江苏省常州市八校2021-2022学年高二下学期期中调研数学试卷（含答案）

这是一份江苏省常州市八校2021-2022学年高二下学期期中调研数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省常州市八校2021-2022学年高二下学期期中调研数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、在的二项展开式中，第二项的系数为(   )A.4 B.-4 C.6 D.-6 2、对于空间任意一点O，若，则A，B，C，P四点(   )A.一定不共面  B.一定共面C.不一定共面  D.与O点位置有关3、下列说法不正确的是(   )A.平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B.一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D.如果，与平面共面，且，，那么就是平面的一个法向量4、因为支援某地抗击疫情，我市中医院派出8名护士，2名医生，将他们随机分给甲、乙两个医院，每个医院5人，其中2名医生恰好被分在不同医院的概率为(   )A. B. C. D.5、在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则(   )A. B.C. D.6、已知正方体的棱长为2，E，F分别为上底面和侧面的中心，则点C到平面AEF的距离为(   )A. B. C. D.7、盒中有4个红球、5个黑球，随机地从中抽取一个球，观察颜色后放回，并加上3个与取出球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，则第二次取出黑球的概率(   )A. B. C. D.8、在的展开式中，系数绝对值最大项是(   )A.第10项 B.第9项 C.第11项 D.第8项二、多项选择题9、某位同学10次考试的物理成绩y与数学成绩x如下表所示：数学成绩x73827287937889668176物理成绩y808775a1007993688577参数数据：已知y与x线性相关，且y关于x的回归直线方程为，则下列说法正确的是(   )A.B. y与x正相关C. y与x的相关系数为负数D.若数学成绩每提高5分，则物理成绩估计能提高5.5分10、下列四个命题，其中真命题是(   )A.若与,共面，则存在实数x,y，使得B.若存在实数x,y，使得，则与,共面C.若存在实数x,y，使，则点P,M,A,B共面D.若点P,M,A,B共面，则存在实数x,y，使11、下列说法正确的是(   )A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.如果随机变量，那么C.甲、乙、丙、丁四个人到四个景点去旅游，每人只去一个景点，设事件A为“四个人去的景点不相同”，事件B为“甲独自去一个景点”，则D.已知随机变量X服从两点分布，且，，令，则12、如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到M、N处，他们分别随机选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达M、N处为止，则下列说法不正确的是(   )A.甲从M必须经过到达N处的方法有9种B.甲乙两人在处相遇的概率为C.甲、乙两人相遇的概率为D.甲从M处到达N处的方法有120种三、填空题13、__________.（用数字作答）14、如果随机变量，且，那么____________.15、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片分给3个不同的学生，每个学生分两张，其中标号为5，6的卡片分给同一个学生，则不同的分法共有____________.16、若，则____________.四、解答题17、计算：（1）设，求；（2）求.18、回答下列问题.（1）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为，求展开式中的常数项；（2）已知的展开式中的系数为5，求a的值.19、把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成两个垂直平面，O，E分别为BD，DC中点，以O为原点，方向，方向，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.20、科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：，，，，（单位：）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关； 采用实验方案未采用实验方案合计大果   非大果   合计100100200（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径服从正态分布，其中近似为样本平均数，，请估计对照园中果径落在区间内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①；②若X服从正态分布，则，，.21、全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神.现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立. 第1次第2次第3次第4次第5次甲8692878986乙9086898887（1）从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；（2）从5次训练中随机选取2次，用X表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X的分布列和数学期望；（3）根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由.（注：样本数据，，，的方差，其中）22、在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.（1）求CM与平面所成角的大小；（2）在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直?若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.
