舍)
    ③,,
    ④,,(舍)
    ∴为或
    4. (1)
    (2) (提示:方程解题)
    (3) ①当时,;当时,


    第六讲 二元一次方程(组)及其解法和应用
    题型一 二元一次方程(组)的定义
    例题 1.
    演练 1. 2.
    例题 2. 3.
    演练 1.
    例题 4.
    演练 1.
    题型二 二元一次方程(组)的解的概念
    例题 5.
    演练 1. 2. 3.
    题型三 二元一次方程(组)的解法
    例题 7.
    演练 1. 2.
    例题 8.
    演练 1. 2.
    例题 9.(1);(2)
    演练 1.(1);(2) 2.(1);(2)
    3.(1);(2)
    例题 10.
    演练 1. 2. 3.
    例题 11.(1);(2)
    演练 1.(1);(2)
    题型四 二元一次方程组一般应用
    例题 12. 13. 14.
    题型五 古文中的二元一次方程组
    例题 15.
    演练 1.
    题型六 图形中的二元一次方程组
    例题 16.
    演练 1. 2.设加工竖式纸盒个,横式纸盒个。依题意,得
    解得
    题型七 二元一次方程组综合应用
    例题 17.(1)设排球单价元,实心球单价元。依题意,得解得;(2)(元)
    演练 1.(1)设购进甲型口罩个,乙型口罩个。依题意,得
    解得;(2)设每袋乙型口罩打折。,,四折。
    2.(1)购进黑色文化衫件,白色文化衫件。依题意,得解得;
    (2)(元)
    3.(1)设型车进价为元,型车进价为元。依题意,得解得;
    (2)方案①型车:2辆,型车:15辆;方案②型车:4辆,型车:10辆;
    方案③型车:6辆,型车:5辆。(3)方案①利润最大,最大利润是元。
    勤练习,促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.(1);(2) 13.(1);(2)
    14.设长方形地砖的长为,宽为。依题意,得解得。
    15.(1)设茄子的种植面积为公顷,西红柿的种植面积为公顷。依题意,得解得;(2)(万元)
    第七讲 含参二元一次方程(组)的解法
    题型一、特殊方程组的解法
    例1、
    演练1、
    例2、 、、
    演练1、
    例3、 、、
    演练1、 、、
    演练2、 (1) (2)、、、
    例4、
    演练1、
    例5、
    题型二、已知解求参数
    例6、
    演练1、 演练2、
    题型三、已知解的关系求参数
    例7、
    演练1、 演练2、 演练3、 演练4、略
    题型四、同解问题与错解问题
    例8、
    演练1、
    例9、
    演练1、(1)、 (2)、
    题型五、整数解问题
    例10、
    例11、 (1)、 (2)
    题型六、二元一次方程组中的新定义
    例12、 (1) (2)
    (3) ①当,时,不存在解坐标
    ②当,时,存在无数个解坐标
    演练1、(1) (2) (3)
    勤练习 促掌握
    1. 2. 3.
    4. (1) (2)
    5. 6. 、、原式
    7. (1)①不是②的“中雅方程组”
    (2)或或
    (3)
    第八讲 一元一次不等式与不等式组
    题型一、不等式的概念和性质
    例1、
    例2、
    演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
    题型二、一元一次不等式的概念和解法
    例3、
    例4、
    演练1、
    例13、
    演练1、
    例5、
    演练1、
    例6、
    例7、
    演练1、 演练2、
    例8、
    题型三、一元一次不等式组的概念和解法
    例9、 (1) (2)
    演练1、 演练2、 演练3、
    例10、
    演练1、 演练2、 演练3、 整数解为、、
    例11、
    例12、
    演练1、
