专题35 实际应用题（5大类型）-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

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模块三 重难点题型专项训练
专题35 实际应用题
考查类型
考查类型一 行程问题
考查类型二 方案问题
考查类型三 购买、销售问题
考查类型四 抛物线型问题
考查类型五 其他类型
新题速递

考查类型一 行程问题

例1 （2022·四川攀枝花·统考中考真题）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系：折线表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则以下结论错误的是（    ）

A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为
C．轿车从西昌到雅安的速度为
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有
【答案】D
【分析】结合函数图象，根据时间、速度、路程之间的关系逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：，故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：，故选项C不合题意；
轿车从西昌到雅安所用时间为：（小时），
（小时），即A点表示，
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
，解得，
货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安的距离为：，故选项D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，能够从函数图象中获取相关信息．
例2 （2020·重庆·统考中考真题）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则乙比甲晚____分钟到达B地．

【答案】12．
【分析】根据题意先求解乙的速度与甲的原速度，得到改变后的速度，由时，甲到达B地，再计算出全程，从而可以得到乙与地的距离，从而得到晚到的时间．
【详解】解：由图及题意得：乙的速度为米/分，


即甲原速度为250米/分，
当x=25后，甲提速为米/分，
当x=86时，甲到达B地，
此时乙距B地为250（25-5）+400（86-25）-300×86=3600.

即乙比甲晚分钟到达B地．
答案：12．
【点睛】本题考查的是一次函数关于行程问题的应用，从图像中获取信息得到与问题相关的：速度，时间，全程是解题的关键．
例3 （2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．

请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)（）
(3)分钟，分钟，6分钟

【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
（1）
解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，
∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）
解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为，
∵过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴，
解得：，
∴直线FG的解析式为：，
自变量x的取值范围是；
（3）
解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
解得：；
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
解得：或6，
答：出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．


行程问题是反映物体匀速运动的应用题。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及三个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“多个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归纳为：速度×时间=路程。


【变式1】（2022·浙江丽水·一模）小张在一条笔直的绿谷跑道上以70米/分钟的速度，从起点出发匀速健步走．30分钟后，他停下来休息了5分钟，然后原地返回起点，全程总用时70分钟．设小张离起点的距离为y米，健步走的时间为x分钟，y关于x的函数关系如图所示，则小张返回的速度是（    ）

A．60米/分钟 B．70米/分钟 C．75米/分钟 D．80米/分钟
【答案】A
【分析】根据去时的速度和时间可以求出路程，然后用路程回时的时间即可求出返回时的速度．
【详解】解：路程速度时间，即米，
返回时的时间为：分钟，
则返回时的速度米/分钟，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，得出路程．
【变式2】（2021·重庆綦江·校考三模）小李和小王分别从甲、乙两地同时步行出发，匀速相向而行小李的速度大于小王的速度，小李到达乙地后，小王继续前行.设出发小时后，两人相距千米，如图所示，折线表示从两人出发至小王到达甲地的过程中与之间的函数关系．下列说法错误的是（    ）

A．点的坐标意义是甲、乙两地相距千米
B．由点可知小时小李、小王共行走了千米
C．点表示小李、小王相遇，点的横坐标为
D．线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程
【答案】C
【分析】根据已知及函数图象，逐项判断即可．
【详解】点A表示时，即甲、乙两地相距千米，故A说法正确，不符合题意；
点表示时，可知小李、小王共行走了（千米），故B说法正确，不符合题意；
由小时小李、小王共行走了千米知二人速度和为（千米/时），
点表示小李、小王相遇，相遇的时间是（小时），即点的横坐标是，故C说法错误，符合题意；
由已知可得，线段表示小李到达乙地后，小王到达甲地的运动过程，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，理解图中特殊点表示的意义．
【变式3】（2022·江苏南京·模拟预测）某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位∶千米/小时）的范围是_____．

【答案】
【分析】先根据函数图象求出甲车的速度，再根据甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间追上甲车，注意临界点，乙再点12点时追上甲和13点追上甲，解不等式即可．
【详解】解：根据图象可得，甲车的速度为60÷1=60（千米/时）．
由题意，得
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，路程、速度与时间关系的应用，列一元一次不等式组解实际问题的应用，能够根据题意列出不等式组是解题的关键．
【变式4】（2021·四川达州·校考一模）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，以各自速度匀速行走，各自到达点C停止．甲机器人前3分钟速度不变，3分钟后与乙机器人的行走速度相同，甲、乙机器人各自与B地之间的距离y（m）与各自的行走时间x（min）之间的函数图象如图所示：当甲、乙两机器人相距30m时，则x的取值范围是____________________

【答案】x=1或3≤x≤6.5
【分析】结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前3分钟的速度；分前0~3分钟、3 ~7分钟时间段解答．
【详解】】解：如图，

由图象可知，A、B两点之间的距离是60m，
甲机器人前3分钟的速度为：（120+60）÷2=90（m/min），
乙机器人的速度为：420÷7=60（m/min）
由图可知，2min时，甲追上乙，
所以设前3分钟，甲xmin时与乙相距30m，
当在0 90x+30=60+60x，
解之得：x=1．
当在2 90x-30=60+60x（m），
解得：x=3，
3分钟后，甲到达C地时，甲、乙两机器人速度都是60m/min．甲与乙都是相距30m，
甲到达C地时间为：（420-210）÷60+3=6.5（min），
∴在3 综上，x的取值范围是：x=1或3≤x≤6.5．
故答案为：x=1或3≤x≤6.5．
【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，正确列出一元一次方程、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
【变式5】（2021·浙江宁波·校考三模）如图，有80名师生要到离学校若干千米的大剧院参加演出，学校只有一辆能做40人的汽车，学校决定采用步行和乘车相结合的办法：先把一部分人送到大剧院，车按原路返回接到步行的师生后开往大剧院，其中车和人的速度保持不变．（学生上下车，汽车掉头的时间忽略不计）．表示车离学校的距离（千米），表示汽车所行驶的时间（小时）．请结合图象解答下列问题：

