【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第四讲 函数初步及一次函数（知识梳理+含答案）

这是一份【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第四讲 函数初步及一次函数（知识梳理+含答案），共84页。

第四讲 函数初步及一次函数


研真题 知考向

1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.函数的定义及表示方法
了解
2.正比例函数的图象与性质
掌握
3.一次函数的图象与性质
理解并掌握

2.实时考向
一次函数是学生学习函数的基础，许多与函数有关新概念都会在此开始接触到，故需要学生认真学习，牢牢掌握好相关的概念。另外，一次函数内容比较简单，在历年考试中出题都不难，学生通过好好学习都可以完全掌握本讲内容。
解重点 固根基




基





【知识点一】函数的定义

1．常量与变量的概念：在一些变化过程中，有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量；在一些变化过程中，有一种量，可以取不同数值的量，叫做变量．
2．函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，此时称y是x的函数．其中x是自变量，y是因变量．
例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：，这里表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量．
3．数学上表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：，．
（2）列表法：通过列表表示函数的方法．
（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．
4．关于函数的关系式（解析式）的理解：
（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．
（2）函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如中x是自变量，y是x的函数．
（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示y是x的函数，若写成就表示x是y的函数．
（4）求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．
5．函数图象：
（1）列表：对应到x的每一个值，y有唯一确定的值，列表；
（2）描点：把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，画点；
（3）连线：坐标平面内把这些点连接起来所组成的图形，就是这个函数的图象．
6．函数解析式与函数图象的关系：
①以满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；
②函数图象上点的坐标满足函数解析式．

题型一 函数的基本概念

例1、（2020青一八下期中）下列曲线中不能表示是的函数的是( )
A. B. C. D.
例2、（2020师博八下期中）函数中自变量的取值范围为( )
A. B.
C. D.任意实数
例3、（2020师博八下期中）根据图所示的程序计算变量的值，若输入自变量的值为，则输出的结果是( )
A. B. C. D.
例4、（2020明德八下期中）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)，在这三个过程中洗衣机内水量(升)与时间(分)之间的函数关系对应的图象大致为( )
A. B. C. D.
变式1、（2020长郡八下期中）小刚以米/分的速度匀速骑车分钟，在原地休息了分钟，然后以米/分钟的速度骑回到出发地.设小刚离家路程为(千米)，速度为(千米/分)，时间为(分).下列函数图象能表达这一过程的是( )
A.B.C. D.
变式2、（2020长培八下期中）如图，在矩形中，动点从点出发，沿方向运动至点处停止，设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图所示，则矩形的周长为( )
A. B.
C. D.

变式3、（2019广益期中）在中，点从点出发沿向点运动，运动过程中，设线段的长为，线段的长为(如图甲所示)，而与的函数图象如图乙所示，是图象上的最低点，则的周长为 .


【知识点二】正比例函数的图象与性质

（1）定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，叫正比例函数，k叫比例系数．
（2）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线.函数也叫直线.
（3）性质：

示意图（草图）
图象位置
变化趋势
性质（增减性）


经过原点和
第一、三象限
从左向右
上升
y随x的增大而增大
y随x的减小而减小


经过原点和
第二、四象限
从左向右
下降
y随x的增大而减小
y随x的减小而增大
2. 待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得.
题型二 正比例函数的图象、性质及应用

例5、（2020师梅八下期末）下列函数中，是的正比例函数的是( )
A. B. C. D.
变式1、若是正比例函数，则 .
例6、（2020师博八下期中）已知与成正比例，且时，，则当时，__________.
变式1、（2020中雅八下期中）已知正比例函数，当的取值范围是，则的取值范围是____________.
变式2、（2020师梅八下期末）下列函数中，总随的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
例7、对于函数(是常数,)的图象,下列说法不正确的是(　　)
A.是一条直线      B.过点
C.经过第一、三象限或第二、四象限   D.随的增大而增大
变式1、（2020中雅八下期中）正比例函数的图象大致是( )
A. B. C. D.

例8、如图3所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、 的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（　　）
A．＜＜＜ B．＜＜＜
C．＜＜＜ D．＜＜＜

图3 图4
变式1、（2020长郡八下入学考）如图，正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象.则比例系数，，的大小关系是__________.
例9、（2020师博八下期末）已知是的正比例函数，并且当时，.
(1)求关于的函数解析式；
(2)当时，求的值.


变式1、（2020中雅八下期中改编）已知与成正比例，且当时，
(1)求该函数的解析式；
(2)若点在该函数的图象上，求出的值.




【知识点三】一次函数的图象与性质

（1）定义：一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫做一次函数．
当时，即为，所以正比例函数是特殊的一次函数．
（2）图象：一次函数的图象是一条直线，我们称它为直线，它可以看作直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移）．
（3）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点，与x轴交于点．
（4）性质：


示意图（草图）
经过的象限
变化趋势
性质（增减性）



一、二、三
从左向右
上升
y随x的增大而增大，
y随x的减小而减小


一、三、四



一、二、四
从左向右
下降
y随x的增大而减小，
y随x的减小而增大


二、三、四

（5）一次函数的解析式
①待定系数法：
因为两点确定一条直线，所以有两个已知的点，带入解析式中，通过解关于k、b的二元一次方程组确定k与b的值，就可以求出解析式．步骤：一设二代三解．
②点斜式，让学生理解这种方法，并熟练使用，提升解题速率．



