2023学年六年级下册数学人教版专题复习（知识点讲解+真题演练）：03因数与倍数

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03 因数与倍数


知识点一：因数与倍数

1.因数和倍数的定义：若a÷b=c(a、b、c均为整数，且b≠0，则a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2.因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。
3.求一个数的倍数的方法：用这个数乘 1，2，3，4……，所得的积都是这个数的倍数。
4.求一个数的因数的方法：用乘法算式把一个数写成另两个自然数乘积的形式，那么这两个自然数就是这个数的因数。
注意：倍数和因数是相互依存的，没有倍数就不存在因数，没有因数也就不存在倍数，不能单独说一个数是倍数或因数。在研究因数、倍数时涉及的数为自然数，一般不包括 0。

【例1】在35÷7＝5中，_____是______的倍数，_____是______的因数。
【答案】     35     5、7     5、7     35
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】在35÷7＝5中，35是5和7的倍数，5和7是35的因数。
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。

【同步练习1】a和b都是非0自然数，且a＝3b，下面的叙述中错误的是（    ）。
A．a是b的倍数 B．3和b都是a的因数
C．a是3的倍数 D．a是倍数，b是因数
【答案】D
【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，因数和倍数是相互依存的关系不能独立存在，据此解答。
【详解】分析可知，a和b都是非0自然数，且a＝3b，则a÷b＝3，a是b和3的倍数，b和3是a的因数，不能说a是倍数，b是因数。
故答案为：D
【点睛】本题主要考查因数倍数的认识，掌握因数倍数的意义是解答题目的关键。


【例2】请你一个不差地写出30的因数：( )；50以内15的倍数：( )。
【答案】     1、2、3、5、6、10、15、30     15、30、45
【分析】（1）可以利用整除的方法来求一个数的因数，除的时候先从较小数字1开始；也可以利用乘法来一对一对的找；
（2）求一个数的倍数，就用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5…就得到了这个数的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍…据此解答。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
15×1＝15
15×2＝30
15×3＝45
50以内15的倍数有：15、30、45
【点睛】找因数时做到有序、不重不漏；找倍数时，需要明确一定的范围。

【同步练习2】15的因数有( )个，其中最大的因数是( )；15的倍数有( )个，其中最小的倍数是( )。
【答案】     4     15     无数     15
【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。
【详解】15＝1×15＝3×5
15的因数有1、3、5、15，共有4个，其中最大的因数是15。
15的倍数有无数个，其中最小的倍数是15。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的因数和倍数的方法。

【例3】因为56÷7＝8，所以56是倍数，7是因数。( )。
【答案】×
【分析】因数和倍数是相互依存的，离开了因数也就无所谓倍数，离开了倍数也就无所谓因数，应当说哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数，本题应当说56是7和8的倍数，7和8是56的因数。
【详解】由分析可知：
因为56÷7＝8，所以56是7和8的倍数，7和8是56的因数。所以原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题是考查因数与倍数的意义。要记住，因数和倍数是相互依存的。

【同步练习3】在18÷3＝6中，3和6是因数，18是倍数。( )
【答案】×
【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，因数和倍数是相互依存的不能独立存在，据此解答。
【详解】在18÷3＝6中，3和6是18的因数，18是3和6的倍数，所以题目说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查因数、倍数的认识，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。


【例4】因为2.4÷0.3＝8，所以2.4是0.3的倍数。( )
【答案】×
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
【详解】只在整数范围研究因数和倍数，2.4和0.3是小数，不在因数和倍数的研究范围，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】关键是注意因数倍数的研究范围，理解因数和倍数的意义。

【同步练习4】因为1.8÷0.6＝3，所以1.8是0.6的倍数。( )
【答案】×
【分析】在整数除法中，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此判断即可。
【详解】由分析可知：
因为1.8和0.6都是小数，所以不能说1.8是0.6的倍数。所以原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。


【例5】一个数最小的倍数是12，这个数有　 　个因数．
【答案】6.
【详解】试题分析：因为一个数的最大因数与它最小倍数都是这个数的本身，所以一个数最小的倍数是12，它的所有因数是1，2，3，4，6和12．
解：一个数最小的倍数是12，这个数是12，它的所有因数是1，2，3，4，6和12，一共有6个．
故答案为6．
点评：一个数的最大因数与它最小倍数都是这个数的本身，是解答此题的关键．

【同步练习5】一个数的最大因数和最小倍数都是16，这个数是( )。
【答案】16
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是16，这个数是16。
【点睛】本题考查因数和倍数的知识，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。


【例6】一个自然数既是3的倍数，又是15的因数，这个数是( )或( )。
【答案】     3     15
【分析】先求出15的所有因数，再从15的因数中找出3的倍数，据此解答。
【详解】15÷1＝15
15÷3＝5
15的因数有1，3，5，15，其中3和15是3的倍数。
【点睛】本题主要考查求一个数的因数和倍数，准确求出15的所有因数是解答题目的关键。

【同步练习6】一个数既是8的倍数，又是48的因数，这个数可能是( )。
【答案】8、16、24、48
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。又因为48是8的倍数，据此解答即可。
【详解】一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是：8、16、24、48。
【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

知识点二：公因数与公倍数

1.公因数和最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
2.公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3.求几个数的最大公因数和最小公倍数

联系
区别
最大公因数
用它们的公因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止。
最大公因数是把公有的质因数相乘。
最小公倍数
最小公倍数是把公有的质因数和商相乘。
注意：
如果两个数是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数成倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。


【例7】求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
16和24            7和9                  30和15
【答案】16和24的最大公因数是8，最小公倍数是48；
7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63；
30和15的的最大公因数是15，最小公倍数是30。
【分析】把两个数分解质因数后，两个数公有的质因数的积就是这两个数的最大公因数；两个数公有的质因数与这两个数独有的质因数的积就是这两个数的最小公倍数。据此解答。
【详解】16和24
16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
16和24的最大公因数是：2×2×2＝8
16和24的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48
7和9
7和9是互质数，7和9的最大公因数是1，最小公倍数是63；
30和15
30是15的倍数，那么30和15的的最大公因数是15，最小公倍数是30。
【点睛】掌握两个数的最大公因数和最小公倍数的求法是解答引此题的关键。

【同步练习7】求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
21和35            48和36            8和9            17和68
【答案】21和35的最大公因数是7；最小公倍数是105；
48和36的最大公因数是12；最小公倍数是144；
8和9的最大公因数是1；最小公倍数是72；
17和68的最大公因数是17；最小公倍数是68
【分析】最大公因数和最小公倍数的两种特殊情况：
两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；
两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
其它情况可以用分解质因数或短除法找两个数的最大公因数和最小公倍数。
【详解】（1）21＝3×7
35＝5×7
21和35的最大公因数是7；
21和35的最小公倍数是3×5×7＝105；
（2）48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是2×2×3＝12；
48和36的最小公倍数是2×2×2×2×3×3＝144；
（3）8和9是互质数；
8和9的最大公因数是1；
8和9的最小公倍数是8×9＝72；
（4）17和68是倍数关系；
17和68的最大公因数是17；
17和68的最小公倍数是68。

【例8】，，和的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】     30     630
【分析】由，知：和的最大公因数是这两个数共有的质因数的积，最小公倍数是是这两个数共有质因数和各自独有质因数的积。据此解答。
【详解】因，，所以和的最大公因数是：；和的最小公倍数是：。
和的最大公因数是（30），最小公倍数是（630）。
【点睛】掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解答本题的关键。

【同步练习8】已知A＝2×5×3，B＝2×3×7，（A，B）＝( )，[A，B]＝( )。
【答案】     6     210
【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解。
【详解】因为A＝2×5×3，B＝2×3×7
所以（A，B）＝2×3＝6
[A，B]＝2×3×5×7＝210
【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。

【例9】已知a、b都是大于0的自然数，a÷b＝2，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；如果a＝b＋1，那么a、b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。
【答案】     b     a     ab     1
【分析】如果两个数是倍数关系，那么较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，因为a÷b＝2，所以a＝2b，也就是a和b的最大公因数是b；最小公倍数是a；如果a＝b＋1，则说明这两个数是相邻的自然数，如5、6，那么这两个数互质数，那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积；据此解答即可。
【详解】a÷b＝2，则a＝2b，也就是a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a；
a＝b＋1，那么这两个数互质数，那么a和b的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。
【点睛】如果两个数是倍数关系，那么较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数；两个数是相邻的自然数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积。