(1)学校离大剧院相距 　　千米，汽车的速度为 　　千米小时；
(2)求线段所在直线的函数表达式；
(3)若有一名老师因临时有事晚了0.5小时出发，为了赶上学生，该老师选择从学校打车前往，已知出租车速度为80千米小时，请问该老师能在学生全部达到前赶到大剧院吗？并画出相关图象．
【答案】(1)15，60
(2)
(3)该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象见解析

【分析】（1）由图象直接可得学校与大剧院的距离，由路程除以时间可得汽车的速度；
（2）设步行速度为千米小时，可得：，即可解得，，从而可得，，用待定系数法得线段所在直线的函数表达式为；
（3）由学生全部达到大剧院时，，出租车到达大剧院时，，知该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，再画出图象即可．
【详解】（1）解：由图象可得，学校与大剧院相距15千米，
汽车的速度为（千米小时），
故答案为：15，60；
（2）设步行速度为千米小时，
根据题意得：，
解得，
步行的路程为（千米），
，，
，
，，
设线段所在直线的函数表达式为，
将，，，代入得：
，
解得，
线段所在直线的函数表达式为；
（3）该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，理由如下：
由（2）知，学生全部达到大剧院时，，
出租车到达大剧院时，，
该老师能在学生全部达到前赶到大剧院，图象如下：

【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，结合图象，学会利用函数的思想求解问题．
考查类型二 方案问题

例1 （2022·黑龙江·统考中考真题）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18-x．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一次方程是解题的关键．
例2 （2021·黑龙江绥化·统考中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
【答案】330
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
例3 （2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．

【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
，
解得：；
经检验：是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为台，
∴；
②由题意得：，
解得：，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．


方案选择问题解决策略：
1、 理顺问题的数学思路
2、 建立问题的数学模型
3、 研究函数模型自变量的取值范围
4、 根据自变量的取值范围，选择最佳方案


【变式1】（2022·四川眉山·校考一模）小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：

甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
25
20
租金（元/辆）
2000
1800

请问：李老板最少要花掉租金（    ）．A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元
【答案】B
【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．
【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，y最小，最小值为：
（元），
即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．
【变式2】（2021·河北保定·统考二模）超市有，两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：购买型瓶3个或以上，一次性返还现金5元，设购买型瓶（个），所需总费用为（元），则下列说法不一定成立的是（    ）
型号
A
B
单个盒子容量（升）
2
3
单价（元）
5
6

A．购买型瓶的个数是为正整数时的值 B．购买型瓶最多为6个
C．与之间的函数关系式为 D．小张买瓶子的最少费用是28元
【答案】C
【分析】设购买A型瓶x个,B()个,由题意列出算式解出个选项即可判断.
【详解】设购买A型瓶x个，
∵买瓶子用来分装15升油，瓶子都装满，且无剩油，
∴购买B型瓶的个数是,
∵瓶子的个数为自然数,
∴x=0时, =5; x=3时, =3; x=6时, =1;
∴购买B型瓶的个数是()为正整数时的值，故A成立;
由上可知，购买A型瓶的个数为0个或3个或6个，所以购买A型瓶的个数最多为6，故B成立;
设购买A型瓶x个，所需总费用为y元，则购买B型瓶的个数是()个，
④当0≤x<3时，y=5x+6×()=x+30，
∴k=1>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元;
②当x≥3时，y=5x+6×()-5=x+25，
∵.k=1>0随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为28元;
综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为28元.
故C不成立，D成立
故选:C.
【点睛】本题考查一次函数的应用,关键在于读懂题意找出关系式.
【变式3】（2021·浙江杭州·校联考二模）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为_______________．
【答案】
【分析】因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机，就可以得到关系式．
【详解】解：由题意得：因为A城运往C乡x台农机，则A城运往D乡（30﹣x）台农机，B城运往C乡（34﹣x）台农机，B城运往D乡[40﹣（34﹣x）]台农机
W＝250x+200（30﹣x）+150（34﹣x）+240[40﹣（34﹣x）]
＝140x+12540，
故答案为：W＝140x+12540．
【点睛】本题考查一次函数的应用，属于一般的应用题，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式．
【变式4】（2020·重庆·统考模拟预测）“双11”当天，重庆顺风快递公司出动所有车辆分上午、下午两批往成都送件，该公司共有甲、乙、丙三种车型，其中甲型车数量占公司车辆总数的，乙型车辆是丙型车数量的2倍，上午安排甲车数量的，乙车数量的，丙车数量的进行运输，且上午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别为15吨，10吨，20吨，则上午刚好运完当天全部快件重量的；下午安排剩下的所有车辆运输完当天剩下的所有快件，且下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨，下午乙型车实际载货量为下午甲型车每辆实际载货量的．已知同种货车每辆的实际载货量相等，甲、乙、丙三种车型每辆车下午的运输成本分别为50元/吨，90元/吨，60元/吨．则下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本最少为_____元．
【答案】2700.
【分析】设重庆顺风快递公司总共有x辆车，用表示各型车的数量，上午运输快递重量，下午快递重量，设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量y吨，根据题意列出y的不等式组，求得y的取值范围，再用y的代数式表示：下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本，最后根据一次函数的性质求最小值．
【详解】解：设重庆顺风快递公司总共有x辆车，则甲型车有x辆，乙型车有x＝x辆，丙型车有x＝x辆，根据题意得，
上午运货总量为：15×x+10××x+20×＝x（吨），
全天运货总量为：＝14x（吨），
下午运货总量为：14x•（1﹣）＝x（吨），
设下午甲型车每辆实际载货量为y吨，丙型车每辆实际载货量为z吨，则乙型车每辆实际载货量y吨，根据题意得，
xy+xy+xz＝x，
化简得，4y+z＝84，
∴z＝84﹣4y，
∵下午甲、乙、丙三种车型每辆载货量分别不得超过20吨，12吨，16吨
∴，
∴17≤y≤18，
∴下午运输时，一辆甲种车、一辆乙种车、一辆丙种车总的运输成本为：
w＝50y+90×y+60（84﹣4y）＝﹣130y+5040，
∵﹣130＜0，
∴w随y的增大而减小，
∴当y＝18时，w有最小值为：﹣130×18+5040＝2700（元），
故答案为：2700．
【点睛】本题考查了不等式组和一次函数的实际应用问题，掌握解不等式组的方法、一次函数的性质是解题的关键．
【变式5】（2022·河南信阳·校考一模）由于疫情的原因，某公司决定为员工采购一批口罩（包）和10瓶消毒液，经了解，购买4包口罩和3瓶消毒液共需185元；购买8包口罩和5瓶消毒液共需335元．
(1)求一包口罩和一瓶消毒液各需多少元？
(2)实际购买时，厂家有两种优惠方案：
方案一：消毒液不优惠：购买口罩不超过20包时，每包都按九折优惠，超过20包时，超过部分每包按七折优惠；
方案二：口罩、消毒液均按原价的八折优惠．
①求两种方案下所需的费用（单位：元）与（单位：包）的函数关系式；
②若该公司决定购买包口罩和10瓶消毒液，请你帮该公司决定选择哪种方案更合算．
【答案】(1)一包口罩需20元，一瓶消毒液需35元；
(2)①方案一：与的函数关系式为；方案二：与的函数关系式为；②当2075时，选择方案一更合算．

