2023届湘豫名校联考高三第三次模拟考试（5月）文科数学试题

这是一份2023届湘豫名校联考高三第三次模拟考试（5月）文科数学试题，共16页。试卷主要包含了本试卷共6页，函数的部分图象大致为等内容，欢迎下载使用。
湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）注意事项：1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（    ）A. B. C. D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，满足，，则（    ）A. B.29 C. D.134.已知x，y满足约束条件则的最大值为（    ）A.4 B.9 C.11 D.125.某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（    ）A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数6.若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ）A.  B.C.或 D.或7.函数的部分图象大致为（    ）A. B.C. D.8.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，m分别为1，1，4，则输出的（    ）A.4 B.5 C.18 D.2729.已知，，且，则下列不等式不正确的是（    ）A.  B.C.  D.10.已知等差数列中，，，则数列的前2022项的和为（    ）A.1010 B.1011 C.2021 D.202211.已知非钝角中，，，是边上的动点.若平面，，且周长的最小值为，则三棱锥外接球的体积为（    ）A. B. C. D.12.已知函数在上的最小值为，则实数b的取值范围是（    ）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若数列是公比为2的等比数列，，写出一个满足题意的通项公式______.14.已知点P为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.15.已知是定义在上的奇函数，且满足，又当时，，则______.16.将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是______.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，.（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若，求的值.18.（本小题满分12分）随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数y（单位：人）与该初级私人健身教练价格x（单位：元/小时）的情况，如下表所示.月份12345初级私人健身教练价格x（元/小时）210200190170150初级私人健身教练课程的月报名人数y（人）587911（1）求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）（2）请建立y关于x的线性回归方程；（精确到0.001）（3）当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）参考公式：对于一组数据（，2，3，⋯，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：.19.（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，，为上一点，且.（1）证明：平面平面；（2）若直三棱柱的表面积为，求五面体的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点A是椭圆C的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为，直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围. 湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学（文科）参考答案题号123456789101112答案BCACDCBCDDAD一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B  【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】因为集合，，所以.故选B.2.C  【命题意图】本题考查复数的几何意义，考查数学运算、直观想象的核心素养.【解析】因为复数，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选C.3.A  【命题意图】本题考查向量的数量积，考查数学运算的核心素养.【解析】因为向量，所以①.又②，①②两式相减得，所以，.所以.故选A.4.C  【命题意图】本题考查线性规划，考查数学运算、直观想象的核心素养.【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，由可得，平移直线，当直线经过点时，取最大值.由解得所以.故.故选C.5.D  【命题意图】本题考查数字特征的应用，考查数学运算的核心素养.【解析】经计算，这10位同学一周课外体育运动总时长的平均数为8，而众数为8.3，中位数为8.2，方差小于，故最大值为8.3，为众数.故选D.6.C  【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】设双曲线的方程为或，因为和有相同的焦距，双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距.若的焦点在x轴上，将点代入，得①.又②，联立①②两式得，.所以双曲线的标准方程为.若的焦点在y轴上，将点代入，得③.又④，联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为.综上所述，双曲线的标准方程为或.故选C.7.B  【命题意图】本题考查函数的图象识别，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】，易知的定义域为.因为，所以为奇函数，图象关的原点对称.排除A，D选项；又，，所以排除C选项.故选B.8.C  【命题意图】本题考查算法程序框图，考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】执行程序框图，第一次循环：，，，，；第二次循环：，，，，；第三次循环：，，，，；第四次循环：，，，，，此时，退出循环，输出.故选C.9.D  【命题意图】本题考查四个平均数的大小关系，基本不等式的性质，考查数学运算的核心素养.【解析】方法一：（当且仅当时取等号），A正确；易知，则，即（当且仅当时取等号），B正确；由题得，，故，C正确；易知，即（当且仅当时取等号），D错误.故选D.方法二（特殊情况）：取，则，D错误.故选D.10.D  【命题意图】本题考查等差数列的基本运算，数列的前n项和，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】设等差数列的首项为，公差为，则由得化简得解得所以.设数列的前n项和为，则.故选D.11.A  【命题意图】本题考查三棱锥的外接球的体积，考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】在中，设，则.所以的周长为.所以，不等式两边平方，得，解得，即的最小值是1.