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数学八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试学案设计
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这是一份数学八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试学案设计，共70页。学案主要包含了矩形的定义，矩形的性质，矩形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等内容，欢迎下载使用。
第十八章 平行四边形
18.3 特殊平行四边形
18.3.1矩形
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
详解：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角. 即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
详解：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形. 过中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
详解：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
详解：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论. 性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
类型一、矩形的性质
例1、如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB3∠CBN．
（1）求证：∠PNM2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
点拨：（1）由MN∥BC，易得∠CBN∠MNB，由已知∠PNB3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；
（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN∠CBN，由（1）知∠PNM2∠CBN2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN∠ANM，所以∠PAN∠PNA，根据等角对等边得到APPN，再用勾股定理列方程求出AP．
练习：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，DC边的中点，AN与MC交于P点，若∠MCB∠NBC+33°，那么∠MPA的大小是（ ）
A. 33° B. 66° C. 45° D. 78°
类型二、矩形的判定
① 对角线相等的平行四边形是矩形
例2、如图，将ABCD的边AB延长到点E，使BEAB，连接DE，交边BC于点F.
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
② 有三个角是直角的四边形是矩形
例3、如图所示，平行四边形ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形．
点拨：AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．
③ 有一个角是直角的平行四边形是矩形
例4、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
并证明你的结论.
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
例5、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
练习：如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
一、选择题
1. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（ ）
A.3cm2 B. 4cm2 C. 12cm2 D. 4cm2或12cm2
3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A. ABBE B. DE⊥DC
C.∠ADB90° D. CE⊥DE
4. 矩形的面积为120cm2，周长为46cm，则它的对角线长为（ ）
A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 18cm
二、填空题
5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为 ．
6. 矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
7. 如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，
△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_________.
8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．
提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC. PC最小时是直角三角形斜边上的高.
9. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？
请说明理由．
10. 如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．
（1）求证：；
（2）设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．
11. 如图，ABAC，ADAE，DEBC，且∠BAD∠CAE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形BCDE是矩形．
点拨：（1）利用SAS证得两个三角形全等即可；（2）要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等．
12. 如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．
18.3.2菱形
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
详解：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形. ②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
详解：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
详解：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
类型一、菱形的性质
例1、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DFBE．
点拨： 连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，CDBC，再根据
角平分线的性质可得CECF，可证Rt△CDF≌Rt△CBE (HL)，
即可得出DFBE．
练习：1、如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED50°，则∠CBO 度．
2、菱形ABCD中，∠A:∠B＝1:5，若周长为8，则此菱形的高等于（ ）
A. B. 4 C. 1 D. 2
提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于×2＝1.
类型二、菱形的判定
① 邻边相等的平行四边形是菱形
例2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．
点拨：由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由
∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．
② 对角线垂直的平行四边形是菱形
例3、如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由．
类型三、菱形中的动点问题
例4、如图，在等边三角形ABC中，BC6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t (s)．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．
练习：1、已知，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF、CE. 求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止. 在运动过程中，
① 已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当以A、C、 P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
② 若点P、Q的运动路程分别为a、b (单位：cm，ab≠0)，已知以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.
分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
2、已知，在△ABC中，ABACa，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
1. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F. 求证：四边形AEFG是菱形．
2. 如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．
3. 如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求
∠CEF的度数．
点拨：由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
4. 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE1，AF2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
点拨：作F点关于BD的对称点F′，则PFPF′，由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO2，求四边形ABCD的周长．
6. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE4，∠BCF120°，求AB的长.
18.3.3正方形
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
详解：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
详解：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
详解：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
类型一、正方形的性质
例1、如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD35°，∠AEF15°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．55°
C．70° D．75°
点拨：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
练习：1、如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
2、如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
类型二、正方形的判定
① 有一组邻边相等的矩形是正方形
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由．
解析：是正方形，理由如下：
作DG⊥AB于点G．
∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴ DF＝DG．
同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．
∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，
∴ 四边形CEDF是矩形．
∵ DF＝DE．
∴ 四边形CEDF是正方形．
总结：(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．
练习：如图，在△ABC中，ABAC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明.
