【精品同步】数学同步培优练习八年级上册第十二讲 三角形及其简单应用（知识梳理+含答案）

这是一份【精品同步】数学同步培优练习八年级上册第十二讲 三角形及其简单应用（知识梳理+含答案），共71页。
第十二讲 三角形及其简单应用.



研课本 知考向




1.课程目标要求



授课内容
目标层级
1.三角形中的基本概念

2.三角形中的边和角

3.三角形中三条重要的线段

4.多边形中相关概念

5、三角形的两大模型






2.实时考向



本讲内容难度中等，在校考中主要考查三角形的三边关系，三角形中三条重要的线段，难度一般，可能出较难题。








解重点 固根基




基









【模块一】三角形中基本概念

就



三角形的定义：
由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性.
表示法及读法：
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示．
三角形的内角：
三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.
三角形的外角：
三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.
三角形的分类：

注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．






















题型一 三角形的稳定性


例1、（2019青一七下期末）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短
演练1、（2020中雅七下第三次月考）下列图形中具有稳定性的是( )
A. B. C. D.
例2、（2020中雅七下第三次月考）一个三角形三个内角的度数之比为，这个三角形一定是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【模块二】三角形中的边和角




1．三角形的边
（1）三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.
（2）三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边．
即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段．
（3）三角形的角平分线：
①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
②性质：三角形的三条角平分线交于一点
（4）三角形的中线：
①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
②性质：三角形的三条中线交于一点．
（5）三角形的高：
①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点．
2．三角形的角
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角和等于.
（3）三角形内角和定理的三个推论：
①推论1：直角三角形的两个锐角互余．
②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角．
（4）三角形的外角和：
每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和．三角形的外角和等于．
3.多边形
（1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）分类：凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）
（3）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形）

（4）n边形内角和等于．n边形外角和等于360°．






































题型二 三角形的边


例3、（2020广益七下期末）以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
演练1、（2020长郡七下期末）已知三角形三边长为，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
演练2、（2019长郡七下期末）已如三角形的两边长分别为5和7，则第三边长不可能是（ ）
A.2 B.3 C.10 D.11
演练3、（2019雅礼七下期末）已知三角形的三边长分别为1，2，，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
演练4、（2020青一七下第三次月考）设的三边长分别为，，，其中，满足，则第三边的长度取值范围是( )
A. B. C. D.
例4、（2020师博七下期末）如图1，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是_________.

图1 图2
演练1、（2020立信七下第一次月考）如图2，点到直线的距离是指( )
A.线段的长度 B.线段的长度 C.线段的长度 D.线段的长度
演练2、（2020师博七下期末）画中边上的高，下面的画法中，正确的是( )
A. B. C. D.
例5、（2020广益七下期末）如图3，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，，，则的面积是( )
A. B. C. D.

图3 图4 图5
演练1、（2019青一七下期末）如图4，是的角平分线，是的高，，则__________.
演练2、（2019雅礼七下期末）如图5，已知中，、分别是、的平分线，、交于点，，则__________.
演练3、（2020青一第一次月考）如图6，是中的平分线，是的邻补角的角平分线，如果，，则________.

图6 图7
演练4、（2020广益七下期末）如图所示，已知在中，，，平分交于点，于点，的周长为，则______.
题型三 三角形的角



例6、（2020师博七下期末）下列命题错误的是( )
A.长度为，，的三条线段可以组成三角形 B.任意三角形的内角和都是
C.多边形的外角和是 D.两直线平行，同位角相等

例7、（2019雅礼七下期末）如图8，三角形一外角为，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
演练1、（2020师博七下期末）如图9，点在的延长线上，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
演练2、（2020中雅七下第三次月考）如图10，，，，恒满足的关系式是( )
A. B.
C. D.

