专题06 二次函数-5年（2018-2022）中考1年模拟数学分项汇编（江西专用）

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专题06 二次函数

1．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（       ）

A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．
【详解】
解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
∵次函数的图象经过一、三、四象限，
∴，，
对于二次函数的图象，
∵，开口向上，排除A、B选项；
∵，，
∴对称轴，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．
2．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．

(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
(1)
解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
(2)
解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
(3)
解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
3．（2021·江西·中考真题）二次函数的图象交轴于原点及点．


感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
…



（___，___）

…
…





…

①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【解析】
【分析】
（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】
（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：

（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：

∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，

由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，

由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
4．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
-2
-1
0
1
2
…

…

0
-3

-3
…

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；
（2）求抛物线的表达式及的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．

【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）．
【解析】
【分析】
（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴；
（2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值；
（3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可；
（4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可．
【详解】
（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上；
由表可知：；，可知抛物线的对称轴为：
故答案为：上，
（2）由表可知：代入点得
，解得
∴抛物线的表达式为：
当时，
当时，
（3）作图如下：

OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线

（4）如图所示：可得

【点睛】
本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键．
5．（2019·江西·中考真题）【特例感知】
（1）如图1，对于抛物线，，，下列结论正确的序号是_______；
①抛物线都经过点；
②抛物线的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；
③抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．

【形成概念】
（2）把满足（为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
【知识应用】
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为（为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线分别交“系列平移抛物线”于点连接，判断是否平行？并说明理由．
【答案】（1）①②③；（2）①，，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③与不平行,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；
②，的对称轴分别为，，的对称轴，
③当时，则，可得或；，可得或；，可得或；所以相邻两点之间的距离都是1，
（2）①的顶点为，，可得；
②横坐标分别为，，，，为正整数），当时，，纵坐标分别为，，，，，相邻两点间距离分别为；
③由题可知，，，．比较，即可得出结论与不平行．.
【详解】
解：解：（1）①当时，分别代入抛物线，，，即可得；①正确；
②，的对称轴分别为，，
的对称轴，
由向左移动得到，再向左移动得到，
②正确；
③当时，则，
或；
，
或；
，
或；
相邻两点之间的距离都是1，
③正确；
故答案为①②③；
（2）①的顶点为，，
令，，
；
②相邻两点之间的距离都相等．
理由：根据题意得：，．
∴两点之间的铅直高度．
两点之间的水平距离．
∴由勾股定理得．
∴．
③与不平行．
理由：
根据题意得：，，，．
过分别作直线的垂线，垂足为，，

所以，．
在中，
．
在中，
．
∵，
∴．
∴，
∴与不平行．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，平行线的性质；能够结合题意，分别求出抛物线与定直线的交点，抛物线上点的横坐标求出相应的纵坐标，结合勾股定理，直线的解析式进行综合求解是关键．
6．（2018·江西·中考真题）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
       求解体验
       (1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
       抽象感悟
       我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于
点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.
       (2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.
       问题解决
       (3) 已知抛物线
             ①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；
             ②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为
正整数).求的长(用含的式子表示).

【答案】求解体验： ；顶点坐标是(-2,1)；；抽象感悟：；问题解决：①；（0，6）；②   
【解析】
【详解】
【分析】(1)把(-1，0)代入 即可未出=-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于（0，1）的对称点，从而可写出原抛物线关于点(0，1）成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线 的顶点是（-1，6），从而求出 (-1，6)关于的对称点是，得 ，根据两抛物线有交点，可以确定方程 有解，继而求得m的取值范围即可；
(3) ①先求出抛物线以及抛物线的衍生抛物线为，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
② 如图，设 ，   …    ， 与轴分别相于 ，   …    ， ，则 ，，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，由题意则可得 ， …    分别是△ ， … 的中位线，继而可得 ， ，… ，再根据点的坐标即可求得的长.
【详解】求解体验
(1)把(-1，0)代入 得，
∴，
∴顶点坐标是(-2，1)，
∵(-2，1)关于(0，1)的对称点是(2，1)，
∴成中心对称的抛物线表达式是：，
即 (如图)