② 有一个角为直角的菱形是正方形
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC90°，ADCD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AFBF；
（2）如果ABAC，求证：四边形AFCG是正方形．
点拨：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AFCF，再根据等角的余角相等可得∠B∠BAF，所以AFBF．
（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AGCF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．
类型三、正方形综合应用
例4、如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．
（1）求证：AE＋CF＝EF．
（2）若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．
练习：如图所示，正方形ABCD的对角线交点为O，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．
点拨：在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍法又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．
类型四、新定义题型
例5、如图①，在矩形ABCD中，AB2，BC4，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 三角形；
（2）如图②，当“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，请求出此最大面积，并求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
类型五、正方形中的动点问题
例6、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
2. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
3. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A． B．
C． D．
4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
A. 16 B. 17
C. 18 D. 19
6. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 .
7. 如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．
8. 如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGH，… . 已知正方形ABCD的面积S11，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8 ．
9. 如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H.
（1）若BDBF，求BE的长；
（2）若∠ADE2∠BFE，求证：HFHE+HD.
11. 如图，矩形ABCD中，AD6，DC8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH2，连接CF．
（1）若DG2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG6，求△FCG的面积．
八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS)；
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：
证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.
例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵
∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..
例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
平行四边形单元测试
1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.60°,120°
14.32
15.5
16.8
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,
所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,
∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.
理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.
第十九章 一次函数
19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。
巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图
(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a
答案：1-9：BCBBABCBC 10.1． 11.-1 12.y=﹣x(答案不唯一)．
13. (0，0)(答案不唯一)．14. 2．(答案不唯一) 15.-2 16.> ；<
17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小．
19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵它图象经过点P(﹣1，2)，
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，
∴m+3=2m．
∴m=3．
20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2
21.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：．
22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元
23.P1(，4)P2(，-4)
19.3一次函数
例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C
练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三
例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4
二、选择题
1-13：D A A B B C DCCBAAB
三、解答题
1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)
2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 4
19.4一次函数与一次方程(组)
例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15
例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3)
19.5一次函数与一次不等式
例1、 D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B
例3、3
1. C 2.A 3.A 4.< 5.①A(3,3) ②x>3 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.
19.6一次函数的应用
例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册
练习：(1) (2)至少100套
例2、(1)
(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。
练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．
例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。
练习：(1)
(2)∵50<60，
∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；
∵100>60，
∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；
(3)该月通话的次数是120次。
例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4
练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.
甲乙两地之间的距离为280千米。
(2)3.5小时
(3)
例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。
练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。
例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。
练习：(1)
(2)当x=44时，ymax=3820，
即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；
选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。
练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得
190⩽12x+8(20−x)⩽200，
解得7.5⩽x⩽10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件。
(2)设利润为w元，
则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；
②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。
例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．
练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为
；
(2)根据题意可列不等式组
解得28⩽x⩽30
所以，方案有以下几种
①A 28 B 22
②A 29 B 21
③A 30 B 20；
(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小
因此方案③运费最少
y=−0.3×30+40=31，
所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。
例9、(1)30⩽x⩽32.
(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。
练习：(1).
(2)根据题意列出不等式得,且，
解得200⩽x⩽250
250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，
即1250⩽w⩽1300.