图8 图9 图10
例8、（2019广益七下期末）如图，在中，，若沿图中虚线截去，则（ ）
A. B.
C. D.
例9、（2019雅礼七下期末）如果一个多边形的内角和等于，这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
演练1、（2019青一七下期末）一个凸多边形的内角和是外角和度数的3倍，则这个多边形是__________边形.
例10、（2020中雅七下期末）正十二边形的每一个内角的度数为( )
A. B. C. D.
演练1、（2019长郡七下期末改编）已知一个正多边形的每个内角都是，则这个正多边形是正__________边形.
演练2、（2020中雅七下第三次月考）一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，那么这个多边形的边数为________.
演练3、（2020长郡七下期末）如图11，由一个正六边形和一个正五边形组成的图形中的度数是________.

图11 图12
例11、（2020长郡七下期末）如图12，一副直角三角板如图示放置，点在的延长线上，点在边上，，，则( )
A. B. C. D.
例12、（2019雅礼七下期末）如图，中，，是的角平分线。
（1）若，求的度数；
（2）若是的中点，的面积为24，，求的长。


演练1、（2020中雅七下第三次月考）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，.
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为，，，求的周长.









【模块三】三角形的两大模型

就




模块一 两大模型与角度关系
“飞镖”模型


“8”字模型


飞镖模型结论的常用证明方法：

模块二 两大模型与边长关系
“飞镖”模型


“8”字模型



































题型四 两大模型的应用


例13、（1）如图13-1，中，点D在BC的延长线上，过D作于E，交AC于F．已知，，则的度数为___________．
（2）如图13-2，，则 ．
（3）如图13-3，则___________．

图13-1 图13-2 图13-3





例14、如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．
求证：（1）；
（2）．






例15、（2020中雅七下第三次月考）如图，在，，平分交于点，过点作，垂足为.
(1)若，，求，的度数；
(2)若，，请直接用含，的式子表示，.





例16、（2020青一七下第三次月考）如图，在中，于，于，于，且，，交于点；
(1)若，，且的周长为奇数，求的长；
(2)若平分，，，求的度数；
(3)若，，且为整数，求的长.






例17、（2020青一七下第三次月考）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是( )
①的面积等于的面积；②；
③；④是的角平分线
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.①③④

演练1、（2020中雅七下第三次月考）如图，，，分别平分线的内角，外角，平分外角交的延长线于点.下列结论：
①；②；③；
④.其中正确的结论有( )
A.个
B.个
C.个
D.个
演练2、（2020师博七下期末）如图，，，，分别平分的外角、内角、外角.以下结论：①；②；③平分；④.其中正确的结论有（ ）
A.个
B.个
C.个
D.个





勤练习 促掌握




1、（2020长郡七下期末）中，若，则的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
2、（2020中雅七下第三次月考）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
3、（2020青一七下期中）如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.上述答案都不正确

4、（2020中雅七下期末）中边上的高作法正确的是( )
A. B.
C. D.
5、（2020广益七下期末）一个多边形的内角和比外角和的倍多，则它的边数是( )
A.八 B.九 C.十 D.十一
6、（2020雅礼七下期末）如图，已知和是的角平分线，，则( )
A. B.
C. D.
7、（2020广益七下期中）若一个多边形的内角和与外角和之和是，则此多边形是( )边形.
A.八 B.十 C.十二 D.十四
8、（2020长郡七下期中）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图1所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条(即图中的，两根木条)，这其中的数学原理是___________.
9、（2020长郡七下期中）一副直角三角板如图2放置，其中，，，点在的延长线上，若，则等于___________.

图1 图2 图3
10、（2020师博七下期末）如图3，是的高，是的角平分线，，相交于点，已知，则_________度.

图4 图5
11、（2020中雅七下期末）如图4，四边形中，且，分别是和的邻补角，则，则________.
12、（2020中雅七下第三次月考）如图5，的面积为，分别延长，，至点，，，使得，，，则的面积为________.
13、（2020长郡七下期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点.
(1)求的度数；
(2)过点作，交的延长线于点，求的度数.



14、（2020长郡七下期中）如图，中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数.






15、（2020广益七下期末）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，延长与外角的平分线交于点.
(1)若，求和的度数；
(2)若，请直接写出和的度数(用含的代数式表示)；
(3)若高和的角平分线交于点，在(2)的条件下求的度数(用含的代数式表示).