抽象感悟
(2) ∵ ，
∴ 顶点是（-1，6），
∵ (-1，6)关于的对称点是，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，
∴ 有解，
∴ 有解，
∴ ，
∴ ；(如图)

问题解决
(3) ①   ∵=，
∴ 顶点（-1，），
代入 得：①
∵   ，
∴ 顶点（1，），
代入 得：②
由① ② 得 ，
∵ ，，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是（-1，0），（1，12），
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是（0，6）；

② 如图，设 ，   …    ， 与轴分别相于 ，   …    ， ，
则 ，，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，
∴ ， …    分别是△ ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵ ， ，
∴ ].

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键.






1．（2022·江西吉安·二模）已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

…

0
1
2
3
…

…
3
0


3
…

则以下结论错误的是（       ）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．m的值为0 D．抛物线不经过第三象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由表格中数据x=-1时，y=3，x=3时，y=3，可判断抛物线的对称轴是x=1，根据函数值的变化，判断抛物线开口向上，再由抛物线的性质，逐一判断即可得答案．
【详解】
A．由表格中数据可知，x=-1时，y=3，x=3时，y=3，
∴抛物线的对称轴为x=1；
根据表格中的数据可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴抛物线的开口向上，故A正确，不符合题意；
B．根据上面分析可知，抛物线的对称轴为直线x=1，故B错误，符合题意；
C．根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=1，点(0，0)的对称点为(2，0)，即抛物线一定经过点(2，0)，所以m=0，故C正确，不符合题意；
D．由以上分析可知抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，且抛物线经过原点，所以图象不经过第三象限，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点，解题关键是根据表格中数据特点，结合对称性，找出抛物线的对称轴，是解题的关键．
2．（2022·江西南昌·二模）已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时，m的值为（       ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果．
【详解】
解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
3．（2022·江西九江·二模）已知二次函数的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（       ）
A．开口向下 B．顶点在第一象限
C． D．当时，y的最小值为－1
【答案】C
【解析】
【分析】
二次函数的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．
【详解】
∵二次函数的图象只经过三个象限，
∴a-1≥0，
∴a≥1．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象只经过三个象限，运用函数图象与x轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．
4．（2022·江西宜春·一模）若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：向右平移m（m＞0）个单位长度后得到新的抛物线C2，若（4，n）为“平衡点”，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平移方式可得出抛物线C2的解析式．再根据点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点（4，n）代入两个解析式求值即可．
【详解】
将抛物线C1：向右平移m个单位长度后C2的解析式为：．
∵点（4，n）为“平衡点”，
∴点（4，n）既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
∴，
解得：（舍）或，
故选：C
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移和二次函数图象上点的坐标特征．理解题意，掌握“平衡点”的定义是解题关键．
5．（2022·江西南昌·一模）二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标及对称轴，进而求解．
【详解】
解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣4），开口向下，
∴抛物线经过第三，四象限，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6．（2022·江西省吉安市第五中学一模）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（　　）

A．b2﹣4ac＜0
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣6和﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用抛物线与x轴的交点个数可对A进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对B进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对C进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+bx+c上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对D进行判断．
【详解】
解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故A选项不符合题意；
B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣4离对称轴的距离等于﹣2离对称轴的距离，所以m=n，故C选项不符合题意；
D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合是解题的关键．
7．（2022·江西·模拟预测）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（       ）