【分析】（1）根据购买4包口罩和3瓶消毒液共需要185元，购买8包口罩和5瓶消毒液共需要335元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得一包口罩和一瓶消毒液各需要多少元；
（2）①根据题意，可以写出两种方案下所需的费用y与x的函数关系式；②根据题意和①中的函数关系可以列出相应的不等式，从而可以得到该公司决定选择哪种方案更合算．
【详解】（1）解：设一包口罩需x元，瓶消毒液各需y元，根据题意得：
，解得：，
答：一包口罩需20元，一瓶消毒液需35元；
（2）解：①方案一：当时，
；
当时，
；
综上所述，方案一：与的函数关系式为；
方案二：与的函数关系式为；
②当14x+430>16x+280时，解得x<75，
即当20 当14x+430=16x+280时，解得x=75，
即当x=75时，两种方案一样；
当14x+430<16x+280时，解得x>75，
即当x>75时，选择方案一更合算．
综上，当2075时，选择方案一更合算．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

考查类型三 购买、销售问题

例1 （2020·贵州毕节·统考中考真题）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（    ）
A．230元 B．250元 C．270元 D．300元
【答案】D
【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设该商品的原售价为x元，
根据题意得：75%x+25=90%x-20，
解得：x=300，
则该商品的原售价为300元．
故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
例2 （2021·江苏连云港·统考中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：，
，
∴，
∵，
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元，
故答案为：1264．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
例3 ．（2020·湖北黄冈·中考真题）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【详解】解：（1）当，即，
．
∴当时，
   
当时，
．

（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．

∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：

．
又，
．

．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．

，
．
又，
．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．


让学生在数学学习中，体会数学的实用价值，体验数学在解决实际问题中的作用，是数学教学的一项很重要的任务。生活在商品经济社会，学生掌握必要的商品销售知识是现在和未来学生从事生产、生活的需要。
一、弄清几个重要的概念、公式
（1）商品的进价是指商店购进商品时的价格（也称采购价格）。
（2）商品的标价是指商店在销售商品时用标签标出的价格有时也叫定价（可以打折）。
（3）商品的销售价是指商店销售商品时买卖双方的成交价格。
（4）折扣（打折）是指商店在销售商品时售价占标价的百分数，一般地10%为一折。
（5）商品的利润（盈利）=商品的销售价-商品的进价。
（6）商品的标价（定价）=商品的进价+利润+折扣价。
（7）商品的售价（销售价格）=商品的标价x商品销售折扣。
利润问题常用公式如下:
(1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价.
(2)利润率=
(3)销售额=销售价×销售量.
(4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量


【变式1】（2022·浙江衢州·统考二模）某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（    ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得．
【详解】解: 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，
根据题意，得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程．
【变式2】（2020·湖北武汉·统考模拟预测）某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）

A．180 B．220 C．190 D．200
【答案】D
【分析】由图象过点（20，20）和（30，0），利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润=每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【详解】设y=kx+b，由图象可知，，
解得：，
∴y=﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p=（x﹣10）y
=（x﹣10）（﹣2x+60）
=﹣2x2+80x﹣600，
∵a=﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x=﹣=20时，p最大值=200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
【变式3】2022·湖北省直辖县级单位·统考一模）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．
【答案】11
【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则

，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
【变式4】（2021·山东青岛·统考一模）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某网络平台为一服装厂直播代销一种服装(这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理)．销售中发现每件售价为250元时，日销售量为40件，当每件衣服每下降10元时，日销售量就会增加8件．已知每售出1件衣服，该平台需支付厂家和其它费用共100元．设每件衣服售价为x(元)，该网络平台的日销售量为y(件)．则下列结论正确的是_______(填写所有正确结论序号)．
①y与x的关系式是y=-x+240；
②y与x的关系式是y=x-160；
③设每天的利润为W元，则W与x的关系式是W=-x2+320x-24000；
④按照厂家规定，每件售价不得低于210元，若该经销商想要每天获得最大利润，当每件售价定为210元时，每天利润最大，此时最大利润为7920元．
【答案】①③④
【分析】根据可对①②进行判断；根据每天的利润=每件服装的利润×销售量可对③进行判断；根据二次函数的最值可对④作出判断．
【详解】解：∵，
∴①正确，②错误；
∵；
∴③正确；
∵，
，每件售价不得低于210元，
∴当x=210时，每天利润最大，
每天利润最大为：，
∴④正确．
故正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
【变式5】（2022·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少 万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值
【答案】(1)
(2)7元/件，最大利润为9万元
(3)

