第4讲 式与方程——2022-2023学年小升初数学基础版真题专项汇编讲义（原卷版+解析版）

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基础版（通用）2022-2023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第5讲 比和比例知识点一：比1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。2.比的各部分名称及比的读法：4           ：        5=4÷5=0.8↓          ↓        ↓       ↓前项       比号      后项    比值3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变4.求比值与化简比（1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如:100千米:5时=20千米/时（2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。5.比与分数、除法的关系关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。（1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:名称比分数除法联系前项分子被除法：（比号）一（分数线）÷（除号）后项分母除数比值分数值商区别同类量的比表示两个数的倍比关系；不同类量的比表示一个新的量。分数是一种数除法是一种运算（2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。6.按比分配:（1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。（2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。（3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。知识点二：比例1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。4.比和比例的区别（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。
5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。知识点三：正比例和反比例1.判断正比例和反比例的方法:（1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。（2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。（3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。2.正比例图像:正比例图像是一条直线。3.用比例的知识解决实际问题（1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。（2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。知识点四：比例尺1.比例尺的意义(1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即，(2)2.比例尺的分类(1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式(2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺3求图上距离或实际距离：图上距离=实际距离×比例尺   实际距离=图上距离÷比例尺一、精挑细选(共5题；每题1分，共5分)1．（1分）（2022·开平）下面各组中的两个比，可以组成比例的是（　　）。  A．：和： B．0.03：0.6和0.4：8   C．5：4和12：15 D．2.5：和：0.24【答案】B【规范解答】解：A项中，÷=，÷=，≠，故不能组成比例；
B项中，0.03÷0.6=0.05，0.4÷8=0.05，故能组成比例；
C项中，5÷4=，12÷15=，≠，故不能组成比例；
D项中，2.5÷=5，÷0.24=，5≠，故不能组成比例。
故答案为：B。
