专题17《长方体和正方体的认识、周长、面积与体积》 ——2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义（原卷版+解析版）

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2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义专题17 长方体和正方体的认识、周长、面积与体积知识点一：长方体和正方体的认识名称长方体正方体图形展开图相同点面　6　个 　6　个 棱 12　条 　12　条 顶点  8  个 　8　个  不同点 面的特点　6　个面一般是　长方形　,也可能有2个相对的是　正方形　 　6　个面都是相同的正方形 面的大小相对的面的面积　相等   　6　个面的面积都　相等　 棱长相对的棱的长度　相等   　6　条棱的长度都　相等　 联系正方体是特殊的长方体知识点二：长方体和正方体的表面积1.表面积:一个立体图形所有面的面积　总和　叫作它的表面积。 2.长方体和正方体的表面积。(1)长方体的表面积=　2×(长×宽+长×高+宽×高)　,用字母表示为:S=　  2(ab+ah+bh)　  (2)正方体的表面积=　6×棱长×棱长　,用字母表示为:S=　6a2　。知识点三：长方体和正方体的体积1.体积:一个立体图形所占空间的　大小　叫作它的体积。 2.长方体的体积(容积)=　长×宽×高　,用字母表示为:V=　abh　3.正方体的体积(容积)=　棱长×棱长×棱长　,用字母表示为:V=　a3　高频考点01：长方体的展开图【典例精讲01】（2022•海沧区）图（　　）沿虚线折叠后能围成长方体。A． B． C． D．【思路点拨】根据正方体、长方体展开图的特征，即可确定哪个图形属于正方体或长方体展开图，沿虚线折叠后能围成正方体或长方体；哪个图形不属于正方体或长方体的展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体或长方体。【规范解答】解：第一幅图不属于长方体展开图，沿虚线折叠后能围成长方体；第二幅图不属于长方体展开图，沿虚线折叠后不能围成长方体；第三幅图不属于长方体展开图，沿虚线折叠后不能围成长方体；第四幅图属于长方体展开图，沿虚线折叠后不能围成长方体。故选：D。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征。【举一反三01】（2022•北仑区）下面5种形状的硬纸各有若干张，选择其中的哪几种，每种选几张，正好可以围成一个长方体？（　　）A．①号2张，③号4张 B．②号2张，③号2张，①号2张 C．①号2张，③号2张，④号2张 D．①号2张，⑤号4张【思路点拨】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由此解答．【规范解答】解：根据长方体的特征，①号长是6，宽是3，③号长是6，宽是2，④号长是3，宽是2，围成的长方体的长是6，宽3，高是2．故选：C．【考点评析】此题主要根据长方体的特征，及展开图的形状解决问题．【举一反三02】（2022•平城区）做一个长方体鱼缸，用了如图几块长方形玻璃。（单位：dm）这个鱼缸的底是 　①　号玻璃，鱼缸深 　4　dm。【思路点拨】根据长方体的特征，长方体有6个面，相对的面面积相等，因为鱼缸无盖，通过观察图形可知，用①号玻璃做底面，这个鱼缸的长是6分米，宽是3厘米，高是4分米。据此解答。【规范解答】解：这个鱼缸的底是①号玻璃，这个鱼缸的长是6分米，宽是3厘米，高是4分米，所以鱼缸的深4分米。故答案为：①，4。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用。【举一反三03】（2022•市北区）下面是一个长方体展开图的正面、左面和下面。请画出另外的三个面，将展开图补充完整，并标出每个面是长方体的什么面。【思路点拨】根据长方体的特征，长方体的6个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等，根据长方体展开图“1﹣4﹣1”的特征，补充完成即可。【规范解答】解：作图如下：【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。高频考点02：正方体的展开图【典例精讲02】（2023•宿迁模拟）用做一个，“4”的对面是“（　　）”A．1 B．3 C．5【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣4﹣1”型，做成一个正方体后，数字“1”与“2”相对，“3”与“4”相对，“5”与“6”相对。【规范解答】解：用做一个，“4”的对面是“3”。故选：B。【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。【举一反三04】（2022秋•陵水县期末）下面的图形中，折叠后能围成正方体的是（　　）A． B． C． D．【思路点拨】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．【规范解答】解：A可以折叠成一个正方体，符合题意，B只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图所以它折叠不成正方体，不符合题意，C围成几何体时，多了一个底面，少了一个侧面，所以不能围成正方体，不符合题意，D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体，不符合题意．