【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；
（2）在（1）的基础上，根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；
（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得．
【详解】（1）解：由题意，当 时， ，
当 时， ，
，
，
解得 ，
综上，
（2）解：设该产品的月销售利润为 万元，
①当 时， ，
由一次函数的性质可知，在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ；
②当 时， ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最大值，最大值为9，
因为 ，
所以当月销售单价是7元/件时，月销售利润最大，最大利润是9万元
（3）解： 捐款当月的月销售单价不高于7元/件，月销售最大利润是78万元（大于5万元），
，
设该产品捐款当月的月销售利润为 万元，
由题意得： ，
整理得： ，
，
在 内， 随 的增大而增大，
则当 时， 取得最大值，最大值为 ，
因此有 ，
解得
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
考查类型四 抛物线型问题

例1 （2021·山东临沂·统考中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(   )

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
例2 （2022·四川成都·统考中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________；当时，的取值范围是_________．

【答案】         
【分析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，，
∴ ，
∴ ，
解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
∴，
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且（米）；当t=0时，h最最小，且（米）；
∴w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
当时，的取值范围是
∵对称轴为t==1，a=-5＜0，
∴时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且（米）；当t=3时，h最最小，且（米）；
∴w=，w=，
∴w的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
例3 （2022·浙江台州·统考中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．

(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)

【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．

             图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．

（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．


【变式1】（2021·河北张家口·统考一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（　　）

A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
【答案】C
【分析】A、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y=a（x-20）2+11，用待定系数法求得a的值即可求得答案；
B、把y=0代入函数y＝﹣x2+x+1即可水流喷射的最远水平距离，
C、坡度为1：10的坡地解析式为，设抛物线上点P（x, ）,过P作PQ∥y轴，交OA于Q，点Q（x, ）,PQ=，当x=18时喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度；
D、向后平移后的解析式为，把x=30代入解析式求得y的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．
【详解】解：A、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y=a（x-20）2+11，
把（0，1）代入解析式得：400a+11=1，
解得：，
∴解析式为；
故A不符合题意；
B、当y=0时，；
解得x= 2 +20，
∴水流喷射的最远水平距离是2 +20米；
故B不符合题意；
C、坡度为1：10的坡地解析式为，
设抛物线上点P（x, ）,过P作PQ∥y轴，交OA于Q，点Q（x, ）,
∴PQ=，
当x=18时喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米，
故C符合题意；
D、向后7米平移后的解析式为，
当x=30时，y=3.775，
3.775-3=0.775＜2.3，
∴不可以避开对这棵石榴树的喷灌，
故选项D不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2022·北京海淀·校考一模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意即可得出结论．
【详解】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
【点睛】本题主要考查学生的细心程度，认真分析是解决本题的关键．
【变式3】（2022·浙江台州·统考一模）斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为，第二次反弹后的最大高度为，第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若，则为________．

【答案】
【分析】先求出OA=60，OE=30，设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，得h1=-900a，设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，得得h2=-625a，即可得答案．
【详解】解：如下图，
∵OB=90，OA=2AB，
∴OA=60，OE=30，
设第一次反弹后的抛物线的解析式y=a(x-30)2+h1，
∵抛物线过原点O，
∴0=a(0-30)2+h1，
解得：h1=-900a，
∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），
∴两个抛物线的a是相等的，
设第二次反弹后的抛物线的解析式y1=a(x-m)2+h2，
∵，h1=-900a，
∴BC=-600a，
∵抛物线过A、B两点，
∴
解得

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式的求法，解题的关键是掌握二次函数的性质．
【变式4】（2022·浙江舟山·校考一模）准备在一个“7”字型遮阳棚下安装一个喷水装置（如图1），已知遮阳棚DB与竖杆OB垂直，遮阳棚的高度OB＝3米，喷水点A与地面的距离OA＝1米（喷水点A喷出来的水柱呈抛物线型），水柱喷水的最高点恰好是遮阳棚的C处，C到竖杆的水平距离BC＝2米（如图2），此时水柱的函数表达式为_____，现将遮阳棚BD绕点B向上旋转45°（如图3），则此时水柱与遮阳棚的最小距离为____米．（保留根号）

【答案】         
【分析】先根据已知设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式；将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，先根据BD与水平线成45°角，从而得到直线BD与直线平行，再根据，得出MN平行于直线，利用待定系数法求出直线MN的函数解析式，再根据直线MN和抛物线有一个公共点，联立解方程组，根据求出直线MN的解析式，再求出直线MN与y轴的交点M的坐标，求出BM的长度，再根据，求出BG即可．
【详解】解：将线段BD沿y轴向下平移，使平移后的线段MN恰好与抛物线只有一个交点，
过点B作BG⊥MN于G，如图：

∵抛物线的顶点C的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
把点的坐标代入得：，
解得：，
∴，
∵，BC⊥y轴，
∴BD与直线平行，且BD与y轴的夹角是45°，
∵，
∴MN与直线平行，，
∴设MN的解析式为，
∵MN与抛物线只有一个交点，
∴方程组只有一组解，
∴方程有两个相等的实数根，
将方程整理得：，
∴，
解得：，
∴MN的解析式为，
令，得，
∴，
∵，
∴（米），
在中，，，
∵，
∴（米），
∴此时水住与遮阳棚的最小距离为米．
故答案为：，．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及锐角三角函数，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键．
【变式5】（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图像，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．若当，时，解答下列问题．

(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程．
(2)下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标为________．
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，喷出水的最大射程为
(2)
(3)

【分析】（1）根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可，再求出时，的值，由此即可得；
（2）根据对称性求出平移分式，再根据平移方式即可求出点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过点，下边缘抛物线，计算即可．
【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
则设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．

（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，即点是由点向左平移得到，
∴点的坐标为，
故答案为：．
（3）解：如图，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
当抛物线恰好经过点时，．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．

【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
考查类型五 其他问题

例1 （2020江苏南通·统考中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(   )

A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【分析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.
【详解】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得：，
所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
【点睛】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.
例2 （2020·山东淄博·统考中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是_____个．
【答案】210
【详解】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站．
【解答】解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，
快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．
根据题意，完成下表：
服务驿站序号
在第x服务驿站启程时快递货车货包总数
1
n﹣1
2
（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）
3
2（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）
4
3（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）
5
4（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）
…
…
n
0