【同步练习9】甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是（    ）。
A．甲数 B．乙数 C．无法确定
【答案】B
【分析】甲数是乙数的倍数，即甲数和乙数是倍数关系，且甲数＞乙数，根据当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；据此解答。
【详解】甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是乙数。
故答案为：B
【点睛】掌握两个数是倍数关系时，它们的最大公因数的求法是解题的关键。

【例10】有三条彩带，分别长12厘米，42厘米，54厘米，现在要把它们截成长度相等的小段（每段的长为整厘米数），不许有剩余，每小段最长是多少厘米？此时一共截成了多少段？
【答案】6厘米；18段；
【分析】要把三条彩带都截成同样长的小段，不许有剩余，所截的长度就应是12，42，54的公因数，每小段最长是多少厘米，就是求这三个数的最大公因数是几，用每条彩带的长度除以它们的最大公因数，再相加，就是一共可截成的段数。
【详解】12＝2×2×3
42＝2×3×7
54＝2×3×3×3
12，42和54的最大公因数是2×3＝6
所以每小段最长是6厘米
12÷6＋42÷6＋54÷6
＝2＋7＋9
＝18（段）
答：每小段最长是6厘米，一共可以截成18段。
【点睛】本题的关键是让学生理解，求每小段最长是多少厘米，就是求12，42和54的最大公因数，注意求的是每小段最长是多少厘米。

【同步练习10】选修课上，老师要求同学们将一张长28厘米，宽12厘米的长方形彩纸。在无剩余的前提下，裁成大小相等且尽可能大的正方形，正方形的边长是多少？一共可以裁成多少张？
【答案】4厘米；21张
【分析】求出长方形纸长和宽的最大公因数就是裁成的最大正方形的边长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，分别求出长方形和正方形面积，长方形面积÷正方形面积＝裁成的个数，据此列式解答。
【详解】28＝2×2×7
12＝2×2×3
2×2＝4（厘米）
28×12÷（4×4）
＝336÷16
＝21（张）
正方形的边长是4厘米，一共可以裁成21张。
【点睛】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。

【例11】一筐苹果，3个3个地拿，4个4个地拿，6个6个地拿都正好拿完，没有剩余。这筐苹果最少有（    ）个。
A．12 B．24 C．6
【答案】A
【分析】由题意可知，苹果的数量是3、4、6的最小公倍数，根据求最小公倍数的方法，求出3、4、6的最小公倍数即可。
【详解】因为6是3的2倍，所以3和6的最小公倍数是6；


所以4和6的最小公倍数是
所以3、4、6的最小公倍数是12。则这筐苹果最少有12个。
故答案为：
【点睛】本题考查最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。

【同步练习11】暑假时，小东和小强去游泳，小东每8天去一次，小强每6天去一次。7月1日他们同时去游泳，（    ）他们会再次同时去游泳。
A．7月7日 B．7月9日 C．7月25日
【答案】C
【分析】小东去的时间间隔是8的倍数，小强去的时间间隔是6的倍数，他们同时去的时间间隔是8和6的公倍数，再次同时去就是最近的一次相遇，先求8和6的最小公倍数，再加上起始日期。
【详解】8和6的最小公倍数是24，7月1日过24天是7月25日。
7月25日他们会再次同时去游泳。
故答案为：C
【点睛】最小公倍数的应用，再次相遇所用天数是小强和小东的间隔天数的最小公倍数。

【例12】把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩2块，每个同学最少分到( )块糖。
【答案】9
【分析】把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个小组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩2块；则46减去1块后、38减去2块后就都能平均分给这个小组的学生，要求这个组最少分到几块糖，只要求出这两个数的最大公因数，即可得解。
【详解】46－1＝45
38－2＝36
45＝3×3×5
36＝3×3×4
45和36的最大公因数是3×3＝9。
把46块水果糖和38块巧克力分别平均分给一个组的同学，结果水果糖剩1块，巧克力剩2块，每个同学最少分到9块糖。
【点睛】灵活应用求几个数的最大公因数的方法来解决实际问题。

【同步练习12】花店新进了50朵玫瑰和40朵百合，要用这两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多2朵，百合多4朵，最多能扎几束？每束中的玫瑰、百合各有几朵？
【答案】12束；玫瑰4朵；百合3朵
【分析】根据题意，两种花搭配扎成相同的花束，结果玫瑰多2朵，百合多4朵，即玫瑰用了50－2＝48朵，百合用了40－4＝36朵；求最多能扎的束数，就是求48和36的最大公因数；然后用玫瑰、百合的朵数除以最多扎的束数，即可求出每束中的玫瑰、百合的朵数。
【详解】玫瑰用了：50－2＝48（朵）
百合用了：40－4＝36（朵）
48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
即最多能扎12束。
每束中的玫瑰朵数：48÷12＝4（朵）
每束中的百合朵数：36÷12＝3（朵）
答：最多能扎12束，每束中的玫瑰有4朵，百合有3朵。
【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题。

【例13】已知六年级超过300人，而不足400人。将他们按每组12人分组，多3人；按每组8人分组，也多3人。六年级学生最多有多少人？
【答案】387人
【分析】根据题意可知：要求六年级最多有多少人，即求300～400之间的比12和8的公倍数多3的数，据此解答即可。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
则12和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24
则300～400之间的24的倍数是384
384＋3＝387（人）
答：这个学校六年级学生最多387人。
【点睛】明确要求的问题是300～400之间的比12和8的公倍数多3的数，是解答此题的关键。

【同步练习13】学校买来了若干只篮球。如果把这些篮球平均分给3个班，则余2只：如果平均分给4个班，则余3只：如果平均分给5个班，则余4只。学校至少买来多少只篮球？
【答案】59只
【分析】即3、4、5的公倍数，如果把这些足球平均分给3个班，则余2只；如果把这些足球平均分给4个班，则余3只，如果平均分给5个班，则余4只。也可以理解为如果把这些足球平均分给3个班，少1只，如果把这些足球平均分给4个班，少1只，如果把这些足球平均分给5个班，少1只，即求3、4和5的最小公倍数少1，先求出3、4、5的最小公倍数，然后减去1，然后进一步解答即可。
【详解】3，4、5的最小公倍数是
则买来篮球：（只）
答：学校至少买来59只篮球。
【点睛】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数、两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答。

【例14】工程队在一条道路的两边安装路灯，原来每隔12米装一盏路灯，后又改为每隔15米装一盏，改动的过程中发现连两端共有32盏路灯不需移动，这条道路长多少米？
【答案】1860米
【分析】根据题意，求出12和15的最小公倍数，就是两路灯之间的距离；根据求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数，据此求出两路灯之间的距离多少米；根据植树问题：由于两端都安装路灯，间距数＝棵数－1，即间距：32－1＝31（个），再用两路灯之间的距离×间距，即可求出这条道的长。
【详解】12＝2×2×3
15＝3×5
12和15的最小公倍数是：2×2×3×5＝60
两路段的间距是60米；
60×（32－1）
＝60×31
＝1860（米）
答：这条道路长1860米。
【点睛】本题考查植树问题和最小公倍数的求法，关键明确，12和15的最小公倍数就是两路段之间的距离。

【同步练习14】某工地从一条直道的一端到另一端，每隔4米打了一个木桩，一共打了37个木桩。现在要改成每隔6米打一个木桩，那么，可以不拔出来的木桩共有多少个？
【答案】13个
【分析】两端都栽的植树问题中，间隔数比棵数少1，根据“总长＝间隔数×间距”求出这条直道的长度是144米，当这个木桩所在的位置同时是4和6的倍数时，这个木桩不用拔出来，先求出两个数的最小公倍数，再求出144以内4和6的所有公倍数，最后加上第一个木桩求出不用拔出来的木桩数量，据此解答。
【详解】（37－1）×4
＝36×4
＝144（米）

4和6的最小公倍数为：2×2×3＝12
144以内4和6的公倍数有：12，24，36，48，60，72，84，96，108，120，132，144，一共12个公倍数。
12＋1＝13（个）
答：可以不拔出来的木桩共有13个。
【点睛】本题主要考查植树问题和公倍数的综合应用，求出符合条件的公倍数后再加上第一个木桩是解答题目的关键。



