专题29 一线三等角模型-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

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例1 （2020·江苏苏州·统考中考真题）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．
求证：．
问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．
例2 （2021年·吉林长春·中考真题）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
例3 （2020年·海南·中考真题）（1）尝试探究：如图①，在中，，ABAC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是 ；DE与BD、CE的数量关系为 ．
（2）类比延伸：如图②，，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与△ABC全等．直接写出点P的坐标．
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。
“一线三等角”的起源
DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.
下面分几种类型讨论：
一、直角形“一线三等角”——“一线三直角”

结论：△ADB ∽△CEA
锐角形“一线三等角

结论：△ADB∽△CEA∽△CAB
钝角形“一线三等角

结论：△ADB∽△CEA∽△CAB
【变式1】（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一点，且BP＝2，将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E．
(1)求证：△BPD∽△CEP；
(2)是否存在这样的位置，△PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由．
【变式2】（2022·河北唐山·唐山市第十二中学校考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点．
(1)B点坐标为______；
(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD．
①请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）
②求△PAD面积的最大值；
(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且∠ADQ=45°，请直接写出点Q坐标______．
【变式3】（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D．
(1)如图1，求点D的坐标；
(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PG⊥x轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EF⊥AE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE的长为d，求d与t的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若∠CEF=∠AEH，EH-CE=，求点P的坐标．
【变式4】（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考二模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标．
【变式5】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，中，，且点为边的中点．将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射线相交于点，连结．
(1)如图1，当点在线段上时，
①求证：∽；
②线段，，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当为等腰三角形时，求的值．
【培优练习】
1．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，点P，D分别是∠ABC边BA，BC上的点，且，．连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边△DPE，连结BE，则△BDE的面积为（ ）
A．B．2C．4D．
2．（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（ ）
A．3B．2C．D．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．
4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝﹣x2+4x上有一点B（1，3），点B与点C关于抛物线的对称轴对称．过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，以C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，点N的坐标为 _____．
5．（2022秋·八年级课时练习）如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____．
6．（2022秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若，求DE的长．

7．（2022春·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：
如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．
①求证：；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，．
（1）如图①所示，直线过点，于点，于点，且．求证：．
（2）如图②所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由．
9．（2022秋·江苏·八年级专题练习）问题背景：（1）如图①，已知中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E，易证：______+______．
（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明．
（3）实际应用：如图③，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．
10．（2022秋·八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________．
（2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：．
（3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）
11．（2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：．
[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________．
（2022秋·八年级课时练习）
(1)如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．
(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
13．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）（1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．
14．（2023秋·广西南宁·八年级校考阶段练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足．
(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是____________；
(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)应用：如图3，在中，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和．
15．（2022秋·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
16．（2021秋·四川达州·九年级统考期中）模型探究：
（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
模型应用：
（2）已知直线与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转90°至直线，如图2，求直线的函数表达式；
（3）如图3，已知点、在直线上，且．若直线与轴的交点为，为中点．试判断在轴上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形．
17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系： ．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 ．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
18．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是________；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
19．（2022秋·浙江·八年级专题练习）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y＝x+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣5上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
20．（2021秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接、、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．