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初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式学案
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这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式学案，共53页。学案主要包含了一次函数与一元一次不等式，一元一次方程与一元一次不等式，如何确定两个代数式的大小关系等内容，欢迎下载使用。
19.5 一次函数与一次不等式
要点一、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为或或或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
详解：求关于的一元一次不等式()的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0. 从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个代数式的大小关系
(且)的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
例1、如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
练习：1、一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2、一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4、如下图，一次函数的图象经过点A. 当时，x的取值范围是 .
例2、如下图所示，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
练习：1、如下图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
2、如下图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3、如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．
4、如图，是直线的图象，点在该直线的下方，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5、观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6、如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
例3、如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为 .
练习：1、如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 .
2、如图，直线过、两点，则的解集为 .
3、如下图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A.1 B.5
C.4 D.3
[来
*科*网Z*X*X
4、函数与的图象如图所示，这两个函数的交点在y轴上，那么的值都大于零时x的取值范围是 .
[&科&网]
1. 一次函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2. 一次函数的图象如下图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如下图，已知一次函数，观察图象回答问题：当时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如下图，正比例函数和一次函数的图象相交于点. 当时，
（填“>”或“<”）.
5. 如图，已知直线与直线于点A．
①求点A的坐标；
②当时，的取值范围是_________．
6. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 .
7. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
8. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是 .
9. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）A. B.
C. D.
10. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是__________.
*K]
11. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ．
13. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式组
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
14. 一次函数的图象经过和，则不等式组的解集
为__________.
八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS)；
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：
证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.
例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵
∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..
例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
平行四边形单元测试
1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.60°,120°
14.32
15.5
16.8
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,
所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,
∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.
理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.
第十九章 一次函数
19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。
巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图
(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a
答案：1-9：BCBBABCBC 10.1． 11.-1 12.y=﹣x(答案不唯一)．
13. (0，0)(答案不唯一)．14. 2．(答案不唯一) 15.-2 16.> ；<
17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小．
19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵它图象经过点P(﹣1，2)，
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，
∴m+3=2m．
∴m=3．
20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2
21.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：．
22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元
23.P1(，4)P2(，-4)
19.3一次函数
例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C
练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三
例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4
二、选择题
1-13：D A A B B C DCCBAAB
三、解答题
1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)
2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 4
19.4一次函数与一次方程(组)
例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15
例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3)
19.5一次函数与一次不等式
例1、 D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B
例3、3
1. C 2.A 3.A 4.< 5.①A(3,3) ②x>3 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.
19.6一次函数的应用
例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册
练习：(1) (2)至少100套
例2、(1)
(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。
练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．
例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。
练习：(1)
(2)∵50<60，
∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；
∵100>60，
∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；
(3)该月通话的次数是120次。
例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4
练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.
甲乙两地之间的距离为280千米。
(2)3.5小时
(3)
例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。
练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。
例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。
练习：(1)
(2)当x=44时，ymax=3820，
即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；
选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。
练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得
190⩽12x+8(20−x)⩽200，
解得7.5⩽x⩽10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件。
(2)设利润为w元，
则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；
②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。
例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．
练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为
；
(2)根据题意可列不等式组
解得28⩽x⩽30
所以，方案有以下几种
①A 28 B 22
②A 29 B 21
③A 30 B 20；
(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小
因此方案③运费最少
y=−0.3×30+40=31，
所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。
例9、(1)30⩽x⩽32.
(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。
练习：(1).
(2)根据题意列出不等式得,且，
解得200⩽x⩽250
250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，
即1250⩽w⩽1300.
例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：
选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，
选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；
(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，
解得x>400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)
(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得
由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
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1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
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一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。
19.5 一次函数与一次不等式
要点一、一次函数与一元一次不等式
由于任何一个一元一次不等式都可以转化为或或或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.
详解：求关于的一元一次不等式()的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0. 从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个代数式的大小关系
(且)的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．
例1、如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
练习：1、一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2、一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3、已知一次函数的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4、如下图，一次函数的图象经过点A. 当时，x的取值范围是 .
例2、如下图所示，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
练习：1、如下图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
2、如下图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3、如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．
4、如图，是直线的图象，点在该直线的下方，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5、观察下列图象，可以得出不等式组的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6、如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
例3、如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为 .