A．B．C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限．
【详解】
解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c0，-c>0，
∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意．
故选：C
【点睛】
本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
8．（2022·江西南昌·模拟预测）已知关于的二次函数，下列说法不正确的是（       ）
A．对任意实数，该函数图象与轴都有两个不同的交点
B．对任意实数，该函数图象都经过点
C．对任意实数，当时，函数的值都随的增大而增大
D．对任意实数，该函数图象的顶点在二次函数的图象上运动
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象及性质逐项判断可得答案．
【详解】
解：∵△=（2k+1）2-4k=4k2+1≥1＞0，
∴二次函数y=x2+(2k+1)x+k图象与x轴都有两个不同的交点，
故A正确，不符合题意；
∵y=x2+(2k+1)x+k =x2+2kx+x+k=（2x+1）k+x2+x，
∴当2x+1=0，即x=-时，y=-，
∴二次函数y=x2+(2k+1)x+k图象都经过点（-，-），
故B正确，不符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴x=-，
∴x≥-时，函数y的值都随x的增大而增大，
故C不正确，符合题意；
∵二次函数y=x2+(2k+1)x+k图象的顶点为（-，-k2-），
把（-，-k2-）代入，
y=-（-）2-（-）=-k2-，
∴函数y=x2+(2k+1)x+k图象的顶点在抛物线上运动，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象性质及点坐标特征，解题的关键是掌握并能熟练应用抛物线相关的性质．
9．（2022·江西赣州·一模）用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系（       ）．


A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．其它函数
【答案】B
【解析】
【分析】
先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x，AF=DE=（6-x），再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式．
【详解】
解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，


∴∠A=∠D=90°，AD=6．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
∠AEF=∠DHE=90°−∠DEH，
在△AEF与△DHE中，
∵，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x，AF=DE=（6-x），
∴S=EF2=AE2+AF2=x2+（6-x）2=2x2-12x+36，
即S与x之间是二次函数关系；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，难度适中，证明△AEF≌△DHE是解题的关键．
10．（2022·江西上饶·二模）如图，抛物线的对称轴是，下列结论：①；②；③；④，正确的有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图像分别判断、、的符号即可判断结论①；利用图像与x轴交点的个数即可判断结论②；由，得，利用当时函数值的正负即可判断结论③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】
解：∵抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即，
∵函数图像与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线对称轴是直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，故③正确；
在中，
令，则，
令，，
由两式相加，得，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的系数与图像的关系，二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
11．（2022·江西·石城县教育局教研室二模）若平面直角坐标系内的点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．例如：、都是“整点”．抛物线与轴交于A、两点，若该抛物线在A、之间的部分与线段所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图象，利用图象可得m的取值范围．
【详解】
∵y＝mx2-4mx+4m-2＝m(x-2)2-2，且m＞0，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(2，-2)，对称轴是直线x＝2．
由此可知点(2，0)、点(2，-1)、顶点(2，-2)必在此区域内．
①当该抛物线经过点(1，-1)和(3，-1)时，如图，这两个点符合题意．

将(1，-1)代入y＝mx2-4mx+4m-2得，-1＝m-4m+4m-2，
解得m＝1．
此时抛物线解析式为y＝x2-4x+2．
当时，．
∴x轴上的点(1，0)、(2，0)、(3，0)符合题意．
则当m＝1时，恰好有 (1，0)、(2，0)、(3，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-1)、(2，-2)这7个整点符合题意．
∴m≤1．（m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大）．
②当该抛物线经过点(0，0)和点(4，0)时，如图，这两个点符合题意．

