2023年安徽省芜湖市无为市中考二模数学试题

无为市九年级中考模拟检测（二）

数学试题卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

1. 下列实数中最小的是（      ）

A. 1 B.  C. －4 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】先可将－4化为－ ，再进行大小比较即可.

【详解】－4=－

1＞0＞－＞－

故选B.

【点睛】此题考查实数大小的比较，解题的关键是能估计无理数的大小.

2. 下列运算正确的是（　　）

A. （﹣a2）3=﹣a5 B. a3•a5=a15 C. （﹣a2b3）2=a4b6 D. 3a2﹣2a2=1

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、 合并同类项法则分别计算得出答案 ．

【详解】解：A. （﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；

B. a3•a5=a8，故此选项错误；

C.（﹣a2b3）2=a4b6，正确；

D. 3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算、 合并同类项， 正确掌握相关运算法则是解题关键 ．

3. 如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的正视图应是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案．

【详解】从正面看是一个上底在下的梯形．

故选D．

考点：简单几何体的三视图．

4. 新冠疫情在我国得到了很好地控制，可至今仍在海外肆虐，截止2021年3月底，海外累计确诊128924229人，128924229用科学记数法可表示为（精确到千万位）（　　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先按精确到千万位进行四舍五入取近似数，再按科学记数法的表示形式为a×10n的形式，一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字起到精确的数位止的所有数止．

【详解】解：128924229精确到千万位≈1.3亿

128924229≈1.3亿=1.3×108．

故选：B．

【点睛】本题考查按精确度取数，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5. 如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝40°，那么∠2的度数是（　　）

A. 35° B. 45° C. 50° D. 65°

【答案】C

【解析】

【分析】根据两条直线平行，同位角相等得∠1同位角是40°，再根据平角的定义和垂直定义即可求得∠2．

【详解】解：∵a∥b，

∴BC与b所夹锐角等于∠1=40°，

又AB⊥BC，

∴∠ABC=90°

∴∠2=180°-90°-40°=50°

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的概念，熟练应用两直线平行同位角相等是解题关键．

6. 为了调查八年级学生完成家庭作业所需的时间，在某校抽查了8名学生，他们每天完成作业所需的时间分别为（单位：分）：70，75，90，70，70，58，80，55，则这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ ）

A. 70，70，71； B. 70，71，70；

C. 71，70，70； D. 70，70，70

【答案】A

【解析】

【详解】解：因为这组数据中出现次数最多的数是70分，所以70分是这组数据的众数；

将数据按照从小到大的顺序排列为：55，58，70，70，70，75，80，90，中间的两个数为70，70，所以中位数为：（70+70）÷2=70（分）；

平均数为：（55+58+70+70+70+75+80+90）÷8=568÷8=71（分）．

所以这组数据的平均数是71分．

故选A．

7. 关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（    ）

A. k≤﹣ B. k≤﹣且k≠0 C. k≥﹣ D. k≥﹣且k≠0

【答案】D

【解析】

【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，

∴△＝b2﹣4ac≥0，

即：9+4k≥0，

解得：k≥﹣，

∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，

则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．

故选：D．

【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用．

8. 已知圆锥的底面半径为50cm,母线长为80cm,则此圆锥的侧面积为(  )

A. 4000πcm2 B. 3600πcm2 C. 2000 πcm2 D. 1000πcm2

【答案】A

【解析】

【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．

【详解】解：圆锥的侧面积=π×50×80=4000πcm2．

故选A．

【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．

9. 如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（    ）

A. 5 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在正方形中利用勾股定理求出线段AC长即可．

【详解】连接AC，AF，由轴对称知，AF=AB=5，

∵正方形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=90°，

∴,

∵AF+CF≥AC，

∴当点F运动到AC上时，CF=AC-AF，CF取得最小值，

最小值为，

故选B

【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．

10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线顶点坐标，得出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线的对称性，得出图象与x轴另一交点在，之间，进而得出时，，即，即可判断结论①；再根据抛物线对称轴为直线，得出，然后将其代入抛物线解析式，得出，再根据时，，得出，即可判断结论②；再根据顶点坐标，得出有两个相等实数根，再根据一元二次方程的判别式，得出，即可判断结论③；再根据顶点坐标，得出的最大函数值为，再根据抛物线的图象，得出有实数根，即可判断结论④，综合即可得出答案．