练习：1、如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 .
2、如图，直线过、两点，则的解集为 .
3、如下图，直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的整数解为（ ）
A.1 B.5
C.4 D.3
[来
*科*网Z*X*X
4、函数与的图象如图所示，这两个函数的交点在y轴上，那么的值都大于零时x的取值范围是 .
[&科&网]
1. 一次函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2. 一次函数的图象如下图所示，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如下图，已知一次函数，观察图象回答问题：当时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如下图，正比例函数和一次函数的图象相交于点. 当时，
（填“>”或“<”）.
5. 如图，已知直线与直线于点A．
①求点A的坐标；
②当时，的取值范围是_________．
6. 如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 .
7. 如图，已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
8. 如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是 .
9. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）A. B.
C. D.
10. 一次函数与的图象如图所示，则的解集是__________.
*K]
11. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ．
13. 如图，经过点的直线与直线相交于点，则不等式组
的解集为（ ）
A. B.
C. D.
14. 一次函数的图象经过和，则不等式组的解集
为__________.
八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AG=CH，
∴BG=DH，
在△BEG和△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(SAS)；
(2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
∴∠GEF=∠HFB，
∴GE∥FH，
∴四边形GEHF是平行四边形．
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：
证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12
∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．
例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC.
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.
例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠EAB=∠DAC，
在△ABE和△ACD中
∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
又DE=BC，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∴∠EBC=∠DCB
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴EB∥DC，
∴∠EBC+∠DCB=180°，
∴∠EBC=∠DCB=90°，
四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．
18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形
课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，
∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．
在△EBF和△HBF中
∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵
∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..
例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；
(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．
平行四边形单元测试
1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.60°,120°
14.32
15.5
16.8
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,
所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,
所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,
所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,
所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,
∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,
所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.
理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.
第十九章 一次函数
19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。
巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图
(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a
答案：1-9：BCBBABCBC 10.1． 11.-1 12.y=﹣x(答案不唯一)．
13. (0，0)(答案不唯一)．14. 2．(答案不唯一) 15.-2 16.> ；<
17.二、四；减小． 18.二、四；﹣7；减小．
19.解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵它图象经过点P(﹣1，2)，
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q(﹣m，m+3)，
∴m+3=2m．
∴m=3．
20.(1)y=3x﹣5 (2)当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2
21.y与x之间的函数表达式是．把x=2代入得：．
22.(1) (2)a每千瓦时0.5元 b每千瓦时0.9元
23.P1(，4)P2(，-4)
19.3一次函数
例1.B 练习：1.B 2. 例2.①③④⑤ 练习：1.C 2.B 例3.C
练习：1.≠-2；=1 2.B 例4.四 练习：1.A 2.B 例5.C 练习：1.＞ 2.一 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 8.一 三 四 9. 10.三
例6.D 练习：1.C 2.D 3.B 4.A 例7.D 练习：B 例8.减小 练习：1.> 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k<9 (4)k=4 (5)k>3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m<-2 (2)m≠-2 n <4 (3)m≠-2 n =4
二、选择题
1-13：D A A B B C DCCBAAB
三、解答题
1.A在两个函数图像上，B在y=-3x+4图像上(图略)
2.y=2x-2 3.3 4.(1) (2) 5.(1)(2)150km 3. 4
19.4一次函数与一次方程(组)
例1、2 练习：1.(2,-1) 2.D 3.(1,0)4.x=1,y=7 ，K=3 5.(-2,0) 6.(1,3)例2.C 练习：1.4 2.x=3 3. 4.C 5.A 例3-练习：1.A 2.D 3.B 4. 5.K<0 例4.A 练习：1.B 2.B 3.k=9,15
例5-练习1.： 2.(1)C(2,2) (2) (3)