此时x轴上的点 (1，0)、(2，0)、(3，0)也符合题意．
将(0，0)代入y＝mx2-4mx+4m-2得到0＝0-4m+0-2．解得．
此时抛物线解析式为．
当x＝1时，得．
∴点(1，-1)符合题意．
当x＝3时，得．
∴点(3，-1)符合题意．
综上可知：当时，点(0，0)、(1，0)、(2，0)、(3，0)、(4，0)、(1，-1)、(3，-1)、(2，-2)、(2，-1)都符合题意，共有9个整点符合题意，
∴不符合题．
∴．
综合①②可得：当时，该函数的图象与x轴所围成的区域(含边界)内有七个整点，
故选B．
【点睛】
考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，画出图象，数形结合是解题的关键．
12．（2022·江西·寻乌县教育局教学研究室一模）已知抛物线：（其中为正整数）与轴交于，两点（点在的左边），与轴交于点，下列说法不正确的是（       ）
A．当时，点的坐标为，点的坐标为
B．当时，点的坐标为，点的坐标为
C．抛物线经过定点
D．的形状为等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
将n=1和n=2代入抛物线解析式，即可判断A和B，将点（-2，0）代入抛物线解析式即可判断C，将m=2代入抛物线解析式，求出A2和D2，将n=4代入抛物线解析式，求出B4，进而利用勾股定理即可判断D．
【详解】
解：A选项，n=1时，抛物线解析式为y=-x2+2，
当y=0时，-x2+2=0，解得x1=2，x2=-2，
∴点A1的坐标为（-2，0），点B1的坐标为（2，0），故A正确；
B选项，抛物线解析式为y=-x2+x+4，
当y=0时，-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=4，
∴点A2的坐标为（-2，0），点B2的坐标为（4，0），故B正确；
C选项，yn=-x2+（n-1）x+2n=-（x+2）（x-2n），
当x=-2时，y=0，所以抛物线Cn经过定点（-2，0），故C正确；
D选项，n=2，抛物线解析式为y=-x2+x+4，
当x=0时，y=4，则D2（0，4），
∵n=4时，抛物线解析式为y=-x2+3x+8，
当y=0时，-x2+3x+8=0，解得x1=-2，x2=8，
∴点B4的坐标为（8，0），
∵，
∴，
∴△A2D2B4的形状为直角三角形，∠A2D2B4=90°，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴交点坐标等知识，令y=0，解一元二次方程即可求出抛物线与x轴交点的坐标．
13．（2022·江西新余·一模）如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（       ）

A．图象的对称轴是直线
B．当时，y随x的增大而减小
C．当时，
D．一元二次方程的两个根是和3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点问题，以及二次函数与一元二次不等式的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、对称轴为直线x==1，正确，故本选项不符合题意；
B、对称轴是直线x=1，当x＞2时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；
C、应为当-1＜x＜1时，y＞0，故本选项符合题意；
D、一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-1和3，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（2022·江西·南城县教育体育事业发展中心一模）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（       ）

A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案．
【详解】
解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．

【点睛】
此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键．
15．（2022·江西·宜春市第八中学一模）已知执物线y＝ax2﹣2ax＋a﹣c（a≠0）与y轴的正半轴相交，直线AB∥x轴，且与该抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，当x＝x1＋x2时，函数值为p；当x＝时，函数值为q．则p﹣q的值为（       ）
A．a B．c C．﹣a＋c D．a﹣c
【答案】A
【解析】
把函数解析式配方后可以得到其顶点坐标和对称轴，从而得到x1+x2与 的值，然后可得p和q的值，最后即可得到问题解答 ．
【详解】
解：由题意可得：
y=a(x2-2x+1)-c=a(x-1)2-c，
∴该抛物线的对称轴为x=1，
∴x1+x2=2×1=2，
∴p=a-c，
∴，
∴q=-c，
∴p-q=a-c-(-c)=a-c+c=a，
故选A．
【点睛】
本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线化为顶点式的方法及其图象与性质是解题关键．
16．（2022·江西·瑞金市教育体育事业发展中心一模）已知抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）上有两点A（﹣5，y1），B（m﹣3，y2），点P（3，y0）为该抛物线的顶点，且满足y1≤y2≤y0，则m的取值范围为（　　　）
A．﹣2≤m≤2 B．﹣2≤m≤14 C．m≥2或m≤﹣2 D．m≥14或m≤﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知该抛物线对称轴为，．故当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小．再结合，可知B点到对称轴的距离小于等于C点到对称轴的距离．即可列出关于m的绝对值方程，解出m即可．
【详解】
∵点P为抛物线顶点，且，
∴该抛物线对称轴为，，即该抛物线开口向下，
∴当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小．
∴B点到对称轴的距离小于等于C点到对称轴的距离．
∴，
解得：．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．根据题意结合二次函数的性质可得出B点到对称轴的距离小于等于C点到对称轴的距离是解答本题的关键．
17．（2022·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．证明△PAB∽△NCA，得出，设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，代入整理得到，根据二次函数的性质以及≤x≤3，求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围．
【详解】
解：如图，延长NM交y轴于P点，则MN⊥y轴．连接CN．

