2022-2023学年小学数学六年级下册小升初一轮专题复习之：最优化问题

2022-2023学年小升初数学专项备考高频考点一轮复习系列之：

应用篇----最优化问题（解析版）

姓名：__________ 班级：__________考号：__________

一、应用题

1．甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米。求三人同时到达的最短时间为多少小时？

【答案】解：甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地.
设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，
甲乙和丙相距36x-4x=32x，
那么甲丙相遇，需要32x÷(36+4)=x(小时)
此时乙和丙各自步行了：4×x=x(千米)
甲丙与乙的距离还是32x；
三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：32x÷(36-4)=x(小时)；
列方程：
36x+x+4x=36
x=36
x=
所用最短时间：x+x+x=x=(小时)
答：三人同时到达的最短时间为小时.

【解析】【分析】若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地.设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，甲乙和丙相距36x-4x=32x，甲丙相遇，需要32x÷(36+4)=x(小时)，此时乙和丙各自步行了：4×x=x(千米)；甲丙与乙的距离还是32x；三人同时到达，即甲丙正好追上乙，由此解决问题即可.

2．小明和妈妈去一家比萨店吃午餐．他们决定要一个12寸的．妈妈付了钱就入坐耐心等待，服务员说；“对不起，12寸的没有了，是不是给你换成一个9寸的和一个6寸的比较合算，好吗？”小明没加考虑就答应了．妈妈想了想说：“好像不合理吧？”服务员理直气壮地说：“怎么不合理？9+6大于12呢．你还赚了呢！”你认为这种替换顾客划算吗？请你计算一下再说．（说明：比萨的12寸是指它的直径．比萨饼的厚度都差不多）

【答案】解：3.14×（ ）2

=3.14×36

=113.04（平方寸）

3.14×（ ）2+3.14×（ ）2

=3.14×20.25+3.14×9

=63.585+28.26

=91.845（平方寸）

113.04平方寸＞91.845平方寸．

答：这种调换顾客不划算．

【解析】【分析】根据圆的面积公式：s=πr2，把数据分别代入公式求出它们的面积，然后进行比较即可．此题主要考查圆面积公式的灵活运用及小数大小的比较．

3．星期天全班45人到公园坐小船游览．已知每条限坐2人的小船，每次3元；每条限坐3人的小船，每次4元；每条限坐4人的小船，每次5元．请你写出全班租船最省钱的具体方案，并把计算过程写出来．

【答案】解：乘坐限坐2人的小船，每人需：

3÷2=1.5（元）

乘坐限坐3人的小船，每人需：

4÷3≈1.33（元）

乘坐限坐4人的小船，每人需：

5÷4=1.25（元）

所以尽量租乘坐限坐4人的小船，少租每条限坐2人的小船，

因为45=4×10+3+2

所以可以租10条乘坐限坐4人的小船，租1条乘坐限坐3人的小船，租1条乘坐限坐2人的小船，这时最省钱．

10×5+3+4

=50+7

=57（元）

答：租10条乘坐限坐4人的小船，租1条乘坐限坐3人的小船，租1条乘坐限坐2人的小船，这时最省钱，一共花费57元。

【解析】【分析】乘坐限坐2人的小船，每人需3÷2=1.5元，乘坐限坐3人的小船，每人需4÷3≈1.33元，乘坐限坐4人的小船，每人需5÷4=1.25元，所以尽量租乘坐限坐4人的小船，少租每条限坐2人的小船，而且保证空位最少，这样租金会最少．