例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：
选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，
选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；
(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，
解得x>400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)
(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得
由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
课后巩固
1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
课后巩固
一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。
第十八章 平行四边形
18.3 特殊平行四边形
18.3.1矩形
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
详解：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角. 即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
详解：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形. 过中心的任意直线可将矩形分成全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
详解：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
详解：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论. 性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
类型一、矩形的性质
例1、如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB3∠CBN．
（1）求证：∠PNM2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
点拨：（1）由MN∥BC，易得∠CBN∠MNB，由已知∠PNB3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；
（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN∠CBN，由（1）知∠PNM2∠CBN2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN∠ANM，所以∠PAN∠PNA，根据等角对等边得到APPN，再用勾股定理列方程求出AP．
练习：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，DC边的中点，AN与MC交于P点，若∠MCB∠NBC+33°，那么∠MPA的大小是（ ）
A. 33° B. 66° C. 45° D. 78°
类型二、矩形的判定
① 对角线相等的平行四边形是矩形
例2、如图，将ABCD的边AB延长到点E，使BEAB，连接DE，交边BC于点F.
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
② 有三个角是直角的四边形是矩形
例3、如图所示，平行四边形ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形．
点拨：AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．
③ 有一个角是直角的平行四边形是矩形
例4、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？
并证明你的结论.
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
例5、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
练习：如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
一、选择题
1. 下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分
2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（ ）
A.3cm2 B. 4cm2 C. 12cm2 D. 4cm2或12cm2
3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A. ABBE B. DE⊥DC
C.∠ADB90° D. CE⊥DE
4. 矩形的面积为120cm2，周长为46cm，则它的对角线长为（ ）
A. 15cm B. 16cm C. 17cm D. 18cm
二、填空题
5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为 ．
6. 矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为 ．
7. 如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，
△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_________.
8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________．
提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC. PC最小时是直角三角形斜边上的高.
9. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？
请说明理由．
10. 如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在点处．
（1）求证：；
（2）设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明．
11. 如图，ABAC，ADAE，DEBC，且∠BAD∠CAE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：四边形BCDE是矩形．
点拨：（1）利用SAS证得两个三角形全等即可；（2）要证明四边形BCED为矩形，则要证明四边形BCED是平行四边形，且对角线相等．
12. 如图所示，BD、CE是△ABC两边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：FG⊥DE．
18.3.2菱形
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
详解：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形. ②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
详解：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
详解：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
类型一、菱形的性质
例1、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DFBE．
点拨： 连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，CDBC，再根据
角平分线的性质可得CECF，可证Rt△CDF≌Rt△CBE (HL)，
即可得出DFBE．
练习：1、如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED50°，则∠CBO 度．
2、菱形ABCD中，∠A:∠B＝1:5，若周长为8，则此菱形的高等于（ ）
A. B. 4 C. 1 D. 2
提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于×2＝1.
类型二、菱形的判定
① 邻边相等的平行四边形是菱形
例2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗？试说明理由．
点拨：由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由
∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．
② 对角线垂直的平行四边形是菱形
例3、如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由．
类型三、菱形中的动点问题
例4、如图，在等边三角形ABC中，BC6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t (s)．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．
练习：1、已知，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.
（1）如图1，连接AF、CE. 求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止. 在运动过程中，
① 已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当以A、C、 P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值.
② 若点P、Q的运动路程分别为a、b (单位：cm，ab≠0)，已知以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.
分析：（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；
（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．
2、已知，在△ABC中，ABACa，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.
1. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F. 求证：四边形AEFG是菱形．
2. 如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．
3. 如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求
∠CEF的度数．
点拨：由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．
4. 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE1，AF2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
点拨：作F点关于BD的对称点F′，则PFPF′，由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．
5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO2，求四边形ABCD的周长．
6. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE4，∠BCF120°，求AB的长.
18.3.3正方形
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
详解：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
详解：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形.
要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
详解：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.
类型一、正方形的性质
例1、如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD35°，∠AEF15°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．55°
C．70° D．75°
点拨：由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
练习：1、如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．
2、如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
类型二、正方形的判定
① 有一组邻边相等的矩形是正方形
例2、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由．
解析：是正方形，理由如下：
作DG⊥AB于点G．
∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，
∴ DF＝DG．
同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．
∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，
∴ 四边形CEDF是矩形．
∵ DF＝DE．
∴ 四边形CEDF是正方形．
总结：(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．
练习：如图，在△ABC中，ABAC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E.
