2022-2023学年人教版数学六年级下册小升初一轮复习（知识点清单+过关检测）：专题28 长方体和正方体（教师版·学生版）

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专题28  长方体和正方体 1. 长方体和正方体的认识形体相同点不同点关系面棱顶点面的特点面的大小棱长长方体6个12条8个6个面一般都是长方形，也可能相对的面是正方形。相对的面的面积相等。每一组互相平行的四条棱长度相等。正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。正方体6个面都是完全相同的正方形。6个面的面积都相等。12条棱的长度都相等。[提示] 长方体中相对的面的面积相等，如果有两个相对的面是正方形，那么另四个面的面积都相等。长方体不可能有两个相邻的面是正方形；如果相邻两个面是正方形，那么6个面就都完全相同，是正方体。[来源:学*科*网Z*X*X*K]2. 长方体和正方体的面积和体积名称侧面积和表面积公式体积公式长方体侧面展开图是一个长方形或正方形,侧面积等于底面周长乘高。　　　 正方体　　   【例1】贝贝用小立方体搭出了一个立体图形，下面是丽丽从正面、上面、右面看到的形状，你能根据丽丽看到的图形想象出贝贝搭出的立体图形吗？请画出草图。     【点拨分析】按一定的顺序试想、调整。（1）按从上面看到的形状先搭好底度。（2）再按从正面看到的形状搭出下图。（3）最后根据从右面看到的形状进行调整。[来源:学科网ZXXK]【答 案】    1.下面立体图形从上面、左面和正面看到的分别是什么形状？请画在方格纸上。     2.一个几何体，从正面、左面和上面看到的图形都是，这个几何体至少是由（　　）个小正方体摆成的，最多可由（　　）个小正方体摆成。 3.用同样大小的正方体拼搭图形，从不同方向看到的图形如右图，那么至少用了（　　）块同样的正方体。A.4          B.5         C.6            D.7   【例2】一个长方体的棱长总和是120厘米，长、宽、高的比是5:3:2，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【点拨分析】  长方体的棱长总和就是4组长、宽、高的和，据此先算出1组长、宽、高的和，再根据它们的比是5:3:2，按比例分配算出长、宽、高的数值，最后利用长方体体积公式计算出体积即可。【答 案】  1组长、宽、高的和是:120÷4＝30（厘米）[来源:学_科_网]长方体的长是:（厘米）长方体的宽是:（厘米）长方体的高是:（厘米）长方体的体积是:15×9×6＝810（立方厘米）三这个长方体的体积是810立方厘米。  1.长方体的体积是12，有两组对面的面积分别是3和12，那么第三组对面的面积是（　　）。2.一个长方体的长、宽、高都是整厘米数，它相邻的三个面的面积分别是96平方厘米、40平方厘米、60平方厘米，这个长方体的体积是（　　）立方厘米。3.用一根长68分米的铁丝做一个长方体框架，使它的高是7分米，长、宽的比是1:1，再把它的6个面糊上纸，做一个长方体的盒子，至少需要多少平方分米的纸？    【例3】一个长方体的表面积是67.92平方分米，底面的面积是19平方分米，底面周长是17.6分米，这个长方体的体积是多少立方分米？【点拨分析】长方体的表面积可由两个底面的面积与侧面积相加得到。侧面展开后是一个长方形，长等于长方体的底面周长，宽等于长方体的高。【答 案】  用表面积减去两个底面面积，可以得到侧面积:67.92-2×19＝29.92（平方分米）用侧面积除以长方体的底面周长，可以得到长方体的高:29.92+17.6＝1.7（分米）用长方体的底面积乘高，可以求出长方体的体积:19×1.7＝32.3（立方分米）这个长方体的体积是32.3立方分米。 1.一个正方体鱼缸，从里面量，棱长6分米，鱼缸的水面距鱼缸口15厘米。这个鱼缸里有水多少立方分米？    2.砌一道长80米、高4米、厚24厘米的墙，如果每立方米用砖520块，砌这道墙一共用砖多少块？    3.老师用橡皮泥做了一个长方体，如果把这个长方体的长增加3厘米，体积就增加60立方厘米;如果宽增加6厘米，体积就增加90立方厘米;如果高增加8厘米，体积就增加96立方厘米。求原来长方体的表面积是多少。     【例4】某学习小组为了求出一个不规则物体的体积，进行了如下操作与测量:（1）小明准备了一个长方体玻璃缸，并测量出玻璃缸的长是6分米，宽和高都是4分米（从里边量的）;（2）小兰往玻璃缸中倒入2分米深的水;（3）小红把这个不规则物体放入玻璃缸中，发现水正好能淹没这个物体;（4）小强测出水面上升了2厘米。请你根据他们的测量结果，算出这个不规则物体的体积。 【点拨分析】  此题主要涉及长方体体积计算这方面的知识，重在考查学生用转换、替换的思想解决实际问题的能力，同时这道题还数给了学生测量不规则物体体积的方法。