【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第三讲 平行四边形综合（知识梳理+含答案）

这是一份【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第三讲 平行四边形综合（知识梳理+含答案），共85页。

第三讲 平行四边形综合


研真题 知考向

1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.平行四边形的选填压轴
灵活运用
2.平行四边形的新定义
灵活运用
3.平行四边形的综合应用
灵活运用



2.实时考向
本讲内容为中考必考内容，一般体现为中等难度的证明题，如果出现在选择题和填空题中，难度不会很大。在校考中，考查的难一点，会出压轴题。


解重点 固根基




基





题型一 平行四边形中的选填压轴

例1、（2020长郡八下期中）如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④.其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.


变式1、（2020湘芙二中八下第一次月考）如图1，在平行四边形中，平分，交于点且，延长与的延长线相交于点，连接、.下列结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤；其中正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
例2、（2020中雅八下期中）如图2，点为矩形的边长上的一点，作于点，且满足.下面结论：①平分；②为等腰三角形；③；④.其中正确结论的个数是？ （ ）
A.个 B.个 C.个 D.个

图1 图2 图3
变式1、（2020青一八下入学考）如图3，将矩形的一个角翻折，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若为的平分线，和的延长线交于点.下列结论中：①；②；③；④和的面积相等；⑤若，则.以上命题，正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
例3、（2020中雅八下第一次月考）如图，在菱形中，，点、分别在、上，且，连接、交于点，延长到使，连接，，则以下四个结论：
①；②；③是等边三角形；④.
其中正确结论的个数是( )
A. B.
C. D.


例4、（2020南雅八下期末）如图4正方形中，是边的中点，将沿对折至，延长交于，连接，.下列结论：①；②，且；③；④，正确是________.(填序号)
变式1、（2019青一八上期末）如图5，有一正方形，它的边长为，有一点在正方形外，且满足，过作，则下列结论正确的是（ ）
；
；
. . . .

图4 图5 图6
变式2、（2020湘一芙蓉/中雅/雅实）已知：如图6，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点.若，.下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④.其中正确结论的序号是( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
变式3、（2020雅境八下入学考/青一八下第一次月考）在边长为的正方形中，为上的一动点，为中点，交延长线于，过作交的延长线于，则下列结论：
①；②；③当为中点时，；
④若为的中点，当从移动到时，线段扫过的面积为，
其中正确的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
变式4、（19-20长培八下第一次月考）如图，在正方形中，为上一点，过点作，交于，交对角线于，取的中点，连结，，.下列结论：①；②且；③；④；
⑤若，则.其中哪些结论是正确( )
A.①②④⑤ B.②③④
C.①②③ D.②③④⑤

题型二 四边形中的新定义

例5、（2020中雅八下第一次月考）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”.
(1)如图，四边形是“等对边四边形”，其中，边与的延长线交于点，点、是对角线、的中点，若，求证：；
(2)如图，在中，点、分别在边、上，且满足，线段、交于一点，
①求证：；
②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明.







例6、（2020明德八下期末）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”.
(1)概念理解：
如图，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件________；
(2)概念延伸：
下列说法正确的是________.(填入相应的序号)
①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；
②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；
③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；
④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；
(3)问题探究：
如图，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结，，要使平移后的四边形是“邻好四边形”应平移多少距离(即线段的长)？













例7、（2020雅礼八上期末）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有____________；
(2)如图，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
(3)如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长.








题型三 四边形中的综合应用

例8、（2020中雅八下第一次月考）已知，点在正方形的边上(不与点，重合)，是对角线，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为，连接，.
(1)求证：；
(2)①用等式表示线段与的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由.




例9、（2020青一八下期中）已知正方形边长为，点是对角线上一动点.
(1)如图，对角线与交于点，平分，求线段的长度；
(2)如图，当点在线段上运动时，过点作，交于点，求证：；
(3)在(2)的条件下，求证：.



例10、（2021青一八上期末） 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点、在坐标轴上，，将矩形沿折叠，使点与点重合.
（1）求点的坐标:
（2）点从出发，沿折线方向以每秒个单位的速度匀速运动，到达终点时停止运动，设点的运动时间为，的面积为，求与的关系式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当时，在平面直角坐标原中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形?？若不存在，请说明理出，若存在，请求出点的坐标.

