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2023年吉林省长春市中考数学一模试卷
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这是一份2023年吉林省长春市中考数学一模试卷，共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体是( )
A. 圆锥
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 圆柱
2. 据国家统计局官网发布的“中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报”显示，我国企业研发投入继续保持两位数增长，2022年全年研究与试验发展(R&D)经费支出30870亿元，比上年增长10.4%，将30870用科学记数法表示应为( )
A. 3.087×103 B. 3.087×104 C. 0.3087×105 D. 30.87×103
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. a−b>0 C. −a>b D. a>−b
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC=36°，则∠DOE的度数为( )
A. 36° B. 54° C. 64° D. 144°
5. 不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚棋子，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 49
6. 如图，要把角钢(1)变成夹角是90°的钢架(2)，则在角钢(1)上截去的缺口的度数为( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
7. 若关于x的一元二次方程x2−4x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<4 B. m<−4 C. m>4 D. m>−4
8. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，沿着水平面继续滚动一段距离后停止.在这个过程中，小球的运动速度v(单位：m/s)与运动时间t(单位：s)的函数图象如图2所示，则该小球的运动路程y(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
10. 古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，1元=129600年，其中129600用科学记数法表示为( )
A. 1.296×104 B. 12.96×104 C. 1.296×106 D. 1.296×105
11. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约59000000000千克，这个数据用科学记数法表示为( )
A. 0.59×1011千克 B. 59×109千克 C. 5.9×109千克 D. 5.9×1010千克
12. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是( )
A. − 3 B. − 2 C. 2 D. 5
13. 某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售.春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为( )
A. 2000−1600−x1600≥20% B. 2000−1600−x1600≤20%
C. 2000−1600−x2000≥20% D. 2000−1600−x2000≤20%
14. 如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆，若a=4，b=1时，则剩下的铁皮的面积为(π取3)( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 12
15. 在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )
A. B. C. D.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=2 x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB//x轴，BD⊥x轴与反比例函数y=2x的图象交于点C，与x轴交于点D，若BC=2CD，则k的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共14小题，共34.0分）
17. 若 x−6在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
18. 分解因式：a2b−4ab+4b=______．
19. 方程2x−1x−5=12的解为______ ．
20. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1)，B(4,y2)在反比例函数y=m−1x(m>1)的图象上，则y1 ______ y2(填“>”“=”或“<”)．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E.若AC=2，BC=3，则△ABD的周长是______ ．
22. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC=140°，则∠D的度数为______ ．
23. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者出生年份分布扇形图和1990年后出生的互联网行业从业者岗位分布条形图．
根据该统计结果，估计1990年后出生的互联网行业从业者中，从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是______ .(精确到1%)
24. 某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案______ ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是______ ．
25. 因式分解：a2−2ab= ．
26. 若关于x的不等式ax>b的解集是x<25，则关于x的不等式(a−2b)x+a≥0的解集是 ．
27. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤(注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语).这个问题中共有 两银子．
28. 已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______．
29. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12(x−3)2+m与y=23(x+2)2+n的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线.分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则BC的值为______ ．