由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，
当x＝14或15时，y取得最大值210．
答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．
故答案为：210．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x＝﹣时取得．
例3 （2022·四川攀枝花·统考中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：

(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m
(2)
(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m

【分析】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，利用求出即可；
（2）利用勾股定理求出，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；
（3）将代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．

过点B作轴于点D．
在中，，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在中，，
，
由题意抛物线顶点为，经过．
设抛物线的解析式为，
则有，
，
抛物线的解析式为．
（3）解：当时，，
他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【点睛】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．


【变式1】（2021·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考二模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　）

A．18° B．36° C．41° D．58°
【答案】C
【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得．
【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，

∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性，判断出对称轴位置是解题关键．
【变式2】（2022·山东聊城·统考三模）北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线的高度为60米．那么当运动员滑出点A后，运动员运动的水平距离为（     ）米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．

A．50 B． C． D．
【答案】C
【分析】把、代入可得抛物线所对应的函数表达式；根据纵坐标的差为20，列出方程可得答案．
【详解】解：把、代入中，得
得解得
∴抛物线所对应的函数表达式．
设运动员运动的水平距离是x米，
此时小山坡的高度是，
运动员运动的水平高度是，
∴，
解得或0（舍去），
答：运动员运动的水平距离为米时，运动员与小山坡的竖直距离为20米．
故选C
【点睛】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．
【变式3】（2020·浙江温州·校联考模拟预测）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的和的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm．

【答案】11．
【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】如图：

由题意可知：CD＝DE＝10cm，
根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，16）．
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
因为抛物线经过C、E、B三点，
∴，
解得，
所以抛物线解析式为y＝-x2+x+．
当x＝7时，y＝11，
∴Q（7，11），
所以手心O距水平台面GH的高度为11cm．
故答案为11．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
【变式4】（2022·山东济南·校考模拟预测）两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与行驶时间t的函数关系分别为：和，求：
（1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____；
（2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____．
【答案】     B车     2
【分析】（1）由已知行驶的距离x与行驶时间t的函数关系可表示出速度与时间的关系式，比较刚离开时即时，两车的速度大小即可得到答案；（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B速度的时刻，列出方程求解即可．
【详解】（1）由已知得，A车的速度与时间关系式为，B车的速度与时间关系式为
它们刚离开出发点时，B车速度大于A车速度（时，）
行驶在前面的一辆车是B车
故答案为：B车
（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B车速度的时刻
，即
解得或（舍去）
故答案为：2
【点睛】本题考查变速运动中运动距离与速度的关系，解题的关键是由已知的行驶的距离x与行驶时间t关系式求出速度与时间的关系式．
【变式5】（2022·河北保定·校考一模）新型建材（即新型建筑材料）是区别于传统的砖瓦、灰砂石等建材的建筑材料新品种，行业内将新型建筑材料的范围作了明确的界定，即新型建筑材料主要包括新型墙体材料、新型防水保温隔热密封材料和装饰装修材料三大类，某开发商承建一精密实验室，要求全部使用新型建筑材料，经调查发现：新型建筑材料总成本包括装饰装修材料成本、新型墙体材料成本和新型防水保温隔热密封材料成本，其中装饰装修材料成本固定不变为100万元，新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，在建筑过程中，设新型建筑材料总成本为y（万元），获得如下数据：
x（单位：m2）
20
50
y（单位：万元）
240
600

(1)求新型建筑材料总成本为y（万元）与建筑面积x（m2）的函数表达式；
(2)在建筑过型中，开发商测算出此时每平方米的平均成本为12万元，求此时完成的建筑面积；
(3)设建设该厂房每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知当x＝50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，求k、b的值．（纯利润＝毛利润﹣成本）
【答案】(1)
(2)此时完成的建筑面积为20或50；
(3)

【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据每平方米的平均成本为12万元可知总成本为12x万元，然后列方程求解即可；
（3）求出纯利润为，然后根据二次函数的最值问题结合题意列方程组解答即可．
（1）
解：∵新型墙体材料成本与建筑面积x（m2）成正比，新型防水保温隔热密封材料成本与建筑面积x（m2）的平方成正比，
∴设新型墙体材料成本，新型防水保温隔热密封材料成本，
∴，
把x＝20，y＝240；x＝50，y＝600代入得：，
解得：，
∴新型建筑材料总成本y与建筑面积x的函数表达式为：；
（2）
由题意得：，
解得：，，
答：每平方米的平均成本为12万元，此时完成的建筑面积为20或50；
（3）
∵每平方米的毛利润为Q（万元）且有Q＝kx+b（k≠0），
∴总的毛利润为，
总的纯利润为：，
∵当x＝50时，Q为12.5万元，且此时开发商总纯利润W最大，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的最值问题等知识，正确理解题意，列出函数关系式及一元二次方程是解答本题的关键．


【新题速递】
1．（2022秋·八年级课时练习）某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供元赞助后，每张票的票价为元．则两种方案购票总价相同时，的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出方案一中的OA和AB表示的解析式以及方案二的解析式，再进行比较即可得到结论．
【详解】解：在方案一中，设OA表示的解析式为，且

解得，
表示的解析式为：；
设表示的解析式为，
又，

解得，，
表示的解析式为：；
方案二的解析式为：；
当时，
故的图象与的图象无交点，
当时，，
所以，当时，两种方案购票总价相同．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，运用待定系数法求一次函数关系式是解答本题的关键．
2．（2021秋·河南驻马店·九年级统考期末）某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（     ）

A．4月份的利润为45万元
B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元
D．9月份该企业利润达到205万元
【答案】D
【分析】先根据图象求出反比例函数的解析式，将横坐标为4代入求得利润即可判断A，根据图象求出一次函数的解析式，即可判断B，将135代入两个函数求对应的x的值即可；将x=9代入求利润即可；
【详解】A、由图象得反比例函数经过点(1，180)，
∴ 反比例函数的解析式为： ，
将x=4代入得：y=45，故该选项不符合题意；
B、将(4，45)，(5，75)代入一次函数解析式，
，
解得 ，
求得一次函数解析式为： ，故该选项不符合题意；
C、将y=135代入和中，
解得：x= ；
解得：x=7，
故该选项不符合题意；
D、将x=9代入，求得y=270-75=195≠205，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键；
3．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴（向右为正向），若A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为则B为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【详解】解：以B为原点建立坐标系，如图所示：