知识点三：2，5，3的倍数的特征

1.2的倍数的特征：个位上是 0，2，4，6，8的数是2的倍数。
2.5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。
3.3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是 3 的倍数。
4.同时是2和3的倍数的数：个位上的数是 0，2，4，6，8，并且各个数位上的数字之和是3的倍数同时是3和5的倍数的数，个位上的数是0或5，并且各个数位上的数字之和是3的倍数；同时是2和5的倍数的数，个位上的数是0；同时是 2，3，5的倍数的数，个位上的数是0，并且各个数位上的数字之和是3的倍数。

【例15】在510，73，234，91，102，687，870中，是3的倍数有( )个，( )既是2的倍数，又是5的倍数。
【答案】     5     510，870
【分析】3的倍数的特征是一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。一个数的末尾是偶数（0，2，4，6，8），这个数就是2的倍数。5的倍数的特征是个位数是0或5的数一定是5的倍数。据此求解。
【详解】510：各数位上的和是6，是3的倍数，则510是3的倍数；
73：各数位上的和是10，不是3的倍数，则73不是3的倍数；
234：各数位上的和是9，是3的倍数，则234是3的倍数；
91：各数位上的和是10，不是3的倍数，则91不是3的倍数；
102：各数位上的和是3，是3的倍数，则102是3的倍数；
687：各数位上的和是21，是3的倍数，则687是3的倍数；
870：各数位上的和是15，是3的倍数，则870是3的倍数；
3的倍数有510，234，102，687，870，共5个。
既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位只能是0，所以符合条件的是510，870。
【点睛】本题主要考查2、3、5的倍数的特征。

【同步练习15】有一个三位数是41。

【答案】0，2，4，6，8；
0，5；
1，4，7；
0
【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数。
【详解】由分析可知：
要使它是2的倍数，□里可以填0，2，4，6，8；要使它是5的倍数，□里可以填0，5；要使它是3的倍数，□1，4，7；要使它同时是2、3和5的倍数，□里填0。
【点睛】本题考查2、3、5的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。

【例16】谁说得对？对的画“√”，错的画“×”。

( )                                                      ( )


( )                                                      ( )
【答案】     ×     √     √     √
【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此可以通过举例来判断；
如果两个数有倍数关系，较大的那个数一定是较小的那个数的倍数，据此判断；
自然数中3的倍数为3、6、9…，即每两个3的倍数之间相隔两个数，据此判断；
根据2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；结合3的倍数特征进行判断。
【详解】由分析可得：
比如12这个数，1＋2＝3，3是3的倍数，即12是3的倍数，但是12是偶数，所以3的倍数一定都是奇数说法错误；
9÷3＝3，9是3的倍数，它们之间存在倍数关系，9是较大的那个数，所以是9的倍数的数一定是3的倍数，故说法正确；
由于每两个3的倍数之间相隔两个数，所以三个连续非零自然数中，一定有一个数是3的倍数的说法正确；
个位数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数，这个三位数三个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，比102小的三位数还有100和101，
1＋0＋0
＝1＋0
＝1
1不是3的倍数，所以100不是3的倍数，不符合题意；
101，不是以0、2、4、6、8结尾的数，不符合题意；
1＋0＋2
＝1＋2
＝3
所以102既是2的倍数又的3的倍数的最小三位数，说法正确。
综上所述：3的倍数一定是奇数说法错误；
是9的倍数的数一定是3的倍数说法正确；
三个连续非零自然数中，一定有一个数是3的倍数的说法正确；
既是2的倍数又的3的倍数的最小三位数是102说法正确。
【点睛】本题考查了2、3和5的倍数特征，以及偶数的特征，需要熟练掌握。

【同步练习16】一个四位数256□，要使它是偶数，□里最大填( )；要使它是3的倍数，□里最小填( )；要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填( )。
【答案】     8     2     0
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；2的倍数的数也叫做偶数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除。
【详解】一个四位数256□，要使它是偶数，□里可以填：0、2、4、6、8，□里最大填8；
2＋5＋6＋0＝13，13不是3的倍数；
2＋5＋6＋1＝14，14不是3的倍数；
2＋5＋6＋2＝15，15是3的倍数；
要使它是3的倍数，□里最小填2；
要使它既是2的倍数，又是5的倍数，□里应该填0。
【点睛】本题考查2、3、5的倍数特征及应用。

【例17】同时是2、3的倍数的最小数是( )，同时是3、5的倍数的最大两位数是( )。
【答案】     6     90
【分析】如果两个数是互质数，则它们的最小公倍数是这两个数的乘积；
同时是3和5的倍数必须满足：末尾是0或5，并且各个数位上的和能被3整除；此题求的是同时是3和5的倍数的最大两位数，如果末尾一定是5，那么十位最大是7；如果末尾是0，那么十位最大是9；90＞75，进而得出结论。
【详解】2×3＝6
同时是2、3的倍数的最小数是6；
同时是3、5的倍数的最大两位数是90。
【点睛】解答此题应结合题意，根据能被2、3和5整除的数的特征进行分析解答即可。

【同步练习17】同时是2、5、3倍数的最大两位数是( )，最小三位数是( )。
【答案】     90     120
【分析】根据2、3、5的倍数的特征可知，同时是2、3、5的倍数的两位数，只要个位是0，十位满足是3的倍数即可，十位满足是3的倍数的有3、6、9，据此可填写第一空；
同时是2、3、5的倍数的最小三位数，只要个位是0，百位是最小的自然数1，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，从而完成解答。
【详解】通过分析可知，同时是2、5、3倍数的最大两位数是90，最小三位数是120。
【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答此题的关键。

【例18】要使4□5这个三位数是3的倍数，则□里最大可以填（    ）。
A．3 B．6 C．9
【答案】C
【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数字和是3的倍数。
【详解】4＋5＋9＝18
18是3的倍数，所以最大能填9。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握3的倍数的特征是解决此题的关键。

【同步练习18】在“56□”这个三位数的□里填上一个数字，使这个三位数是3的倍数，共有( )种填法。
【答案】3
【分析】一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。根据3的倍数的特征解答即可。
【详解】5＋6＝11，11＋1＝12，12是3的倍数，所以个位上的数字可以是1。1＋3＝4，4＋3＝7，所以个位上的数字还可以是4，7。即□里可以填1，4，7。所以共有3种填法。
【点睛】明确3的倍数的特征是解决此题的关键。

【例19】下面4个五位数中，m表示0，n表示比10小的自然数，其中一定能被2、3和5整除的数是（    ）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】一定能被3和5整除的数应该是各个位上数的和是3的倍数，并且个位上是0或是5，n是非零自然数，据此判断。
【详解】A．各个位的和是2n＋0＋0＋0＝2n，末尾是0，不一定是3的倍数；原题不符合题意；
B．各个位的和是3n＋0＋0＝3n，各数位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除，末尾是0，一定能被2、3和5整除，原题符合题意；
C．3n＋0＋0＝3n，末尾是不一定是0，不一定是2、5的倍数；原题不符合题意；
D．各个位的和是2n＋0＋0＋0＝2n，不一定是3的倍数；原题不符合题意；
故答案为：B
【点睛】此题主要考查能被2、3、5整除的数的特征：一个数个位上是0或5，这个数就能被5整除；个位是0、2、4、6、8的数能被2整除；一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就能被3整除。

【同步练习19】下面四个数都是六位整数，其中x是0，y是不为0的任何数，那么同时一定是3和5的倍数的是（    ）。
A．yxxyxy B．yxyxyx C．yxxyxx D．yxxxyx
【答案】B
【分析】5的倍数特征是个位数字是0或5，3的倍数的特点是各个数位上的数字之和是3的倍数，因为x表示0，要保证各数位上的数字之和是3的倍数，y的个数就要是3的倍数，据此解答。
【详解】A．个位数字必须是0，即必须是x，yxxyxy个位数字是y，排除；
B．个位上的数字是x，y的个数应是3个、6个……，符合；
C．y的个数有2个，不符合，排除；
D．y的个数有2个，不符合，排除。
故答案为：B
【点睛】明确3和5的倍数特征是解题的关键。