三、解答题（本大题共22小题，共146.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
31. (本小题5.0分)
计算：|−3|−6tan30°+ 12−( 3−2)0．
32. (本小题5.0分)
解不等式：x−x+12<1−x−34，并把它的解集在数轴上表示出来．
33. (本小题5.0分)
已知x2−2x−1=0，求代数式(x+2)(x−2)+x(x−4)的值．
34. (本小题5.0分)
在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线AD有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C．
法一
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．
法二
证明：如图，取BC的中点D，连接AD．
35. (本小题6.0分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若OF=OA，求证：四边形AECF是矩形．
36. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,1)，(0,−1)，且与x轴交于点A．
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>12时，对于x的每一个值，函数y=−x+n的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
37. (本小题6.0分)
北京市共青团团委为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，鼓励学生积极参加志愿活动.为了解九年级未入团学生参加志愿活动的情况，从A、B两所学校九年级未入团学生中，各随机抽取20名学生，在“志愿北京APP”上查到了他们参加志愿活动的时长.部分数据如下：
a.两校志愿活动时长(小时)如下：
A校：
17ㅤ39ㅤ39ㅤ2ㅤ35ㅤ28ㅤ26ㅤ48ㅤ39ㅤ19
46ㅤ7ㅤ17ㅤ13ㅤ48ㅤ27ㅤ32ㅤ33ㅤ32ㅤ44
B校：
30ㅤ21ㅤ31ㅤ42ㅤ25ㅤ18ㅤ26ㅤ35ㅤ30ㅤ28
12ㅤ40ㅤ30ㅤ29ㅤ33ㅤ46ㅤ39ㅤ16ㅤ33ㅤ27
b.两校志愿活动时长频数分布直方图(数据分成5组：0≤x<10，10≤x<20，20≤x<30，30≤x<40，40≤x<50)：
c.两校志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下：
学校
平均数
众数
中位数
A校
29.55
m
32
B校
29.55
30
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全A校志愿活动时长频数分布直方图；
(2)直接写出表中m，n的值；
(3)根据北京市共青团团委要求，“志愿北京APP”上参加志愿活动时长不够20小时不能提出入团申请，若B校九年级未入团学生有180人，从志愿活动时长的角度看，估计B校有资格提出入团申请的人数．
38. (本小题6.0分)
如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，点C在⊙O上，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且CE=CF．
(1)求证：CF是⊙O的切线：
(2)若CF=1，∠BAF=60°，求BE的长．
39. (本小题5.0分)
铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x(单位：m)，竖直高度为y(单位：m).由电子监测获得的部分数据如下：
水平距离x/m
0
3
6
9
12
15
18
…
竖直高度y/m
2.00
4.25
5.60
6.05
5.60
4.25
2.00
…
(1)根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；
(2)请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
(3)请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
40. (本小题6.0分)
已知：抛物线y=ax2−4ax−3(a>0)．
(1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；
(2)已知点A(n,y1)，B(n+1,y2)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若|y2−y1|≤4，求a的取值范围．
41. (本小题7.0分)
已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB边上，点A关于直线CD的对称点为E，射线BE交直线CD于点F，连接AF．
(1)设∠ACD=α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；
(2)用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．
42. (本小题7.0分)
给出如下定义：对于线段PQ，以点P为中心，把点Q逆时针旋转60°得到点R，点R叫做线段PQ关于点P的“完美点”．
例如等边△ABC中，点C就是线段AB关于点A的“完美点”．
在平面直角坐标系xOy中．
(1)已知点A(0,2)，在A1( 3,1)，A2(− 3,1)，A3(1, 3)，A4(1,− 3)中，______ 是线段OA关于点O的“完美点”；
(2)直线y=x+4上存在线段BB′，若点B′恰好是线段BO关于点B的“完美点”，求线段BB′的长；
(3)若OC=4，OE=2，点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”.当线段DF分别取得最大值和最小值时，直接写出线段CE的长．
43. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a+2)(a−2)+a(1−a)，其中a=2023．
44. (本小题8.0分)
某师范类高校计划选派学生到山区进行支教工作，甲、乙、丙、丁4名学生积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.学校决定用随机抽取的方式确定人选.若从这4名学生中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名学生都是共产党员的概率．
45. (本小题6.0分)
小吉和小林进行跳绳比赛.已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等.求小林每分钟跳绳的个数．
46. (本小题8.0分)
如图，在△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，∠CAB=∠CED=30°，连接AE交BD点M，将△CDE绕点C顺时针旋转．
(1)如图1，当点E在边AC上，点D在BC上时，请直接写出AE与BD之间的关系：
(2)如图2，将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断AEBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，将△CDE绕点C在平面内旋转，AE，BD所在直线交于点M.若CE= 3，CB= 7，请直接写出当点E与点M重合时AE的长．
