人教版七年级下册8.2 消元---解二元一次方程组教案设计

8．2　消元——解二元一次方程组

第1课时　代入消元法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．会用代入法解二元一次方程组．

2．初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”．

【过程与方法】

通过探索代入法的过程，培养学生观察、思考、归纳的能力，积累数学探究活动的经验．

【情感态度与价值观】

通过探究二元一次方程组一般解法的过程，感受数学活动充满创造性，激发学生的学习兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程组．

【教学难点】

理解代入消元法解方程组的过程．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P91～P93的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．

2．代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

3．教材P91“思考”答案：

解：把方程组中第一个方程变形为y＝10－x，代入第二个方程，将y消去后，二元一次方程组就转化成一元一次方程了．

4．教材P93“思考”答案：

解：可以．解法如下：

由①，得x＝y.③

把③代入②，得200y＋250y＝22 500 000，

解得y＝50 000.

把y＝50 000代入③，得x＝20 000.

所以这个方程组的解为

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】用代入法解下列方程组：

(1)

(2)

【互动探索】(引发学生思考)对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知，应将方程②变形为x＝1－5y，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般选取绝对值最小的变形，即方程③，得x＝.

【解答】(1)由②，得x＝1－5y.③

把③代入①，得2(1－5y)＋3y＝－19，

即2－10y＋3y＝－19，解得y＝3.

把y＝3代入③，得x＝－14.

所以原方程组的解是

(2)将原方程组整理，得

由③，得x＝.⑤

把⑤代入④，得2(3y＋1)－3y＝－5，

解得y＝－.

把y＝－代入⑤，得x＝－3.

所以原方程组的解是

【互动总结】(学生总结，老师点评)用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

(1)变形：用含一个未知数的式子表示另一个未知数，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)的形式；

(2)代入：把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程；

(3)求解：解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值；

(4)回代：把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；

(5)写：把两个未知数的值用大括号联立起来，表示为的形式．

【例2】(教材P92例2)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？

【互动探索】(引发学生思考)问题中包含两个条件：大瓶数∶小瓶数＝2∶5，大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量．

【解答】设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶．

根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的相等关系，得

由①，得y＝x.③

把③代入②，得500x＋250×x＝22 500 000.

解这个方程，得x＝20 000.

把x＝20 000代入③，得y＝50 000，

所以这个方程组的解是

故这些消毒液应该分装20 000大瓶和50 000小瓶．

【互动总结】(学生总结，老师点评)上面解方程组的过程可以用下面的框图表示：

这个框图以用代入法解一个具体的二元一次方程组的过程为例，展示了代入法的解题步骤，以及各步骤的作用．它可以作为代入法解二元一次方程组的一般步骤的典型．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．二元一次方程组的解是(　B　)

A.　 B．

C.　 D．

2．已知a3xby与－a2ybx＋1是同类项，则(　D　)

A.　 B．

C.　 D．

3．已知是二元一次方程组的解，则a－b的值为－1　.

4．用代入法解下列方程组：

(1)　(2)

解：(1)

由②，得x＝4＋2y.③

把③代入①，得4(4＋2y)＋3y＝5.

解这个方程，得y＝－1.

把y＝－1代入③，得x＝2.

所以原方程组的解是

(2)

把①代入②，得3y＝8－2(3y－5)．

解这个方程，得y＝2.

把y＝2代入①，得x＝1.

所以原方程组的解是

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2018＋2019的值．

【互动探索】由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解是方程②的解，同样是方程①的解，从而代入求得a、b的值，进而解决问题．

【解答】把代入②，得－12＋b＝－2，

所以b＝10.