【例20】从数字0，7，5，9中任取3个按要求组成三位数。（每项写两个数）
2的倍数：( )；
有因数5：( )；
同时是2和5的倍数：( )；
同时有因数2，3，5：( )。
【答案】     570、750     570、975     570、750     750、570
【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
【详解】2的倍数：570、750；
有因数5：570、975；
同时是2和5的倍数：570、750；
同时有因数2，3，5：750、570。
【点睛】关键是掌握2、3、5的倍数的特征。

【同步练习20】从0、1、5、6四个数字中，选出三个不同数字组成一个三位数，分别满足下面的条件。
(1)同时是2和5的倍数( )。（写二个即可）
(2)同时是2和3的倍数( )。（写二个即可）
(3)同时是2、5和3的倍数( )。（写二个即可）
【答案】(1)160、610
(2)156、516
(3)150、510

【分析】（1）2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2和5的倍数特征：个位是0；
（2）同时是2和3的倍数特征：个位是0、2、4、6或8且各个数位上的数字和是3的倍数；
（3）同时是2、5和3的倍数特征：个位是0，且各个数位上的数字和是3的倍数。
【详解】（1）根据分析可知，要使三位数同时是2和5的倍数，则个位是0，其余两数位可以在其他三个数字任选两个填写，150，510，160，610，560，650。
（2）根据分析可知，要使三位数是3的倍数，先任选3个数字是3的倍数，
0＋1＋5＝6
1＋5＋6＝12
所以用0、1、5组成同时是2和3的倍数，可以是150，510；
用1、5、6组成同时是2和3的倍数，可以是156、516。
（3）根据（1）和（2）可知，要使三位数同时是2、5和3的倍数，可以是150，510。
【点睛】本题考查了2、3和5的倍数特征。

【例21】花店买来175枝玫瑰花，如果每5枝包装成一束，能正好包装完吗？如果每3枝包装成一束，至少再加几枝能正好包装完？
【答案】能；2枝
【分析】根据5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】175是5的倍数，所以如果每5枝包装成一束，能正好包装完；
1＋7＋5＝13
13不是3的倍数，
最接近13的3的倍数是15，
15－13＝2（枝）
答：如果每5枝包装成一束，能正好包装完，如果每3枝包装成一束，至少再加2枝能正好包装完。
【点睛】本题考查了5和3的倍数特征的应用。

【同步练习21】妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？

【答案】不对，应找回几十或几十五。
【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。
【详解】根据5的倍数的特征可知找回13元不对。因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几枝，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5。
答：找回13元不对，应找回几十或几十五。
【点睛】此题考查了5的倍数特征的实际运用。



知识点四：奇数和偶数

1.奇数：整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。
2.偶数：整数中，是2的倍数的数叫做偶数。
3.奇数和偶数的性质：
奇+奇=偶，奇-奇=偶，奇×奇=奇；
偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶×偶=偶：
奇+偶=奇，奇-偶=奇，偶-奇=奇
奇×偶=偶。
温馨提示：
①一个自然数不是奇数就是偶数，0 也是偶数。
②相邻两个奇数或两个偶数之间相差 2。
③如果设n是自然数，那么奇数表示为2n+1，偶数表示为2n。
④奇数个奇数相加的和为奇数，偶数个奇数相加的和是偶数。


【例22】连一连。

【答案】见详解
【分析】在整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数；据此解答。
【详解】连线如下：

【点睛】理解奇数、偶数的意义是解题的关键。

【同步练习22】28的因数有( )，其中奇数有( )，偶数有( )。
【答案】     1、28、2、14、4、7     1、7     28、2、14、4
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；据此解答。
【详解】28＝1×28＝2×14＝4×7
28的因数有1、28、2、14、4、7，其中奇数有1、7，偶数有28、2、14、4。
【点睛】本题考查了找因数的方法以及奇数和偶数的认识。

【例23】如果a是一个整数，那么2a＋1一定是（    ）。
A．质数 B．奇数 C．偶数 D．合数
【答案】B
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
根据题意，如果a是2的倍数，说明a是偶数，a＋1即偶数＋奇数＝奇数；据此解答，也可以举例说明。
【详解】a是一个整数，可得2a一定是2的倍数，2a一定是偶数，2a＋1一定是奇数；
当a＝2时，2a＋1＝5，5是奇数也是质数；当a＝4时，2a＋1＝9，9是奇数也是合数。
如果a是一个整数，那么2a＋1一定是奇数。
故答案为：B
【点睛】本题考查奇数和偶数的意义，质数与合数的意义以及运算性质（偶数和奇数）。

【同步练习23】m是大于0的自然数，下列各式运算的结果，（    ）一定是奇数。
A．2m＋3 B．m＋3 C．3m D．3m＋3
【答案】A
【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，奇数×奇数＝奇数。据此解答。
【详解】A．2m＋3，2m是偶数，3是奇数，所以它们的和一定是奇数；
B．m＋3，3是奇数，m有可能是奇数，也可能是偶数，所以它们的和可能是奇数，也可能是偶数；
C．3m，3是奇数，m有可能是奇数，也可能是偶数，所以它们的积可能是奇数，也可能是偶数；
D．3m＋3，3是奇数，3m有可能是奇数，也有可能是偶数，所以它们的积可能是奇数，也可能是偶数。
故答案为：A
【点睛】本题考查了奇数、偶数的认识以及奇数和偶数的运算性质。

【例24】正方形的边长是奇数，它的周长是（    ）。
A．奇数 B．偶数 C．质数
【答案】B
【分析】不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。正方形的边长是奇数，正方形的周长＝边长×4，4是偶数，根据奇数和偶数的运算性质可知，偶数×奇数＝偶数，据此即可得解。
【详解】根据分析得，4是偶数，正方形的边长是奇数，
正方形的周长＝边长×4，由于偶数×奇数＝偶数，
所以正方形的周长是偶数。
故答案为：B
【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数的定义以及奇数和偶数的运算性质。

【同步练习24】填“奇数”或“偶数”。
2019＋2020＋2021＝( )     1111×22222×3333＝( )
【答案】     偶数     偶数
【分析】个位上数字是0、2、4、6、8的就是偶数，个位上数字是1、3、5、7、9的就是奇数；根据偶数与奇数的性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数；奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；多个数相乘，有一个乘数是偶数，则积必为偶数；据此回答。
【详解】2019＋2020＋2021；
2019和2021是奇数，2019＋2021的和是偶数，2020是偶数，
所以2018＋2020＋2021＝偶数
1111×22222×3333；
1111和3333是奇数，22222是偶数，
所以1111×22222×3333＝偶数。
2019＋2020＋2021＝偶数；1111×22222×3333＝偶数。
【点睛】根据运算性质（奇数和偶数）进行解答。

【例25】五个连续奇数的和是105，这五个连续奇数是( )。
【答案】17，19，21，23，25
【分析】中间的奇数是这五个连续奇数的平均数，中间的奇数＝五个连续奇数的和÷奇数的个数，根据相邻两个奇数相差2求出其它的奇数。
【详解】105÷5＝21
21－2＝19
19－2＝17
21＋2＝23
23＋2＝25
五个连续奇数的和是105，这五个连续奇数是17，19，21，23，25。
【点睛】理解连续奇数的特点是本题解题的关键。

【同步练习25】小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最大的是多少岁？
【答案】18岁
【分析】相邻两个偶数的差是2，假设三人中间年龄是x岁，那么最小的是（x－2）岁，最大的是（x＋2）岁。据此，根据三人年龄和是48岁这一关系，列方程解方程即可。
【详解】解：设三人中间年龄是x岁。
x＋（x－2）＋（x＋2）＝48
3x＝48
x＝48÷3
x＝16
16＋2＝18（岁）
答：他们中最大的是18岁。
【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是掌握偶数的概念和特点以及解方程的方法。

【例26】教室里有一盏电灯亮着，突然停电了，刘老师拉了一下电灯的开关，又有10名同学，每人都拉了一下开关，最后电灯是开着还是关着？请说明理由。
【答案】关着；理由见详解
【分析】根据题意可知，突然停电，此时的电灯是开着的，刘老师拉一下，电灯是关闭的，第一个同学拉一下开关，是开着，第二个同学拉下开关是关闭，由此可知，偶数是关，奇数是开，根据同学人数是奇数还剩偶数，进行解答。
【详解】刘老师拉一下电灯的开关后，此时电灯是关闭；
此后第一位同学拉一下电灯的开关后，开；
第二位同学拉一下电灯的开关后，关；
第三位：开；
第四位：关；
……
由此发现，奇数同学是开着，偶数同学是关着；
10是偶数，所以最后电灯是关着。
答：最后电灯是关着。
【点睛】本题考查奇偶性，要把要解决的问题与所学的知识结合起来。