4．阳光小学六年一班有39人去水上乐园玩，他们看了门口的价格表，正在商议如何购票．请你帮他们设计出几种购票方案，哪种最省钱？

水上乐园售票价格表

【答案】解：单人票每人25元，

200÷10=20元，则购团体票单人成本较低．

方案一：39÷10=3（张）…9人，即买3张团体票和9张单人票，共花：200×3+25×9=825元；

方案二：40÷10=4（张），即可买4张团体票花：200×4=800元；

800元＜825元，

所以方案二购4张团体票最省钱

【解析】【分析】本题根据人数及两种票价设计方案即可：

由题意可知，共有39人，单人票每人25元，团体票200元，可供10人用，即每人200÷10=20元，由此可知，购团体票票价较低．

方案一：39÷10=3（张）…9人，即买3张团体票和9张单人票，共花：200×3+25×9=825元；

方案二：由于39人与40人只差1人，40÷10=4（张），即可买4张团体票花：200×4=800元；

800元＜825元，所以购4张团体票最省钱．

5．朝阳希望小学组织230人参加武汉“1+8”城市圈科教游活动，需要租车．现在有以下两种车型可供租用．怎样租车最省钱，租金是多少？

【答案】解：1000÷40=25元，

要650÷25=26元．所以大客的成本较低．

由此可知，在尽量满载的前提下，多租用大车最省钱．

由于：

230=80+150=40×2+25×6，即租用2辆大车，6辆小车每辆车都能满载没有空座．

这样租车最省钱，需要：

1000×2+650×6

=2000+3900

=5900（元）

答：租用2辆大车，6辆小车每辆车都能满载没有空座，租金是5900元

【解析】【分析】本题根据需要乘车的人数及每种车的限载人数、租金进行分析计算即可：

大客车每天每辆租金1000元，限乘坐40人，则每人需要1000÷40=25元；小客车每天每辆租金650元，限乘坐25人，则每人需要650÷25=26元．所以大客的成本较低．

由此可知，在尽量满载的前提下，多租用大车最省钱．

由于230=80+150=40×2+25×6，即租用2辆大车，6辆小车每辆车都能满载没有空座．这样租车最省钱，需要1000×2+650×6=5900元．通过分析明确在尽量满载的前提下，多租用大车最省钱是完成本题的关键．

6．新华书店“十﹒一”黄金周期间举办了“买3送1”的优惠活动（仅限同一种图书）．王老师挑选了一种故事书，每册16元.176元钱最多可以买几册这种故事书？

【答案】解：176÷16=11（册）    

11÷3=3（册）…2（册）

11+3=14（册）

答：176元钱最多可以买14册这种故事书

【解析】【分析】由题意，先用总钱数除以每册的单价求得能买多少册，由于“买3送1”，用买的册数除以3求出赠送的册数，二者相加即可得解． 

7．一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟．（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？如何煎4条需要几分钟？

【答案】解：①煎三条鱼：

第一次煎两条鱼的正面，用时2分钟；

第二次煎两条鱼中一条鱼的反面，煎第三条鱼的正面，2分钟；

第三次煎两条鱼中另一条鱼的反面，第三条鱼的反面，2分钟；

总用时：2+2+2=6（分钟）．

②煎4条鱼：

可分为两次，每次同时煎两条鱼，每次用时4分钟，共用：4×2=8（分钟）．

答：煎三条鱼至少需要6分钟，煎4条需要8分钟．

【解析】【分析】①由于每次可煎两条，煎一条鱼需要4分钟（正反面各2分钟），所以第一次煎两条鱼的正面，用时2分钟，第二次煎两条鱼中一条鱼的反面，煎第三条鱼的正面，2分钟，此时已经煎好一条，第三次煎两条鱼中另一条鱼的反面，第三条鱼的反面，2分钟，总用时6分钟．②如何煎4条，可分为两次，每次同时煎两条鱼，每次用时4分钟，所以煎4条共用4×2=8分钟．此题实为烙饼问题，让锅中始终有两条鱼在煎是完成本题的关键．

8．六一儿童节那天，六(3)班的50名同学去划船，大船每条可以坐6人，租金10元；小船每条可以坐4人，租金8元。根据以上信息，请你设计几种租船方案，并回答怎样租船最合算?(至少写出4种租船方案)

【答案】解：

方案一：50=30+20，所以租5条大船、5条小船；

方案二：50=18+32，所以租3条大船，8条小船；

方案三：50=42+8，所以租7条大船，2条小船；

方案四：50=6+44，所以租l条大船，ll条小船。

租大船7条，小船2条最省钱。10×7+8×2=86(元)

【解析】【解答】（1）方案一：50=30+20，所以租5条大船、5条小船；
方案二：50=36+14，所以租6条大船，4条小船，小船上空2个座位；
方案三：50=42+8，所以租7条大船，2条小船，
方案四：全部租大船，租9条，剩下4个空位；
（2）10÷6=（元），8÷4=2（元），＜2，所以，尽量多租大船，没有空位，租大船7条，小船2条最省钱，10×7+8×2=86（元）。
答：租大船7条，小船2条最省钱，要86元。