由题意可得出：，
将（﹣12，0）代入得出，，
解得：，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
4．（2022秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）学校组织学生去绍兴进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．小王同学测得∶洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且三点共线．小王在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平面是（        ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【详解】解：根据题意：所在直线为x轴，的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点所在直线为抛物线的对称轴，

根据题意，，
设抛物线解析式为 ，
将Q点坐标代入解析式得，，
解得：，
所以抛物线解析式为：，
当时，即，
解得：，或（舍去），
所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是.
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．
5．（2022春·九年级课时练习）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为（元/千克）（，且是按0.5的倍数上涨），当日销售量为（千克）．有下列说法：
①当时，
②与之间的函数关系式为
③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克
④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克
其中正确的是（    ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
【分析】根据题意求出二次函数的解析式，再根据利润的关系逐一判断即可；
【详解】当时，，故①正确；
由题意得：，故②正确；
日销售利润为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵销售单价为38元/千克时的销售量比销售单价为42元/千克时大，
∴不合题意，
即若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为38元/千克，故③错误；
由上问可知：，
即，
∵，
∴当时，，
即若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确；
故正确的是①②④；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，准确计算是解题的关键．
6．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球飞行路线是一条拋物线，小明在直线上点C（靠点B一侧）右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米，高为0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（    ）．

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】先以所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过M、A、B根据待定系数法求出函数解析式，当桶的左侧最高点位于抛物线以下，右侧最高点位于抛物线以上时，求才能落进桶内，分别计算出和时y的值，然后与桶高比较，可求出m的取值范围，从而求出m的最小值．
【详解】解：先以所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过、，设抛物线的解析式为;

∵抛物线过点，
∴，，
抛物线的解析式为：，
当时，，
当时，，
∵桶高，
∴有，
解得
∴m的值为5或6或7时，网球能落入桶中，
∴至少要摆5个桶；
故答案是：B．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题的关键．
7．（2022春·九年级单元测试）如图是王叔叔晩饭后步行的路程（单位：）与时间（单位：）的函数图像，其中曲线段是以为顶点的抛物线的一部分．下列说法正确的是（    ）

A．线段的函数表达式为
B．，王叔叔步行的路程为
C．曲线段的函数表达式为
D．，王叔叔步行的速度由慢到快
【答案】C
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【详解】解：A、设线段的函数解析式为，
把代入得，，
解得：，
∴线段的函数解析式为，故该选项不符合题意；
B、，王叔叔步行的路程为m，故该选项不符合题意；
C、当时，由图象可得m，即抛物线顶点为，
设抛物线的解析式为
将代入得：，
解得，
∴曲线段的函数解析式为，故该选项符合题意；
D、在A点的速度为，
A到B点的平均速度为，
∴，王叔叔步行的速度由快到慢，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．
8．（2022·山东淄博·统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝5cm，CD=3cm，AC⊥CD，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D→A匀速运动，点M从点B出发，以相同的速度沿B→C匀速运动，其中一点停止时，另一点随之停止运动，图2是△PMC的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象，若a秒与b秒时△PMC的面积均为，则b﹣a的值为（　　）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】过点A作AQ⊥BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC的延长线于点N，由此可得AQ的长度；根据点P和点Q的运动可知，0≤t≤5；点P的运动分两种情况，当点P在边CD上运动时，S与t的函数图象为图中的曲线OEF，表达出△PMC的面积，列出等式即可求出a的值；当点P在边AD上运动时，S与t之间的函数图象为题中的曲线FGH，表达出三角形PMC的面积，列出等式即可求出b的值，最后即可求出b−a的值．
【详解】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝＝＝4cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝3cm，BC＝AD＝5cm，
∴∠BAC＝90°．
①当点P在边CD上运动时，S与t的函数图象为图中的曲线OEF，
此时CM＝BC−BM＝（5−t）cm，PC＝t cm，0≤t≤3，
过点A作AQ⊥BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC的延长线于点N，

∵S△ABC＝BC•AQ＝AB•AC，即×5×AQ＝×3×4，
∴AQ＝cm．
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠PCN，
∵∠AQB＝∠PNC＝90°，
∴△AQB∽△PNC，
∴，即，
解得PN＝，
∴S＝CM•PN＝×（5−t）×t＝t（5−t），
根据题意，得t（5−t）＝，解得t＝1或t＝4（舍），
∴a＝1．
②当点P在边AD上运动时，S与t之间的函数图象为题中的曲线FGH，
此时CM＝BC−BM＝（5−t）cm，3＜t≤5，
∵AD∥BC，
∴点P到BC的距离与点A到BC的距离相等，即边MC上的高位AQ＝cm．
∴S＝CM•AQ＝×（5−t）×＝（5−t）．
根据题意可得，（5−t）＝，解得t＝，
∴b＝，
∴b−a＝−1＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图象的应用，解题关键是把点P的运动与三角形的面积的图象结合得出a和b的值．
9．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，是某电信公司甲、乙两种业务：每月通话费用y(元)与通话时间x(分)之间的函数关系．某企业的周经理想从两种业务中选择一种，如果周经理每个月的通话时间都在100分钟以上，那么选择________种业务合算．

