第十四讲不规则及组合立体图形的表面积和体积——2022-2023学年小升初数学典型题（原卷版+解析版）

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2022-2023学年小升初数学典型例题系列之第十四讲不规则及组合立体图形的表面积和体积（解析版） 编者的话：《2022-2023学年小升初数学典型例题系列》是基于教材知识点和历年真题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。典型例题部分主要分为计算篇和应用篇两大篇章，每篇章皆按讲次顺序进行编辑，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。专项练习部分是从常考题和小升初真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。本专题是第十四讲不规则及组合立体图形的表面积和体积。本部分内容是求不规则及组合立体图形的表面积和体积，题目综合性强，难度较大，一共划分十个考点，欢迎使用。  【考点一】求与长方体、正方体有关的不规则立体图形的表面积。【方法点拨】在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。【典型例题】如下图，在棱长是1分米的正方体的一个顶角锯下一个棱长1厘米的小正方体，剩下部分的表面积是(        )平方分米。解析：根据题图可知，从正方体的一个顶角锯下一个小正方体后，表面积减少了3个小正方形的面，同时又增加了3个小正方形的面，所以表面积不变，据此解答即可。1×1×6＝6（平方分米）【对应练习1】如图，把一个长方体切去一个小正方体，剩下图形的表面积与原长方休表面积相比较，（       ）。A．增加了          B．减少了        C．不变解析：C【对应练习2】如图，一个棱长3分米的正方体。在它的一个顶点处挖掉一个棱长1分米的小正方体。求剩下部分的表面积。解析：32×6＝54（平方分米）答：剩下部分的表面积是54平方分米。【对应练习3】一个正方体，它的棱长为5厘米，在它的上、下、前、后、左、右的正中位置各挖去一个棱长为2厘米的正方体，问现在的表面积是多少？解析：观察图形可知，在它的上、下、前、后、左、右的正中位置各挖去一个棱长为2厘米的正方体后，这个图形的表面积在原来的基础上增加了4×6=24个边长为2厘米的小正方形的面的面积，由此利用正方体的表面积公式求出这个正方体原来的表面积，再加上24个边长为2厘米的小正方形的面积即可。5×5×6+2×2×24=150+96=246（平方厘米）答：现在的面积是246平方厘米。【考点二】求与长方体、正方体有关的组合立体图形的表面积。【方法点拨】在求与长方体、正方体有关的组合立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。【典型例题】下图是两个正方体，大正方体棱长为6cm，小正方体棱长为2cm，求它的表面积和体积。解析：6×6×6＋2×2×4＝216＋16＝232（cm2）6×6×6＋2×2×2＝216＋8＝224（cm3）【对应练习1】计算下面立体图形的体积和表面积。（单位：cm）解析：体积：25×10×4＋8×8×8＝1000＋512＝1512（cm3）表面积：（25×10＋25×4＋10×4）×2＋8×8×4＝（250＋100＋40）×2＋256＝390×2＋256＝780＋256＝1036（cm2）【对应练习2】计算如图图形的表面积和体积。（单位：厘米）解析：体积：7×5×8＋4×4×8＝35×8＋16×8＝280＋128＝408（立方厘米）表面积：7×5×2＋7×8×2＋5×8×2＋4×4×2＋4×8×2＝70＋112＋80＋32＋64＝182＋80＋32＋64＝294＋64＝358（平方厘米）【对应练习3】分别求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm）解析：表面积：12×12×4＋（25×12＋25×6＋12×6）×2＝576＋1044＝1620（cm²）体积：12×12×12＋25×12×6＝1728＋1800＝3528（cm³）     【考点三】求与长方体、正方体有关的不规则及组合立体图形的体积。【方法点拨】求组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加，或用图形整体的体积减去空白部分的体积。【典型例题1】有一个形状如下图所示的零件，求它的体积。