    勤练习 促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6.
    7. 8. 9.
    10. (1) (2) 11.
    12. (1) (2) 13. (1) (2)
    14. 非整数解的和为 15.
    第九讲 一元一次不等式组的实际应用
    题型一、实际应用
    例1、
    演练1、(1)奖品每件元,奖品每件元
    (2)奖品最多购买件
    题型二、方案选择
    例2、 (1)甲种客车载客量为人,乙种客车载客量为人
    (2)两种租车方案①甲车辆,乙车辆②甲车辆,乙车辆,第①种方案最省钱
    演练1、 (1)老师有人,学生有人;
    (2)辆
    (3)种,元
    例3、 (1)大型渣土车每次运土方吨,小型渣土车每次运土方吨
    (2) ①大型渣土车辆,小型渣土车辆,总费用为元
    ②大型渣土车辆,小型渣土车辆,总费用为元
    ③大型渣土车辆,小型渣土车辆,总费用为元
    ④大型渣土车辆,小型渣土车辆,总费用为元
    最少需要花费元。
    演练1、(1)类货车每辆补贴油费元,类货车每辆补贴油费元
    (2)最少为元。
    演练2、(1)甲货车每次满载能运输吨物资,乙货车每次满载能运输吨物资
    (2)安排甲货车辆,乙货车辆最节省费用,最少为元
    例4、 (1)型号的扫地车每周可以处理吨,型号的扫地车每周可以处理吨。
    (2)一共有三种方案:
    ①购买型扫地车辆,型扫地车辆
    ②购买型扫地车辆,型扫地车辆
    ③购买型扫地车辆,型扫地车辆
    方案①所需资金最少,最少为万元。
    例5、 (1)改造个甲种型号大棚需要万元,改造个乙种型号大棚需要万元
    (2)一共有三种方案:
    ①改造个甲种型号大棚,个乙种型号大棚
    ②改造个甲种型号大棚,个乙种型号大棚
    ③改造个甲种型号大棚,个乙种型号大棚
    方案③所需资金最少,最少为万元。
    例6、 (1)甲种笔每支元,乙种笔每支元
    (2)共有种进货方案。
    演练1、(1)甲种文具每件元,乙种文具每件元
    (2)一共有三种方案:
    ①购买甲种文具件,乙种文具件
    ②购买甲种文具件,乙种文具件
    ③购买甲种文具件,乙种文具件
    演练2、(1)每件甲产品的成本价为元,每件乙产品的成本价为元
    (2)一共有三种方案:
    ①购进件甲产品,件乙产品
    ②购进件甲产品,件乙产品
    ③购进件甲产品,件乙产品
    方案③利润最大,最大利润为万元。
    例7、 (1)每本数学文化的价格为元,每本文学名著的价格为元
    (2)一共有三种方案:
    ①购进数学文化本,文学名著本
    ②购进数学文化本,文学名著本
    ③购进数学文化本,文学名著本
    演练1、(1)甲种奖品的单价为元,乙种奖品的单价为元
    (2)一共有三种方案:
    ①购买甲种奖品个,乙种奖品个
    ②购买甲种奖品个,乙种奖品个
    ③购买甲种奖品个,乙种奖品个
    方案①最省钱
    例8、 (1)购买种树每颗需要元,购买种树每颗需要元
    (2)一共有三种方案:
    ①购买种树棵,购买种树棵
    ②购买种树棵,购买种树棵
    ③购买种树棵,购买种树棵
    演练1、(1)购买种树苗每颗需要元,购买种树苗每颗需要元
    (2)一共有三种方案:
    ①购进种树苗棵,购进种树苗棵
    ②购进种树苗棵,购进种树苗棵
    ③购进种树苗棵,购进种树苗棵
    方案①最省钱,最少工钱为元
    例9、 (1) (2) (3),为或
    例10、 (1)①③ (2) (3)
    勤练习 促掌握
    1. (1)奖品的单价为元,shshan商品的单价为元
    (2)至少购买zh种商品个
    2. (1)一件文化衫元,一套明信片元
    (2)购买文化衫件,购买明信片套
    3. (1)帐篷有个,食品包有个
    (2)方案一:安排辆乙种货车;方案二:安排辆甲种货车,辆乙种货车;方案三:安排辆甲种货车,辆乙种货车;方案四:安排辆甲种货车,辆乙种货车;方案五:安排辆甲种货车,辆乙种货车;
    (3)选用方案运费最少,最少是元。
    4. (1)甲商品件,乙商品件
    (2)乙商品最低售价为每件元