【答案】甲．
【分析】根据函数图象可以分别求得甲、乙两种业务对应的函数解析式，从而可以求得两种花费相同情况时的时刻，然后再根据函数图象即可解答本题．
【详解】设乙种业务对应的函数解析式为y＝kx，
则50k＝10，得k＝0.2，
即乙种业务对应的函数解析式为y＝0.2x，
设甲种业务对应的函数解析式为y＝ax＋b，
解得
即甲种业务对应的函数解析式为y＝0.1x＋10，
∴令0.2x＝0.1x＋10，得x＝100，
即当通话时间为100分钟时两种业务花费一样多，
由图象可知，当通话时间在100分钟以上，甲种业务比较合算，故答案为甲．
【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，熟练掌握一次函数是解题的关键.
10．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）中秋将至，某公司为员工准备了五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼，已知五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的单价之和为22元，其中云腿月饼的单价为10元．计划购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的数量总共不超过200个．其中云腿月饼购买50个，五仁月饼的数量不多于莲蓉蛋黄月饼数量的一半，但至少购买30个．但在做计划时，将五仁月饼和莲蓉蛋黄月饼的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比计划多了80元．若五仁月饼和莲蓉蛋黄月饼的单价均为整数，则实际购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的总费用最多需要花费___________元．
【答案】
【分析】设购买五仁月饼个，莲蓉蛋黄月饼个，五仁月饼的单价为元，依据实际购买总费用比预算多了80元列出方程，化简得出，根据题中不等关系得到的值，由购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的数量总共不超过200个及之间的关系，可得一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解．
【详解】解：设购买五仁月饼个，莲蓉蛋黄月饼个，五仁月饼的单价为元，
则莲蓉蛋黄月饼的单价为元，
依题意可得：
化简可得：
由题意可得：，则，即
∴
又∵均为正整数
∴，即
∵
∴
当时，，，
∴
∴
购买五仁月饼、莲蓉蛋黄月饼和云腿月饼的总费用为元
当时，费用最多，为元，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11．（2022秋·八年级课时练习）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①表示产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的关系，图②表示一件产品的销售利润z（单位，元）与时间t（单位：天）的关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列正确结论的序号是_______．
①第24天的销售量为200件；
②第10天销售一件产品的利润是15元；
③第12天与第30天这两天的日销售利润相等；
④第30天的日销售利润是750元．

【答案】①②④
【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】解：①根据图①可得第24天的销售量为200件，故①正确；
②设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：

解得：，
∴z=-x+25，
当x=10时，z=-10+25=15，
故②正确；
③当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，
把（0，100），（24，200）代入得：
，
解得：，
∴y=x+100，
当t=12时，y=150，z=-12+25=13，
∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元），
750≠1950，故③错误；
④由③第39天的日销售利润为750（元），故正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
12．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽与桥长均为，在距离点的处，测得桥面到桥拱的距离为，以桥拱顶点为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为的支柱、、，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为，下面结论正确的是______填写正确结论序号．
①图抛物线型拱桥的函数表达式．
②图右边钢缆抛物线的函数表达式．
③图左边钢缆抛物线的函数表达式．
④图在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是．

【答案】①②③④
【分析】①利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；②由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式；③用与②相同的方法即可求出函数解析式；④彩带的长度为，利用，由函数的性质即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知点的坐标为，
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：，
将代入有：，
解得，
，故正确；
由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，可设其表达式为，
将代入其表达式有：，
解得，
右边钢缆所在抛物线表达式为：，故正确；
同理可知，正确；
设彩带的长度为，
则．
，
当时，最小，最小值为．故正确．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解决此类型题一般先根据题意设出适当的二次函数表达式（一般式、顶点式或交点式），再结合实际和二次函数的图象与性质进行求解．
13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）小林家的洗手台上有一瓶洗手液（如图1所示）．如图2所示，当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口流出路线呈抛物线经过与两点．瓶子上部分是由和组成的，其圆心分别为，，下部分是矩形，，，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且，，三点共线．若手心距的水平距离为去接洗手液，则手心距水平台面的高度为________．

【答案】11
【分析】根据题意得出各点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式，进而求解即可得．
【详解】解：如图：过作于点，

由题意得：，
，
，即为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过三点，
∴，解得，
抛物线的解析式为，
手心距的水平距离为去接洗手液，
点的横坐标为，
当时，，
，
手心距水平台面的高度为，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握所学的知识，正确求出抛物线的解析式是解题关键．
14．（2023春·九年级单元测试）某市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月，（按天计）的第天（为正整数）的销售价格（元/千克）关于的函数关系式为，销售量y（千克）与之间的关系如图所示．

（1）求与之间的函数关系式为___________；
（2）若该农产品当月的销售额最大，最大销售额是___________．（销售额=销售量×销售价格）
【答案】         
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到销售额与之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．
【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为，
将点，代入，得：，
解得：，
∴此时与的函数关系式为；
当时，设与的函数关系式为，
将点，代入，得：，
解得：，
∴此时与的函数关系式为，
综上可知，与的函数关系式为．
故答案为：；
（2）设当月第天的销售额为元，
当时，，
当时，取得最大值，此时；
当时，，
当时，取得最大值，此时．
综上可知，当时，取得最大值，此时．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出函数关系式．
15．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市第十一中学校考阶段练习）某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图1、图2所示（图1、图2中的图象分别是线段和抛物线，其中点P是抛物线的顶点）.在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____ ，此时每千克的收益是_________    

【答案】     9时     元
【分析】根据两个函数图象分别求出两个函数解析式，再根据收益=售价-成本列出二次函数即可求解．
【详解】解：设图1中交易时间y1与每千克售价x1的函数关系式为：
y1=kx1+b，
将（5，10）（6，8）代入解得k=-2，b=20，
所以y1=-2x1+20
设每千克成本y2与交易时间x2的函数关系式为：
y2=a（x2-10）2+3
将（6，7）代入，解得解得a=
所以y2=（x2-10）2+3=x22-5x2+28
设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为w元，
根据题意，得y2=x22-5x2+28=（-2x1+20）2-5（-2x1+20）+28
=x12-10x1+28
w=x1-y2
=x1-（x12-10x1+28）
=-x12+11x1-28