把代入①，得5a＋20＝15，

所以a＝－1，

所以a2018＋2019＝(－1)2018＋2019＝1－1＝0.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　加减消元法

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．体会加减消元法形成的思路．

2．掌握用加减消元法解二元一次方程组．

【过程与方法】

经历二元一次方程组一般解法的探究过程，理解加减消元法在解方程组中的作用，学会根据方程组的特点选择合理的思考方向进行新知识探索．

【情感态度与价值观】

通过寻求解决问题的方法，体会加减消元法形成的思路，初步形成用便捷的消元法来解题，体验“化归”的思想．

二、重难点目标

【教学重点】

了解加减消元法的一般步骤，会用加减消元法解二元一次方程组．

【教学难点】

会正确用加减消元法解二元一次方程组．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P94～P97的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法．

2．运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加；若系数既不相等，也不互为相反数，则运用等式的性质将同一个未知数的系数化为相等或互为相反数．

3．教材P97页“思考”答案：

解：(1)的解是

的解是

(2)设鸡有x只，兔有y只．

由题意，得

②－①×2，得2y＝24，所以y＝12.

把y＝12代入①，得x＋12＝35，所以x＝23，

所以方程组的解为

即鸡有23只，兔有12只．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】用加减消元法解下列方程组：

(1)

(2)

【互动探索】(引发学生思考)(1)观察x、y的两组系数，x的系数的最小公倍数是12，y的系数的最小公倍数是6，所以选择消去y；(2)先化简方程组，得观察其系数，方程④中x的系数恰好是方程③中x的系数的2倍，所以应选择消去x.

【解答】(1)①×2，得8x＋6y＝6.③

②×3，得9x－6y＝45.④

③＋④，得17x＝51，解得x＝3.

把x＝3代入①，得4×3＋3y＝3，解得y＝－3.

所以原方程组的解是

(2)化简方程组，得

③×2，得4x＋6y＝28.⑤

⑤－④，得11y＝22，即y＝2.

把y＝2代入④，得4x－5×2＝6，解得x＝4.

所以原方程组的解是

【互动总结】(学生总结，老师点评)用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：

(1)变形：根据绝对值较小的未知数(同一个未知数)的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边，使两个方程中某一个未知数的绝对值相等；

(2)加减：当未知数的系数相等时，将两个方程相减；当未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；

(3)求解：解消元后得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；

(4)回代：把求得的未知数的值代入方程组中的某个较简单的方程中，求出另一个未知数的值；

(5)写解：把两个未知数的值用大括号联立起来．

【例2】(教材P95例4)2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？

问题一：题目中存在的等量关系：

(1)2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割小麦3.6 hm2；

(2)3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h共收割小麦8 hm2.

问题二：若设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x hm2、y hm2，那么2台大收割机和5台小收割机同时工作1 h共收割小麦1.8hm2,3台大收割机和2台小收割机同时工作1 h共收割小麦1.6hm2.

问题三：根据题目中的等量关系，可列方程组为：

问题四：解上面的方程组，得

活动2　巩固练习(学生独学)

1．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　D　)

A．要消去y，可以将①×5＋②×2

B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)

C．要消去y，可以将①×5＋②×3

D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2

2．用加减消元法解下列方程组：

(1)　(2)

解：(1)

②－①，得x＝3.

把x＝3代入①，得3＋y＝5，即y＝2.

所以原方程组的解是

(2)

①×2，得2x－8y＝－2.③

②－③，得9y＝18，即y＝2.

把y＝2代入②，得2x＋2＝16，解得x＝7.

所以原方程组的解是

3．已知x、y满足方程组求代数式x－y的值．

解：

②－①，得2x－2y＝－1－5，

所以x－y＝－3.

4．某项球类比赛，每场比赛必须分出胜负，其中胜1场得2分，负1场得1分．某队在全部16场比赛中得到25分，求这个队胜、负场数分别是多少？

解：设该队胜x场，负y场．

根据题意，得解得

即这个队胜9场，负7场．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】若二元一次方程组的解互为相反数，求k的值．

【互动探索】本题中，若想求得方程组中的字母参数k，关键是得到关于k的方程，这个方程怎样得到呢？这就要利用方程组的解互为相反数．

【解答】(方法一)

①－②×2，得7y＝－3k－5，解得y＝－.

把y＝－代入②，得x＋2×＝2k＋1，解得x＝.

因为方程组的解互为相反数，

所以－＝0，解得k＝.

(方法二)因为原方程组的解互为相反数，

所以x＋y＝0，即x＝－y.

将x＝－y代入原方程组，得

所以－3k＋9＝2k＋1，解得k＝.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是利用方程组的解互为相反数得到关于k的一元一次方程．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！