七年级培优教材答案
第一讲 实数及其简单应用
题型一、求平方根、算术平方根
例1、（1） （2） （3）
例2、
演练1、 演练2、
例3、
演练1、 演练2、
易错题1、 易错题2、 易错题3、
题型二、开平方及相关运算
例4、 （1） （2） （3） （4）或
演练1、 或
题型三、求立方根、开立方及相关运算
例5、
演练1、 演练2、
题型四、平方根和立方根的简单应用
例6、
演练1、
例7、
演练1、 演练2、
例8、
演练1、
题型五、实数的概念与分类
例9、
演练1、 演练2、 演练3、
例10、
演练2、
题型六、实数的计算
例11、 （1） （2）或
演练1、（1） （2）或
例12、
演练1、（1） （2） 演练2、 演练3、
加餐练习、
1. 2. 3. 4. 5. 6.
题型七、实数的估算
例13、
演练1、
例14、
演练1、 演练2、
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

第二讲 实数的综合应用
题型一、利用实数性质解题
例1、
演练1、 演练2、 演练3、
例2、
例3、
演练1、 演练2、 演练3、
例4、
演练1、 演练2、 演练3、
例5、
演练1、（1） （2）
例6、
演练1、
题型二、实数与化简
例7、
演练1、 演练2、（1） （2）
题型三、实数中其他应用
例8、 ① ② ③ ④
演练1、
例9、
例10、
题型四、实数中的新定义
例11、
演练1、
例12、 （1） （2）
例13、
演练1、 演练2、
例14、
演练1、（1） （2） （3）
勤学习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. （1） （2） 9. 10.

第三讲 实数的综合应用
题型一、平面直角坐标系与点的坐标
例1、
例2、
演练1、 一
例3、
演练1、 演练2、 演练3、
例4、
演练1、 演练2、
例5、
演练1、 演练2、 演练3、
例6、
例7、
题型二、坐标系中的平移
例8、
演练1、 演练2、
例9、
例10、
演练1、
例11、
演练1、 演练2、 演练3、
题型三、坐标系中的对称、位置
例12、
演练1、（1） （2），为任意实数 （3）
例13、
演练1、
题型四、坐标系的面积
例14、 （1） （2） （3）或
例15、 （1），， （2）
（3） 或
演练1、（1），, （2）略
（3）
演练2、 （1），， （2）
勤学习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. ，
10. （1），， （2）.
11. （1）略 （2），，
第四讲 坐标系中的规律探究与新定义
题型一 一般规律问题
例题 1. 2. 3.
演练 1. 2.
例题 4.
演练 1.
题型二 正方形中的规律问题
例题 5.
演练 1. 2.
例题 6.
演练 1.
题型三 旋转类规律问题
例题 7.
演练 1.
例题 8.
题型四 坐标系中的新定义
例题 9. 10.（1）①，；②；（2）“识别距离”最小值为，
11. （1）；（2）；（3）
12. （1）；（2）；（3），
勤练习，促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.（1）；（2）；（3）等腰三角形，理由如下：根据题意可求出
第五讲 坐标系中的综合应用
题型一、坐标与面积
例1、 （1） （2）
（3）设

， 或
例2、①
②
③当在线段上时,当在点左侧时
题型二、坐标与角度、面积的结合
例3、（1）
（2）的平分线和的平分线交于点



设,则
作，则
又





（3）存在某一时刻，使的面积等于长方形面积的，
作 轴于，，


例4、 (1)∵且
∴，
又∵点关于轴对称点为点
∴点的坐标
(2)∵为中点，为中点
∴为重心
∴
又∵
∴
(3)由题意可得：
∴
又∵
∴
又∵
∴
题型三、坐标与平行、面积的结合
例5、 (1)由题意得：，，
∴，，
∴点、、的坐标为：，，
(2)不变，
如图2，过点做
∵，
∴
∴，
∵，∴
∵，∴
∴
∵、分别平分，
∴，
∴
(3)设点
①若点位于轴正半轴上且，过点作轴，则
，，