（单位：cm）解析：正方体：3×3×3=27（立方厘米）长方体：5×12×6=360（立方厘米）组合图形：27+360=387（立方厘米）答：略。【典型例题2】下面是某一零件，你能求出它的体积吗？（单位：厘米）解析：2×8×6-1×4×3=84（立方厘米）答：略。【对应练习1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？（单位：厘米） 解析：4×10×2+（6-2）×2×10=160（立方厘米）答：略。【对应练习2】有一个形状如下图的零件，求它的体积。（单位：厘米）解析：2×2×2+4×2×6=56（立方厘米）答：略。【对应练习3】如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。解析：表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米）体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米）【对应练习4】如图，求下面零件的体积。（单位：厘米）解析：8×12×4-4×4×4=384-64=320（立方厘米） 【考点四】求不规则圆柱体的表面积。【方法点拨】求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。【典型例题】如图，一根长2米，底面周长为12.56分米的圆木，沿着它的两条半径，截去部分，该图形的表面积是多少平方分米？解析：2米=20分米底面半径：12.56÷3.14÷2=2（分米）圆柱两个底面积之和：3.14×22×2=25.12（平方分米）圆柱侧面积：12.56×20=251.2（平方分米）截去后的表面积：（25.12+251.2）×（1-）=207.24（dm2）207.24+2×20×2=287.24（平方分米）答：该图形的表面积是287.24平方分米。【对应练习1】如图，是一个圆柱体沿着底面直径切割剩下的部分，求该图形的表面积。（单位：cm）解析：原来圆柱的表面积：3.14×（6÷2）2×2+3.14×6×8=56.52+150.72=207.24（平方厘米）切割一半后的表面积：207.24×=103.62（平方厘米）103.62+6×8=151.62（平方厘米）答：该图形的表面积是151.62平方厘米。【对应练习2】从下面这根长方体木料中削掉一个最大的半圆柱，求剩余木料的表面积。解析：上面表面积：3.14×6×10÷2＝18.84×10÷2＝188.4÷2＝94.2（平方厘米）前后面的面积：[6×4－3.14×（6÷2）2÷2]×2＝[24－3.14×9÷2]×2＝[24－28.26÷2]×2＝[24－14.13]×2＝9.87×2＝19.74（平方厘米）左右面积：10×4×2＝40×2＝80（平方厘米）下面：6×10＝60（平方厘米）94.2＋19.74＋80＋60＝113.92＋80＋60＝193.92＋60＝253.92（平方厘米）答：剩余木料的表面积是253.92平方厘米。【对应练习3】如图是一个圆柱体从中间劈开后得到的图形，这个图形的表面积是多少？（单位：cm）解析：由图可得，圆柱体底面积直径为8cm，高为16cm，原圆柱体的表面积为：（cm2）故劈开后的图形表面积为：（cm2）答：这个图形的表面积为cm2。       【考点五】求与圆柱有关的组合立体图形的表面积。【方法点拨】求组合立体图形的表面积，注意分析图形是由些图形组合而成的，组成该图形的表面有哪些，是什么形状，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。【典型例题】如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？解析：大圆柱的表面积：3.14×52×2+2×3.14×5×2=157+62.8=219.8（平方分米）中圆柱侧面积：2×3.14×2×2=25.12（平方分米）小圆柱侧面积：2×3.14×0.5×2=6.28（平方分米）这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分米）答：这个物体的表面积是251.2平方分米。【对应练习1】某零件如图所示，下面是一个棱长为20cm的正方体，上面是圆柱的一半。求这个零件的表面积。 