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明.
② 有一个角为直角的菱形是正方形
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC90°，ADCD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
（1）求证：AFBF；
（2）如果ABAC，求证：四边形AFCG是正方形．
点拨：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AFCF，再根据等角的余角相等可得∠B∠BAF，所以AFBF．
（2）由AAS可证△AEG≌△CEF，所以AGCF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形．
类型三、正方形综合应用
例4、如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若∠EBF＝45°．
（1）求证：AE＋CF＝EF．
（2）若E点、F点分别是边DA、CD的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明．
练习：如图所示，正方形ABCD的对角线交点为O，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC＝2FO．
点拨：在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或，通常采用折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍法又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生仔细研究，找到解决问题的合适方法．
类型四、新定义题型
例5、如图①，在矩形ABCD中，AB2，BC4，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 三角形；
（2）如图②，当“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，请求出此最大面积，并求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.
类型五、正方形中的动点问题
例6、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图①，易证EG＝CG，且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
2. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
3. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）
A． B．
C． D．
4. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（ ）
A. 16 B. 17
C. 18 D. 19
6. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 .
7. 如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为 cm．
8. 如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGH，… . 已知正方形ABCD的面积S11，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8 ．
9. 如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．
（1）求证：四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．
10. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G、与对角线BD相交于点H.
（1）若BDBF，求BE的长；
（2）若∠ADE2∠BFE，求证：HFHE+HD.
11. 如图，矩形ABCD中，AD6，DC8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH2，连接CF．
（1）若DG2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG6，求△FCG的面积．
八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS)；
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：
证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.
例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵
∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..
例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
平行四边形单元测试
1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.60°,120°
14.32
15.5
16.8
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,
所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,
∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.
理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.
第十九章 一次函数
19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。
巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图
(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a
答案：1-9：BCBBABCBC 10.1． 11.-1 12.y=﹣x(答案不唯一)．
13. (0，0)(答案不唯一)．14. 2．(答案不唯一) 15.-2 16.> ；<
17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小．
19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵它图象经过点P(﹣1，2)，
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，
∴m+3=2m．
∴m=3．
20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2
21.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：．
22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元
23.P1(，4)P2(，-4)
19.3一次函数
例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C
练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三
例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4
二、选择题
1-13：D A A B B C DCCBAAB
三、解答题
1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)
2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 4
19.4一次函数与一次方程(组)
例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15
例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3)
19.5一次函数与一次不等式
例1、 D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B
例3、3
1. C 2.A 3.A 4.< 5.①A(3,3) ②x>3 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.
19.6一次函数的应用
例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册
练习：(1) (2)至少100套
例2、(1)
(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。
练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．
例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。
练习：(1)
(2)∵50<60，
∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；
∵100>60，
∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；
(3)该月通话的次数是120次。
例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4
练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.
甲乙两地之间的距离为280千米。
(2)3.5小时
(3)
例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。
练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。
例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。
练习：(1)
(2)当x=44时，ymax=3820，
即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；
选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。
练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得
190⩽12x+8(20−x)⩽200，
解得7.5⩽x⩽10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件。
(2)设利润为w元，
则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；
②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。
例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．
练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为
；
(2)根据题意可列不等式组
解得28⩽x⩽30
所以，方案有以下几种
①A 28 B 22
②A 29 B 21
③A 30 B 20；
(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小
因此方案③运费最少
y=−0.3×30+40=31，
所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。
例9、(1)30⩽x⩽32.
(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。
练习：(1).
(2)根据题意列出不等式得,且，
解得200⩽x⩽250
250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，
即1250⩽w⩽1300.
例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：
选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，
选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；
(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，
解得x>400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)
(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得
由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
课后巩固
1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
课后巩固
一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。
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