由题意得：，即，解得.此时点
②若点位于轴负半轴上，则，




由题意：，即，解得，此时
③若点位于轴正半轴上且，此时显然不成立
综上所述：存在或使的面积等于的面积的

例6、 (1)∵
∴，
∴，
∴，
∴
(2)存在点或使，证明如下：
设坐标为，在

∴，
∴坐标为或
(3) (过点作轴平行线即可)

例7、 （1）


(2)




或
（3）设旋转t s后OA与CN平行
①当时








②当时




同理可得

（舍）
③时，如图2


同理可得：


综上所述或
题型四、坐标系中的定值问题
例8、 (1)
（2）


（3） 定值为3
例9、 （1）


又

（2） 当入射角为时，反射光线与平行
（3）
题型五、坐标系中的动态问题分析
例10、 （1）
（2）根据平移性质得： ,
∴ ，解得：AC=6，
（3）∵AC∥x轴，AC=6,∴C的坐标为（6，3），根据平移性质得D(4,7),
，
∴,∵B点横坐标为2，
又∵ ,
∴当P点在M,N点时等式成立，
满足条件的时间t如下：
1） 开始到第一次掉头时， ；
2） 第一次掉头到第二次掉头时， ；
3） 第二次掉头到第三次掉头时， ；
4） 第三次掉头到第四次掉头时， ；
5） 第四次掉头到第五次掉头时，（不符合题意），
∴符合的时间有：0s，18s，27s，33s，37.5s
例11、 （1）
（2） ① ② ③
（3） 或
勤练习 促掌握
1. （1） （2） （3）
2. (1)
(2) 或
(3)
3. (1)，
(2)的大小不变
延长、交于点
∵直线与直线垂直相交于
∴
∴
∴
∵、分别是和的角平分线
∴，
∴
∴
∴
∴
∵、分别是和的角平分线
∴
∴
(3)∵与的角平分线相交于
∴，
∴
∵、分别是和的角平分线
∴
在中
∵有一个角是另一个角的倍，故有：
①，，
②，，(舍)
③，，
④，，(舍)
∴为或
4. （1）
（2） （提示：方程解题）
（3） ①当时，;当时，
②

