湖南省郴州市多校2023届高三下学期第三次联考数学试卷（含答案）

这是一份湖南省郴州市多校2023届高三下学期第三次联考数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省郴州市多校2023届高三下学期第三次联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、若（其中i为虚数单位），则在复平面上所对应的点在(   )A.第一象限    B.第二象限 C.第三象限     D.第四象限2、已知集合，则(   )A.     B.     C.     D.3、已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前n项和为(   )A.      B. C.      D.4、篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为(   )A.     B.     C.     D.5、已知圆台的上､下底面圆半径分别为10和5，侧面积为，AB为圆台的一条母线（点B在圆台的上底面圆周上），M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆台侧面一周爬行到点M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为(   )A.30     B.40     C.50     D.60
6、设，,则a,b,c的大小关系为(   )A.      B.C.      D.7、已知椭圆的两个焦点为，过作直线与椭圆相交于A,B两点，若且，则椭圆的C的离心率为(   )A.     B.     C.     D.8、已知函数，实数m,n满足不等式，则下列不等式成立的是(   )A.      B.C.      D.二、多项选择题9、给出下列命题，其中正确的是(   )A.对于独立性检验的值越大，说明两事件相关程度越大.B.若随机变量，则C.若，则D.已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为10、已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段AB的中点为P，下列说法正确的是(   )A.若，则直线AB的倾斜角为B.C.若抛物线上存在一点，到焦点F的距离等于4，则抛物线的方程为D.若点F到抛物线准线的距离为2，则的最小值为11、设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(   )A.的图象关于点对称B.在上有且只有5个极值点C.在上单调递增D.的取值范围是12、已知正四棱柱中，,E为的中点，P为棱上的动点，平面过B,E,P三点，下面说法正确的是：(   ) A.平面平面B.平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C.当P与A重合时，平面截此四棱柱的外接球所得的截面面积为D.存在点P，使得AD与平面所成角的大小为三、填空题13、若的展开式中的系数为3，则__________.14、已知点，若过点的直线m交圆于A,B两点，则的最小值为__________.15、已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________.16、设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为__________.四、解答题17、在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知（1）求角C.（2）的角平分线交AB于点D，且，求的最小值.18、如图，在三棱锥中，侧面底面ABC,,是边长为2的正三角形，,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线l.（1）证明：直线平面PAC.（2）若Q在直线l上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.19、“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值，而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为.现有如下问题：小明想买一座公寓有如下两个方案方案一：一次性付全款25万元；方案二：分期付款，每年初付款3万元，第十年年初付完；（1）已知一年期存款的年利率为，试讨论两种方案哪一种更好？（2）若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，参照第（1））问中的存款年利率，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.（精确到百元）参考数据：20、已知椭圆方程为，过椭圆的的焦点,分别做x轴的垂线与椭圆交于四点，依次连接这四个点所得的四边形恰好为正方形.（1）求该椭圆的离心率.（2）若椭圆的顶点恰好是双曲线焦点，椭圆的焦点恰好是双曲线顶点，设椭圆的焦点，双曲线的焦点,,A为与的一个公共点，记，，求的值.21、chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取<prompt，answer>数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：，其中，且.第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.参考数据：,,（1）若已知某单个样本，其真实分布，其预测近似分布，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.（2）绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某n阶变量的绝对值误差，，其中，N表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵，其真实分布是现已知其预测分布为，求证：该变量的绝对值误差MAE为定值.（3）在测试chatGPT时，如果输人问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.22、已知函数,（1）若,在区间上恒成立，求实数t的取值范围；（2）若函数和有公切线，求实数a的取值范围.