当物体浸没在水中时，什高的水的体积就等于不规则物体的体积，即这一不规则物体的体积等于长是6分米、宽是4分米、高是2厘米的长方体的体积。【答 案】  2厘米＝0.2分米6×4×0.2＝4.8（立方分米）这个不规则物体的体积是4.8立方分米。  1.如图是一个玻璃鱼缸，长、宽分别是12分米、8分米，石块沉入前玻璃缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，则这个石块的体积为（　　）立方分米。2.有一个棱长为3分米的正方体玻璃缸，缸内盛满水，并浸有一块底面边长为2分米的正方形的长方体铁块。当铁块从水中取出时，缸内的水面下降了5厘米，求长方体铁块的高。（得数保留一位小数）    3.如右图，甲、乙两个容器装有同样深的水，将一块铁块浸没在甲容器中，水面上升2厘米;如果将同样的铁块浸没在乙容器中，水面将上升多少厘米？        【例5】有一个正方体，如果它的高增加2厘米，就成了长方体，这个长方体的表面积就比原来的正方体表面积增加96平方厘米，原来正方体的表面积和体积各是多少？  【点拨分析】  如右图，高增加2厘米，也就是增加了一个高是2厘米的小长方体，和原来的正方体相比，增加了4个小长方形面，并且这4个小长方形的面积相等，所以用96÷4得到一个小长方形的面积，再除以2，得到这个小长方形的长，也就是原正方体的棱长。【答 案】  96÷4＝24（平方厘米）24÷2＝12（厘米）表面积:12×12×6＝864（平方厘米）体积:12×12×12＝1728（立方厘米）答:原正方体的表面积是864平方厘米，体积是1728立方厘米。   1.一个长2米的长方体，垂直于长截成相等的6段后，表面积增加了3.6平方米，求原来的长方体的体积。    2.一个长30厘米、横截面是正方形的长方体，如果它的长增加5厘米，表面积就增加80平方厘米，求原长方体的表面积。    3.右图是一个表面积为36平方分米的正方体木块，把它沿虚线切成同样大小的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米？       满分：100分，时间：60分钟基础达标（60分）一、填空。（30分）1.一个长方体长8厘米，宽6厘米，高5厘米，它的六个面中最大的面是（　　）平方厘米，最小的面是（　　）平方厘米。2.右图是一个正方体六个面的展开图，这六个面分别是A，B，C，D，E，F。三组相对的面分别是（　　）和（　　），（　　）和（　　），（　　）和（　　）。3.把4.5升果汁装入容积是150毫升的瓶里，可以装（　　）瓶。4.一个长方体水池，长4分米，宽3分米，水深2.5分米，水面离池口2厘米。如果放入一个棱长1.5分米的正方体石块，这时池内会溢出（　　）升水。5.如果将4个棱长为10厘米的正方体纸盒放在墙角处（如右图为其中的一种摆法），露在外面的面的面积和最少是（　　）平方厘米。6.把一根长8分米的长方体木料，正好锯成2个一样的正方体，表面积一共增加了（　　）平方分米。7.如图，一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，就成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是（　　）立方厘米。8.如图所示，将一个表面积为56cm的长方体切成27个小长方体，则这27个小长方体表面积的和是（　　）cm2。9.从一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体一角截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是（　　）平方厘米。10.将边长为13厘米的正方形铁片的四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，如图所示，剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，该无盖长方体盒子的表面积是（　　）平方厘米。    二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（10分）1.如下图，从该几何体的正面看到的图形是（　　）。  2.正方体（　　）展开后可以得到右面的展开图。  3.一个冰柜，容积是120升，从里面量长8分米，高0.3米，宽（　　）分米。A.50          B.5              C.5004.一根长方体木料，长2米，宽和厚都是2分米。把它垂直于长锯成4段后，表面积增加（　　）平方分米。A.24           B.16            C.8             D.325.如右图，用丝带捆扎一个长、宽、高分别是30厘米、20厘米、 25厘米的礼品盒，另外接头处至少还需25厘米。那么要捆扎这个礼品盒至少需准备丝带（　　）。