【分析】解答此题的关键是，根据平均每人租船的钱数，得出坐大船便宜，所以尽量坐大船，但小船也不能空，那就将50这个数进行适当的分组即可。

（1）根据坐船的总人数与大船和小船可以乘坐的人数，确定坐船的方案；
（2）根据题意，求出大船和小船每人的租金各是多少元，然后判断多租哪种船最省钱。

9．一种足球，甲、乙、丙三家商店的价格都是每个25元，学校要买60个，三个商店促销方式如下：甲商店是买10个送2个，不足10个不送；乙商店可以打八五折；丙商店是购物每满100元，返还20元．学校到哪家商店购买比较合算？最少需要多少元？

【答案】解：甲：买50个，送50÷10×2=10个球，

50×25=1250（元）

乙：60×25×85%=1275（元）

丙：60×25÷100=15

15×20=300（元）

25×60﹣300=1200（元）

因为1200＜1250＜1275

所以，学校应该在丙商店购买．

答：学校应该在丙商店购买比较合算，最少需要1200元.

【解析】【分析】根据题意，分别算出，到甲、乙、丙三个商店买球所花的钱数，看哪家商店需要的钱最少，就到哪家商店购买．

10．北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？

【答案】解：800×7+1000×4+600×5
=5600+4000+3000
=126000（元）
答：最佳的调运方案为：北京发往杭州7台，发往西安4台，洛阳发往西安5台。总运费为126000元。

【解析】【分析】由表中看出，北京到杭州的运费比到西安便宜，而洛阳正相反，到西安的运费比到杭州便宜。所以，北京的机器应尽量运往杭州，洛阳的机器应尽量运往西安。这样安排是最合理的。

11．学校组织130名教师外出一日游，租车公司的价目表如下：

请你设计一个最省钱的租车方案，并算出总费用，再说说有何建议．

【答案】解：根据分析：

租5辆中巴车和1辆面包车：

5×24+10=130（人）

正好坐满，此时最省钱．

需要花：

5×250+120=1370（元）

答：租5辆中巴车和1辆面包车最省钱，花费1370元．

【解析】【分析】根据题干，租中巴车每人需要花：250÷24≈10.42元，租面包车每人需要花120÷10=12元，由此可以看出租中巴车较省钱，但是还要考虑总人数和是否能座满的情况，所以有以下几种租车情况：

（1）都租中巴车需要：130÷24=5（辆）…10人，那么需要租6辆，共花：250×6=1500元；

（2）租5辆中巴车和1辆面包车，需要花：5×250+120=1370元；

（3）如果租4辆中巴车，那么需要租4辆面包车，需要花：4×250+4×120=1480元；

（4）如果租3辆中巴车，那么需要租6辆面包车，需要花：250×3+6×120=1470元；

（5）如果租2辆中巴车，那么需要租9辆面包车，需要花：250×2+9×120=1580元；

（6）如果租1辆中巴车，那么需要租11辆面包车，需要花：250+11×120=15700元；

（7）如全租面包车，需要租13辆，需要花：120×13=1560元；

据此解答即可．

12．A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米．从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？

【答案】解：30×3+40×7+30×3+20×5
=90+280+90+100
=560（元）
答：A供应乙40吨，A粮店剩下的30吨全部供应丙。B供应甲30吨，供应丙20吨。费用是560元。

【解析】【分析】A、B粮店共有大米130吨，甲、乙、丙三个居民点需要大米120吨，供应量与需求量不相等，但是我们仍可以通过差价的大小来决定最佳方案。观察上表各列两数之差，最大的是第二列3，因此A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨。在剩下的两列中，第三列的差大于第一列的差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙。因为A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨。

13．青年旅行社推出“北京欢乐谷一日游”的两种出游价格方案如下：

成人8人，儿童5人，选择哪种方案最省钱?

【答案】解：方案A：

180×8=1440（元）

80×5=400（元）

1440+400=1840（元）

方案B：

l20×10=1200（元）

80×3=240（元）

1200+240=1440（元）

答：方案B最省钱。

【解析】【分析】方案A：成人和儿童分别购票，然后计算出总价；方案B：8个成人和2个儿童购团体票，剩下的3个儿童购儿童票。分别计算出总价后比较即可确定哪种方案更省钱。

14．有七个村庄 ， ， ， 分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？ 

【答案】解：本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人，求一点使所有人走到这一点的距离和最小”。显然D、E最大，靠拢完的结果变成了D=4 ，E=3，所以车站设在D点。

【解析】【分析】B、C、F处各有一个村庄，D、E处各有2个村庄，把村庄看作人，B、C、F处各有1人，D、E处各有2人。到D处的有4人，到E处的有3人，所以车站应该设在人数最多的地方。