在△PAB与△NCA中，
，
∴△PAB∽△NCA，
∴，
设PA=x，则NA=PN-PA=3-x，设PB=y，
∴，
∴，
∵-1＜0，≤x≤3，
∴x=时，y有最大值，此时b=1-=-，
x=3时，y有最小值0，此时b=1，
∴b的取值范围是-≤b≤1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解析式是解题的关键．
18．（2022·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】
本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
19．（2022·江西赣州·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0； ②abc＞0 ③4ac﹣b2＜0； ④9a+3b+c＜0； ⑤8a+c＜0． 其中正确的结论有__________

【答案】②③④
【解析】
【详解】
试题解析：①抛物线的对称轴为x=-=1，b=-2a，
所以2a+b=0，故①错误；
②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=-＞0故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；
③由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2-4ac＞0，∴4ac-b2＜0，故③正确；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；
当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故④正确；
⑤由图知：当x=-2时y＞0，所以4a-2b+c＞0，因为b=-2a，所以4a+4a+c＞0，即8a+c＞0，故⑥错误；
所以这结论正确的有②③④．
20．（2022·江西抚州·一模）疫情期间，为满足市民防护需求，某药店想要购进A、B两种口罩，B型口罩的每盒进价是A型口罩的两倍少10元．用6000元购进A型口罩的盒数与用10000元购进B型口罩盒数相同．
(1)A、B型口罩每盒进价分别为多少元？
(2)经市场调查表明，B型口罩受欢迎，当每盒B型口罩售价为60元时，日均销量为100盒，B型口罩每盒售价每增加1元，日均销量减少5盒．当B型口罩每盒售价多少元时，销售B型口罩所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
【答案】(1)A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元
(2)当B型口罩每盒售价为65元时，最大日均总利润为1125元
【解析】
【分析】
(1) 设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求得；
(2) 设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，根据题意即可得出w关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，即可解答．
(1)
解：设A型口罩每盒进价是x元，则B型口罩每盒进价为(2x-10)元，
根据题意得：
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的解，
2x-10=60-10=50，
答：A型口罩每盒进价是30元，则B型口罩每盒进价为50元；
(2)
解：设B型口罩每盒售价为m元，销售B型口罩所得日均总利润为w元，
根据题意得：w=(m-50)[100-5(m-60)]=-5m2+650m-20000=-5(m-65)2+1125，
，
时w取得最大值，最大值为1125元，
答：当B型口罩每盒售价为65元时，销售B型口罩所得日均总利润最大，最大日均总利润为1125元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用与性质，根据题意列出方程和函数关系式是解决本题的关键．
21．（2022·江西新余·一模）某学校在开展“学习雷锋精神，争做时代标杆”的征文活动中，计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本．已知购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元．
（1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元?
（2）经与文具店协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价出售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元?
【答案】（1）钢笔每支12元，笔记本每本8元；（2）奖励一等奖50人时，购买奖品总金额最少为900元
【解析】
【分析】
（1）根据购买3支钢笔和2本笔记本共52元，购买5支钢笔和4本笔记本共92元，可以列出相应的二元一次方程组，解之即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以得到费用与一等奖学生的函数关系，然后根据二次函数的性质和一次函数的性质，即可解答本题．
【详解】
解：（1）设钢笔每支元，笔记本每本元．
根据题意得：解得
答：钢笔每支12元，笔记本每本8元．
（2）设这次奖励一等奖学生有a人，购买奖品的总金额为w元，
当30≤a≤50时，w=[12-（a-30）×0.1]a+8（100-a）=-0.1a2+7a+800=-0.1（a-35）2+922.5，
∴当a=50时，w取得最小值，此时w=900；
当50≤a≤60时，此时钢笔单价为：12-（50-30）×0.1=10（元），
w=10a+8（100-a）=2a+800，
∴当a=50时，w取得最小值，此时w=900；
由上可得，这次奖励一等奖学生50人时，购买奖品总金额最少，最少为900元．元，
【点睛】
本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确解二元一次方程的方法，利用二次函数的性质解答．
22．（2022·江西九江·三模）已知抛物线恒经过两个定点A和B（点A在点B左侧），现将直线AB作为对称轴，将抛物线进行翻折而得到抛物线，的顶点P与的顶点Q以及两定点A、B组成四边形APBQ．
(1)点A和点B坐标分别为______和______；
四边形APBQ的是一种特殊的四边形，它是______，的解析式为______．
(2)当点Q到x轴的距离为4时，
①求m值和此时四边形APBQ的面积．
②若直线与两抛物线、共同所组成图像共有4个交点，直接写出当时，a的取值范围．
【答案】(1)，菱形，；
(2)①，四边形APBQ的面积为2，时，四边形APBQ的面积10；②且
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线解析式求得定点，，求得顶点坐标为，设抛物线的顶点坐标为，根据菱形对角线互相平分求得，进而即可求解．求得的解析式；
（2）①根据题意得的值，进而求得面积；②根据条件可得，进而求得的坐标，结合图象即可求解．
(1)
，
当时，，当时，，
抛物线过定点，
点A在点B左侧，
，
如图，