【同步练习26】一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？
【答案】乙树，甲树
【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树，
第2次，小狗从乙树跑向甲树，
第3次，小狗从甲树跑向乙树，
第4次，小狗从乙树跑向甲树，
…
所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。
【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，
因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁；
因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。
【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁。


【例27】新年到了，妈妈准备用微信给姐姐和弟弟共发80元的红包。如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，弟弟抢得的红包钱数为奇数还是偶数？如果姐姐抢得的红包钱数为偶数呢？
【答案】奇数；偶数
【分析】根据和的奇偶性：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，即可解答此题。
【详解】80是偶数，根据奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，可知如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，那么弟弟抢得的红包钱数为奇数；如果姐姐抢得的红包钱数为偶数，那么弟弟抢得的红包钱数为偶数。
答：如果姐姐抢得的红包钱数为奇数，那么弟弟抢得的红包钱数为奇数；如果姐姐抢得的红包钱数为偶数，那么弟弟抢得的红包钱数为偶数。
【点睛】此题主要考查对和的奇偶性相关知识的灵活运用。

【同步练习27】五（1）班40名同学的年龄之和是奇数，过若干年后这些人还健在，他们的年龄之和是奇数还是偶数？
【答案】若干年后，他们的年龄之和是奇数。
【分析】40个同学今年的年龄之和为奇数，40是偶数，若干年后，40个同学增加的岁数和＝40×增加的年数，也是偶数，根据偶数与奇数的性质：奇数＋偶数＝奇数，可知若干年后，他们的年龄之和是奇数。据此解答。
【详解】解：在年龄方面，是每过1年，则每人要增加1岁，40个同学若干年后增加的岁数和是“40×增加的年数”，是偶数，40个同学今年的年龄之和为奇数，根据偶数与奇数的性质：奇数＋偶数＝奇数，可知若干年后，他们的年龄之和是奇数。
答：若干年后，他们的年龄之和是奇数。
【点睛】此题考查了年龄问题与数的奇偶性的综合运用，明确数的奇、偶性特征，是解答此题的关键。


【例28】1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001的和是奇数还是偶数？请写出理由。
【答案】奇数。1到1001之间一共有1001个数，其中有奇数501个，偶数500个，故这1001个数相加是奇数。
【详解】偶数加偶数等于偶数，奇数个奇数相加是奇数，501个奇数加起来是奇数。1到1001之间一共有1001个数，其中有奇数501个，偶数500个，故这1001个数相加是奇数。

【同步练习28】1×9×19×199×1999＋2002的结果是奇数还是偶数？
【答案】奇数
【分析】5个奇数相乘仍是奇数，加上一个偶数和还是奇数。
【详解】略


知识点五：质数与合数

1.质数：一个数如果只有 1和它本身两个因数，这个数叫做质数或素数。
2.合数：一个数如果除了1 和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。
3.分类：按因数的个数将非0的自然数可以分为质数、合数和1三大类。
4.100以内的质数表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。
5.互质数：公因数只有 1的两个数叫做互质数。
6.分解质因数：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

温馨提示：
①1既不是质数也不是合数。
②最小的质数是 2，最小的合数是4。
③2是偶数中唯一的质数，没有最大的质数和最大的合数。
④在分解质因数时，几个相乘的数必须都是质数，不能出现合数和1，并且把合数写在等号左边，几个质因数写在等号右边。
如把12 分解质因数是12=3×2×2，而不能写成12=3×4或3×2×2=12。

【例29】1、2、4、6、14、15、17、21、23中，是质数的有( )，是合数的有( )，是奇数的有( )，( )既不是质数也不是合数。
【答案】     2、17、23     4、6、14、15、21     1、15、17、21、23     1
【分析】一个数除了1和它本身两个因数，这个数叫作质数；一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数；1既不是质数也不是合数；不是2的倍数的数叫作奇数；据此解答。
【详解】根据质数、合数及奇数的定义可知：1、2、4、6、14、15、17、21、23中，是质数的有 2、17、23，是合数的有4、6、14、15、21，是奇数的有1、15、17、21、23，1既不是质数也不是合数。
【点睛】本题主要考查质数、合数、奇数的意义，解题时要明确1既不是质数也不是合数。

【同步练习29】在1、2、8、15、17、26、29、30中，( )是奇数，( )是偶数，( )是质数，( )是合数。
【答案】     1、15、17、29     2、8、26、30     2、17、29     4、16、96
【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1既不是质数也不是合数。
【详解】在1、2、8、15、17、26、29、30中，1、15、17、29是奇数，2、8、26、30是偶数；2、17、29是质数，4、16、96是合数。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握奇数与偶数、质数与合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数。


【例30】在这几个自然数中，( )是质数，( )是合数，既是奇数又是合数的是( )，既是偶数又是质数的是( )，既不是合数又不是质数的是( )。（写全所有答案）
【答案】     2、3、5、7     4、6、8、9     9     2     1
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
【详解】在这几个自然数中，2、3、5、7是质数，4、6、8、9是合数，既是奇数又是合数的是9，既是偶数又是质数的是2，既不是合数又不是质数的是1。
【点睛】掌握奇数、偶数、质数、合数的意义是解题的关键。

【同步练习30】一个九位数，个位和百位是最小的质数，十万位是最小的奇数，最高位是最小的合数，其余数位上的数是最小的偶数，这个数是( )。
【答案】400100202
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；
整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
【详解】一个九位数，个位和百位是最小的质数，即个位、百位上都是2；
十万位是最小的奇数，即1；
最高位是最小的合数，即4；
其余数位上的数是最小的偶数，即0；
这个数是400100202。
【点睛】本题考查质数与合数、奇数与偶数的意义及应用。


【例31】在括号内填上不同的质数。
14＝( )＋( )                28＝( )＋( )
【答案】     3     11     5     23
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数，先列举出28以内的所有质数，再找出符合条件的质数填入括号中，据此解答。
【详解】28以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23。
14＝3＋11
28＝5＋23＝11＋17
所以，14＝3＋11，28＝5＋23＝11＋17。
【点睛】掌握质数的意义并准确写出28以内的所有质数是解答题目的关键。

【同步练习31】在括号里填上合适的质数。
48＝( )×( )×( )×( )×( )
18＝( )＋( )＝( )×( )×( )
51＝( )×( )
【答案】     2     2     2     2     3     5     13     2     3     3     3     17
【分析】把48、18、51分解质因数，可得几个质数的乘法算式；把18内的质数相加，试算找到两个质数相加等于18。据此解答。
【详解】48＝（2）×（2）×（2）×（2）×（3）
18＝（5）＋（13）（答案不唯一）
18＝（2）×（3）×（3）
51＝（17）×（3）
【点睛】掌握质数的概念和会分解质因数的方法是解答本题的关键。


【例32】两个质数的积一定不是（    ）。
A．质数 B．合数 C．奇数
【答案】A
【分析】两个质数相乘，得到的积的因数除了这两个质数，还有1和它本身两个数。所以两个质数的积一定不是质数。据此判断。
【详解】2是最小的质数，，6是偶数也是合数，，15是奇数也是合数，所以两个质数的积一定不是质数；
故答案为：。
【点睛】了解质数、合数、奇数的概念是解答本题的关键。

【同步练习32】一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是（    ）。
A．合数 B．奇数 C．质数
【答案】A
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。正方形的周长＝边长×4，它的周长至少有的因数（1、2、4、边长），所以说一定是合数。据此解答。
【详解】根据分析可知，一个正方形的边长是一个质数，这个正方形的周长一定是合数。例如：一个边长为2的正方形，2×4＝8
它的周长是8，8的因数有1、2、4、8，所以8是合数。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查了质数和合数的认识以及应用。


【例33】公因数只有1的两个数，一定是互质数。( )
【答案】√
【详解】只有公因数1的两个数是互质数，所以说公因数只有1的两个数，一定是互质数，比如4和5，只有公因数1，所以4和5是互质数。原题说法正确。
故答案为：√