19.5一次函数与一次不等式
例1、 D 练习：1.C 2.B 3.A 4.x>2 例2、C 练习：1.D 2.D 3.x>-1 4.D 5.D 6 .B
例3、3
1. C 2.A 3.A 4.< 5.①A(3,3) ②x>3 6.x>1 7.B 8.x<4 9.A 10.x<-2 11.B 12.x>3 13.B 14.
19.6一次函数的应用
例1、(1)函数关系式为 (2)能印该读物12800册
练习：(1) (2)至少100套
例2、(1)
(2)需售门票920张或1020张，相应地需支付成本费用分别为56000元或61000元。
练习：(1)解析式分别为 ， (2)当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为 4km ．(3)当乙达到山顶时，甲距山脚 6km ．
例3、(1) (2)这个有效时间为6小时。
练习：(1)
(2)∵50<60，
∴只打了50次电话，则该月应付话费20元；
∵100>60，
∴打了100次电话，则该月小王应付话费20+0.13×40=25.2元；
(3)该月通话的次数是120次。
例4、(1)2h 10m (2)① ② (3)的值为4
练习：(1)直线AB的解析式为.当x=0时，y=280.
甲乙两地之间的距离为280千米。
(2)3.5小时
(3)
例5、(1)所求a的值为40 (2)售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有220人(3)需同时开放6个售票窗口。
练习：(1)120；2.(2)点P的坐标为(1,30).该点坐标的意义为：两船出发1h后，甲船追上乙船，此时两船离B港的距离为30km。(3)当⩽x⩽时或当⩽x⩽3时，甲、乙两船可以相互望见。
例6、(1)一次函数的解析式为.(2)当x=84时,W取得最大值,最大值是：−(84−90)2+900=864(元).即销售价定为每件84元时，可获得最大利润，最大利润是864元。
练习：(1)
(2)当x=44时，ymax=3820，
即生产N型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
例7、(1)工厂可有三种生产方案，分别为
方案一：生产A产品30件，生产B产品20件；
方案二：生产A产品31件，生产B产品19件；
方案三：生产A产品32件，生产B产品18件；
选择方案三可获利最多，最大利润为19100元。
练习：(1)设购进甲种商品x件,乙种商品(20−x)件，根据题意得
190⩽12x+8(20−x)⩽200，
解得7.5⩽x⩽10，
∵x为非负整数，
∴x取8，9，10，
有三种进货方案：
①购甲种商品8件，乙种商品12件；
②购甲种商品9件，乙种商品11件；
③购甲种商品10件，乙种商品10件。
(2)设利润为w元，
则w=(14.5−12)x+(20−x)×(10−8)=0.5x+40 (x=8，9，10)，
∴购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润，最大利润是45万元。
(3)①全进甲,能购买3件,利润为(14.5−12)×3=7.5万元；
②全进乙,能购买5件,利润为(10−8)×5=10万元；
③甲进1件，同时乙进4件,利润为(14.5−12)×1+(10−8)×4=10.5万；
④甲进2件，同时乙进2件，利润为2.5×2+2×2=9万元；
⑤甲进3件，同时乙进1件，利润为2.5×3+2×1=9.5万元；
所以购甲种商品1件，乙种商品4件时，可获得最大利润为10.5万元。
例8、(1)A种型号服装每件90元，B种型号服装每件100元．
(2)有三种进货方案：B型服装购进10件，A型服装购进24件；B型服装购进11件，A型服装购进26件；B型服装购进12件，A型服装购进28件．
练习：(1)由题意得：，故所求函数关系为
；
(2)根据题意可列不等式组
解得28⩽x⩽30
所以，方案有以下几种
①A 28 B 22
②A 29 B 21
③A 30 B 20；
(3)由第一问不难看出x值越大，y值越小
因此方案③运费最少
y=−0.3×30+40=31，
所以，在这些方案中，③方案的总运费最少，最少运费是31万元。
例9、(1)30⩽x⩽32.
(2)，当x=32时，y有最大值，且最大值是1320千元。
练习：(1).
(2)根据题意列出不等式得,且，
解得200⩽x⩽250
250×3+250×2⩽w⩽200×3+200×2+100×3，
即1250⩽w⩽1300.
例10、(1)因为工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，由题意得：
选择方案一时,月利润为y1=x−0.55x−0.05x−20=0.4x−20(x>0)，
选择方案二时,月利润为y2=x−0.55x−0.1x=0.35x(x⩾0)；
(2)若y1>y2，即0.4x−20>0.35x，
解得x>400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)
(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得
由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。
第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
课后巩固
1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；
由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
课后巩固
一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。
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