47. (本小题7.0分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为1线段AB的端点均在格点上．
(1)在图中画出等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，则△ABC面积为______．
(2)在图中找一点D，并连结AD、BD，使△ABD的面积为134.(要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不写作法)
48. (本小题8.0分)
某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
(1)A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中______(填“A”或“B”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
(2)根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
1
1
8
5
1
2
1
这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个；
(3)若以(2)中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
49. (本小题8.0分)
周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习.在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s(米)与时间t(秒)的函数图象如图所示．
(1)父亲的速度为 米/秒，儿子的速度为 米/秒；
(2)当200≤t≤300时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
(3)若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为 ．
50. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=2，AB=5，BC=3．
(1)如图①，P为AB上的一个动点，以PD，PC为边作▱PCQD．
①请问四边形PCQD能否成为矩形？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
②填空：当AP=______时，四边形PCQD为菱形；
③填空：当AP=______时，四边形PCQD有四条对称轴．
(2)如图②，若P为AB上的一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
51. (本小题10.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位的速度向终点B运动，连接PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t(秒)．
(1)线段AB的长是______ ；
(2)连结BD，则线段BD的最小值是______ ，最大值是______ ；
(3)当点D落在△ABC的内部时，求t的取值范围______ ；
(4)当直线PD与△ABC的一边垂直时，求出t的值．
52. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+ax与x轴交于点A(3,0)，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点P不与点O、A重合时，连结OP、AP．
①直接写出△OAP的面积随m增大而增大时m的取值范围．
②当∠OPA=90°时，求m的值．
(3)点P关于直线x=−2m+1的对称点为点Q，当m<13时，连结PQ，以PQ为边向下作正方形PQMN，若抛物线与正方形PQMN有3个公共点，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
2.【答案】B
【解析】解：将30870用科学记数法表示应为3.087×104，
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵−3
∴A不正确．
B、∵a
∴B不正确．
C、∵−3
∴−a
D、∵3
∴D正确．
故选：D．
利用相反数表示出−a和−b，根据数的比较的方法判断即可．
本题考查了用数轴表示点、相反数、数的比较，灵活的判断和比较是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°．
又∵∠AOC=36°，
∴∠DOE=180°−∠AOE−∠AOC=54°．
故选：B．
根据垂直的定义，由OE⊥AB，得∠AOE=90°.由∠AOC=36°，得∠DOE=180°−∠AOE−∠AOC=54°．
本题主要邻补角、垂直，熟练掌握邻补角的定义、垂直的定义是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：画出树状图如下，可见，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是26=13．
故选：A．
根据本题意，画出树状图即可解答．
本题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
6.【答案】B
【解析】解：因为缺口角加90°，在截取之前的角是平角180°，
所以在角钢(1)上截去的缺口的度数为180°−90°=90°．
故选：B．
因为在截取之前的角是平角180°，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是90°，所以缺口角易求．
本题考查了角的计算，截取弯成后的角与缺口角是互补的，理解这个问题是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4×1×(−m)>0，
解得m>−4．
故选：D．
根据判别式的意义得到Δ=22−4×1×3m>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：由题意小球在左侧斜坡上时，v=kt(k>0)，
∴y=kt+02⋅t=12kt2，
∴小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象开口向上；
小球在水平直线上滚动时，v=at+b(a<0,b>0)，
∴y=at+b+02⋅t=12at2+12bt，
∴小球匀变速直线运动，运动的路程y是t的二次函数，图象开口向下．
故选：C．
根据小球运动时的速度v与时间t图象设出函数解析式，再根据运动的路程=速度×时间分别列出函数解析式判断即可．
本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，C符合题意．
故选：C．
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：将129600用科学记数法表示应为1.296×105．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】D
【解析】解：59000000000=5.9×1010．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】C