故选：A．【考点评析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，考查同学们的空间想象能力．【举一反三05】（2022•酉阳县）一个正方体的展开图如图，这个正方体中与数字4所在面相对应的面是数字（　　）所在的面。A．3 B．5 C．1【思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图为正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，折成正方体后，数字1与4相对，2与6相对，3与5相对。【规范解答】解：如图： 这个正方体中与数字4所在面相对应的面是数字1所在的面。故选：C。【考点评析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。【举一反三06】（2023•西城区模拟）如图是一个正方体的展开图，已经画出了五个面，在方格图上再画出第六个面。这个正方体的体积是 　8　立方厘米。【思路点拨】画法不唯一，根据正方体展开图的11种特征，可画成“1﹣4﹣1”型或“1﹣3﹣2”型。折成的正方体的棱长是2厘米，根据正方体棱长计算公式“V＝a3”即可求出这个正方体的体积。【规范解答】解：根据题意画图如下（画法不唯一）：23＝2×2×2＝8（立方厘米）答：这个正方体的体积是8立方厘米。故答案为：8。【考点评析】此题考查了正方体展开图的认识、正方体体积的计算。高频考点03：长方体和正方体的表面积【典例精讲03】（2022•罗源县）如图，正方体和长方体都是由相同的小正方体摆成的，比较发现，（　　）A．正方体的表面积大 B．正方体的体积大 C．长方体的表面积大 D．长方体的体积大【思路点拨】根据正方体、长方体的体积、表面积的意义可知，当正方体和长方体的体积相等时，长方体的表面积大于正方体的表面积。据此解答即可。【规范解答】解：因为正方体和长方体的体积相等，所以长方体的表面积大于正方体的表面积。故选：C。【考点评析】此题考查的目的 理解掌握正方体、长方体的体积、表面积的意义及应用。【举一反三07】（2022•科左中旗）一个正方体的棱长是6dm，它的表面积和体积相等。 　×　（判断对错）【思路点拨】根据正方体的体积、表面积的意义，正方体的体积在指正方体所占空间的大小，正方体的表面积是指围成正方体的6个面的总面积，因为体积和表面积不是同类量，所以无法进行比较。据此判断。【规范解答】解：因为体积和表面积不是同类量，所以无法进行比较。因此，题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正方体的体积、表面积的意义及应用，关键是明确：只有同类量才能比较大小。【举一反三08】（2022•古县）棱长6分米的正方体的表面积和体积同样的大．　×　．（判断对错）【思路点拨】立体图形的表面积是指组成它的所有面的面积和，而其体积是指它所占空间的大小，所以二者意义不一样，不能比较大小．【规范解答】解：表面积：6×6×6＝216（平方厘米）体积：6×6×6＝216（立方厘米）尽管棱长是6分米的正方体的体积和表面积在数值上相等，但是因为正方体的表面积是指组成它的所有面的面积和，而其体积是指它所占空间的大小，二者意义不一样，所以不能比较大小．故答案为：×．【考点评析】此题主要考查正方体表面积和体积的意义．【举一反三09】（2022•黄陵县）计算下面组合图形的表面积。（单位：dm）【思路点拨】通过观察图形可知，由于圆柱与长方体粘合在一起，所以圆柱只求它的侧面积，长方体求出它的表面积，然后合并起来即可，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×14×30+（20×30+20×5+30×5）×2＝43.96×30+（600+100+150）×2＝1318.8+850×2＝1318.8+1700＝3018.8（平方分米）答：它的表面积是3018.8平方分米。【考点评析】此题主要考查圆柱的侧面积公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。高频考点04：长方体和正方体的体积【典例精讲04】（2023•崇川区模拟）一个长方体木块，从上部和下部截去高分别为1cm和4cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了60cm2．原来长方体木块的体积是（　　）立方厘米．A．36 B．54 C．64 D．72【思路点拨】根据题意可知，把这个长方体从上部和下部截去高分别为1cm和4cm的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了60平方厘米，表面积减少的是以原来长方体的底面为底面，高为（1+4）厘米的长方体的侧面积，由此可以求出原来长方体的底面边长，长方体的高比底面边长多（1+4）厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答．【规范解答】解：1+4＝5（厘米）60÷4÷5＝15÷5＝3（厘米）3×3×（3+5）＝9×8＝72（立方厘米）答：原来长方体木块的体积是72立方厘米．故选：D．