解析：[3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×20]÷2＋20×20×5＝[3.14×100×2＋1256]÷2＋2000＝[628＋1256]÷2＋2000＝1884÷2＋2000＝942＋2000＝2942（平方厘米）答：这个零件的表面积是2942平方厘米。【对应练习3】优优和妈妈在家做了一个蛋糕（如下图），优优要给这个蛋糕的表面部分涂上一层奶油（下底面不涂），涂奶油部分的面积是多少平方厘米？解析：答：涂奶油部分的面积是。【对应练习4】工人叔叔要为下面是正方体、上面是圆柱的灯柱（如图，底面不刷）刷上油漆。如果每平方米需要油漆0.3kg，那么至少需要准备多少千克的油漆？解析：5dm＝0.5m     8dm＝0.8m（0.5×0.5×5＋3.14×0.5×0.8）×0.3＝0.7518（kg）答：至少需要准备0.7518kg的油漆。【考点六】求空心圆柱体的表面积。【方法点拨】空心圆柱体的表面积，一般是由外圆柱的表面积剪掉内圆柱的上下两个底面积，再加上内圆柱的侧面积组合而成的。【典型例题】如图，卫生纸的高度是10cm，中间硬纸轴的直径是4 cm，制作100个这样的硬纸轴，至少需要多少平方米的硬纸皮？解析：3.14×4=12.56（厘米），长方形的宽是圆柱的高，本题中是10厘米，长方形的面积就等于圆柱侧面积，列式为：3.14×4×10=125.6（平方厘米），100个这样的硬纸轴用纸125.6×100=12560（平方厘米） 12560平方厘米=1.256平方米【对应练习1】林叔叔做了一个圆柱形的灯笼（如图）。上下底面的中间分别留出了的口，他用了多少彩纸？（取3.14）解析：[3.14×（20÷2）²－78.5]×2＋3.14×20×30＝ [3.14×100－78.5]×2＋1884＝ [314－78.5]×2＋1884＝235.5×2＋1884＝471＋1884＝2355（平方厘米）答：他用了2355平方厘米彩纸。【对应练习2】如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？解析：3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5＝56.52＋188.4＋62.8＝307.72（平方厘米）答：一共要涂307.72平方厘米。   【考点七】求较简单的不规则圆柱体的体积。【方法点拨】求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。【典型例题】如图，一根长1m，横截面直径为10cm的圆柱形木头浮在水面上，东东发现它正好是一半露出水面，露出水面的木头的体积是多少立方厘米？解析：1m＝100cm3.14×（10÷2）2×100÷2＝3.14×25×100÷2＝3925（立方厘米）答：露出水面的木头的体积是3925立方厘米。【对应练习1】求下面个圆柱的体积和表面积。（单位：）解析：体积：＝226.08÷4＝56.52（立方厘米）表面积：＝14.13＋48＋37.68＝99.81（平方厘米）【对应练习2】计算下面图形的和体积。半圆柱的底面直径是10cm解析：V＝15×20×30－×3.14××30＝9000-1177.5＝7822.5()【考点八】求较复杂的不规则圆柱体的体积。【方法点拨】求不规则圆柱体的体积，注意分析图形，寻找底面半径和高，再根据公式求体积。【典型例题】一个底面积是20平方厘米的圆柱，斜着截去了一段后，剩下的图形如图，截后剩下的图形的体积是多少立方厘米？解析：根据图形的特点，可以这样理解，用这样两个完全一样的图形拼成一个高是(7＋11)厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝sh，把数据代入公式求出这样两个图形的体积再除以2即可。20×(7＋11)÷2＝20×18÷2＝180(立方厘米）答：截后剩下的图形的体积是180立方厘米。【对应练习1】纪念品店加工一种艺术节比赛奖杯（如图）。加工时，一个有机玻璃圆柱正好可以截成两个这样的奖杯。求一个奖杯的体积。解析：＝1507.2÷2＝753.6（立方厘米）答：一个奖杯的体积为。【对应练习2】如图是圆木沿某一平面截去一部分后的剩余部分，请计算剩余部分的体积。（单位：厘米）解析：3.14×（）2×13+3.14×（）2×（15﹣13）÷2=3.14×9×13+3.14×9×2÷2=367.38+28.26=395.64（立方厘米）答：这个立体图形的体积是395.64立方厘米。 【对应练习3】右图是一个底面半径为3厘米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。