    第十讲 不等式组的综合应用
    题型一、已知范围求解
    例1、
    演练1、
    演练2、 演练3、
    演练4、 (1) (2) (3) 为
    演练5、(1) (2) (3)
    题型二、整数解问题
    例2、
    例3、
    演练1、 演练2、
    题型三、不等式中的新定义
    例4、 (1)① ② (2) (3) (4)或
    演练1、(1) (2) (3)或
    演练2、(1)① ② (2) (3)或
    例5、 (1) (2)① ② ③
    例6、 (1)① ② (2)或 (3)
    例7、 (1) (2) (3)
    例8、 (1) (2)或 (3)
    例9、 (1)②是 (2)或 (3)
    例10、 (1) 是 (2) (3)
    例11、 (1)存在“雅含”关系,是的“子式”
    (2) (3)
    勤练习 促掌握
    1. 2. 3. 4.
    5. (1) (2) 6.(1) (2)
    7.(1) (2) (3)或
    8. (1) (2) (3)

    第十一讲 调查统计和直方图
    题型一、统计相关的概念
    例1、 每名考生的数学成绩
    演练1、
    例2、
    例3、
    演练1、 演练2、 演练3、③
    例4、
    例5、
    例6、
    演练1、 演练2、 演练3、
    例7、
    题型二、数据的描述
    例8、
    演练1、 演练2、
    例9、 (1)人 (2) (3) 名
    演练1、(1)名 (2) (3)名
    演练2、(1)名 (2) (3)名
    演练3、(1)踢毽子人数为名 (2) (3)人
    演练4、(1) (2)略 (3)万人
    演练5、(1)吨 (2) (3)吨

    勤练习 促掌握
    1. 2. 3.
    4. (1)名 (2) (3)万户
    5. (1) (2)略 (3)名
    6.(1), (2)略 (3)人
    第十二讲 三角形及其简单应用
    题型一、三角形的稳定性
    例1、
    演练1、
    例2、
    题型二、三角形的边
    例3、
    演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
    例4、
    演练1、 演练2、
    例5、
    演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
    题型三、三角形的角
    例6、
    例7、
    演练1、 演练2、
    例8、
    例9、
    演练1、 八边形 演练2、
    例10、
    演练1、 十二 演练2、 演练3、
    例11、
    例12、 (1) (2)
    演练1、 (1) (2)
    题型四、两大模型的应用
    例13、 (1) (2) (3)
    例14、 (1)在和中



    (2) 由(1)得


    例15、 (1)
    (2)
    例16、 (1)、、
    (2)
    (3)
    例17、
    演练1、 演练2、
    勤练习 促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6.
    7. 8.三角形得稳定性 9. 10.
    11. 12. 13.(1) (2)
    14.
    15.(1)
    (2)
    (3)



    第十三讲 全等三角形
    题型一 全等三角形的性质
    例题 1.
    演练 1. 2.
    例题 2. 3.
    演练 1.
    例题 4.
    演练 1.(1)先求证即可证明;(2)由(1)可得,所以
    例题 5.
    演练 1.(1)∵∴;(2)∵是等腰直角三角形,∴垂直平分
    2.(1)∵∴;(2)由(1)可知∴是等腰三角形,
    例题 6.(1)∵∴;(2)设点到的距离为,,
    演练 1.(1)∵∴;(2)
    例题 7.(1)∵∴;(2),∵∴,
    演练 1.(1)∵平分,∴
    又,
    ∴,
    ∵,度,∴度
    又度,∴度,度
    (2)由题知,∴
    ∵度,∴,∴度,∴度
    又平分,∴
    又,∴,∴
    2. (1)∵∴;(2)且,
    由(1)可知,;
    (3) .
    例题 8.①②③ 9. 10.
    11.
    演练 1.(1)1;(2)过点作,∵∴,∴
    2.方法一:过点作,∵∴,
    方法二:过点作,过点作,∵∴,∴,
    方法三:过点作交的延长线于点,∴,
    例题 12.延长至点,使,∵
    ∴,在中,﹤,﹥
    ∴﹤﹤
    演练 1. 2.②③④
    例题 13.截长:












