湖北省2023届高三下学期5月国都省考模拟测试数学试卷+答案

这是一份湖北省2023届高三下学期5月国都省考模拟测试数学试卷+答案，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，则等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，其中为的共轭复数，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.美味可口的哈根达斯蛋筒冰激凌可近似看作半径相等的一个半球和一个圆锥组成，如实物图，已知冰激凌的表面积为，底部圆锥的母线为3，则冰激凌的体积为（ ）
A. B. C. D.
4.为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（ ）
A.325万元 B.581万元 C.721万元 D.980万元
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知是椭圆的左，右焦点，过点的直线与椭圆交于A，B两点，设的内切圆圆心为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.若过第一象限的点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，已知圆，圆，已知为两圆外的动点，过点分别作两圆的割线和，总有，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目条件.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A.已知，点在直线上，且，则的坐标为；
B.若是的外接圆圆心，则
C.若，且，则
D.若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.
10.在一次党建活动中，甲､乙､丙､丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲､乙､丙､丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（ ）
A.甲组中位数为2，极差为5
B.乙组平均数为2，众数为2
C.丙组平均数为1，方差大于0
D.丁组平均数为2，方差为3
11.已知函数是自然对数的底数，则（ ）
A.
B.若，则
C.的最大值为
D.“”是“”的充分不必要条件
12.如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（ ）
A.平面
B.与平面所成的角的余弦值为
C.该多面体的体积为
D.该多面体的外接球的表面积为
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.展开式中含项的系数为__________.
14.曲线在点处的切线方程是__________.
15.在圆锥内放入两个大小不等的外离的球与球，半径分别为和，且，使得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点，，在截口上任取一点，又过点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点，则可知线段的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是__________.
16.盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：
（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为__________；
（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在中，内角所对的边分别为为锐角，.
（1）求角；
（2）若为边上一点，且满足，试判断的形状.
18.（12分）
已知数列满足：.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，是的中点，底面是菱形，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20.（12分）
为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被3位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品，已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率均为，且专家之间鉴定是否通过相互独立.
（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率；
（2）若一件手工艺品质量分别为一､二､三级均可出厂，且利润分别为100元，70元，20元，质量为四级品不能出厂，亏损10元，记一件手工艺品的利润为Y元，求Y的分布列及1000件产品的平均利润.
21.（12分）
已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴和轴，且双曲线过点，.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点的直线分别交的在､右支于两点，过点作垂直于轴的直线，交直线于点，点满足.证明：直线过定点.
22.（12分）
函数为的导函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在三个不同的极值点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
湖北省2023届高三5月国都省考模拟测试
数学参考答案及评分标准
一､选择题：
二､填空题：
13.21 14. 15. 16.；
三､解答题：
17.（10分）解：
（1）在中由正弦定理有：.
因为，所以.
又因为为锐角，即.
（2）设，在中，，即.
易知.
在中，由正弦定理有：.
又因为，所以.
化简得，因为，即.
则，所以为直角三角形.
18.（12分）解：
（1）设，则.
因为，所以.
即是以4为首项，2为公比的等比数列.
则数列是等比数列.
（2）由（1）知，则，即.
则.
.
两式相减得：.
所以.
19.（12分）解：
（1）在中，是的中点，即.
在中，.
中，，所以.
又因为.
均在平面中，所以平面.
平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面.
在中，是的中点，即.
以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则.
所以.
设平面的法向量为，由.
得，取.
设平面的法向量为，由，得，取.
所以.
所以二面角的平面角的余弦值为.
20.（12分）解：
（1）一件手工艺品质量为二级品的概率为.
（2）可能取值为.
.
.
则的分布列为：
期望.
所以1000件产品的平均利润为.
21.（12分）解：
（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.
将两点坐标代入双曲线方程得.
所以，即双曲线方程为.
（2）直线过定点，下面给出证明.
三点共线
设点，直线方程为.
由题意知，直线的方程为.
点为线段的中点，从而.
，若.
化简得……（1）
又，代入（1）式得.
即证……（2）
联立，化简得.
则.
代入（2）式左边得
.
由于.
从而（2）式左边等于0成立，直线过定点.
22.（12分）解：
（1）由题意知，.
记，则.
当即时，在单调递增.
当即或时，设的解为.
若，则由得，.
因为，所以在单调递增.
若，则由得，.
此时.
在递增，在递减，在递增.
综上所述，当时，在单调递增；
当时，在和单调递增，
在单调递减.
（2）（i）有三个不同的极值点等价于有三个不同根.
显然，是方程的一个根.则问题转化为当时，方程有两个不等的根.
令，则.
构造函数且，令，则.
，即在单调递增.
又因为.所以当时，；当时，.
易知：当时，，则单调递增.
当时，，则单调递减.
当时，，则的图象如下图所示：
为使与有两个交点，则的取值范围是.
（ii）令.
则易知：若是方程的根，则也是方程的根，即有.
欲证，只需证，令.
由（i）可知，.
所以.
.
.
即.
因为，所以，即在上单调递减.
又因为，所以在上恒成立.
即在上恒成立.证得恒成立，即.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
B
C
B
D
A
BD
AD
ACD
AC
100
70
20
-10