第六讲 二元一次方程（组）及其解法和应用
题型一 二元一次方程（组）的定义
例题 1.
演练 1. 2.
例题 2. 3.
演练 1.
例题 4.
演练 1.
题型二 二元一次方程（组）的解的概念
例题 5.
演练 1. 2. 3.
题型三 二元一次方程（组）的解法
例题 7.
演练 1. 2.
例题 8.
演练 1. 2.
例题 9.（1）；（2）
演练 1.（1）；（2） 2.（1）；（2）
3.（1）；（2）
例题 10.
演练 1. 2. 3.
例题 11.（1）；（2）
演练 1.（1）；（2）
题型四 二元一次方程组一般应用
例题 12. 13. 14.
题型五 古文中的二元一次方程组
例题 15.
演练 1.
题型六 图形中的二元一次方程组
例题 16.
演练 1. 2.设加工竖式纸盒个，横式纸盒个。依题意，得
解得
题型七 二元一次方程组综合应用
例题 17.（1）设排球单价元，实心球单价元。依题意，得解得；（2）（元）
演练 1.（1）设购进甲型口罩个，乙型口罩个。依题意，得
解得；（2）设每袋乙型口罩打折。，，四折。
2.（1）购进黑色文化衫件，白色文化衫件。依题意，得解得；
（2）（元）
3.（1）设型车进价为元，型车进价为元。依题意，得解得；
（2）方案①型车：2辆，型车：15辆；方案②型车：4辆，型车：10辆；
方案③型车：6辆，型车：5辆。（3）方案①利润最大，最大利润是元。
勤练习，促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.（1）；（2） 13.（1）；（2）
14.设长方形地砖的长为，宽为。依题意，得解得。
15.（1）设茄子的种植面积为公顷，西红柿的种植面积为公顷。依题意，得解得；（2）（万元）
第七讲 含参二元一次方程（组）的解法
题型一、特殊方程组的解法
例1、
演练1、
例2、 、、
演练1、
例3、 、、
演练1、 、、
演练2、 （1） （2）、、、
例4、
演练1、
例5、
题型二、已知解求参数
例6、
演练1、 演练2、
题型三、已知解的关系求参数
例7、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、略
题型四、同解问题与错解问题
例8、
演练1、
例9、
演练1、（1）、 （2）、
题型五、整数解问题
例10、
例11、 （1）、 （2）
题型六、二元一次方程组中的新定义
例12、 （1） （2）
（3） ①当，时，不存在解坐标
②当，时，存在无数个解坐标
演练1、（1） （2） （3）
勤练习 促掌握
1. 2. 3.
4. （1） （2）
5. 6. 、、原式
7. （1）①不是②的“中雅方程组”
（2）或或
（3）
第八讲 一元一次不等式与不等式组
题型一、不等式的概念和性质
例1、
例2、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
题型二、一元一次不等式的概念和解法
例3、
例4、
演练1、
例13、
演练1、
例5、
演练1、
例6、
例7、
演练1、 演练2、
例8、
题型三、一元一次不等式组的概念和解法
例9、 （1） （2）
演练1、 演练2、 演练3、
例10、
演练1、 演练2、 演练3、 整数解为、、
例11、
例12、
演练1、
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. （1） （2） 11.
12. （1） （2） 13. （1） （2）
14. 非整数解的和为 15.
第九讲 一元一次不等式组的实际应用
题型一、实际应用
例1、
演练1、（1）奖品每件元，奖品每件元
（2）奖品最多购买件
题型二、方案选择
例2、 （1）甲种客车载客量为人，乙种客车载客量为人
（2）两种租车方案①甲车辆，乙车辆②甲车辆，乙车辆，第①种方案最省钱
演练1、 （1）老师有人，学生有人；
（2）辆
（3）种，元
例3、 （1）大型渣土车每次运土方吨，小型渣土车每次运土方吨
（2） ①大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
②大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
③大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
④大型渣土车辆，小型渣土车辆，总费用为元
最少需要花费元。
演练1、（1）类货车每辆补贴油费元，类货车每辆补贴油费元
（2）最少为元。
演练2、（1）甲货车每次满载能运输吨物资，乙货车每次满载能运输吨物资
（2）安排甲货车辆，乙货车辆最节省费用，最少为元
例4、 （1）型号的扫地车每周可以处理吨，型号的扫地车每周可以处理吨。
（2）一共有三种方案：
①购买型扫地车辆，型扫地车辆
②购买型扫地车辆，型扫地车辆
③购买型扫地车辆，型扫地车辆
方案①所需资金最少，最少为万元。
例5、 （1）改造个甲种型号大棚需要万元，改造个乙种型号大棚需要万元
（2）一共有三种方案：
①改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚
②改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚
③改造个甲种型号大棚，个乙种型号大棚
方案③所需资金最少，最少为万元。
例6、 （1）甲种笔每支元，乙种笔每支元
（2）共有种进货方案。
演练1、（1）甲种文具每件元，乙种文具每件元
（2）一共有三种方案：
①购买甲种文具件，乙种文具件
②购买甲种文具件，乙种文具件
③购买甲种文具件，乙种文具件
演练2、（1）每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为元
（2）一共有三种方案：
①购进件甲产品，件乙产品
②购进件甲产品，件乙产品
③购进件甲产品，件乙产品
方案③利润最大，最大利润为万元。
例7、 （1）每本数学文化的价格为元，每本文学名著的价格为元
（2）一共有三种方案：
①购进数学文化本，文学名著本
②购进数学文化本，文学名著本
③购进数学文化本，文学名著本
演练1、（1）甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元
（2）一共有三种方案：
①购买甲种奖品个，乙种奖品个
②购买甲种奖品个，乙种奖品个
③购买甲种奖品个，乙种奖品个
方案①最省钱
例8、 （1）购买种树每颗需要元，购买种树每颗需要元
（2）一共有三种方案：
①购买种树棵，购买种树棵
②购买种树棵，购买种树棵
③购买种树棵，购买种树棵
演练1、（1）购买种树苗每颗需要元，购买种树苗每颗需要元
（2）一共有三种方案：
①购进种树苗棵，购进种树苗棵
②购进种树苗棵，购进种树苗棵
③购进种树苗棵，购进种树苗棵
方案①最省钱，最少工钱为元
例9、 （1） （2） （3），为或
例10、 （1）①③ （2） （3）
勤练习 促掌握
1. （1）奖品的单价为元，shshan商品的单价为元
（2）至少购买zh种商品个
2. （1）一件文化衫元，一套明信片元
（2）购买文化衫件，购买明信片套
3. （1）帐篷有个，食品包有个
（2）方案一：安排辆乙种货车；方案二：安排辆甲种货车，辆乙种货车；方案三：安排辆甲种货车，辆乙种货车；方案四：安排辆甲种货车，辆乙种货车；方案五：安排辆甲种货车，辆乙种货车；
（3）选用方案运费最少，最少是元。
4. （1）甲商品件，乙商品件
（2）乙商品最低售价为每件元