参考答案1、答案：D解析：因为,所以, 则,故 在复平面上所对应的点在第四象限,故选: D2、答案：B解析：解因为，所以.故选：B.3、答案：C解析：，, ,故选: C.4、答案：D解析：由题意可知每位队员把球传给其他 4 人的概 率都为,由甲开始传球, 则前 3 次传球中, 乙恰好有 1 次 接到球的情况可分为:只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只 在第三次接到球, 则概率为 故选: D.5、答案：C解析： 圆台上底面半径为 5 , 下底面半径为 10 , 母线长为l, 所以, 解得:, 将圆台所在的圆锥展开如图所示, 且设扇形的圆心为 0 .线段 就是蚂蚊经过的最短距离，设, 圆心角是, 则由题意知 ①, ②, 由①②解得, ，,，, 则.故选: C.6、答案：D解析：因为，,令, 则,再令, 则, 所以当 时, 即 在 上单调递增,所以当 时, 所以, 所以,即 在 上单调递增,所以, 即, 即, 即,因为, 所以, 所以,所以, 即,所以7、答案：C解析：因为过 作直线与椭圆相交于A,B 两点, 若 且, 设 ，， ，由椭圆的定义知:, 解得:,所以，，，,所以,则, 则,8、答案：A解析：,所以函数 关于 对称,，，恒成立, 则 是增函数，由, 则 则, 得,故选: A9、答案：BCD解析：选项A, 对于独立性检验 的值越大, 说明这 两事件具有相关性的把握越大, 错误；选项B,,,正确;选项C,, 则,, 正确;选项D, 把 代入回归直线方程, 得,剔除两个样本点 和 后, 新的平均 数,,又新的回归直线的斜率为 3 , 即, 则, 解得,则新的回归方程为, 正确;故选: BCD.10、答案：BC解析：11、答案：CD解析：由题设, 在 上, 若, 所以 在 上成 5 个零点, 则, 解得, D 正确； 在 上, 由上分析知：极们点个数可能为 5 或 6 个, B错误; 且, 故不为0, A错误，在 上, 则, 故 递增, 即 在 上递增, C 正确.故选：CD12、答案：AC解析：因为，E为的中点，底面ABCD为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，即A正确；当时，画出平面与正四棱柱表面的交线围成的图形如下图：其中F在线段上，G在上BP,EG,BE,PF，可知交线围成的图形为五边形，即B错误；如图，以A为坐标原点，AD，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，,,,，设平面ABEF的法向量为，则有，令，则，则，球心O到平面ABE的距离，此正四棱柱的外接球半径为，所以截面半径，则截面积，即C正确；设，，则平面的法向量为，则，令，则，，所以，设AD与平面所成角为，则，因为在上单调递增，所以，所以不存在点P，使得AD与平面所成角的大小为，即D错误.故选：AC.13、答案：解析：由则其通项为，，,r,令, 则 ,或,,所以由于, 所以.故答案为:14、答案：解析：如图，设H为AB 的中点, 连接CH, 则,H的轨迹是以CN 为直径的圆, 其圆心为, 半径,由圆的性质可得,故答案为:.15、答案：解析：如图所示依题意得,底面ABC 的外接圆半径为,点P 到平面 ABC的距离为,所以,所以 设球 的半径为R, 所以 则, 得,设球 的半径为r, 则, 又 得 所以球 的表面积为 故答案为:.16、答案：解析：因为 通分得: 即： ； 设 ，函数 在 单调递增,恒成立，得:, 即,设 ，，易知函数在 上单调递增, 在 上单调递减故答案为: 17、答案：(1)(2)解析：（1）由正弦定理或余弦定理不难证明代入条件可得由正弦定理得.（2）因为,的平分线交AB于点D，所以，由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为.18、答案： (1)见解析(2)解析：（1）证明E,F分别是PC,PB的中点，平面AEF平面ABC，平面平面,平面平面ABC，平面平面，平面PAC.平面PAC（2）EF是的中位线，又，当时，又因为故此时以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，过点C且垂直于平面ABC的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，则，,,，,令平面PAQ的法向量为则令则令平面PQB的法向量为则令则因为，所以二面角的余弦值为.19、答案：(1)购置设备的方案较好(2)27.88解析：（1）解法1（从终值来考虑）若全款购置，则25万元10年后的价值(万元)若分期付款，每年初所付金额3万元，10年后的总价值为（万元）.因此，付全款较好.解法2（从现值来考虑）每年初付租金3万元的10年现值之和为（万元）比购置一次付款25万元多，故购置设备的方案较好.（2）由题意，设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为万元，记，则作差可得：（万元）.20、答案：(1)(2)见解析解析：（1）由题意，，又因为，故，即，解得（舍负）（2）证明：设椭圆的方程为，，由题意知双曲线的方程为.联立，的方程，解之得.不失一般性，可设A在第一象限，所以点..同理，.....同理，因为的离心率为，则.的离心率为，则.又，所以.21、答案：(1)0.356(2)(3)解析：（1）由题意该单个样本的交叉嫡损失函数：（2）根据定义该三阶变量的绝对值误差为MA（3）记事件A：chatGPT中输入的语法无错误；事件B：chatGPT中输入的语法有错误；事件C：chatGPT的回答被采纳.依题意：22、答案：(1)(2)解析：（1）由题意，当时，设，则，，令，得（舍负）在上单调递减，在上单调递增，.根据题意t的取值范围为.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，，代入得.问题转化为：关于x的方程有解，设，则函数有零点，，当时，,问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.在上单调递减，在上单调递增，的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，当时，，的最小值等价于.又函数在上单调递增，.