【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是根据长方体高减少5厘米，表面积减少60平方厘米，求出原来长方体的底面边长，进而求出长方体的高，然后把数据代入公式解答．【举一反三10】（2023•海淀区模拟）一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少56平方厘米。原来长方体的体积是 　441　立方厘米。【思路点拨】根据高减少2厘米，就变成一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少56平方厘米，56÷4÷2＝7（厘米），求出减少面的宽（长方体的底面边长），也就是剩下的正方体的棱长，原来长方体的高比底面边长多2厘米，据此可以求出长方体的高，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：56÷4÷2＝7（厘米）7×7×（7+2）＝49×9＝441（立方厘米）答：原来长方体的体积是441立方厘米。故答案为：441。【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出长方体的底面边长和原来的高。【举一反三11】（2022•郓城县）把一个长方体纸盒相邻的两侧面撕下来一部分，展开后如图所示，这个纸盒底面积是 　32　cm2，体积是 　256　cm3。【思路点拨】根据长方体的特征，长方体前面的8厘米就是这个长方体的长，右面的4厘米就是这个长方体的宽，右面的8厘米就是这个长方体的高，根据长方形的面积公式：S＝ab，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答即可。【规范解答】解：8×4＝32（平方厘米）8×4×8＝32×8＝256（立方厘米）答：这个纸盒底面积是32cm2，体积是256cm3。故答案为：32；256。【考点评析】此题主要考查长方形的面积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【举一反三12】．（2022•宁强县）计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm）【思路点拨】通过观察图形可知，在这个正方体上挖掉一个圆柱，剩下图形的表面积等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积。剩下部分的体积等于正方体的体积减去圆柱的体积，根据正方体的表面积公式：S＝6a2，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：10×10×6+3.14×4×5＝600+62.8＝662.8（平方分米）10×10×10﹣3.14×（4÷2）2×5＝1000﹣3.14×4×5＝1000﹣62.8＝937.2（立方分米）答：这个图形的表面积是662.8平方分米，体积是937.2立方分米。【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、圆柱的侧面积公式、正方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。高频考点05：长方体、正方体表面积与体积计算的应用【典例精讲05】（2022•绵竹市）一个正方体蓄水池，棱长4m，这个水池占地 　16　m2，如果在四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是 　80　m2，这个蓄水池可蓄水 　64　m3。【思路点拨】（1）求这个蓄水池占地面积就是求这个正方体的底面积，用棱长乘棱长即可求解；（2）抹水泥的面积就等于正方体的表面积减去上面的面积，代入数据即可求出需要抹水泥的面积；（3）利用正方体的体积V＝a3，列式解答即可。【规范解答】解：4×4＝16（平方米）4×4×5＝16×5＝80（平方米）4×4×4＝16×4＝64（立方米）答：这个水池占地16m2，如果在四周和底面抹水泥，抹水泥的面积是80m2，这个蓄水池可蓄水64m3。故答案为：16；80；64。【考点评析】此题主要考查正方形的面积、正方体的表面积和体积的计算方法在实际生活中的应用。【举一反三13】（2022•南城县）你我一起去游泳!为了提高生活质量，南城健身游泳馆为南城游泳爱好者提供便利。瞧，这是游泳池的平面图，比例尺为1：400。（1）这个游泳池的高度是1.2米，现在要在泳池的四周和底面贴上瓷砖。需要贴多少平方米？（2）若泳池的水深1米，当360个平均体重50kg游泳爱好者跳进池中（完全沉入），水面上升到多少米？（一个人的体积大约是用体重除以1000。体重单位：千克体积单位：立方米）【思路点拨】（1）首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出游泳池的长、宽各是多少米，再根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。（2）先求出360个人的体积，然后用360个人的体积除以游泳池的底面积求出水面上升的高，然后加上原来的水深即可。【规范解答】解：（1）4.5÷＝4.5×400＝1800（厘米）＝18（米）2.5÷＝2.5×400＝1000（厘米）＝10（米）18×10+18×1.2×2+10×1.2×2＝180+43.2+24＝237.2（平方米）答：需要贴247.2平方米。