A.10分米                     B.17.5分米C.21.5分米                   D.22.5分米三、解答下列各题。（20分）1.右图是长方体的表面展开图，你知道这个长方体的表面积和体积各是多少吗？   2.一个长方体的表面积是130平方厘米，底面积是20平方厘米，底面周长是18厘米，求这个长方体的体积。[来源:Zxxk.Com]   3.将一个正方体木块平行于底面截成3段，这样表面积就比原来增加8100平方厘米。求这个正方体木块的体积。   4.雨峰哗不停地下着。如果在雨地里放一个如图①所示的长方体容器（单位:厘米）（灰色面表示容器口），丽水将它灌满要用1小时。那么雨水灌满图②容器和图③容器，哪个需要的时间短？最短需要多长时间？                         能力创新（40分）四、解决问题。（40分）1.用右图中的5块玻璃做成一个鱼缸，这个鱼缸放在桌子上，占的面积是多少平方厘米？给鱼缸中加水，使水面至鱼缸高度的处。水的体积是多少升？（单位:厘米）    2.有一块长方形铁皮，长30厘米，宽20厘米。在这块铁皮的四个角上各剪下一个边长4厘米的正方形，再将剩下的部分焊接成一个无盖的长方体铁盒。求这个铁盒的容积。    3.王老师的办公室是长方体状的，长是5.5米，宽是3.2米，高是2.6米，门窗的面积和是10平方米。现在要给这个房间的四壁和屋顶刷涂料，需要刷涂料的面积是多少平方米？    4.一个表面涂满了红色的正方体，在它的相邻三个面上等距离不重复地均切两刀，得到下面的图形。（1）一个面涂有红色的小正方体有几个？（2）两个面涂有红色的小正方体有几个？（3）三个面涂有红色的小正方体有几个？（4）六个面都没有涂红色的小正方体有几个？ 5.一个长6厘米、宽4厘米、高11厘米的牛奶盒中装满牛奶，小红在准备喝牛奶时，不小心洒出来一些牛奶，也就是右图中的空白部分，那么牛奶盒中还剩下多少毫升的牛奶？    【附加题】1.在一个正方体的前后、上下以及左右三对侧面的中心各打通一个长方体的洞。已知正方体棱长为10厘米，前后、上下以及左右三对侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，求打洞后的立体图形的体积。2.下图是一张3×5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下将它剪成三部分，使每部分都可以沿格线折成一个没有盖的小方盒，应怎样剪？请在图中表示划分的结果。   【答案解析】[举一反三训练1]1.2.683.B[举一反三训练2]1.42.4803.68÷4＝17（分米）（17-7）（分米）5×7×4+5×5×2＝190（平方分米）[举一反三训练3]1.6×6×（6-15+10）＝162（立方分米）2.80×4×（24+100）×520＝39936（块）3.（60÷3+90÷6+96+8）×2＝94（平方厘米）[举一反三训练4]1.1922.5厘米＝0.5分米32×0.5+（2×2）≈1.1（分米）3.30×20×2+（20×20）＝3（厘米）[举一反三训练5][来源:学科网]1.3.6÷[（6-1）×2]×2＝0.72（立方米）2.80÷4＝20（平方厘米）20÷5＝4（厘米）（30×4+30×4+4×4）×2＝512（平方厘米）        3.36平方分米[自我检测]一、1.4830                                                                        3.304.0.975        5.800        6.327.396        8.1689.76          10.133三、1.表面积:120平方厘米体积:72立方厘米2.侧面积:130-20×2＝90（平方厘米）高:90÷18＝5（厘米）体积:20×5＝100（立方厘米）3.8100÷4＝2025＝45×45。因此正方体的棱长为45厘米，所以它的体积为45×45×45＝91125（立方厘米）。4.经过观察发现，图② 和图③ 中的容器大小、形状都一样，只是接水的面不一样大。图② 中接水面是10×10＝100 （平方厘米），图③ 中接水面是20×10＝200（平方厘米），接水面大的容器需要的时间短。所以图③ 需要的时间短。20× 30×10÷（20×30）＝10（立方米/时）（20×10×10+10×10× 10）÷（20×10×10）＝1.5（时）。四、1.1800平方厘米、24升2.（30-4×2）×（20-4×2）×4＝1056（立方厘米）3.（5.5×2.6+3.2×2.6）×2+5.5×3.2-10＝52.84（平方米）4.（1）6个（2）12个（3）8个 （4）27-（8+12+6）＝1（个）5.  （毫升）【附加题】1.103-（42×10+42×6+42×6）＝648（立方厘米）2.