由翻折可知，，
，
轴，轴，
则是抛物线的对称轴，
平分，
，
，
四边形是菱形，
，
顶点坐标为，
设抛物线的顶点坐标为，
根据菱形的性质可得，
得，
，
(2)
①当点到轴的距离为时，则，
，
或，
当时，则点坐标为，点坐标为，
，
，
，
当时，则点的坐标为，点坐标为，
，
，
②，
，
由①可知当时，点的坐标为，点，
要使直线与两抛物线共同组成的图象共有4个交点，则的取值范围是：
且．
【点睛】
本题考查了二次函数综合，菱形的性质与判定，轴对称的性质，数形结合是解题的关键．
23．（2022·江西南昌·二模）已知二次函数（m为常数）．


(1)二次函数的顶点坐标P（_______，______）（用含m的代数式表示）；
(2)m取不同的值，可以得到不同的点P，分别用，，，，表示．

…





…
P点横坐标
…

0
1
2
3
…
P点纵坐标
…
0


a
0
…

①补全表格；
②在图1中描出m取不同值时得到的，，，，各点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．并求曲线的解析式．
(3)若和x轴有两个交点，当这两个点与二次函数的顶点P构成等腰直角三角形时，求m的值．
【答案】(1)m，
(2)①见解析；②
(3)或
【解析】
【分析】
（1）把化为顶点式，即可求解；
（2）①m=2代入顶点坐标，即可求解；②利用描点法画出图象，再利用待定系数法解答，即可求解；
（3）设与x轴的两个交点的横坐标分别为、，利用一元二次方程根与系数的关系可得，．再根据和x轴有两个交点，可得．可得，P到x轴的距离为，然后根据等腰直角三角形的性质，可得，即可求解．
(1)
解∶ ，
∴顶点坐标P的坐标为（m，）；
故答案为：m，
(2)
解：①当m=2时， ；
补全表格如下：