（2）50÷1000×360÷（18×10）+1＝0.05×360÷180+1＝18÷180+1＝0.1+1＝1.1（米）答：水面上升到1.1米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【举一反三14】（2022•林口县）游泳馆建了一个长150米、宽16米、深2米的长方体游泳池。（1）将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（2）在游泳池内壁1.6米高处用红漆画一条水位线，按水位线注入水，应注入水多少立方米？【思路点拨】（1）根据无法长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+abh，把数据代入公式解答。（2）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：（1）150×16+150×2×2+16×2×2＝2400+600+64＝3064（平方米）答：贴瓷砖的面积是3064平方米。（2）150×16×1.6＝2400×1.6＝3840（立方米）答：应注入水3840立方米。【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。【举一反三15】（2022•漳平市）明明要做一个长方体无盖玻璃容器。如图所示，这是这个玻璃容器相邻的两个面，按这样的规格可以制作出几种不同的玻璃容器。（1）制作这个无盖玻璃容器最少要用多少平方分米的玻璃？（粘接处忽略不计）（2）如果向容器中注满水，需要水多少升？（粘接处忽略不计）【思路点拨】（1）根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的已知的两个面，可以制作出3种不同的玻璃容器，①长8分米，宽6分米，高4分米；②长6分米，宽4分米，高8分米，③长8分米，宽4分米，高6分米。根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+abh，把数据代入公式解答。（2）根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，三种不同的玻璃容器的容积是相等的，把数据代入公式解答。【规范解答】解：可以制作出3种不同的玻璃容器，①长8分米，宽6分米，高4分米；②长6分米，宽4分米，高8分米，③长8分米，宽4分米，高6分米。（1）①8×6+8×4×2+6×4×2＝48+64+48＝160（平方分米）②6×4+6×8×2+4×8×2＝24+96+64＝184（平方分米）③8×4+8×6×2+4×6×2＝32+96+48＝176（平方分米）160＜176＜184答：制作这个无盖玻璃容器最少要用160平方分米的玻璃。（2）8×6×4＝48×4＝192（立方分米）192立方分米＝192升答：需要水192升。【考点评析】此题主要考查长方体的表面积公式、容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式一．选择题1．（2022•裕华区）—个长方体，底面积是12.56平方分米，高是7分米，如果它的高增加2厘米，体积会增加（　　）立方分米。A．1.428 B．25.12 C．2.512【思路点拨】增加的部分可以看作是一个高2厘米的长方体，这部分长方体的体积就是增加的体积，根据长方体的体积公式V＝Sh，列式计算。【规范解答】解：2厘米＝0.2分米12.56×0.2＝2.512（立方分米）答：体积会增加2.512立方分米。故选：C。【考点评析】本题解题关键是理解增加的部分可以看作是一个高2厘米的长方体，再根据长方体的体积公式V＝Sh，列式计算。2．（2022•本溪县）在一个长10cm，宽6cm，高4cm的长方体木块上，截取一个最大的正方体，这个正方体的体积是（　　）cm3。A．1000 B．240 C．216 D．64【思路点拨】根据题意可知，在这个长方体木块上截取一个最大的正方体，这个正方体的路程等于长方体的高，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【规范解答】解：4×4×4＝16×4＝64（立方厘米）答：这个正方体的体积是64立方厘米。故选：D。【考点评析】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。3．（2022•山阳区）一盒酸奶，外包装是长方体形状，包装纸上标注“净含量650ml”。实际量得外包装长8厘米，宽5厘米，高15厘米。根据以上数据，你认为标注的净含量是（　　）A．真实的 B．虚假的 C．有真有假 D．无法确定【思路点拨】根据体积、容积的意义可知，一个容器的体积一定大于它的容积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出长方体包装盒的体积，然后与所标注的“净含量”进行比较即可。【规范解答】解：8×5×15＝40×15＝600（立方厘米）600立方厘米＝600毫升600＜650所以，我认为标注的净含量是虚假的。故选：B。【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。4．（2021•平阳县）下面四条信息中，所求的问题与体积无关的是（　　）A．一个铁块沉入装满水的杯子中，溢出多少水 B．建筑工地要挖一个长方体土坑，一共要挖出多少方的土 C．