【思路点拨】能够组成比例的两个比的比值相等，据此作答即可。2．（1分）（2022·三水）下面选项中两种量成正比例关系的是（　　）。  A．一袋糖果，已经吃了的数量和剩下的数量   B．正方形的边长和面积   C．百米比赛中运动员的速度和时间   D．圆的直径和周长【答案】D【规范解答】解：A项：一袋糖果，已经吃了的数量和剩下的数量，不成比例；
B项：正方形的面积=边长×边长，正方形的边长和面积，不成比例；
C项：速度×时间=路程（一定），百米比赛中运动员的速度和时间成反比例；
D项：圆的周长÷直径=π（一定），圆的直径和周长成正比例。
故答案为：D。
【思路点拨】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。3．（1分）（2022·西城）有6个完全相同的小长方形纸片，每个小长方形的长是7cm，宽是2cm。将它们不重叠的放在长方形ABCD中（如图），图中的阴影部分是没有被小长方形覆盖的部分。长方形ABCD的长和宽的比是（　　）。A．15：11 B．14：11 C．7：5 D．7：2【答案】A【规范解答】解：长方形的长=7+2×4
=7+8
=15（cm）；
长方形的宽=7+2×2
=7+4
=11（cm），
所以长方形的长和宽的比=15：11。
故答案为：A。
【思路点拨】观察图形可得长方形ABCD的长=小长方形的长+小长方形的宽×4，长方形ABCD的宽=小长方形的长+小长方形的宽×2，再进行相比即可得出答案。4．（1分）（2022·黄山）甲数的等于乙的，甲数和乙数的比是（　　）。A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．9：10【答案】D【规范解答】解：甲数×=乙数×，
甲数：乙数=：；
：=（×15）：（×15）=9：10。
故答案为：D。
【思路点拨】在甲数×=乙数×中，根据比例的外项之积等于比例的内项之积。把甲数×看做比例的外项，乙数×看做比例的內项，据此改写成比例的形式。再根据比例的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个数，化为最简整数比。5．（1分）（2022·新荣）下面各组中的两种量，成正比例的是（　　）。  A．平行四边形的面积一定，它的底与高  B．比例尺一定，图上距离与实际距离  C．小敏做口算题的总数一定，做对的题数与做错的题数【答案】B【规范解答】选项A，因为底×高=平行四边形的面积，所以平行四边形的面积一定，它的底与高成反比例；
选项B，因为图上距离：实际距离=比例尺，所以比例尺一定，图上距离与实际距离成正比例；
选项C，因为做对的题数+做错的题数=口算题的总数，这里是和一定，所以不成比例。
故答案为：B。【思路点拨】如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用以下关系式表示：y：x=k（一定）；如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关系式表示：xy=k（一定），据此判断。二、判断正误(共5题；每题1分，共5分)6．（1分）（2022·安新）60米赛跑，甲用15秒，乙用12秒。甲和乙跑步速度的比是5：4。（　　）【答案】（1）错误【规范解答】解：（60÷15）：（60÷12）=4：5。原题说法错误。
故答案为：错误。
【思路点拨】用路程除以时间分别求出两人的速度，然后写出速度的比并化成最简整数比即可。7．（1分）（2022·灵武）每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数成正比例。（　　）【答案】（1）正确【规范解答】解：每袋大米的质量一定，大米的总质量和袋数成正比例。
故答案为：正确。【思路点拨】若y=kx（k为常数，x，y≠0），那么x和y成正比例。8．（1分）（2022·蕲春）含糖率10%的糖水中，糖和水的比是1：10。（　　）【答案】（1）错误【规范解答】解：含糖率10%的糖水中，糖和水的比是10%：（1-10%）=10%：90%=1：9。原题说法错误。
故答案为：错误。【思路点拨】把糖水的重量看作“1”，那么糖的重量是10%，水的重量是（1-10%）。由此写出糖与糖水的比并化成最简整数比即可。9．（1分）（2022·平山）如果a×b＝12×7，那么a：b＝12：7。（    ）【答案】（1）错误【规范解答】解：a：b＝（12×7）：b2，原题干说法错误。
故答案为：错误。【思路点拨】比例的基本性质：在比例里，两个内项积等于两个外项积。10．（1分）（2022·宁强）在浓度为10%的1000克盐水中加入100克盐，溶解之后，盐与盐水的质量比是2：11。（　　）【答案】（1）正确【规范解答】解：1000×10%=100（克），（100+100）：（1000+100）=2：11，所以盐与盐水的质量比是2：11。