    补短:延长至点使,∵∴,∵,,∴,
    演练 1.延长到点,使,连接



    例题 14.













    15.














    16. ③⑤⑥
    勤练习,促掌握
    1. 2. 3. 4. 5. 6.(1)由题可知,所以;(2)
    7.(1);(2);(3)当,当。
    8.






    9.【证明】∵
    ∴,(两直线平行,内错角相等)


    又∵


    ∴,(等式的性质)

    10.【证明】(1)由题意可知,
    ∴,

    在和中
    ,,
    ∴,∴
    ∵,
    ∴,∴,即
    (2)∵,∴ ①
    ∵,∴
    ∵,
    ∴ ②
    ∴由①、②得:,
    11.










    12.











    13.





























    第十三讲 全等三角形中的模型
    题型一 一线三垂直
    例题 1.


















    2.(1)∵,,,∴,;(2)连接,,∴,∵,∴
    3.过点,分别作,先求证可知;再求证可知;∴,∴,是的中线
    4.(1)①,;②,求证;
    (2)
    题型二 角平分线模型
    例题 5.










    6.














    7.



















    演练 1.









    2. 3. 4. 5.(1);(2);
    (3)在上截取,连
    在和中


    ∴,
    又,



    题型三 手拉手模型
    例题 8.















    演练 1.①②③④
    例题 9.








    10.














    11.(1)∵∴,
    (2)∵∴,
    题型四 半角模型
    例题 12.










    13.














    演练 1.(1)①;②相等,;(2)①
    2. (1);(2)
    勤练习,促掌握
    1.
    2.










    3.【解析】(1)证明:∵,

    在和中



    则,,
    ∴平分
    (2)由(1)知,又



    4.

















    5.











    6. (1);(2),求证
    7.



























    8.





























    第十四讲 全等三角形综合
    题型一 全等中的新定义
    例题1.(1)∵四边形是互补等对边四边形

    在和中


    (2)∵四边形是互补等对边四边形

    又由(1)





    (3)证明:如图③所示:过点、分别作的延长线与的垂线,垂足分别为、
    ∵四边形是互补等对边四边形,
    ∴,


    又∵,

    在和中



    在和中








    ∵,
















    例题2.





























    例题3.


    题型二 全等三角形中的大综合
    例题4.(1)证明:如图,设
    则,
    在中,∵



    ∴平分
    (2)证明:如图,过点作于点,过点作交的延长线于点


    ∴,

    在和中,



    在和中,



    (3)解:如图,连接
    在和中


























    例题5.





























    例题6.





























    例题7.(1)、、
    (2)∵,;又
    ∴或
    当在线段上时,如图①.连接、,则

    ∴,.又为中点
    ∴,且




    ∴,


    即轴
    ∴.
    当在线段的延长线上时,如备用图

    由①得,



    ∴,


    即轴

    综上所述:点的坐标为或
    (3)设,.过点作直线轴.


    又,

    ∴,且


    ∴轴
    ∴.
    ∴当从点沿轴负方向运动时,点从点沿直线向下运动
    ∵为中点






    ∴,且



    ∴点从运动至.路径长为

    例题8.




















    勤练习,促掌握
    1.①③④
    2.(1)证明:证明即可
    (2)解:①当时,点在线段上,点在线段上


    ∴(不合题意,舍去)
    ②当时,点在线段上,点在线段上



    综上,
    综上所述当时,与全等
    (3)解:∵






    ∵,




    3.





























    4.





















    (3)



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