制作一个棱长为3dm的正方体玻璃缸，至少需要玻璃多少平方厘米 D．用1cm3的小正方体摆一个棱长为4cm的正方体，需要多少个小正方体【思路点拨】选项A.一个铁块沉入装满水的杯子中，求溢出多少水，是求溢出水的体积，所以这个问题与体积有关；选项B.建筑工地要挖一个长方体土坑，求一共要挖出多少方的土，是求挖出土的体积，所以这个问题与体积有关；选项C.制作一个棱长为3dm的正方体玻璃缸，求至少需要玻璃多少平方厘米，是求需要玻璃的面积，所以这个问题与体积无关；选项D.用1cm3的小正方体摆一个棱长为4cm的正方体，求需要多少个小正方体，需要用大正方体的体积除以小正方体的体积，所以这个问题与体积有关。据此判断即可解答。【规范解答】解：由分析可得，选项A、B、D都是与体积有关的问题，只有选项B与体积无关。故选：C。【考点评析】本题考查了对体积和表面积的掌握情况。5．把6个棱长为2厘米的正方体排成一排拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（　　）平方厘米．A．96 B．26 C．50 D．104【思路点拨】棱长为2厘米的小正方体，1个面的面积是4平方厘米，把6个棱长1厘米的正方体排成一排拼成一个长方体时，中间四个长方体的上面、下面、前面和后面分别包含了小正方体的4个面，左面和右面的小正方体各有5个面，因此共有4×4+5+5＝26个面，由此即可求得长方体的表面积．【规范解答】解：棱长为1厘米的小正方体每个面的面积是2×2＝4（平方厘米）由分析可知，把6个棱长1厘米的正方体排成一排拼成一个长方体时，长方体的整个表面包含了26个面积是4平方厘米的小面，因此长方体的表面积是：26×4＝104（平方厘米）答：这个长方体的表面积是104平方厘米．故选：D．【考点评析】解决本题的关键是明确拼成的长方体的表面积包含了多少个原正方体的一个面的面积．二．填空题6．（2023•崇川区模拟）一个正方体的棱长是8cm，这个正方体的表面积是 　384　cm²，体积是 　512　cm3。【思路点拨】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。【规范解答】解：8×8×6＝64×6＝384（平方厘米）8×8×8＝64×8＝512（立方厘米）答：这个正方体的表面积是384平方厘米，体积是512立方厘米。故答案为：384，512。【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。7．（2022•永定区）如果将一个长、宽、高分别是14cm，7cm，6cm的长方体木块平均分成两个小长方体，表面积最少会增加 　84　cm2；最多会增加 　196　cm2。【思路点拨】根据长方体表面积的意义可知，把这个长方体木块平均分成两个小长方体，要使表面积增加的最少，也就是与长方体的最少面平行切开，要使表面积增加的最多，也就是与长方体的最大面平行切开，表面积增加两个切面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。【规范解答】解：7×6×2＝42×2＝84（平方厘米）14×7×2＝98×2＝196（平方厘米）答：表面积最少会增加84平方厘米，最多会增加196平方厘米。故答案为：84，196。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体表面积的意义及应用，长方形的面积公式及应用。8．（2022•锡山区模拟）张叔叔想焊一个无盖的长方体水槽，现有四块长10dm、宽8dm的长方形铁皮．为使焊成的水槽容积最大（铁皮厚度忽略不计），他又配上了一块铁皮，此时，这个水槽的长是 　10　dm、宽是 　10　dm、高是 　8　dm。【思路点拨】根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，要使焊成的水槽容积最大也就是长方体水槽的长、宽、高的纸最大，所以这个水槽的长是10分米，宽是10分米，高是8分米。据此解答。【规范解答】解：10×10×8＝800（立方分米）答：这个水槽的长是10分米，宽是10分米，高是8分米。故答案为：10，10，8。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，长方体的体积（容积）公式的灵活运用。9．（2022•武宁县）用48dm长的铁丝焊接成一个长方体，已知长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的体积是 　48　dm3。【思路点拨】根据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，首先求出长、宽、高的和；再根据按比例分配的方法分别求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3+2+1＝648÷4＝12（分米）（12÷6×3）×（12÷6×2）×（12÷6×1）＝6×4×2＝48（立方分米）答：这个长方体的体积是48立方分米。故答案为：48。【考点评析】此题主要考查长方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点利用按比例分配法方法求出长、宽、高。10．（2022•渝北区）一个水池长20米，宽15米，深3米，这个水池占地 　300　平方米，这个水池最多能装水 　900　立方米。