故答案为：正确。【思路点拨】原来盐水中盐的质量=原来盐水的质量×浓度，所以溶解之后盐与盐水的质量比=（原来盐水中盐的质量+加入的盐的质量）：（盐水的质量+加入的盐的质量）。三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共14分)11．（1分）（2022·合阳）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是10以内最大的质数，另一个内项是　     　。【答案】【规范解答】解：在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是10以内最大的质数，另一个内项是。
故答案为：。【思路点拨】乘积是1的两个数互为倒数。10以内最大的质数是7。根据比例的基本性质可知，另一个内项就是7的倒数。12．（2分）（2022·安新）观察如图数轴上的点，点A到0的距离与点D到0的距离相等，但方向相反。点A是 　     　，点B与点C表示的数的最简整数比是 　     　。【答案】﹣1；8：21【规范解答】解：点A是-1；点B与点C表示的数的最简整数比是：：=8：21。
故答案为：-1；8：21。
【思路点拨】点A在0的左边，0的左边都是负数；点B是，点C是，写出两个数的比并化成最简整数比即可。13．（1分）（2022·八步）一本书，已看了，已看的页数与剩下页数的比是 　     　。【答案】3：4【规范解答】解：：（1-）
=：
=3：4。
故答案为：3：4。
【思路点拨】还剩下的分率=单位“1”-已经看的分率；已看的页数与剩下页数的比=：=3：4。14．（4分）（2022·罗湖）16：　     　＝＝　     　%＝3.2÷　     　＝　     　（填小数）。【答案】20；80；4；0.8【规范解答】解：16÷=20，3.2÷=4，所以16：20==80%=3.2÷4=0.8。
故答案为：20；80；4；0.8。
【思路点拨】比的后项=比的前项÷比值；除数=被除数÷商；
分数化小数，用分子除以分母即可；
小数化百分数，先把小数点向右移动两位，再在后面加上百分号。15．（1分）（2022·海沧）在一幅比例尺为1：9000000的中国地图上，量得上海到北京的距离为12厘米，则上海到北京的实际距离是 　     　千米。【答案】1080【规范解答】解：实际距离=12÷（ 1：9000000 ）
=12×9000000
=108000000（厘米）
=1080000米
=1080千米。
故答案为：1080。
【思路点拨】比例尺=图上距离：实际距离，所以实际距离=图上距离÷比例尺，据此即可计算出实际距离，再根据1千米=1000米=100000厘米将单位转化成千米数即可得出答案。16．（1分）（2022·顺义）一幅地图的比例尺如图：，在这幅地图上，量得北京到杭州的距离约是20厘米。北京到杭州的实际距离是 　     　千米。【答案】1200【规范解答】解：20×60=1200（千米）
故答案为：1200。
【思路点拨】1厘米表示的实际距离60千米，20厘米就是20个60千米，是1200千米。17．（2分）（2022·泾县）一个等腰三角形，它的顶角与一个底角的比是3：1，那么它的顶角是 　     　°，底角是 　     　°。【答案】108；36【规范解答】解：180°×=180°×=108°；
180°×=180°×=36°。
故答案为：108；36。
【思路点拨】三角形的内角和被平均分成5份，顶角占，底角占；三角形的内角和×=顶角的度数，三角形的内角和×=底角的度数。18．（2分）（2022·黄山）某次抽测调研，红红语文、数学、英语三科的成绩比是30：29：31，她的语文成绩是90分，红红数学、英语成绩各是 　     　分、　     　分。【答案】87；93【规范解答】解：90÷30=3（分）
29×3=87（分）
31×3=93（分）
故答案为：87；93。
【思路点拨】语文成绩÷对应的份数=1份的分数，1份的分数×29=数学成绩，1份的分数×31=英语成绩。四、巧妙作图(共2题；共11分)19．（4分）（2022·阳城）根据笑笑提供的信息，画出笑笑从家到学校的路线图。笑笑：我先从家向北偏东40°方面走500米到中国银行，再向正东方面走1000米到达万福超市，最后向东偏南30°的方向走500米到学校。【答案】解：500×100×
=50000×
=2（厘米）
1000×100×
=100000×
=4（厘米）