【详解】解：∵抛物线顶点坐标为，

∴抛物线对称轴为直线，

∵图象与x轴的一个交点在，之间，

∴图象与x轴另一交点在，之间，

∴时，，

即，

故①正确，符合题意；

∵抛物线对称轴为直线，

∴，

∴，

∴时，，

故②正确，符合题意；

∵抛物线顶点坐标为，

∴有两个相等实数根，

∴，

∴，

故③正确，符合题意；

∵的最大函数值为，

∴有实数根，

故④错误，不合题意，

综上所述，正确的结论有3个．

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象求方程的根的情况，掌握二次函数图象与性质是解本题的关键．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11. 函数的自变量的取值范围是______．

【答案】且

【解析】

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于、分母不等于列式求解即可．

【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即，

根据分式的意义可知：，即，

且．

【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；③当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

12. 分解因式：______．

【答案】

【解析】

【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．

【详解】解：

．

故答案为：．

【点睛】本题考查分解因式．综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．

13. 如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为，则k的值为 _____．

【答案】6

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案．

【详解】解：如图，过点C作轴于D，

∴，

∵点B是的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

故答案为：6．

【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义，掌握全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．

14. 已知四边形是矩形，，，为边上一动点且不与、重合，连接，如图，过点作交于点．

①若，那么的长________；

②将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，那么的长______．

【答案】    ①.     ②. 2或x＝

【解析】

【分析】①求出CE=BC-BE=3，证明△ABE∽△ECN，得出，即可得出结果；

②过点E作EF⊥AD于F，则四边形ABEF是矩形，得出AB=EF=2，AF=BE，由折叠的性质得出CE=CE，CN=CN，∠ECN=∠C=90°，证明△CEF∽△NCD，得出，则，由，得出，则，得出CD=BE，设BE=x，则CD=AF=x，CF=4-2x，CE=4-x，则，，求出DN=，，由CN+DN=CD=2，即可得出结果．

【详解】解：①∵BE＝1，

∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠BEA＝90°，

∵EN⊥AE，

∴∠AEN＝90°，

∴∠BEA+∠CEN＝90°，

∴∠BAE＝∠CEN，

∴△ABE∽△ECN，

∴，

即：＝，

解得：CN＝．

②过点E作EF⊥AD于F，如图1所示：

则四边形ABEF是矩形，

∴AB＝EF＝2，AF＝BE，

由折叠的性质得：CE＝CE，CN＝CN，∠ECN＝∠C＝90°，

∴∠NCD+∠ECF＝90°，

∵∠CND+∠NCD＝90°，

∴∠ECF＝∠CND，

∵∠D＝∠EFC，

∴△CEF∽△NCD，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴CD＝BE，

设BE＝x，则CD＝AF＝x，CF＝4﹣2x，CE＝4﹣x，

∴，，

∴DN＝，，

∴CN+DN＝+＝CD＝2，

解得：x＝2或x＝，

∴BE＝2或BE＝．

故答案为：①②2或．

【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本体的关键．

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化最简二次根式，再根据实数的混合运算法则计算即可．

详解】解：

．

【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化最简二次根式．熟练掌握实数的混合运算法则是解题关键．

16. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有如下问题：今有人盗库绢，不知所失几何，但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？大意是：有几个盗贼偷了仓库里的绢，不知道具体偷盗了多少匹绢，只听盗贼在草丛中分绢时说：“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹．”问有多少盗贼？多少匹绢？

【答案】有13个盗贼，84匹绢

【解析】

【分析】设现在有x人，则有绢y匹，根据“每人分6匹，会剩下6匹；每人分7匹，还差7匹”列出方程组即可．

【详解】解：设有x个盗贼，y匹绢，

根据题意得

解得

答：有13个盗贼，84匹绢．

【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程组，难度不大．

四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在正方形网格的格点上．

（1）画出将沿轴方向向右平移个单位长度后得到的；

（2）画出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；

（3）在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹）

【答案】（1）见解析    （2）图见解析，点的坐标为   

（3）见解析

【解析】

【分析】（1）分别作出点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可；

（2）分别作出点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可；

（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，即可．

【小问1详解】

解：如图所示，即为所求作三角形；

【小问2详解】

解：如图所示，即为所求作三角形；

点的坐标为；

【小问3详解】

解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则点即为所求．

【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移和轴对称，熟练掌握平移变换和轴对称变换的性质是解题的关键．

18. 细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．

，，

，，

，，

……

（1）_____；

（2）用含（是正整数）的等式表示上述面积变化规律：_____，_____；

（3）若一个三角形的面积是，则它是第______个三角形；

（4）求出的值．

【答案】（1）   

（2）；   

（3）20    （4）

【解析】

【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解；

（2）观察上述结论，可以发现，即可求解；

（3）根据，即可求解；

（4）的值就是把面积的平方相加即可．

【小问1详解】

，

∴，

故答案为：

【小问2详解】

∵，，

∴（是正整数）

故答案：；

【小问3详解】

∵，

∴，

故答案为：20

【小问4详解】

【点睛】根据考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19. 为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．