【思路点拨】根据长方形的面积公式：S＝ab，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：20×15＝300（平方米）20×15×3＝300×3＝900（立方米）答：这个水池占地300平方米，这个水池最多能装水900立方米。故答案为：300，900。【考点评析】此题主要考查长方形的面积公式，长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。11．（2019•如东县）小李把一个正方体木块锯成两个长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米，原来正方体木块的棱长是5厘米，小长方体的表面积是 　90　平方厘米，大长方体的体积是 　75　立方厘米。（先在图中画一画，再计算）【思路点拨】由小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米可知，小长方体的表面积比大长方体的表面积少的20平方厘米是4个侧面的面积差，又知原来正方体木块的棱长是5厘米，据此可求大长方体的高比小长方体的高多多少厘米，依此可求大、小长方体的高，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：如图：大小长方体高的差：20÷（5×4）＝20÷20＝1（厘米）小长方体高：（5﹣1）÷2＝4÷2＝2（厘米）大长方体的高：5﹣2＝3（厘米）小长方体的表面积：（5×5+5×2+5×2）×2＝（25+10+10）×2＝45×2＝90（平方厘米）大长方体的体积：5×5×3＝75（立方厘米）答：小长方体的表面积是90平方厘米，大长方体的体积是75立方厘米。故答案为：90，75。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握立体图形的切拼方法及应用，长方体的表面积公式、体积公式及应用，关键是求出大小长方体的长、宽、高。12．（2018•吴江区）如图所示是一个长方体的展开图，其尺寸如图所示，其中ABCD为正方形，求长方体的体积是 　12cm3　。【思路点拨】根据正方形的特征可知，长方体的宽与高的和是（8÷2）厘米，一条长加上两条高的和是6厘米，据此可以求出长方体的长、宽、高，然后根据长方体的体积公式；V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：宽+高＝8÷2＝4（厘米）长+高+高＝6（厘米）所以高＝（6﹣4）÷2＝1（厘米）宽＝4﹣1＝3（厘米）长＝6﹣1﹣1＝4（厘米）4×3×1＝12（立方厘米）答：这个长方体的体积是12立方厘米。【考点评析】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是根据长方体的展开图的特征及标注的条件求出长、宽、高。三．判断题13．（2023•黄梅县模拟）体积相等的物体，它们的表面积也一定相等．　×　．（判断对错）【思路点拨】长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，此题可以采用举例说明的方法进行判断．【规范解答】解：一个长方体和正方体的体积相等，都是8．所以正方体的棱长是2，表面积是2×2×6＝24．长方体的长宽高可以分别是：1、2、4，表面积是1×2×2+1×4×2+2×4×2．＝4+8+16＝28所以原题说法错误．故答案为：×．【考点评析】此题考查物体体积和表面积公式的灵活应用，采用举实例的方法进行解答即可．14．（2022•乌鲁木齐）一个正方体的棱长扩大3倍。则它的体积和表面积也同时扩大3倍。 　×　（判断对错）【思路点拨】根据正方体的体积公式：V＝a3，表面积公式：S＝6a2，再根据积的变化规律据此判断。【规范解答】解：3×3＝93×3×3＝27所以，一个正方体的棱长扩大3倍。则它的体积扩大27倍，表面积扩大9倍。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，积的变化规律及应用。15．（2022•崆峒区）如果一个长方体的表面积缩小到原来的，那么它的体积就缩小到原来的。 　×　（判断对错）【思路点拨】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，再根据积的变化规律，如果一个长方体的表面积缩小到原来的，也就是正方体的棱长缩小到原来的，那么它的体积就缩小到原来的。据此判断。【规范解答】解：如果一个长方体的表面积缩小到原来的，也就是正方体的棱长缩小到原来的，那么它的体积就缩小到原来的。因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题主要考查正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用，关键是熟记公式。16．（2022春•紫阳县期末）表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等．　×　（判断对错）【思路点拨】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，体积公式：V＝abh，可以举出表面积相等的两个长方体，但体积不相等的反例，继而得出结论．