当x1=时，y1=-11+20=9，
w取得最大值，最大值为．
答：在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻为9时，
此时每千克的收益是元．
故答案为：9时，元．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，解题的关键是:观察函数图象根据点的坐标，利用待定系数法求出关于x的函数关系式.
16．（2022秋·四川达州·九年级校联考期末）为了满足社区居民强身健体的需要，政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经过考察了解，飞跃公司有A，B两种型号的健身器材可供选择，已知飞跃公司2020年每套A型健身器材的售价为2.5万元，2020年每套B型健身器材的售价为2万元，2022年每套A型健身器材售价为1.6万元，每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同．
(1)求2020年到2022年每套A型健身器材年平均下降率；
(2)2022年政府经过招标，决定年内采购并安装飞跃公司A，B两种型号的健身器材共80套，政府采购专项经费总计不超过115.2万元，并且采购A型器材费用不能少于B型器材的费用，请求出所需经费最少的采购方案．
【答案】(1)每套A型健身器材年平均下降率为
(2)购买型器材44套，则购买型器材36套

【分析】（1）设每套A型健身器材年平均下降率为，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可；
（2）设购买型器材套，则购买型器材套，根据题意，列出不等式组，求出正整数解，得到采购方案，设所需经费为，列出与的一次函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设每套A型健身器材年平均下降率为，由题意，得：
，
解得：（不合题意，舍掉）；
∴每套A型健身器材年平均下降率为；
（2）解：∵每套A型，B型健身器材的年平均下降率相同，
∴2022年每套B型健身器材售价为：万元，
设购买型器材套，则购买型器材套，由题意，得：
，解得：，
∵为正整数，
∴的值为：，
设所需经费为，
则：，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，所需经费最小，
∴所需经费最少的采购方案为：购买型器材44套，则购买型器材36套．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的的应用以及利用一次函数解决方案选择问题．解题的关键是根据题意，正确的列出方程，不等式组，以及函数解析式．
17．（2022秋·河南漯河·九年级统考期中）为提高市民就餐质量，某快餐店试销一种套餐后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本），若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日纯收入．（日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出）
(1)填空：
①当时，y与x的函数关系式是_______________；
②当时，y与x的函数关系式是_______________．
(2)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？
【答案】(1)①；②
(2)每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元

【分析】（1）①利用日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出得出函数关系式即可；②利用日纯收入每天的销售额套餐成本每天固定支出得出函数关系式即可．
（2）根据（1）中y与x的函数关系式，结合一次函数和二次函数的性质即可得到每份套餐的售价应定为多少元，并且此时日纯收入的钱数可计算得出．
【详解】（1）解：①当时，y与x的函数关系式是
，
故答案为：；
②当时，y与x的函数关系式是
；
故答案为：
（2）解：当时，．
此时y随x的增大而增大，
∴当时，元，销量为400份，
当时，．
∴当时，y取得最大值，
∵x为正整数，
∴当时，，销量为：320份，
当时，，销量为，280份．
∵要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入，
∴每份套餐的售价应定为12元，日纯收入为1640元．
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用以及分段函数的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
18．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升水面的宽是．

(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)在正常水位时，有一艘宽、高的小船，它能通过这座桥吗？
(3)现有一艘以每小时的速度向此桥径直驶来，当船距此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位在处时，将禁止船只通行．如果该船按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？
【答案】(1)
(2)在正常水位时，此船能通过这座桥
(3)能

【分析】（1）先设抛物线的解析式为：，再找出点B、D的坐标，代入解析式后可求解．
（2）求出时y的值，比较即可得到答案；
（3）求出船到桥的时间，再求出水位上升的高度即可判断．
【详解】（1）设所求抛物线的解析式为：，
由，可设，
由，水位上升就达到，
则，
把D、B的坐标分别代入得：
，
解得，
∴此抛物线的函数表达式是．
（2）∵船宽，在桥下正中间行驶，
∴船左右两侧各宽出中心线，即船身最右侧点横坐标为4，
当时，，
∵点A、B的纵坐标为，
∴，
∴在正常水位时，此船能通过这座桥；
（3）船行驶的时间是小时，
水位上涨了，与之间相距，
∵，
∴如果该船按原来的速度行驶，能安全通过此桥．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是学会利用待定系数法构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决实际问题，是中考常考题型．
19．（2022秋·安徽合肥·九年级期末）小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）
销售量m（千克）
销售单价n（元/千克）

当时，
当时，

设第x天的利润w元．
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克；
(2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】
(3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．
【答案】(1)第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克
(2)第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元
(3)

【分析】(1)分别在当时，把代入和当时，把代入可得到所求；
(2)分别根据二次函数性质和反比例函数性质，计算当时和当时的最值即可；
(3)列出表示利润的二次函数，根据二次项系数小于0，前8天每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大，据此求得a的取值范围．
【详解】（1）解：当时，把代入，
得，
解得，
当时，把代入，
得，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：第天或第天该品种草莓的销售单价为元/千克；
（2）解：当时，，
，
当时，有最大值为元；
当时，，
，当时，随x的增大而减小，
当时，有最大值为元，
答：第天或第天获得的利润最大，最大利润均为元；
（3）解：
，
前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，，
该抛物线的对称轴为直线，
解得，
又，
的取值范围为．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，最值和实际应用，同时也考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用二次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．
20．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即），平台AB距地面18米，以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：．

(1)求滑道对应的函数表达式；
(2)当，时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
(3)在试跳中，运动员从A处飞出，运动员飞出的路径近似看作函数图像的一部分，着陆时水平距离为米，求.
【答案】(1)；
(2)运动员此时没有落在滑道上；计算见解析
(3)

【分析】（1）将A代入中，求出c的值即可得到滑道对应的函数表达式.
（2）当，时求出h和l,则可求出M点的坐标为，把代入求出y的值，比较y与12 的大小即可判断运动员此时是否已落在滑道上.
（3）将 与 联立，求出两个交点的横坐标，这两个交点的横坐标之差即为着陆时水平距离为.
【详解】（1）解：由题意，点A的坐标为，且点A在滑道所在的抛物线上，
将，代入，得：，
解得：，
因此滑道对应的函数表达式为：；
（2）解：当，时，，，
当时，，，
因此运动员此时没有落在滑道上；
（3）解：将 与 联立，
得：，化简得：，解得：，，
可知；
【点睛】本题考查了利用二次函数解决实际问题.解题的关键是要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.