第十讲 不等式组的综合应用
题型一、已知范围求解
例1、
演练1、
演练2、 演练3、
演练4、 （1） （2） （3） 为
演练5、（1） （2） （3）
题型二、整数解问题
例2、
例3、
演练1、 演练2、
题型三、不等式中的新定义
例4、 （1）① ② （2） （3） （4）或
演练1、（1） （2） （3）或
演练2、（1）① ② （2） （3）或
例5、 （1） （2）① ② ③
例6、 （1）① ② （2）或 （3）
例7、 （1） （2） （3）
例8、 （1） （2）或 （3）
例9、 （1）②是 （2）或 （3）
例10、 （1） 是 （2） （3）
例11、 （1）存在“雅含”关系，是的“子式”
（2） （3）
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4.
5. （1） （2） 6.（1） （2）
7.（1） （2） （3）或
8. （1） （2） （3）

第十一讲 调查统计和直方图
题型一、统计相关的概念
例1、 每名考生的数学成绩
演练1、
例2、
例3、
演练1、 演练2、 演练3、③
例4、
例5、
例6、
演练1、 演练2、 演练3、
例7、
题型二、数据的描述
例8、
演练1、 演练2、
例9、 （1）人 （2） （3） 名
演练1、（1）名 （2） （3）名
演练2、（1）名 （2） （3）名
演练3、（1）踢毽子人数为名 （2） （3）人
演练4、（1） （2）略 （3）万人
演练5、（1）吨 （2） （3）吨

勤练习 促掌握
1. 2. 3.
4. （1）名 （2） （3）万户
5. （1） （2）略 （3）名
6.（1）， （2）略 （3）人
第十二讲 三角形及其简单应用
题型一、三角形的稳定性
例1、
演练1、
例2、
题型二、三角形的边
例3、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
例4、
演练1、 演练2、
例5、
演练1、 演练2、 演练3、 演练4、
题型三、三角形的角
例6、
例7、
演练1、 演练2、
例8、
例9、
演练1、 八边形 演练2、
例10、
演练1、 十二 演练2、 演练3、
例11、
例12、 （1） （2）
演练1、 （1） （2）
题型四、两大模型的应用
例13、 （1） （2） （3）
例14、 （1）在和中



（2） 由（1）得


例15、 （1）
（2）
例16、 （1）、、
（2）
（3）
例17、
演练1、 演练2、
勤练习 促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8.三角形得稳定性 9. 10.
11. 12. 13.（1） （2）
14.
15.（1）
（2）
（3）



第十三讲 全等三角形
题型一 全等三角形的性质
例题 1.
演练 1. 2.
例题 2. 3.
演练 1.
例题 4.
演练 1.（1）先求证即可证明；（2）由（1）可得，所以
例题 5.
演练 1.（1）∵∴；（2）∵是等腰直角三角形，∴垂直平分
2.（1）∵∴；（2）由（1）可知∴是等腰三角形，
例题 6.（1）∵∴；（2）设点到的距离为，，
演练 1.（1）∵∴；（2）
例题 7.（1）∵∴；（2），∵∴，
演练 1.（1）∵平分，∴
又，
∴，
∵，度，∴度
又度，∴度，度
（2）由题知，∴
∵度，∴，∴度，∴度
又平分，∴
又，∴，∴
2. （1）∵∴；（2）且，
由（1）可知,；
（3） .
例题 8.①②③ 9. 10.
11.
演练 1.（1）1；（2）过点作，∵∴，∴
2.方法一：过点作，∵∴，
方法二：过点作，过点作,∵∴，∴，
方法三：过点作交的延长线于点，∴，
例题 12.延长至点，使，∵
∴，在中，﹤,﹥
∴﹤﹤
演练 1. 2.②③④
例题 13.截长：