【规范解答】解：如：长宽高分别为2厘米，4厘米，6厘米的长方体表面积为：（2×4+2×6+4×6）×2＝44×2＝88（平方厘米）体积为：2×4×6＝48（立方厘米）长宽高分别为2厘米，2厘米，10厘米的长方体表面积为：（2×2+2×10+2×10）×2＝44×2＝88（平方厘米），体积为：2×2×10＝40（立方厘米）．所以“表面积相等的两个长方体，它们的体积一定相等”的说法是错误的．故答案为：×．【考点评析】此题应根据长方体的表面积和体积计算公式进行分析解答．四．计算题17．（2021•娄星区）计算下图的表面积与体积。（单位：厘米）【思路点拨】通过观察图形可知，由于上面的圆柱与下面的长方体粘合在一起，所以这个组合图形的表面积等于圆柱的侧面积加上长方体的表面积，它的体积等于圆柱的体积加上长方体的体积。根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×6×8+（15×10+15×2+10×2）×2＝18.84×8+（150+30+20）×2＝150.72+200×2＝150.72+400＝550.72（平方厘米）3.14×（6÷2）2×8+15×10×2＝3.14×9×8+300＝226.08+300＝526.08（立方厘米）答：它的表面积是550.72平方厘米，体积是526.08立方厘米。【考点评析】此题主要考查圆柱、长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。18．（2018•青岛）一个密封玻璃缸，从里面量长12分米、宽3分米、高6分米，现在缸里的水深5分米（图1）①这个密封玻璃缸里装了多少升水？②如果将这个玻璃缸竖起来放（图2），那么缸里水深多少分米？【思路点拨】（1）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答．（2）无论横放还是竖放，玻璃缸内水的体积不变，所以用水的体积除以竖放时玻璃缸的底面积即可．【规范解答】解：（1）12×3×5＝180（立方分米），180立方分米＝180升；答：这个密封玻璃缸里装了180升水．（2）180÷（6×3）＝180÷18＝10（分米）；答：缸里水深10分米．【考点评析】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式．五．应用题19．（2022•璧山区）一间音乐教室的长是9米，宽是8米，高是4米，要粉刷这间音乐教室的四面墙壁和屋顶，除去门窗28m2，粉刷的面积是多少平方米？【思路点拨】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式求出这5个面的总面积，然后减去门窗面积就是粉刷的面积。【规范解答】解：9×8+9×4×2+8×4×2﹣28＝72+72+64﹣28＝208﹣28＝180（平方米）答：粉刷的面积是180平方米。【考点评析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。20．（2022•宁海县）有一个圆锥形零件，底面直径4厘米，高6厘米将它浸没在一个长为8厘米、宽5厘米的长方体容器内，水面会上升多少厘米？【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，用圆锥的体积除以长方体容器的底面积就是水面上升的高。【规范解答】解：×3.14×（4÷2）2×6÷（8×5）＝×3.14×4×6÷40＝25.12÷40＝0.628（厘米）答：水面会上升0.628厘米。【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。21．（2022•武汉模拟）学校四楼有一间房，长5米，高4米，宽若干米。现在用长为100厘米，宽60厘米，厚2厘米的地板铺满地面，用了刚好50块。若改用长15分米，宽4分米，厚3厘米的地板铺满地面需要多少块地板？你能算算这个房间有多宽吗？【思路点拨】根据长方形的面积公式：S＝ab，求出长为100厘米，宽为60厘米的一块木地板的面积，再乘需要的块数求出铺地的面积，然后用铺地的面积除以另一种地板的面积即可求出需要的块数，最后用地面的面积除以长即可求出房间的宽。【规范解答】解：100cm＝10dm，60cm＝6dm，5 米＝50 分米。10×6×50÷（15×4）＝60×50÷60＝3000÷60＝50（块）10×6×50÷50＝3000÷50＝60（分米）60分米＝6米答：需要50块地板，这个房间的宽是6米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。22．（2022•巩义市）某学校要修建一个长方体沙坑，在比例尺是1：50的设计图上，沙坑的长为16cm，宽为5cm，深为1cm。按图施工完成后，如果在这个沙坑的底面和侧面抹上水泥，那么抹水泥部分的面积是多少平方米？【思路点拨】首先根据比例尺，分别求出沙坑的实际长、宽、高，再根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：16×50＝800（厘米）800厘米＝8米5×50＝250（厘米）250厘米＝2.5米1×50＝50（厘米）50厘米＝0.5米8×2.5+8×0.5×2+2.5×0.5×2＝20+8+2.5＝30.5（平方米）答：抹水泥部分的面积是30.5平方米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。23．