【同步练习33】在自然数1～9中，相邻两个数既是合数又是互质数的是（    ）。
A．5和6 B．7和8 C．8和9 D．9和10
【答案】C
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数；相邻的两个非零自然数都是互质数；据此逐项分析解答。
【详解】A．5和6是互质数，其中5是质数，6是合数，不符合题意；
B．7和8是互质数，其中7是质数，8是合数，不符合题意；
C．8和9既是合数又是互质数，符合题意；
D．9和10既是合数又是互质数，但题目要求自然数1～9，10＞9，不符合题意。
故答案为：C
【点睛】掌握质数与合数、互质数的意义是解题的关键。


【例34】把24分解质因数，下面的式子中，正确的是（    ）。
A．24＝2×3×2×2 B．24＝2×6×2 C．24＝2×3×2×2×1
【答案】A
【分析】根据分解质因数的概念，一一判断各选项的正误即可。
【详解】A. 24＝2×3×2×2，分解出的各个因数都是质数，分解正确；
B. 24＝2×6×2，分解出的因数6是一个合数，分解错误；
C. 24＝2×3×2×2×1，分解出的因数1既不是质数，也不是合数，分解错误。
故答案为：A
【点睛】本题考查了分解质因数，将一个数分解成几个质数的乘积叫做分解质因数。

【同步练习34】将40分解质因数，下列选项正确的是（    ）。
A． B． C．
【答案】B
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】将40分解质因数为：40＝2×2×2×5
故答案为：B
【点睛】熟练掌握分解质因数的方法是解决此题的关键。


【例35】有一个直角三角形，两条直角边的长的数值是两个质数，它们的和是20厘米，这个直角三角形的面积是多少平方厘米？
【答案】25.5平方厘米或45.5平方厘米
【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。先把20拆分成两个质数相加，这两个质数就是直角三角形的底和高，最后根据三角形的面积公式求出直角三角形的面积。
【详解】20＝3＋17＝7＋13
所以这个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和17厘米，或者是7厘米和13厘米；
3×17÷2
＝51÷2
＝25.5（平方厘米）
7×13÷2
＝91÷2
＝45.5（平方厘米）
答：这个直角三角形的面积是25.5平方厘米或45.5平方厘米。
【点睛】本题考查了质数的认识以及三角形面积公式的灵活应用。

【同步练习35】小林和小华去看十四运的比赛，他们两个的座位号之和是20，差不超过10，已知他们的座位号都是质数，他们的座位号分别是多少？
【答案】7号和13号
【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数，据此分别写出和是20的两个数，再进行判断。
【详解】
在这几组加数中，只有3、17与7、13这两组数都是质数，又因为差不超过10，所以只有7、13符合题意。
答：他们的座位号分别是7号和13号。
【点睛】本题考查质数的应用。根据质数的意义找出符合题意的数是解题的关键。



一、填空题
1．在横括号填合适的数。
28的因数有( )。64的因数有( )。
9的倍数有( )。50以内6的倍数有( )。
2．在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
3．同学们报名参加“冬奥会知识知多少”抢答赛，参赛人数是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有( )人报名参加。
4．863至少减去( )是3的倍数，至少加上( )是2和5的倍数。
5．相邻的两个自然数相加，和一定是( )数，相邻的两个自然数相乘，积一定是( )数。（填“奇数或偶数”）举例验证：( )。
6．在方框里填一个数字，使它满足要求。
（1）是3的倍数         
2□6             4□
（2）是2、3和5的倍数         
303□       7□90
（3）和是偶数        
24□＋25            差是奇数569－16□
7．两个数的最大公因数是4，最小公倍数是24，如果其中一个数是12，那么另一个数是( )。
8．在下面的括号里填不同的质数。
19＝( )＋( )   40＝( )－( )   143＝( )×( )
9．把28分解质因数是( )，( )是28的质因数。

二、选择题
10．A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C是（    ）。
A．因数 B．倍数 C．质因数 D．无法确定
11．下列说法中错误的是（    ）。
A．一个数的因数的个数是有限的
B．一个数的倍数的个数是无限的
C．8的最大因数是8，最小倍数是16
D．一个数的最小因数是1，最大因数是它本身
12．甲数＝2×3×5，乙数＝2×3×7，甲乙两数的公因数有（    ）个。
A．3 B．4 C．5
13．结果一定是偶数的有（    ）个。
（1）2个奇数的和。
（2）7个偶数的和。
（3）任意两个相邻的自然数（0除外）的积。
（4）打开数学书，左、右两边页码的和。
A．1 B．2 C．3 D．4
14．一个数，它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是（    ）。
A．9 B．18 C．36 D．324
15．6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数）。下面哪个数是完美数（    ）。
A．8 B．16 C．28 D．46
16．明明家的卧室长3.5米，宽2.8米，选用边长（    ）分米的方砖铺地不需要切割。
A．8 B．7 C．6 D．5
17．a＋1＝b（a、b均是非零自然数），a和b的最小公倍数是（    ）。
A．a B．b C．ab
18．15以内的所有质数的和是（    ）。
A．50 B．52 C．41 D．42
19．下面各数，既是奇数，又是合数的是（    ）。
A．27 B．13 C．19 D．16
20．下面说法中正确的有（    ）个。
（1）一个自然数（0除外）至少有3个因数。
（2）一个自然数不是奇数就是偶数。
（3）所有的质数都是奇数。
（4）任何两个非0自然数必有公因数1。
（5）两个非0自然数的积一定是这两个自然数的公倍数。
A．1 B．2 C．3 D．4
21．若两个质数的和是31，这两个质数的积是（    ）。
A．31 B．58 C．84 D．130

三、判断题
22．已知a÷b＝c，则a是c的倍数。( )
23．个位上是3、6、9的数都是3的倍数。( )
24．自然数可以分成奇数和偶数。( )
25．个位是6或9的数，就是3的倍数。( )
26．因为13和17的公因数只有1，所以13和17是互质数。( )

四、解答题
27．有48名同学参加植树活动，现在要把他们平均分成若干组，每组至少3人，最多不超过20人，可以怎样分？有多少种分法？
28．张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？
29．六个连续偶数的和为270，这六个偶数的积是多少？
30．用长6厘米、宽9厘米的长方形彩色卡片摆成一个大正方形，摆成的大正方形边长最小是多少厘米？此时需要多少张彩色卡片？
31．同学们在第二课堂分别参加了学校7个不同的活动小组，每个活动小组都有奇数个同学，参加学校活动小组的总人数是奇数还是偶数？
32．《孙子算经》中记载：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”它的意思是：有一些物品，如果3个3个地数，最后剩2个：如果5个5个地数，最后剩3个：如果7个7个地数，最后剩2个：这些物品至少有多少个？这个问题人们通常把它叫做“孙子问题”，西方数学家把它称为“中国剩余定理”你知道怎么解答这个问题吗？
33．一个长方形的周长是30厘米，长和宽是由一个质数和一个合数组成的，它的面积最大是多少？最小是多少？
34．李老师家最近新装了一台固定电话，请大家猜―猜电话号码是多少。电话号码顺序和数字如下：
第一位：10以内最大的，既是偶数又是合数；
第二位：最小的，既是奇数又是质数；
第三位：最小的合数；
第四位：10以内最大的，既是奇数又是合数；
第五位：既不是质数也不是合数；
第六位：10以内最大的质数；
第七位：10以内既是偶数又是质数；
第八位：5的最小倍数。