…





…
P点横坐标
…

0
1
2
3
…
P点纵坐标
…
0


-3
0
…

②如图，画出图形如下：


根据题意可设抛物线的解析式为：，
∵点，，在抛物线上，
∴，解得：
∴曲线的解析式为．
(3)
解：设与x轴的两个交点的横坐标分别为、，
令y=0，则，
∴，．
∵和x轴有两个交点，
∴．
∴．
∴P到x轴的距离为．
∴．
∴两个横坐标之间的距离为．
∵这两个点与二次函数的顶点P构成等腰直角三角形，
∴．即．
∴或．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
24．（2022·江西吉安·二模）已知抛物线的顶点为M．
(1)当时，以下结论正确的有______．（填序号）
①对称轴是直线；
②顶点坐标是；
③当时，y随x的增大而减小．
(2)求证：不论k取何值，抛物线的顶点M总在x轴的下方．
(3)若抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点为，写出顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，并判断顶点是否存在落在x轴上的情形，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②
(2)见解析
(3)存在，k的值为1或2
【解析】
【分析】
（1）当时，求出抛物线的解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得：，可得抛物线与x轴有两个交点．即可求解；
（3）先求出顶点M的坐标为．可得．从而得到顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式，然后令，即可求解．
(1)
解：当时，
，
∴对称轴是直线，故①正确；
顶点坐标是，故②正确；
∵1＞0，
∴当时，y随x的增大而增大，故③错误；
故答案为∶ ①②．
(2)
解：，
，
∴抛物线与x轴有两个交点．
又∵抛物线开口向上，
∴抛物线的顶点M总在x轴的下方．
(3)
解：∵，
∴顶点M的坐标为．
∴抛物线关于直线对称后得到新的抛物线的顶点．
由，可得，
∴顶点中的纵坐标y与横坐标x之间的关系式为．
若顶点在x轴上，则，解得，，
∴存在顶点在x轴上，此时k的值为1或2．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
25．（2022·江西上饶·一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过点B、C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点D，作于点E．设点P的横坐标为m，连接，
①若，问与是否会全等？说明理由；
②线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出m的值．
【答案】(1)；
(2)①全等，理由见解析；②或
【解析】
【分析】
（1）由直线y=x-3求出C、B坐标，再将它们代入y=x2+bx+c即可得抛物线解析式；
（2）①先求得点P、点D的坐标，再求得PD，BF的长，以及DB的长，即可证得结论；
②线段PD把△PEB分成两个三角形，它们的底边都是PD，用面积之比等于高的比列方程即可得到答案．
(1)
解：令直线y=x-3=0，x=3，
令x=0，y=-3，
∴B（3，0），C（0，-3），
把点B（3，0），C（0，-3）代入y=x2+bx+c中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)
解：①∵点P(m，y)在y=x2−2x−3图象上，
∴y=m2−2m−3，
∵m=，
∴y=m2−2m−3=−2−1，
∵点D(m，y)在y=x−3图象上，
∴y=m−3=−3，
∴，
∴，
又∵OB=OC=3，∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，
∴DB=BF= (3−)=3−2，
∴PD=DB，
∴Rt△PDE≌Rt△BDF；
②过点E作EM⊥PD于点M，

∵点P的横坐标为m，
∴点P（m，m2-2m-3），点F（m，0），点D（m，m-3），
∴PD=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m，BF=3-m，
∵OC=OB，
∴∠ABC=45°，
则∠BDF=∠EDP=45°，
∴△DEP为等腰直角三角形，
∴EM=PD=（-m2+3m），
∵S△EPD=PD•EM，S△BPD=PD×BF，
∴，
①当时，；
②当时，;
综上，或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查一次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是用m的代数式表示PD的长度以及用面积之比等于高的比处理这一道有公共边的面积比问题．
26．（2022·江西赣州·一模）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y＝x2﹣2|x|（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答：
(1)作图探究：
①下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…

y
…
8
3
0
m
0
﹣1
0
n
8
…


m＝　 　，n＝　 　；
②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：

③根据所画图象，写出该函数的一条性质：　 　；
(2)深入思考：
根据所作图象，回答下列问题：
①方程x2﹣2|x|＝0的解是 　 　；
②如果y＝x2﹣2|x|的图象与直线y＝k有4个交点，则k的取值范围是 　 　；
(3)延伸思考：
将函数y＝x2﹣2|x|的图象经过怎样的平移可得到y1＝（x+1）2﹣2|x+1|﹣2的图象？写出平移过程，并直接写出当﹣3≤y1＜﹣2时，自变量x的取值范围．
【答案】(1)①-1；3；②见解析；③函数的图象关于y轴对称
(2)①x=-2或x=0或x=2；②-1