（2022•礼县）一个长方体的所有棱长之和为96cm，长、宽、高的比是3：4：5，这个长方体的体积是多少立方厘米？【思路点拨】先根据长方体的棱长总和公式，长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，所以用棱长和除以4，求出一条长、宽和高的和，再根据长、宽、高的比是3：4：5，按比例分配的方法求出长、宽、高，再根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入公式解答即可。【规范解答】解：3+4+5＝12长：（96÷4）×＝6（厘米）宽：（96÷4）×＝8（厘米）高：（96÷4）×＝10（厘米）体积：10×8×6＝480（立方厘米）答：这个长方体的体积是480立方厘米。【考点评析】本题考查的是长方体体积计算公式的应用，解答本题的关键是根据长方体的长宽高的比和棱长总和求出长方体的长、宽、高。24．（2022•如皋市）一个无水长方体玻璃缸，长4.8分米，宽2.5分米，高3分米，打开水龙头给玻璃缸注水，从7：00开始注水，7：04关闭水龙头停止注水，水的流量为6立方分米/分，接着在玻璃缸里放入一个长方体铁块，全部浸没水中，玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。（1）如图中点 　B　的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择）（2）7：04玻璃缸中水的高度是多少分米？【思路点拨】（1）因为注水速度一定，所以水面高度与注水时间成正比例，正比例的图像是一条过原点的直线。据此解答。（2）先求出注入的水的体积，再除以玻璃缸的底面积即可。【规范解答】解：（1）如图中点B的位置表示停止注水。（2）7时4分﹣7时＝4分6×4＝24（立方分米）24÷（4.8×2.5）＝24÷12＝2（分米）答：玻璃缸中水的高度是2分米。故答案为：B。【考点评析】本题考查了利用正比例图像及长方体体积公式解决问题，需熟练掌握正比例图像特点，灵活使用长方体体积公式。25．（2022•上虞区）一个长方体玻璃缸（如图），水深6dm。如果投入一块棱长5dm的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？【思路点拨】根据题意可知，如果铁块的体积等于玻璃缸内无水部分的体积，说明水会溢出，否则水就不会溢出。根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：5×5×5＝125（立方分米）9×6×（8﹣6）＝54×2＝108（立方分米）125﹣108＝17（立方分米）17立方分米＝17升答：缸里的水会溢出17升。【考点评析】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。26．（2022•黄山）小红家做了一个长方形观赏鱼池，长4m，宽2m，深1.5m。如果鱼池蓄水深度为1m，抽水机每分钟注水100L，抽水机工作多少小时才能达到需要的水深？【思路点拨】先求出蓄水深度为1m时水的体积，再求抽水机工作多少小时才能达到需要的水深。【规范解答】解：4×2×1＝8（m3）8m3＝8000L8000÷100＝80（分钟）80分钟＝（小时）答：抽水机工作小时才能达到需要的水深。【考点评析】本题考查了长方体的体积的计算，需熟记公式并灵活使用公式解决问题。27．（2022春•讷河市期末）一个长方体容器，从里面量长、宽均为2dm，向容器中倒入5.9L水后，再把一个西红杮放入水中，这时量得容器内的水深是16cm，这个西红杮的体积是多少？【思路点拨】根据不规则物体的体积计算方法（排水法），西红柿的体积等于它在容器里排开的水的体积，根据长方体的体积计算方法，求出容器中5.9升水和西红柿的体积之和，再减去5.9升水的体积即可求出土豆的体积．【规范解答】解：16cm＝1.6dm5.9升＝5.9立方分米2×2×1.6﹣5.9＝6.4﹣5.9＝0.5（立方分米）答：这个西红柿的体积是0.5立方分米．【考点评析】此题主要考查不规则物体的体积计算方法，西红柿的体积等于它在容器里排开的水的体积，再利用长方体的体积计算方法解答，注意单位之间的换算．28．（2021•邹平市模拟）一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装，从外面量盒子长6厘米，宽4厘米，高10厘米．盒面注明“净含量：240毫升”，请分析该项说明是否存在虚假．【思路点拨】根据体积、容积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积；某容器所能容纳别的物体的体积叫做这个容器的容积，计算体积从外面测量长、宽、高，计算容积从里面测量长、宽、高，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出这个盒子的体积，然后与盒子标注的净含量进行比较即可．【规范解答】解：6×4×10＝24×10＝240（立方厘米）240立方厘米＝240毫升净含量240毫升是塑封纸盒的容积；240立方厘米是塑封纸盒的体积，一个容器的体积大于它的容积，所以存在虚假．答：净含量240毫升是塑封纸盒的容积；240立方厘米是塑封纸盒的体积，一个容器的体积大于它的容积，所以存在虚假．【考点评析】此题考查的目的是理解掌握体积、容积的意义，以及长方体的体积、容积的计算方法及应用，明确：一般情况容器的容积小于容器的体积．