 【思路点拨】图上距离=实际距离×比例尺，依据计算出的图上距离和在地图上的方位是上北，下南，左西，右东；西南和东北相对，西北和东南相对，画出图形。20．（7分）（2022·罗源）如图是按一定比例尺画出的路线图，已知小丽家到少年宫的实际距离是1200m。（1）（1分）这幅图的比例尺是　         　。（2）（1分）学校在小丽家东偏　     　，　     　°，　     　米处。（3）（3分）书店在学校南偏东40°方向，距离学校600m，在图上画出书店的位置。【答案】（1）1：40000（2）北；30；800（3）【规范解答】解：（1）小丽家到少年宫的图上距离是3cm，比例尺：3cm：1200m=3cm：120000cm=1：40000；
（2）小丽家到学校的图上距离是2cm，实际距离：2×40000=80000（cm）=800（m），学校在小丽家东偏北30°方向800米处。
故答案为：（1）1：40000；（2）北；30°；800。
【思路点拨】（1）先测量出小丽家到少年宫的图上距离，然后写出图上距离与实际距离的比并化成前项是1的比就是这幅图的比例尺；
（2）图上的方向是上北下南、左西右东，先测量出小丽家到学校的图上距离，然后计算出实际距离，再根据图上的方向、夹角的度数和实际距离确定方向即可；
（3）先计算出图上距离，然后根据图上的方向、夹角的度数和图上距离确定书店的位置。五、计算能手(共1题；共9分)21．（9分）（2022·武安）解比例。（1）（3分） x（2）（3分）（3）（3分）6.5：x＝3.25：8【答案】（1）解： x x＝ ×
x＝ 
x÷ ＝ ÷                  x＝ （2）解：        1.2x＝0.4×5
        1.2x＝2
1.2x÷1.2＝2÷1.2            x＝ （3）解： 6.5：x＝3.25：8
          3.25x＝6.5×8
          3.25x＝52
3.25x÷3.25＝52÷3.25
                 x＝16【思路点拨】解比例时，根据比例的基本性质把比例化为方程，再根据等式性质解方程；
比例的基本性质：比例的两个外项之积等于比例的两个内项之积；
等式性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。六、综合提升(共2题；共11分)22．（4分）（2022·淮上）a的等于b的，求a与b的最简比。在写出等式a×＝b×后，小华和小明使用了两种不同的方法。（1）（1分）小华假设了一个具体的数值。例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a＝　     　，b＝　     　，a与b的最简比是 　     　。（2）（1分）小明运用比例的基本性质，根据上面的等式直接写出比例a：b＝　     　，再化简成最简比就可以。【答案】（1）；；6：5（2）【规范解答】解：（1）小华假设了一个具体的数值。例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a=，b=，a与b的最简整数比是：：=6：5；
（2）a：b=：，再化简成最简整数比即可。
故答案为：（1）；；6：5；（2）。 【思路点拨】（1）把两个算式的乘积都看作1，则分别确定a和b的值，写出a和b的比并化成最简整数比即可；
（2）根据比例的基本性质，把a和看作两个外项，b和看作两个内项，然后写出比例即可。23．（7分）（2022·磐石）红星小学四周建筑物如图所示：（1）（1分）图书城距红星小学的图上距离是　     　厘米，已知实际距离是300米，此图比例尺是　         　。（2）（5分）少年宫在红星小学东偏北60°方向，距红星小学实际距离500米，请在图中标出少年宫的位置。【答案】（1）1.5；1：20000（2）解：因为500米＝50000厘米，则少年宫到红星小学的图上距离是50000×＝2.5（厘米）； 如图：【规范解答】解：（1）图书城距红星小学的图上距离是1.5厘米，已知实际距离是300米，300米=3000厘米，此图比例尺是1.5：30000=1：20000；
故答案为：（1）1.5；1：20000。
【思路点拨】（1）先量出图书城距红星小学的图上距离，那么比例尺=图上距离：实际距离，据此作答即可；
（2）少年宫到红星小学的图上距离=少年宫到红星小学的图上距离×比例尺，然后根据方位图作答即可。七、解答问题(共9题；共45分)24．（4分）（2022·海港）丽丽去动物园游玩，回家后把一张照片（如图）在电脑上按一定的比例放大，放大后照片的长是14.4cm，放大后照片的宽是多少厘米？【答案】解：6cm：14.4cm＝5：12 4÷ ＝9.6（cm）答：放大后照片的宽是9.6厘米。【思路点拨】图上距离：实际距离=比例尺，图上距离÷比例尺=实际距离。25．（5分）（2022·安新）某天下午5时，同学们同时测得校园内两棵树的高度和它们的影子长度，还测得学校假山的影子长度。（单位：米）那么这座假山高多少米？（用比例解）【答案】解：设这座假山高x米。 3：4＝x：12   4x＝3×12     x＝36÷4     x＝9答：设这座假山高9米。【思路点拨】同一时间、同一地点，高度与影子长度的比是不变的，设这座假山高x米，然后根据高度与影子长度的比不变列出比例解答即可。26．（5分）（2022·潮安）夏令营组织学生行军训练。去时每小时行3.6千米，2小时到达目的地。返程速度减慢一些，每小时行3.2千米，几小时可回到出发地？（用比例知识解答）【答案】解：设x小时可回到出发地， 3.2x＝3.6×23.2x＝7.2