题型三 一次函数图象、性质及应用

例10、（2020广益八下期中）函数、一次函数和正比例函数之间的关系是( )
A. B.C.D.
例11、（2020长郡八下期末）下列函数中，是一次函数的是( )
① ② ③ ④ ⑤
A.①⑤ B.①④⑤ C.②③ D.②④⑤
例12、（2020明德八下期末）一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
变式1、（2020雨花区统考八下期末）一次函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
变式2、（2020长郡八下期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式3、（2020长郡八下期中）若，则函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
变式4、（2020师博八下期中）下列关于一次函数的图象性质的说法中，不正确的是( )
A.直线与轴交点的坐标是 B.直线经过第一、二、四象限
C.随的增大而减小 D.与坐标轴围成的三角形面积为
变式5、（2020湘一芙蓉八下第一次月考）直线与直线在同一坐标系中的大致位置是( )
A. B. C. D.
例13、（2020长郡八下期中）已知一次函数，当__________时，随的增大而增大.
变式1、（2020长郡八下期末）已知一次函数的图象经过了，，，则，，的大小关系为________.(按从小到大的顺序排列)
变式2、（2020中雅八下第三次月考）已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值为( )
A. B. C.或 D.或
变式3、（2020长培八下期中）一次函数，当时，，则的值是____________.
例14、（2020湘芙二中八下第一次月考）不论实数取何值，一次函数的图象必过的点坐标为( )
A. B. C. D.
例15、（2020师梅八下期末）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点.
(1)求，两点的坐标；
(2)过点作直线与轴交于点，若的面积为，试求点的坐标.






变式1、（2020长郡八下期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点.
(1)求直线的解析式；
(2))若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标.






变式2、（2020师博八下期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线相交于点，
(1)求直线的解析式；
(2)求点的坐标和的面积.







变式3、（2020长郡梅溪湖八下第一次月考）如图，已知直线与直线分别与轴交于点、，且两直线相交于点.
(1)求的面积；
(2)是否存在直线上点在第一象限内，且使的面积是面积的倍，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.


例16、（2020广益八下期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，正比例函数的图象与交于点.
(1)求的值及的解析式；
(2)求的值；
(3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值.





例17、（2020广益八下期中）平面直角坐标系中，过一点分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积大小相等，则这个点叫“均分点”。例如，图中过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则点是“均分点”
(1)判断点，是不是“均分点”，并说明理由
(2)若“均分点”在直线(为常数上)，求，的值。





勤练习 促掌握

1、（2020明德八下期中）下列函数中，是的正比例函数的是( )
A. B. C. D.
2、（2020中雅八下第三次月考）下列函数中：①；②；③；④，其中一次函数的个数是( )
A. B. C. D.
3、（2020广益八下期末）小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他从家慢跑到中山公园，打了一会儿太极后坐公交车回家.下面能反映当天小华的爷爷离家的距离与时间的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
4、（2020广益八下期中）若点和点在直线上，则与的大小关系是：( )
A. B. C. D.与的取值有关
5、（2020师梅八下期末）一次函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6、（2020郡维八下期中）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点(不包括端点)，过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为，则该直线的函数表达式是( )
A.
B.
C.
D.
7、（2020南雅八下期末）已知，则一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
8、（2020长培八下期中）函数与的大致图象是( )
A. B. C.D.
9、（2020中雅八下期中）函数的自变量的取值范围是____________.
10、已知正比例函数，且随的增大而减小，则的值是　 　．
11、（18-19广益八上期末）一次函数，当时，对应的y的值为，则____________.
12、（2020雅实八下第一次月考）(1)若点在函数的函数图象上.
（1）求点的坐标.
（2）当、为何值时，函数是关于的正比例函数；
（3）已知与成正比例，且当时，求与的函数关系式.




13、（2020湘一芙蓉八下第一次月考）已知一次函数.
(1)若随着的增大而减小，求的取值范围；
(2)若图象经过第一、二、三象限，求的取值范围.



14、（2020广益八下入学考）一次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴相交于点，且的面积为.
(1)求的值及点的坐标；
(2)若点在轴上，且使得的面积为，请求出点的坐标.







15、（2020雅实八下期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于、两点，交直线于.
①求点、的坐标；
②若，求的值；
③在②的条件下，是线段上一点，轴于，交于，若，求点的坐标.



第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴





例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）


课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴

第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略

例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．

当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．



第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，

，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．

，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，

四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、







例10、（1）

例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、






例13、



例14、





课后练习：1-3 B C D
4、


5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：

6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，

则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.



（2）如图2，连接交于点，连接交于点，

由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，

∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形

在中，


第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，

故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：

（2）设，过点C作CD交AB于点D 则

(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称

设直线解析式为

令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小

11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为


第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、

















































例3、

（1）令，则
设BC直线解析式

解得
(2)

(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线

③以PF为对角线

综上所述：，，



















变式1、


























变式2、

































变式3、


例4、




















例5、





例6、










例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；


综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．

课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．

第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九




第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、

第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2

第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）

勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、

第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、

例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、

第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、



勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、


第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），

勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，

第十四讲 二次函数与面积专题
例1、


变式1、（1）；
变式2、

变式3、（1）

（2）



变式4、



例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．

勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或

第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、




例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）







变式2、






变式3、




例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．

勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，

2.（1） （2）

3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．

第十六讲 二次函数与平行四边形专题

例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、





勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或

第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5





勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.