15．王阿姨有一块长方形苗圃，长39.6米，宽31.8米．

（1）她想用篱笆围起来，需要篱笆多少米？

（2）如果两家公司所售的篱笆质量相同，请你帮忙算一下，选用哪家公司的比较划算？（A公司报价：每米1.60元．B公司报价：总价280元．）

【答案】（1）解：（39.6+31.8）×2

=71.4×2

=142.8（米）

答：需要篱笆142.8米

（2）解：142.8×1.60=228.48（元），

228.48＜280，

答：选A公司的比较便宜

【解析】【分析】（1）根据长方形的周长公式，（长+宽）×2=周长，把数据代入计算即可解答．（2）用A公司的单价乘周长求出A公司需要多少钱，再与B公司的总价比较．第一问是考查长方形周长公式的应用，第二问是用单价乘数量等于总价求出A公司需要多少钱，再与B公司的总价比较．

16．买雪碧。

（1）　     　小瓶雪碧与1大瓶雪碧同样多。  

（2）小贝有20元钱，全部用来买雪碧，买　     　合算一些。  

（3）买24大瓶雪碧的钱可买　     　小瓶雪碧。  

【答案】（1）3

（2）大瓶

（3）60

【解析】【解答】（1）1200÷400=3（个）；
（2）全部买大瓶：20÷5=4（瓶），4×1200=4800（g）;
全部买小瓶：20÷2=10（瓶），400×10=4000（g）；
4800g＞4000g，买大瓶合算些。
（3）24×5÷2
=120÷2
=60（个）
故答案为：（1）3；（2）大瓶；（3）60。
【分析】（1）根据题意可知，要求几小瓶雪碧与1大瓶雪碧同样多，就是求1200g里面有几个400g，用除法计算，据此列式解答；
（2）根据题意，分别求出大瓶、小瓶可以买的瓶数和总质量，总质量越多，越合算，据此列式解答；
（3）根据题意可知，先求出买24大瓶雪碧的钱，每大瓶雪碧的价钱×购买的瓶数=总钱数，然后用总钱数÷每小瓶雪碧的价钱=可以买的小瓶数量，据此列式解答。

17．一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价均为每人100元． 

（1）这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？ 

（2）如果你也参加他们的家庭旅行团，你建议应该去哪家旅行社？ 

【答案】（1）解：甲旅行社： 

4×100+3×100×50%

=400+150，

=550（元）；

乙旅行社：

（4+3）×100×75%

=7×100×75%，

=525（元）；

525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少．

答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少

（2）解：甲旅行社： 

4×100+（8﹣4）×100×50%

=400+200，

=600（元）；

乙旅行社：

（7+1）×100×75%

=8×100×75，

=600（元）；

此时去两家的收费相同，去哪家都可以．

答：此时去两家的收费相同，去哪家都可以．

但如果去的人数继续增加，则甲的优惠幅度就比乙的优惠幅度大了，应去甲

【解析】【分析】（1）根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少：甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠.4×100+3×100×50%=550元；乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元；525元＜550元，所以应去乙旅行社．（2）如果我去参因他们的家庭旅行团，则人数变为8人，则去甲旅行社则花：4×100+（8﹣4）×100×50%=600元；乙旅行社：8×100×75%=600元；此时去两家的收费相同，去哪家都可以．如果去的人数继续增加，则甲的优惠幅度就比乙的优惠幅度大了，应去甲．

18．下图中表示3个工人单独完成某项工作所用天数，请根据图中数据完成计算。

（1）甲、乙合做这项工作，　     　天可以完成。

（2）乙、丙合做　     　天可以完成这项工作的75％。

（3）甲、乙、丙三人合做这项工作，　     　天可以完成。

（4）甲先单独做3天，再由丙做，还需　     　天。

【答案】（1）

（2）

（3）

（4）20

【解析】【解答】（1）解：

=1÷
=（天）

（2）解：
=75%×
=（天）

（3）解：
=1÷（++）
=1÷
=（天）
（4）解：
=
=×25
=20（天）
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）20。

【分析】（1）把这项工作看作单位“1”，从图中可以看出甲单独做15天完成这项工作，则每天完成这项工作的，乙单独做20天完成这项工作，每天完成这项工作的；用单位“1”除以甲、乙两人每天的工作量之和，即可解答本题。
（2）分析同上，本题可列式为，就此解答。
（3）分析同上，本题可列式为，就此解答。
（4）先计算出甲单独做3天后还剩多少工作量，再除以乙单独一天的工作量，计算即可。