      x＝7.2÷3.2    x＝2.25答：2.25小时可回到出发地。【思路点拨】依据返回的速度×返回的时间=去时的速度×去时用的时间，列比例，解比例。27．（5分）（2022·顺义）甲、乙两人拥有的图书本数的比是3：1，如果甲给乙12本，则他们的图书本数同样多。甲、乙两人共有图书多少本？【答案】解：12÷（ ﹣ ） ＝12÷ ＝48（本）答：甲、乙两人共有图书48本。【思路点拨】图书总数分成4份，甲占3份，乙占1份，甲占总数的，甲给乙12本后，甲占总数的，据此可以看出，12本对应的是总数的（-），12本÷对应的分率=总本数。28．（5分）（2022·即墨）某工厂生产一批零件，原计划每天生产25件，18天完成任务。实际每天多生产20%，可提前几天完成任务？（用比例知识解答）【答案】解：设可提前x天完成任务                  25×18＝25×（1+20%）×（18-x）25×1.2×（18-x）＝450       30×（18-x）＝450                    18-x＝15                         x＝3答：可提前3天完成任务。【思路点拨】依据原计划平均每天生产的件数×计划的天数=原计划平均每天生产的件数×（1+增加的百分率）×（计划的天数-提前的天数），列比例，解比例。29．（5分）（2022·北辰）某超市蔬菜部，把收购的蔬菜20%销售出去，正好是36吨，把剩下的按3：5储存在甲、乙两个冷库里。甲、乙两个冷库各储存多少吨？【答案】解：36÷20%×（1﹣20%）
＝180×80%
＝128（吨）
128× ＝48（吨）
128﹣48＝80（吨）
答：甲冷库储存48吨，乙冷库储存80吨。【思路点拨】根据分数除法的意义，用36吨除以占总重量的百分率求出总重量，然后乘（1-20%）求出剩下的重量。甲冷库占剩下重量的，根据分数乘法的意义求出甲冷库存的重量，进而求出乙冷库存的重量即可。30．（5分）（2022·未央）王师傅生产一批零件，初次检验，不合格产品数与合格产品数之比是1：19，后来再次检验时，从合格产品中又发现了2个不合格产品，这时产品的合格率是94%，这批零件中合格产品有多少个？【答案】解：2÷[ -94%）]×94%
=2÷[ ﹣94%]×94%
=2÷ ×94%
=200×94%
=188（个）
答：这批零件中合格产品有188个。【思路点拨】初次检验，不合格产品数与合格产品数之比是1：19，那么合格产品数就占总数的，所以又检验出的2个不合格产品就占总数的（-94%），根据分数除法的意义先求出零件总数。然后用零件总数×94%即可求出合格产品数。31．（5分）（2022·滁州）甲、乙两人同时从A地骑车到B地，经过10分钟，乙到达B地，甲距B地还有1200米。已知甲、乙两人骑车的平均速度比为2：3，A、B两地相距多远？【答案】解：1200÷（3-2）×3
=1200÷1×3
=3600（米）
答：A、B两地相距3600米。【思路点拨】相同时间内两人骑车行驶的路程比与速度比相同，所以甲、乙10分钟内行驶的路程比是2：3。甲行了2份，乙行了3份，两地的距离也就是3份；乙已经到达B地，甲还有1200米，所以甲距离B地还有1份，也就是1200米；用一份的长度乘3即可求出两地的距离。32．（6分）（2022·勃利）滨海村各种作物种植面积的分布情况如图所示，请根据统计图回答以下问题：（1）（1分）花生的种植面积与向日葵种植面积的最简单的整数比是　     　。（2）（5分）如果花生的种植面积是6.6公顷，那么大豆与芝麻的种植面积一共是多少公顷？（列式解答）【答案】（1）2：1（2）解：6.6÷30%×（35%+20%） ＝6.6÷0.3×0.55＝22×0.55＝12.1（公顷）；答：大豆与芝麻的种植面积一共是12.1公顷。【规范解答】解：（1）1-35%-30%-20%=15%，
30%：15%=30：15=2：1；
花生的种植面积与向日葵种植面积的最简单的整数比是2：1。故答案为：（1）2：1。【思路点拨】（1）1-花生、大豆、芝麻占的百分比=向日葵占的百分比；据此先写出花生的种植面积与向日葵种植面积的比，再化为最简整数比；
（2）花生的种植面积÷对应的百分比=种植总面积，种植总面积×大豆与芝麻面积对应的百分比之和=大豆与芝麻的种植面积。