湖南省长沙市长郡中学2023届高三一模数学试题（含答案）

湖南省长沙市长郡中学2023届高三一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸(单位：)服从正态分布.甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.甲､乙对各自抽取的个零件测量零件内径尺寸(单位：)如下，甲同学测量数据：，，，，；乙同学测量数据：，，，，.则可以判断（    ）

A．甲､乙两个同学测量都正确 B．甲､乙两个同学测量都错误

C．甲同学测量正确，乙同学测量错误 D．甲同学测量错误，乙同学测量正确

3．函数在 上的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

4．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪” .其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积水深九寸（注：1尺=10寸）时，平地的降雨量是（    ）

A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸

5．为调查某地区中学生每天睡眠时间，釆用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800 人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（    ）

A．0.94 B．0.96 C．0.75 D．0.78

6．已知，则m，n不可能满足的关系是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数z=a+bi（a，b），其共轭复数为，则下列结果为实数的是（    ）

A． B． C． D．

10．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（    ）

A．点的横坐标的取值范围是

B．的取值范围是

C．面积的最大值为

D．的取值范围是

11．已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A．是偶函数

B．是周期函数

C．在区间 上，有且只有一个极值点

D．过 作y=的切线，有无数条

12．在直四棱柱中中，为中点，点满足.下列结论正确的是（    ）

A．若，则四面体的体积为定值.

B．若平面，则的最小值为.

C．若的外心为，则为定值2.

D．若，则点的轨迹长度为.

三、填空题

13．已知，若，则 t 的值为_________.

14．已知 a>0，若，且，则a=______.

15．已知函数 的一条对称轴为 ，且在 上单调，则的最大值为_________.

四、双空题

16．如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，则______；为的内心，三点共线，且，轴上点满足，，则的最小值为______．

五、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，C=.

(1)当 时，求的面积;

(2)求周长的取值范围.

18．如图，已知在四棱锥中，为中点，平面平面，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

19．市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛，每个赛区预赛中，成功晋级并且得分最高的选手获得一次决赛中的“错题重答”特权.赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个问题答对的概率均为.

（1）若，该选手选择方式二答题，求他晋级的概率；

（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

20．已知数列满足，当时，.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列，证明：.

21．已知拋物线过定点C（l，2），在抛物线上任取不同于点C的一点A，直线AC与直线y=x+3交于点P，过点P作x轴的平行线，与抛物线交于点B．

（1）证明：直线AB过定点；

（2）求△ABC面积的最小值.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)记的零点为，的极小值点为，当时，判断与的大小关系，并说明理由.

参考答案：

1．A

2．C

3．B

4．D

5．A

6．C

7．B

8．A

9．BCD

10．BC

11．AC

12．ABD

13．-1

14．2

15．

16．     4    

17．(1)

(2)

18．（1）见解析；（2）

19．（1）；（2）证明见解析.

20．(1)

(2)证明见解析

21．（1）见解析；（2）

22．(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)，理由见解析