【答案】的长和的长分别约为米和米．

【解析】

【分析】根据题意作辅助线得到矩形，在直角三角形中利用正切得到和的长度，再根据线段的和差关系即可得到的长度．

详解】解：过作于于，

∵，

∴，

∵，

∴四边形为矩形，

∵，

∴在中，，

∵米，，

∴（米），

∵，

∴在中，，

∵四边形为矩形，

∴米，

∵，

∴（米），

∴（米），

答：的长和的长分别约为米和米．

【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．

20. 如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，与弦BC交于点F．

（1）求证：．

（2）若，，求AE的长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）连接BE，证明，根据等角对等边可得结论；

（2）证明ΔDBF∽ΔDAB，根据相似三角形对应边成比例可得，，根据可得结论．

【小问1详解】

证明：连接BE，如图所示

∵点是的内心

∴DA平分，BE平分

∴，

∵

∴

∴

∵，

∴

∴ ；

【小问2详解】

∵，

∴

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

∴ ．

【点睛】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义．

六、（本题满分12分）

21. 为了解某次数学考试情况，随机抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为150分），并将成绩分组如下：第一组(75≤x＜90)、第二组(90≤x＜105)、第三组(105≤x＜120)、第四组(120≤x＜135)、第五组(135≤x≤150)．并将成绩绘制成如下频数分布直方图和扇形统计图(不完整)，根据图中信息，回答下列问题：

（1）本次调查共随机抽取了___      _名学生，并将频数分布直方图补充完整；

（2）该年级共有1500名考生，估计成绩120分以上(含120分)学生有__        名；

（3）如果第一组(75≤x＜90)中只有一名是女生，第五组(135≤x≤150)中只有一名是男生，现从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈答题感想，试求所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．

【答案】（1）50，统计图见解析   

（2）540    （3）

【解析】

【分析】（1）根据第三组(105≤x＜120)的学生数以及学生数占比求出总人数，然后求出第五组(135≤x≤150)的学生数，最后补全统计图即可；

（2）用1500乘以样本中成绩在120分以上的人数占比即可；

（3）画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．

【小问1详解】

解：名，

∴本次调查共随机抽取了50名学生，

∴第五组(135≤x≤150)的学生有50-4-8-20-14=4名，

补全统计图如下所示：

【小问2详解】

解：名，

∴估计成绩120分以上(含120分)学生有540名；

【小问3详解】

解：画树状图如下：

由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数有10种，

∴所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率为．

【点睛】本题主要考查了频数分布直方图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确理解题意，读懂统计图是解题的关键．

七、（本题满分12分）

22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．

（1）抛物线解析式为______，直线解析式为______；

（2）点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；

（3）已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．

【答案】（1），   

（2），的最大值为   

（3）点的坐标为：或

【解析】

【分析】（1）抛物线解析式为，即可求解；

（2）设，，则，求出，由二次函数的性质即可求解；

（3）分是斜边、是斜边两种情况，分别求解即可．

【小问1详解】

解：直线经过点，

时，，

，

设抛物线解析式为，

抛物线与轴交于，

，

解得：，

抛物线解析式为；

设直线的函数解析式为，

直线过点，，

，解得，

；

故答案为：，；

【小问2详解】

解：设，，

，

，

，

当时，有最大值，最大值；

即关于的函数解析式为，的最大值为；

【小问3详解】

解：设点，

则，，，

当是斜边时，

则，

解得：；

当是斜边时，

同理可得：，

故点的坐标为：或．

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法，一次函数的性质，直角三角形的性质，面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．

八、（本题满分14分）

23. 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形中，，则”． 某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

（1）【问题探究】如图2，在正方形中，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想______；

（2）【知识迁移】如图3，在矩形中，，，点，，，分别在线段，，，上，且，试猜想值，并证明你的猜想；

（3）【拓展应用】如图4，在四边形中，，，，点，分别在线段，上，且，求的值．

【答案】（1）   

（2），理由见解析；   

（3）

【解析】

【分析】（1）过点作交于点，作交的延长线于点，利用正方形，，，证明即可；

（2）过点作交于点，作交的延长线于点，利用

在长方形中，，，求证，根据对应边成比例，将已知数值代入即可；

（3）：过点作于点，设交于点，证明，得出

，即可得到结论．

【小问1详解】

，

理由如下：

过点作交于点，作交的延长线于点，

∴，，

在正方形中，，，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：1

【小问2详解】

过点作交于点，作交的延长线于点，

∴，，

在长方形中，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

【小问3详解】

如图所示：过点作于点，设交于点，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．