所以点A到边BC的距离为1.当AQ取最小值时，因为在中，，所以.又，所以C，Q两点重合，所以，即.又平面，平面，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.因为PB是和的公共斜边，所以PB为三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为R，则，所以三棱锥的外接球的体积.故选A.12.D  【命题意图】本题考查通过导数判断函数的最值，求参数的取值范围，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】方法一：由题可得.（1）当，即时，在上单调递减，函数的最小值为，符合题意，所以符合题意.（2）当，即时，①当，即时，为开口向下的拋物线，且，恒成立，所以在上单调递减，函数的最小值为，符合题意.②当，即时，为开口向上的抛物线，且.令，则.解得或.当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，所以在上的最小值为.令，得，化简得，解得（舍去）或（舍去）.当，即，即时，函数在上单调递减，所以函数在上的最小值为，符合题意.③当，即时，为开口向下的拋物线，且.令，则.解得或.当时，，即，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以此时在上的最小值为或.令，得，化简得，解得，故，综上所述，实数b的取值范围是.故选D.方法二：由题可得，，即，所以，即，即.当或时，不等式显然成立；当时，，因为，所以，，，所以；当时，，因为，所以，，，所以.综上可得，实数b的取值范围是.故选D.方法三（间接法）：当时，在单调递减，且最小值为，满足条件，可排除A，B选项；当时，，，因为当时，，在上单调递減，所以的最小值为，满足条件，可排除C选项.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.  （答案不唯一）【命题意图】本题考查等比数列的通项公式，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】设等比数列的首项为，且公比，则由，得，即，即，所以.令，所以，所以可取.（答案不唯一）14.  【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，考查直观想象和数学运算的核心素养.【解析】由题可得，圆心，半径，圆心到直线的距离等于，所以点到直线的距离的最大值为.15.  【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性、对数运算求值，考查数学抽象、数学运算的核心素养.【解析】因为为奇函数，所以.因为，所以，所以，所以.所以的一个周期为8..因为，所以，所以.因为当时，，是周期为8的奇函数，所以.16.  【命题意图】本题考查三角函数的图象平移、函数的零点，考查直观想象和逻辑推理的核心素养.【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到函数的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.当时，.由在上没有零点，得，即，解得或.故的取值范围是.三、解答题：共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【命题意图】本题考查解三角形，等比数列的判定，考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】（1）因为，所以.……1分所以.……2分根据余弦定理，得，……3分所以.……4分所以.……5分所以a，b，c成等比数列.……6分（2）由余弦定理，得.……8分因为，所以由正弦定理，得.……9分所以.……10分所以.……12分18.【命题意图】本题考查线性回归关系的判断，线性回归方程及其应用，考查数据分析和数学运算的核心素养.【解析】（1）由已知数据可得，，……1分，……2分，……3分，……4分所以相关系数.……5分因为，所以与有很强的线性相关性.……6分（2）因为，……7分，……8分所以y关于x的线性回归方程为.……9分（3）当时，，故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.……12分19.【命题意图】本题考查面面垂直的证明、三棱柱的表面积、五面体的体积，考查直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】（1）如图，作于点E，交于点F，连接DF.因为，，，所以.所以.……1分所以.由勾股定理得.所以，所以.……3分又，，所以.所以四边形是平行四边形，所以.……4分因为平面平面，平面平面，，所以平面.……5分所以平面.又平面，所以平面平面.……6分（2）由题易得五面体即四棱锥由（1）知，又，，所以平面.……8分所以四棱锥的高为.因为直三棱柱的表面积为，所以，解得，即.所以，.又……10分所以.故五面体的体积为.……12分20.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的周长等，考查直观想象和数学运算的核心素养.【解析】（1）依题意，的周长为，解得.……1分设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，即，解得.……2分因为，所以.……3分所以椭圆的标准方程为.……4分（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.……5分由消去得，.设，，则，.……7分所以，.……8分所以..所以.……11分所以，为定值.……12分21.【命题意图】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立求参数问题，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】（1）当时，.……1分因为，所以.……2分又，……3分所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，易得，，所以，恒成立.……6分当时，，即.不等式两边同时除以，且，得.……7分令，，则.……8分今，则.当时，；当时，，所以在上单调递增；在上单调递减.……10分所以.因为在上恒成立，所以，即.综上所述，实数的取值范围为.……12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【命题意图】本题考查极坐标与参数方程，考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】（1）因为直线的参数方程为（t为参数），所以消去参数t可得直线的普通方程为.……2分因为曲线的极坐标方程为，即，所以.由得.所以曲线C的直角坐标方程为.……4分（2）因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为.易得，点P在直线上，将直线的参数方程（t为参数）代入，……6分化简得，.设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，所以，.所以.……10分23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的求解，绝对值不等式恒成立问题，考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】（1）当时，，……1分不等式，即为.则或或……3分解得或或.……4分故不等式的解集为.……5分（2）（当且仅当时等号成立）.……6分因为恒成立，所以.……7分又，所以.……8分解得.……9分故实数a的取值范围是.……10分