参考答案1、答案： B解析：的二项展开式的第二项为，所以第二项的系数为-4，故选：B2、答案： B解析：由，所以A，B，C，P四点共面，故选：B3、答案：D解析：对于A，根据平面法向量的定义可知，平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量，故A正确；对于B，一个平面的所有法向量与平面都垂直，都互相平行，故B正确；对于C，如果两个平面的法向量垂直，根据线面垂直的性质定理和判定定理可以判断这两个平面也垂直，故C正确；对于D，如果与平面共面且，当,共线时，不一定是平面的一个法向量，故D错误.故选：D.4、答案： C解析：2名医生恰好被分在不同医院的共有种情况，所以2名医生恰好被分在不同医院的概率为，故选：C5、答案： C解析：有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，，，，．故选：C6、答案： A解析：如图，以A为原点，AB,AD,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，易知，,,设平面AEF的法向量，则，令，解得，故点C到平面AEF的距离为.故选：A.7、答案： C解析：设事件A表示第一次抽取的是黑球，，，事件B表示第二次抽取的是黑球，因此有，所以，故选：C8、答案：B解析：二项式的通项公式为：，设第项的系数绝对值最大，所以有，因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项，故选：B.9、答案： ABD解析：根据题意，由y关于x的回归直线方程为，易知y与x正相关且y与x的相关系数为正数，故B正确，C错误；若数学成绩每提高5分，代入回归直线方程易得物理成绩估计能提高5.5分，故D正确；对于选项A，因，，所以，解得，故A正确.故选：ABD.10、答案： BC解析：对于A，若，，则不存在实数x,y，使得，A错误；对于B，由空间向量共面定理可知：若存在实数x,y，使得，则与,共面，B正确；对于C，若存在实数x,y，使，则,,共面，P,M,A,B四点共面，C正确；对于D，若，，则不存在实数x,y，使，D错误.故选：BC.11、答案：ABD解析：对于A，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数可能是0，也可能是1，故出现正面的次数是随机变量，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C： ，，所以 ，故C不正确；对于D，由于，所以，又，所以，故D正确，故选：ABD12、答案：BD解析：对于A，甲经过到达N，可分为两步：第一步，甲从M到的方法数有种，第二步，甲从到N的方法数有种，所以由分步计数原理可得甲从M经过到达N处的方法有种，所以A正确，对于B，由题意可得甲从M处到达N处的方法有种，甲经过的方法数为种，同理可得乙从M处到达N处的方法有20种，乙经过的方法数为9种，所以甲乙两人在处相遇的方法数为，所以甲乙两人在处相遇的概率为，所以B错误，对于C，因为甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，他们在相遇的走法有种方法，所以，所以甲、乙两人相遇的概率为，所以C正确，对于D，甲从M处出发随机选择一条沿街的最短路径到达N处需走6步，共有的方法为种，所以D错误，故选：BD13、答案： 165解析：故答案为:16514、答案：解析：因为，所以，因为该正态分布曲线关于对称，所以，故答案为：.15、答案：18解析：将标号为1，2，3，4的卡片分成两组，有种分法，故总的分法总数为，故答案为：18.16、答案：-20 解析：设，则，而的展开式的通项公式为，令，则，故，故答案为：-20 17、答案：（1）4；    （2）解析：（1）由组合数的定义可知：，因为，所以，即；（2）18、答案：（1）；（2）解析：（1）的展开式的通项公式为，第5项与第3项的二项式系数分别为，整理得到：即，所以，故，令，则，所以展开式中的常数项为.（2）展开式的通项公式为，故该展开式中x的系数为，的系数为，故的展开式中的系数为，由题设有，故.19、答案：（1）证明过程见解析； （2）.解析：（1）因为正方形ABCD的边长为2，所以可得：，，，，，因为，所以；（2）设平面ADC的法向量为，，所以有，因为ABCD是正方形，所以，因为O为BD中点，所以，因为平面平面BDC，平面平面，平面ABD，所以平面BDC，因此向量是平面BDC的法向量，所以二面角的余弦值为：.20、答案： （1）列联表见解析，有的把握认为两者有关；（2）.解析：（1）由频率分布直方图可得：采用实验方案大果的数量为个，则非大果数量为个，未采用实验方案大果的数量为个，则非大果数量为个，列联表如下： 采用实验方案未采用实验方案合计大果603090非大果4070110合计100100200，所以有的把握认为两者有关；（2）由题中数据，，则，则.21、答案：（1）；    （2）分布列见解析，数学期望为；    （3）乙选拔中更具竞争力，理由见解析.解析：（1）在5次模拟训练中，甲的成绩高于乙的成绩有2次，乙的成绩高于甲的成绩有3次，从5次训练中随机选取1次的试验有5个基本事件，它们等可能，甲的成绩高于乙的成绩的事件A有2个基本事件，所以甲的成绩高于乙的成绩的概率.（2）X的所有可能值是：0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P数学期望为.（3）甲的平均成绩为，乙的平均成绩为， 甲成绩的方差，乙成绩的方差，虽然，但，因此得乙的成绩更稳定，所以乙在选拔中更具竞争力.22、答案：（1）    （2）存在，且解析：（1）在中，因为，故，故在四棱锥中，有，，而，故平面，因平面，所以，而，故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，在中，因为DE经过的重心G（如图），连接AG并延长，交BC于H，则，故，因为，故，,在中，，则，,,,故，故，又,设平面的法向量为，则即，取，则，故，故，故CM与平面所成角的正弦值为.因为CM与平面所成角为锐角，故该角为.（2）设，则，故，又，，，设平面CMN的法向量为，则即，取，则，故.设平面DEN的法向量为，则即，取，则，故，因为平面平面CMN，故，所以，故，所以.