【解析】解：根据图示，数轴上的点P表示的数比1大且比2小，
∵− 3<1，
∴选项A不符合题意；
∵− 2<1，
∴选项B不符合题意；
∵1< 2<2，
∴选项C符合题意；
∵ 5>2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
根据图示，数轴上的点P表示的数比1大且比2小，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数与数轴上的点的一一对应关系，以及无理数的特征和判断，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
13.【答案】A
【解析】解：根据题意得2000−1600−x1600≥20%．
故选：A．
利用利润率=销售利润进价，结合利润率不低于20%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：根据题意，得：
剩下的铁皮的面积=长方形的面积−圆的面积
=2ab−πb2
=2×4×1−3×1
=5．
故选：A．
根据题意剩下的铁皮的面积为长方形的面积减去圆的面积即可求解．
本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是列代数式．
15.【答案】C
【解析】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA=∠BDC=90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：设点C的坐标为(a,2a)，
∵BD⊥x轴，
∴CD=2a，
∵BC=2CD，
∴BC=4a，
∴BD=CD+BC=6a，
∴B(a,6a)，
∵点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴6a=ka，
∴k=6．
故选：C．
设点C的坐标为(a,2a)，则CD=2a，BC=4a，BD=6a，进而得到B(a,6a)，将其代入反比例函数y=kx中即可求解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式．
17.【答案】x≥6
【解析】解：由题意可得x−6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)是解题关键．
18.【答案】b(a−2)2
【解析】解：a2b−4ab+4b=b(a2−4a+4)=b(a−2)2
考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
19.【答案】x=−1
【解析】解：2x−1x−5=12，
2(2x−1)=x−5，
解得：x=−1，
检验：当x=−1时，2(x−5)≠0，
∴x=−1是原方程的根，
故答案为：x=−1．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
20.【答案】>
【解析】解：∵m>1，
∴m−1>0，
∴反比例函数y=m−1x(m>1)的图象在一、三象限，
∵4>2>0，
∴点A(2,y1)，B(4,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21.【答案】5
【解析】解：∵AC垂直平分线DE分别交BC，CA于点D、E，
∴AD=DC，
∴AD+BD=DC+BD=BC=3，
∵AB=AC=2，
∴△ABD周长=AB+BD+AD=AB+BC=2+3=5．
故答案为：5．
由AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E，易得△ABD的周长=AB+BC．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】20°
【解析】解：∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=40°，
∴∠D=12∠BOC=20°，
故答案为：20°．
先利用平角定义求出∠BOC的度数，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23.【答案】22%
【解析】解：由图得，整个互联网行业从业者中1990年后占56%，
∵1990年后出生的互联网行业从业者中从事技术岗位的人数占39.6%，
∴56%×39.6%≈22%，
∴从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是22%．
故答案为：22%．
将相关的两个百分比相乘即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，解题关键是百分比的含义．
24.【答案】二人间3间、三人间1间、四人间4间(答案不唯一) 二人间3间、三人间1间、四人间4间
【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
2x+3y+4z=25x+y+z=8，
解得：y+2z=9，
y=9−2z，
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=7，x=0(不符合题意，舍去)，
当z=2时，y=5，x=1；
当z=3时，y=3，x=2；
当z=4时，y=1，x=3；
∴租房方案有3种．
方案①：二人间1间、三人间5间、四人间2间；
方案②：二人间2间、三人间3间、四人间3间；
方案③：二人间3间、三人间1间、四人间4间．
∵方案①：300+5×360+2×400=2900(元)；
方案②：2×300+3×360+3×400=2880(元)；
方案③：3×300+360+4×400=2860(元)；
∵2860<2880<2900，
∴最优惠的住宿方案是：二人间3间、三人间1间、四人间4间，
故答案为：二人间3间、三人间1间、四人间4间(答案不唯一)，二人间3间、三人间1间、四人间4间．
首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组，解方程组可得y+2z=8，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
25.【答案】a(a−2b)
【解析】解：a2−2ab=a(a−2b)．
故答案为：a(a−2b)．
运用提公因式法进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
26.【答案】x≤−5
【解析】解：∵关于x的不等式ax>b的解集是x<25，
∴a<0，且ba=25，即b=25a，
则不等式(a−2b)x+a≥0可变形为15ax+a≥0，
移项，得：15ax≥−a，
系数化为1，得：x≤−5，
故答案为：x≤−5．
由关于x的不等式ax>b的解集是x<25知a<0，且ba=25，即b=25a，据此将不等式(a−2b)x+a≥0变形为15ax+a≥0，再移项、系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
27.【答案】46
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元一次方程的应用，利用银不变得出等量关系是解题关键．
根据题意利用银不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可．
【解答】
解：设总共有x个人，
根据题意得：7x+4=9x−8，
解得x=6，
7x+4=46．
故答案为：46．