解析：7﹣5＝2（ 厘米）3.14×32×2÷2＝28.26（立方厘米）3.14×32×5＝141.3（立方厘米）28.26＋141.3＝169.56（立方厘米）答：它的体积是169.56立方厘米。【考点九】求组合圆柱体的体积。【方法点拨】求组合立体图形的体积，注意分析该图是由些立体图形组合而成的，再分别求出各图形的体积，最后相加或相减。【典型例题】工地运来了一根水泥管（如下图），管壁厚。这根水泥管用了多少立方米的水泥？解析：＝7.85－5.024＝2.826（立方米）答：这根水泥管用了的水泥。【对应练习1】求下面图形的表面积和体积。（单位：cm）解析：表面积＝大正方体的表面积＋圆柱的侧面积，10×10×6＋3.14×4×6=600+75.36＝675.36（cm2）体积＝大正方体体积－圆柱的体积10×10×10－3.14×（4÷2）2×6=1000-75.36＝924.64（cm3）。【对应练习2】如图，一个圆柱体零件，高10厘米，底面直径6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。（1）这个零件的体积是多少立方厘米？（2）如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？解析：（1）3.14×（6÷2）×10－3.14×（4÷2）×5＝3.14×9×10－3.14×4×5＝282.6－62.8＝219.8（立方厘米）答：这个零件的体积是219.8立方厘米。（2）3.14×（6÷2）×2＋3.14×6×10＋3.14×4×5＝56.52＋188.4＋62.8＝307.72（平方厘米）答：一共要涂307.72平方厘米。【对应练习3】计算出下面组合图形的表面积和体积（单位：厘米）解析：3.14×4×5+（8×5+8×4+5×4）×2=62.8+（40+32+20）×2=62.8+92×2=62.8+184=246.8（平方厘米）3.14×（4÷2）2×5+8×5×4=3.14×4×5+160=62.8+160=222.8（立方厘米）答：这个组合图形的表面积是246.8平方厘米，体积是222.8立方厘米。【对应练习4】图所示的百宝箱，上部是一个圆柱的一半，下部是一个长50cm，宽40cm，高20cm的长方体，这个百宝箱的表面积是多少？它的体积是多少？解析：50×40＋50×20×2＋40×20×2＋3.14×（40÷2）＋3.14×40×50÷2＝2000＋2000＋1600＋1256＋3140＝9996（平方厘米）50×40×20＋3.14×（40÷2）×50÷2＝40000＋3.14×400×25＝40000＋31400＝71400（立方厘米）答：这个百宝箱的表面积是多少9996cm2，它的体积是71400cm3。【对应练习5】求下面图形的表面积和体积。解析：表面积：10×10×6+3.14×4×10-3.14×（4÷2）2×2＝600+125.6-25.12＝700.48体积：10×10×10﹣3.14×（4÷2）2×10＝1000﹣3.14×4×10＝1000﹣125.6＝874.4答：它的表面积是700.48，体积是874.4。【考点十】求与圆锥有关的组合立体图形的体积。【方法点拨】组合图形的体积等于各规则立体图形的体积之和。【典型例题】测量一个粮仓，从里面量得的数据如图所示，如果每立方米的粮食约重800干克，这个粮仓能装粮食多少干克？（π取3.14） 解析：6280千克。【对应练习1】计算下面立体图形的体积。 解析：169.56立方厘米。【对应练习2】下图的蒙古包是由一个圆柱和一个圆锥组成的。这个蒙古包所占的空间是多少立方米？解析:3.14×（12÷2）²×2＋3.14×（12÷2）²×1×＝226.08＋37.68＝263.76（立方米）答：这个蒙古包所占的空间是263.76立方米。【对应练习3】一个陀螺，上部是圆柱形，下部是圆锥形，如下图。这个陀螺的体积是多少立方厘米？解析：10÷2＝5（厘米）3.14×5²×8＋3.14×5²×（11－8）÷3＝628＋78.5×3÷3＝628＋78.5＝706.5（立方厘米）答：这个陀螺的体积是706.5立方厘米。【对应练习4】一种儿童玩具——陀螺（如下图）。上面是圆柱体，下面是圆锥体，经过测试，当圆柱直径4厘米，高6厘米，圆锥的高是圆柱高的时，陀螺旋转得又快又稳，求这时陀螺的体积是多少立方厘米？解析：6×＝（厘米）3.14×（4÷2）²×6＋3.14×（4÷2）²×÷3＝3.14×4×6＋3.14×4×＝75.36＋18.84＝94.2（立方厘米）答：这时陀螺的体积是94.2立方厘米。