图1 图2 图3







例11、（2020雅实八下入学考）在正方形中，G是射线上一动点（不与点A、C重合），连，作，且使，连、．
（1）若G在上（如图1），则：
①图中与△全等的三角形是　 　．
②线段、、之间的数量关系是　 　．
（2）若G在的延长线上（如图2），那么线段、、之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；
（3）如图3，G在正方形的对角线的延长线上，以为边作正方形，若，，求正方形的面积．

例12、（2020广益八上期末）在平面直角坐标系中，已知，，点，在轴上方，且四边形的面积为32.
(1)若四边形是菱形，求点的坐标.
(2)若四边形是平行四边形，如图1，点，分别为，的中点，且，求的值.
(3)若四边形是矩形，如图2，点为对角线上的动点，为边上的动点，求的最小值.


例13、（2019青一八上期末）已知：如图1，菱形的边在轴上，点的坐标为（，），点在轴上，.
（1） 求的坐标；
（2） 如图，连接，点为内一点，与交于点，，点分别在线段上，且，若，求的值；
（3） 如图，在（2）的条件下，当时，试判断形状并说明理由.


























例14、（2020青一八上期末）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，如图，点坐标为，点坐标为，已知、满足
(1)求、的值；
(2)①如图1，、分别为、上一点，若，求证：；
②如图，、、、分别为、、、上一点，、交于点.若，，则 .
(3)如图，在矩形中，，，点在边上且，连接，动点在线段上(动点与，不重合)，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于，试问：当、在移动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变求出线段的长度；若变化，请说明理由.










勤练习 促掌握

1、（2020明德八下期中）如图1，矩形中，为的中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、.若，，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是( )
A.个 B.个
C.个 D.个


2、（2020中雅八下第三次月考）如图2，在正方形内作，交于点，交于，连接，过点作，垂足为点，将绕点顺时针旋转得到，若，，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有( )
A.个 B.个
C.个 D.个


3、（2020广益八下入学考）已知：如图3，在正方形外取一点，连接、、.过点作的垂线交于点.若，，下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号是( )
A.①③④ B.②③④
C.①②④ D.①②③



4、（2020中雅八下期中）如图，正方形中，点是边异于点、的一点，的重直平分线分别交、、于、、，连接、.
(1)求证：；
(2)请求出：的度数；
(3)试猜想线段、、之间的数量关系并说明理由.

备用图


5、（2020雅实八下第一次月考）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
(1)如图，已知格点(小正方形的顶点)：、、，若为格点，请直接画出所有以、为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
(2)如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结、，，求证：，即四边形是勾股四边形；
(3)如图，在四边形中，为等边三角形，，，，求长.




6、（2020雅境八下入学考）如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是平行四边形，已知点在轴正半轴上，连接.
(1)若点、的坐标分别为、，求点坐标；
(2)若点的坐标为，当时，点在线段上，且，问：在线段上是否存在一点，使值最小？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)的条件下，将沿AC翻折得到，交于点，若恰好平分，求的度数.






































第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴





例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）


课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴

第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略

例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．

当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．



第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，

，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．

，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，

四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、







例10、（1）

例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、






例13、



例14、





课后练习：1-3 B C D
4、


5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：

6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，

则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.



（2）如图2，连接交于点，连接交于点，

由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，

∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形

在中，


第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，

故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：

（2）设，过点C作CD交AB于点D 则

(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称

设直线解析式为

令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小

11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为


第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、

















































例3、

（1）令，则
设BC直线解析式

解得
(2)

(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线

③以PF为对角线

综上所述：，，



















变式1、


























变式2、

































变式3、


例4、




















例5、





例6、










例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；


综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．

课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．

第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九




第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、

第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2

第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）

勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、

第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、

例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、

第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、



勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、


第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），

勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，

第十四讲 二次函数与面积专题
例1、


变式1、（1）；
变式2、

变式3、（1）

（2）



变式4、



例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．

勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或

第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、




例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）







变式2、






变式3、




例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．

勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，

2.（1） （2）

3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．

第十六讲 二次函数与平行四边形专题

例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、





勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或

第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5





勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.