补短：延长至点使，∵∴，∵,，∴，
演练 1.延长到点，使，连接



例题 14.













15.














16. ③⑤⑥
勤练习，促掌握
1. 2. 3. 4. 5. 6.（1）由题可知,所以；（2）
7.（1）；（2）；（3）当，当。
8.






9.【证明】∵
∴，(两直线平行，内错角相等)
∵
∴
又∵
∴
∴
∴，(等式的性质)
∴
10.【证明】(1)由题意可知，
∴，
又
在和中
，，
∴，∴
∵，
∴，∴，即
(2)∵，∴ ①
∵，∴
∵，
∴ ②
∴由①、②得：，
11.










12.











13.





























第十三讲 全等三角形中的模型
题型一 一线三垂直
例题 1.


















2.（1）∵,,，∴，；（2）连接，,∴，∵，∴
3.过点，分别作，先求证可知；再求证可知；∴，∴，是的中线
4.（1）①，；②，求证；
（2）
题型二 角平分线模型
例题 5.










6.














7.



















演练 1.









2. 3. 4. 5.（1）；（2）；
（3）在上截取，连
在和中

∴
∴，
又，
∴
∴
∴
题型三 手拉手模型
例题 8.















演练 1.①②③④
例题 9.








10.














11.（1）∵∴,
（2）∵∴，
题型四 半角模型
例题 12.










13.














演练 1.（1）①；②相等，；（2）①
2. （1）；（2）
勤练习，促掌握
1.
2.










3.【解析】(1)证明：∵，
∴
在和中

∴
∴
则，，
∴平分
(2)由(1)知，又
∴


4.

















5.











6. （1）；（2），求证
7.



























8.





























第十四讲 全等三角形综合
题型一 全等中的新定义
例题1.(1)∵四边形是互补等对边四边形
∴
在和中

∴
(2)∵四边形是互补等对边四边形
∴
又由(1)
∴
∴
∵
∴
∴
(3)证明：如图③所示：过点、分别作的延长线与的垂线，垂足分别为、
∵四边形是互补等对边四边形，
∴，
又
∴
又∵，
∴
在和中

∴
∴
在和中

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∵















例题2.





























例题3.


题型二 全等三角形中的大综合
例题4.（1）证明：如图，设
则，
在中，∵
∴
∴
∴
∴平分
（2）证明：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点
∵
∴
∴，
∴
在和中，

∴
∴
在和中，

∴
∴
（3）解：如图，连接
在和中

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴















例题5.





























例题6.





























例题7.(1)、、
(2)∵，；又
∴或
当在线段上时，如图①.连接、，则
∵
∴，.又为中点
∴，且
又
∴
又
∴
∴，
∵
∴
即轴
∴.
当在线段的延长线上时，如备用图
∴
由①得，
∴
又
∴
∴，
∵
∴
即轴
∴
综上所述：点的坐标为或
(3)设，.过点作直线轴.
∵
∴
又，
∴
∴，且
∵
∴
∴轴
∴.
∴当从点沿轴负方向运动时，点从点沿直线向下运动
∵为中点
∴
又
∴
∴
∴
∵
∴，且
∴
∴
∴
∴点从运动至.路径长为

例题8.




















勤练习，促掌握
1.①③④
2.(1)证明：证明即可
(2)解：①当时，点在线段上，点在线段上
，
∴
∴(不合题意，舍去)
②当时，点在线段上，点在线段上
，
∴
∴
综上，
综上所述当时，与全等
(3)解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵，
∴



3.





























4.





















（3）