陕西省宝鸡市陈仓区等2地2022-2023学年高三数学（理）下学期三模试题（Word版附答案）

2023届高三第十二次模考数学（理科）试卷

第I卷选择题（共60分）

本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.

一､选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.）

1.设，则（    ）

A.    B.    C.1    D.-1

2.设集合.若，则（    ）

A.-3    B.-1    C.1    D.3

3.某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为（    ）

A.18    B.22    C.40    D.60

4.已知某圆锥的底面半径为1，高为，则它的侧面积与底面积之比为（    ）

A.    B.1    C.2    D.4

5.平面向量与相互垂直，已知，且与向量的夹角是钝角，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知点为椭圆的三个顶点，若是正三角形，则的离心率是（    ）

A.    B.    C.    D.

7.在中，若分别是方程的两个根，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.2022年10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕.某班举行了以“礼赞二十大､奋进新征程”为主题的联欢晩会，原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又临时增加了两个教师节目，如果将这两个教师节目插入到原节目单中，那么不同的插法的种数为（    ）

A.42    B.30    C.20    D.12

9.函数的图象如图所示，则（    ）

A.

B.在上单调递增

C.的一个对称中心为

D.是奇函数

10.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在单调递减，则（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知函数，点分别是函数图象上的最高点和最低点.则的值为（    ）

A.    B.3    C.    D.7

12.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的都是以O为圆心的圆弧，是为计算所做的矩形，其中分别在线段上，.记，则不成立的等式是（    ）

A.    B.

C.    D.

第II卷（共90分）

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.函数的图象在处的切线方程为__________.

14.已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为__________.

15.若分别是抛物线与圆上的点，则的最小值为__________.

16.已知函数在区间单调，其中为正整数，，且.则图像的一条对称轴__________.

三､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，.

（1）记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；

（2）设点在线段上，，求二面角的余弦值.

18.（本小题满分12分）

记数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意，求数列的前项和.

19.（本小题满分12分）

一个池塘里的鱼的数目记为，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目.

（1）若，求的数学期望；

（2）已知捞出500尾鱼中15尾有标识，试给出的估计值（以使得最大的的值作为的估计值）.

20.（本小题满分12分）

设为曲线上两点，与的横坐标之和为4.

（1）求直线的斜率；

（2）设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程.

21.（本小题满分12分）

已知.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当且时，证明：曲线在轴的上方.

请考生在第22､23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

如图，在极坐标系Ox中，，弧所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.

（1）分别写出的极坐标方程；

（2）曲线由构成，若点在上，且，求的极坐标.

23.选修4-5：不等式选讲（10分）

已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

2023届高三第十二次模考数学（理科）

参考答案

一､选择题：

二､填空题

13.    14.    15.    16.

三､解答题：

17.解：

（1）由题设得.于是

所以.

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为単位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）和题设得，所以，

.

设平面的法向量，

则即可取.

设平面的法向量，

则即可取.

所以.

因此二面角的余弦值为.

18.（本小题满分12分）

解：（1）由题设可知，当时，，则，

所以数列的通项公式

（2）由（1）知，则①.

②

①-②得

化简得.

19.（本小题满分12分）

解：（1）根据题意服从超几何分布，由超几何期望计算公式知

（2）当时，

当时，

令，由求最大的

解得

则的最大值为6666，即的估计值为6666.

20.（本小题满分12分）

解析：（1）设，则，

于是直线的斜率

（2）由得，

设，由题设知，解得，于是

设直线的方程为，帮线段的中点为，

故线段中点为

将代入得.

当，即时，.从而.

由题设知，即，解得.

所以直线的方程为.

21.（本小题满分12分）

解：函数的定义域为.

（1）当时，.所以.

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）当时，.令得或（舍去）.

当变化时，变化情况如下：

当，即时，在区间上单调递增，

则，即曲线在轴的上方.

22.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

解：（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为.

所以的极坐标方程为的极坐标方程为的极坐标方程为.

（2）设，由题设及（1）知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得.

综上，的极坐标为或或或.

23.选修4-5：不等式选讲（10分）

解：（1）当时，，即

故不等式的解集为.

（2）当时成立等价于当时成立.

若，则当时；

若的解集为，所以，故.

综上，的取值范围为.