参考答案：
1．     1、2、4、7、14、28     1、2、4、8、16、32、64     9、18、27、36……     6、12、18、24、30、36、42、48
【分析】根据用乘法找配对的方式，写出一个数所有因数即可；用一个数分别乘1、2、3、4、5、6……，即可求出一个数的倍数，一个数的倍数的个数是无限的；据此求解即可。
【详解】（1）28的因数有1、2、4、7、14、28；（2）64的因数有 1、2、4、8、16、32、64；
（3）9的倍数有9、18、27、36……；（4）50以内6的倍数有 6、12、18、24、30、36、42、48。
【点睛】本题主要考查因数、倍数的知识，明确因数和倍数的意义以及求一个数因数、倍数的方法是解题的关键。
2．     17、13、9、1、33     6、2、34     17、13、2     6、9、34、33
【分析】根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。
【详解】由分析可知：
在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇数有17、13、9、1、33，偶数有6、2、34，质数有17、13、2，合数有6、9、34、33。
【点睛】本题考查奇数、偶数、质数和合数，明确它们的定义是解题的关键。
3．36
【分析】先找出72的因数，4和9的倍数，再找出其中最小的相同数即可。
【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝7×9
所以，72的因数有1，2，3，4，7，9，18，24，36，72。
4和9的倍数有：36，72……
所以，既是72的因数，同时又是4和9的倍数，最少有36人报名参加。
【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数求法是解题的关键。
4．     2     7
【分析】3的倍数的特征：各个数位之和能够被3整除，把863中各个数位上数加起来，等于17，则至少减去2就能满足是3的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上必定是0，要使863个位上的数变为0，则至少加上7。据此解答。
【详解】8＋6＋3＝17
17－2＝15
15是3的倍数，所以863至少减去2是3的倍数；
863＋7＝870
870既是2的倍数，也是5的倍数，
所以863至少加上7是2和5的倍数。
【点睛】熟练掌握2、3、5倍数的特征是解答本题的关键。
5．     奇     偶     1＋2＝3；1×2＝2（举例不唯一）
【分析】自然数成奇偶排列，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，据此分析。
【详解】由分析得：
相邻的两个自然数相加，和一定是奇数，相邻的两个自然数相乘，积一定是偶数。
举例：1＋2＝3；1×2＝2（举例不唯一）
【点睛】解答本题关键是熟悉自然数的排列特点，掌握奇数偶数的运算性质。
6．（1）1；2
（2）0；2
（3）1；4
【分析】（1）各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答；
（2）根据2，3，5的倍数特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此解答；
（3）根据偶数与奇数的性质，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数；奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；据此回答。
【详解】（1）是3的倍数
26，正方形内填1；2＋1＋6＝9，9能倍数3整除，正方形内可以填1（答案不唯一）；
4，正方形内填2；4＋2＝6，6能被3整除，正方形内可以填2（答案不唯一）；
（2）是2、3和5的倍数
303，正方形内填0；3＋0＋3＋0＝6，6能被3整除，正方形内填0；
790；正方形内填2；7＋2＋9＋0；7＋2＋9＝18，18能被3整除，正方形内可以填2（答案不唯一）；
（3）和是偶数
24＋25，241＋25＝266，266是偶数，正方形内可以填1（答案不唯一）；
差是奇数569－16；569－164＝405，正方形了可以填4（答案不唯一）。
【点睛】熟练掌握2，3，5的特征以及运算性质（奇数和偶数）是解答本题的关键。
7．8
【分析】首先要明确最大公因数和最小公倍数的求法，最大公因约数是两个数的公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数的公有质因数和独有因数的乘积，所以用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有质因数的积，进而组合成要求的数即可。
【详解】因为24÷4＝6    12＝2××2×3
所以这两个数有两种情况：
4×1＝4、4×6＝24或4×2＝8、4×3＝12，
因此其中一个数是12，那么另一个数是8
【点睛】本题考查了已知两个数的最大公约数和最小公倍数，求两个数的方法，解题关键是：用最小公倍数除以最大公因数就得到了两个数的独有因数的积。
8．     2     17     43     3     11     13
【分析】只有1和它本身两个因数的自然数为质数，据此解答即；
根据分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫作把这个合数分解质因数，由此解答（答案不唯一）。
【详解】19＝2＋17
40＝43－3
143＝11×13
【点睛】本题主要考查质数的意义，要熟记常用质数以及分解质因数的方法。
9．     28＝2×2×7     2、7
【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。这几个质数就是这个合数的质因数。
【详解】把28分解质因数是28＝2×2×7，2、7是28的质因数。
【点睛】此题主要考查分解质因数的意义，理解质因数的意义是解答本题关键。
10．B
【分析】由于A是B的倍数，可以设B是8，那么A是B的倍数，则A可以是24，8的因数有：1、2、4、8，由于这些数都是24的因数，由此即可知道C也是A的因数，即A是C的倍数。
【详解】根据分析可知，A是B的倍数，C是B的因数，那么A是C的倍数。
故答案为：B
【点睛】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
11．C
【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数，据此解答。
【详解】A．一个数的因数的个数是有限的，如：8的因数有：1，2，4，8，一共4个因数；
B．一个数的倍数的个数是无限的，如：5的倍数有：5，10，15，20，25，30…；
C．一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，所以8的最大因数是8，最小倍数也是8；
D．一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，如：10的因数有：1，2，5，10，10的最小因数是1，最大因数是10。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查因数倍数的求法，熟记一个数的最小因数、最大因数、最小倍数是解答题目的关键。
12．B
【分析】甲数和乙数分解质因数后，全部公有质因数相乘的积就是甲数和乙数的最大公因数，先求出甲数和乙数的最大公因数，公因数是最大公因数的因数，再求出最大公因数的所有因数，据此解答。
【详解】甲数和乙数的最大公因数为：2×3＝6
6÷1＝6
6÷2＝3
由上可知，6的因数有1，2，3，6一共4个因数，所以甲乙两数的公因数有4个。
故答案为：B
【点睛】掌握求两个数最大公因数的方法并熟记公因数是最大公因数的因数是解答题目的关键。
13．C
【分析】奇数、偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，据此解答即可。
【详解】（1）奇数奇数偶数，因此2个奇数的和是偶数；
（2）偶数偶数偶数，所以7个偶数相加的和是偶数；
（3）任意两个相邻的自然数是奇数和偶数，奇数偶数偶数，所以任意两个相邻的自然数（0除外）的积是偶数；
（4）数学书，左、右两边页码，一页奇数，一页偶数，奇数偶数奇数，所以打开数学书，左、右两边页码的和是奇数。
由此可知一共有3个结果一定是偶数。
故答案为：C
【点睛】明确奇数、偶数的运算性质是解决此题的关键。
14．B
【分析】根据因数、倍数的求法分别找出18的因数、倍数，再找出符合题意的数即可；据此解答。
【详解】18的倍数：18，36，54，…；
18的因数：1，2，3，6，9，18；
一个数，它既是18的倍数，又是18的因数，这个数是18。
故答案为：B
【点睛】本题考查找一个数的因数和倍数的方法，明确一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
15．C
【分析】如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数”；依照“完美数”的概念，可先列举出各个选项的所有因数，并通过求和的方法来验证。
【详解】A．8的因数有：1、2、4、8，1＋2＋4≠8，所以8不是完美数；不符合题意；
B．16的因数有：1、2、4、8、16，1＋2＋4＋8≠16，所以16不是完美数；不符合题意；
C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完美数；符合题意；
D．46的因数有：1，2，23，46，1＋2＋23≠46，所以46不是完美数，不符合题意。
6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数）。下面哪个数是完美数28。
故答案为：C
【点睛】通过题目举例，能够初步理解完全数的含义，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身；本题很好的训练了缜密思考的能力。
16．B
【分析】首先转换成统一的单位。方砖不需要切割，就要保证边长必须能被长整除，也能被宽整除，也就是计算长和宽的公因数，符合条件即可选用。
【详解】3.5米＝35（分米），2.8米＝28（分米）。
分解质因数：
35＝5×7；
28＝2×2×7。
长和宽的公因数是7，
故答案为：B。
【点睛】本题主要考查公因数的实际应用。
17．C
【分析】a＋1＝b（a、b均是非零自然数），b－a＝1，由此可知，a和b是相邻的自然数，两个相邻的自然数是互质数；当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，据此解答。
【详解】根据分析可知，a和b是互质数，所以a和b的最小公倍数是ab。
a＋1＝b（a、b均是非零自然数），a和b的最小公倍数是ab。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查两个数为互质关系时，最小公倍数的求法。
18．C
【分析】质数：除了1和它本身，没有其它因数的数是质数，1既不是质数也不是合数，据此即可找出15以内所有的质数，再把它们相加即可。
【详解】15以内的质数：2、3、5、7、11、13
2＋3＋5＋7＋11＋13＝41
所以15以内的所有质数的和是41。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查质数的意义，熟练掌握它的意义并灵活运用。
19．A
【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。据此解答。
【详解】A．27既是奇数，又是合数；
B．13是奇数，但13是质数；
C．19是奇数，但19是质数；
D．16是合数，但16是偶数；
故答案为：A
【点睛】此题主要明确奇数与偶数、质数与合数的定义，以及奇数与质数、偶数与合数的区别，才能做出正确的解答。
20．C
【分析】（1）根据因数和倍数的意义，当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数；1只有1个因数；
（2）在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；0也是偶数；
（3）质数中只有2是偶数，其他都是奇数；
（4）两个数公因数就是指它们公有的因数，每个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身；
（5）根据因数和倍数的定义可知，两个非0自然数的乘积，说明此时的乘积即是一个因数的倍数，也是另一个因数倍数，所以两个非0自然数的积一定是这两个自然数的公倍数。
【详解】（1）一个自然数（0除外）至少有1个因数，例如：1只有1个因数，2有2个因数，4有3个因数，所以原题说法错误；
（2）一个自然数不是奇数就是偶数；0也是偶数，说法正确；
（3）2是质数，但不是奇数，所以不是所有的质数都是奇数；所以所有的质数都是奇数说法错误；
（4）因为任何非0自然数都能被1整除，所以任何两个非0自然数必有公因数；说法正确；
（5）两个非0自然数的积一定是这两个自然数的公倍数，例如：2×3＝6，根据因数和倍数的定义可知，6是2的倍数，也是3的倍数，所以6是2和3的公倍数，说法正确。
所以（2）、（4）、（5）说法正确，说法正确的有3个。
故答案为：C
【点睛】本题考查了质数、合数、因数、倍数、奇数和偶数的认识和辨别。
21．B
【分析】自然数中除了1和它本身以外，不含其它因数的数是质数；除了1和它本身外，还含有其它因数的数是合数；同时要注意，31是奇数，奇数＝偶数＋奇数，由于既是偶数还是质数的数是2，所以其中一个质数是2，另一个质数用31减2即可求出另一个质数，再求出它们的积。
【详解】31＝2＋29，这两个质数是2和29；
2×29＝58
若两个质数的和是31，这两个质数的积是58。
故答案为：B
【点睛】明确质数和合数的意义以及灵活运用奇偶的运算性质是解答本题的关键。
22．×
【分析】根据因数和倍数的意义：当a÷b＝c（a、b、c为非0的自然数）时，我们说a是b的倍数，b是a的因数；原题没有说明a、b、c是非0自然数，据此解答。
【详解】已知a÷b＝c，a、b、b没有说明是非0自然数，不能说a是c的倍数。
如：4.8÷2.4＝2，我们不能说4.8是2.4的倍数，也不能说2.4是4.8的因数；
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查因数和倍数的意义，注意不能忽略a、b、c为非0的自然数的条件。
23．×
【分析】3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3的倍数个位上可以是0~9中的任意数。只看一个数的个位数字，不能判断这个数是不是3的倍数。
【详解】根据3的倍数的特征可知：个位上是3，6，9的数不一定是3的倍数。比如13，16，19等都不是3的倍数。所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】明确3的倍数的特征是解决此题的关键。
24．√
【分析】能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数，自然数不是奇数就是偶数。
【详解】由奇偶数的定义可知：自然数分为奇数和偶数。
故答案为：√
【点睛】掌握自然数以及奇数偶数的判断依据是解题的关键。
25．×
【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，据此进行判断即可。
【详解】由分析可得：
3的倍数特征是要求各个数位数字之和是3的倍数，而不是看一个数的末尾数字是不是3的倍数，如16的个位数是6，它各个数位上数字之和是：1＋6＝7，7不是3的倍数，所以16不是3的倍数。
所以“个位是6或9的数，就是3的倍数”的说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查3的倍数特征，需要熟练掌握和灵活运用。
26．√
【分析】根据互质数的意义：公因数只有1的两个数叫做互质数。据此判断即可。
【详解】因为13和17的公因数只有1，由互质数的意义公因数只有1的两个数叫做互质数可知，13和17是互质数。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数。
27．见详解。6种分法。
【分析】因为是平均分成若干组，故每组人数相同，所以48能被每组人数整除，也就是找48的因数，即1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，舍去小于3，大于20的部分，即可解答。
【详解】48＝1×48
48＝2×24
48＝3×16
48＝4×12
48＝6×8
因为每组人数至少3人，最多不超20人，所以可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
答：可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。
【点睛】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。
28．不对
【分析】不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。12和6都是偶数，30元也是偶数，偶数与不是0的正整数相乘，都是偶数，偶数加偶数也是偶数，偶数减偶数也是偶数，所以营业员找5元是奇数，营业员找错了。
【详解】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数，
又因为30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所以找回的钱不对。
答：钱没有找对。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的运算性质求解。
29．8160768000
【分析】根据相邻偶数前后相差2，假设第一个的偶数为n，那么后面的偶数依次是n＋2、n＋4、n＋6、n＋8、n＋10，根据它们的和是270，先求出n的值，再进一步求出它们的积。
【详解】解：设这6个连续偶数依次为：n、n＋2、n＋4、n＋6、n＋8、n＋10。
n＋n＋2＋n＋4＋n＋6＋n＋8＋n＋10＝270
6n＋30＝270
6n＝270－30
6n＝240
n＝240÷6
n＝40
40＋2＝42
40＋4＝44
40＋6＝46
40＋8＝48
40＋10＝50
40×42×44×46×48×50
＝1680×2024×2400
＝3400320×2400
＝8160768000
答：这六个偶数的积是8160768000。
【点睛】解答此题的关键是明确相邻偶数前后相差2，再进一步解答。
30．18厘米；6张
【分析】由题意可知，摆成的大正方形边长应是6和9的最小公倍数；然后用6和9的最小公倍数分别除以6和9，再把它们的商相乘即可解答。
【详解】6＝2×3
9＝3×3
2×3×3
＝6×3
＝18（厘米）
（18÷6）×（18÷9）
＝3×2
＝6（张）
答：摆成的大正方形边长最小是18厘米，此时需要6张彩色卡片。
【点睛】本题考查最小公倍数，明确摆成的大正方形边长是6和9的最小公倍数是解题的关键。
31．奇数
【分析】由奇数、偶数的运算性质可知，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，这7个奇数两两结合直到最后求出结果为奇数，据此解答。
【详解】奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数
＝（奇数＋奇数）＋（奇数＋奇数）＋（奇数＋奇数）＋奇数
＝偶数＋偶数＋偶数＋奇数
＝（偶数＋偶数）＋（偶数＋奇数）
＝偶数＋奇数
＝奇数
答：参加学校活动小组的总人数是奇数。
【点睛】掌握奇数、偶数的运算性质是解答题目的关键。
32．23个
【分析】根据题意可知，这些物品的个数减去2就是3和7的最小公倍数，减去3是5的倍数，因此，只要求出3和7的最小公倍数再加上2，然后除以5，看看余数是否是3解答即可。
【详解】因为3和7是互质数，所以3和7的最小公倍数是：3×7＝21，
21＋2＝23（个）
23÷5＝4……3，符合题意，
答：这些物品至少有23个。
【点睛】本题考查了最小公倍数的求法以及应用。
33．56平方厘米；36平方厘米
【分析】根据长方形的周长公式：周长＝（长＋宽）×2，计算出长和宽的总长为15厘米，根据质数和合数的概念，同时满足加起来等于15，可罗列出15是由哪些质数和哪些合数组成的，取长和宽的值，代入计算，得到最大的面积和最小的面积。
【详解】30÷2＝15（厘米）    
3＋12＝15    
4＋11＝15    
5＋10＝15    
7＋8＝15
最大：7×8＝56（平方厘米）    
最小：3×12＝36（平方厘米）
答：长方形的面积最大是56平方厘米，最小是36平方厘米。
【点睛】此题的解题关键是掌握长方形的周长和面积公式，熟悉质数和合数的概念，才能解决实际碰到的问题。
34．83491725
【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
【详解】10以内最大的，既是偶数又是合数的数是8；最小的，既是奇数又是质数的数是3；最小的合数是4；10以内最大的，既是奇数又是合数的数是9；既不是质数也不是合数的数是1；10以内最大的质数是7；10以内既是偶数又是质数的数是2；5的最小倍数是5；所以这个数写作：83491725。
答：电话号码是83491725。
【点睛】此题主要考查了奇数、偶数，以及质数、合数的认识，要熟练掌握它们的特征。