28.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式Δ=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】
解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×k=0，
解得：k=1．
故答案为1．
29.【答案】289
【解析】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE=OD=3=AC+BC−BA2，
∴AC+BC−AB=6，
∴AC+BC=AB+6，
∴(AC+BC)2=(AB+6)2，
∴BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36，
而BC2+AC2=AB2，
∴2BC·AC=12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴(BC−AC)2=49，
∴BC2+AC2−2BC·AC=49②，
把①代人②中得
AB2−12AB−85=0，
∴(AB−17)(AB+5)=0，
∴AB=17(负值舍去)，
∴大正方形的面积为289．
故答案为：289．
如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC=AB+6，(BC−AC)2=49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
30.【答案】10
【解析】解：抛物线y=−12(x−3)2+m与y=23(x+2)2+n的对称轴分别为直线x=3与直线x=−2，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为−5，
∴BC=10，
故答案为：10．
由两抛物线的解析式确定出两抛物线对称轴，利用对称性确定出B与C的横坐标，进而即可求出BC的长．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
31.【答案】解：原式=3−6× 33+2 3−1
=3−2 3+2 3−1
=2．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
32.【答案】解：x−x+12<1−x−34，
去分母得：4x−2(x+1)<4−(x−3)，
去括号得：4x−2x−2<4−x+3，
移项合并得：3x<9，
系数化为1得：x<3．
在数轴上表示为：
【解析】根据去分母，去括号，移项并合并同类项，系数化为1的步骤计算即可．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
33.【答案】解：原式=x2−4+x2−4x，
=2x2−4x−4，
∵x−2x−1=0，
∴x−2x=1，
∴原式=2x−4x−4，
=2(x2−2x)−4
=2×1−4
=−2．
【解析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
34.【答案】方法一：
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D，
则∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C；
方法二：
证明：如图，取BC的中点D，连接AD，
则BD=CD，
在△BAD和△CAD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△BAD≌△CAD(SSS)，
∴∠B=∠C．
【解析】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D，证△BAD≌△CAD(SAS)，即可得出结论；
方法二：取BC的中点D，连接AD，证△BAD≌△CAD(SSS)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
35.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OF=12EF，OA=12AC，
∵OF=OA，
∴EF=AC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质证出EF=AC，根据矩形的判定可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
36.【答案】解：(1)∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,1)，(0,−1)，
∴k+b=1b=−1，
∴k=2b=−1，
∴一次函数的表达式为y=2x−1；
(2)如图，把x=12代入y=2x−1得y=12×2−1=0，
把点(12,0)代入y=−x+n得，0=−12+n，
∴n=12，
当x>12时，对于x的每一个值，函数y=−x+n的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，则n的取值范围是n≤12．
【解析】(1)把点(1,1)，(0,−1)代入y=kx+b得到方程组，解方程组即可得到结论；
(2)求得x=12时，函数y=2x−1的对应值，代入y=−x+n求得n的值，即可求得n的取值范围．
题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
37.【答案】解：(1)A校活动时长频数在10≤x<20组的有4人，活动时长频数在30≤x<40组的有7人，
补全A校志愿活动时长频数分布直方图如图所示，
(2)由c表格可知，m=39，n=(30+30)÷2=30，
∴m=39，n=30；
(3)180×1720=153(人)，
答：估计B校有资格提出入团申请的人数为153人．
【解析】(1)根据题意求得在10≤x<20组，在30≤x<40组的人数，补全A校志愿活动时长频数分布直方图即可；
(2)根据众数和中位数的定义即可得到结论；
(3)根据活动时长够20小时的人数占总人数的百分比乘以180，即可得到结论．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
38.【答案】解(1)连接OC、AC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，且CE=CF，
∴OC是∠EAF的平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC//AF，
∴∠OCF=90°，
∵OC是⊙O半径，
∴CF是⊙O的切线．
(2)∵∠BAF=60°，
∴∠2=30°，
∵CF=1，
∴CE=1，
∴AE=CE⋅tan30°= 3，
∵∠COE=2∠2=60°，
OC=CEsin60∘=2 33，
∴AB=4 33，
∴BE=AB−AE=4 33− 3= 33．
答：BE的长 33．
【解析】(1)根据CE=CF证出OC是∠EAF的平分线，再利用平行证出∠OCF=90°即可．
(2)利用三角函数求出OC和AE，再用AB−AE即可．
本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点，计算的准确性是解题关键．
39.【答案】解：(1)铅球竖直高度的最大值为6.05m，
根据表中数据可知，二次函数图象的顶点是(9,6.05)，
∴函数关系式为y=a(x−9)2+6.05，
∵二次函数图象过点(0,2)，
∴2=a(0−9)2+6.05，
解得：a=−120，
∴函数关系式为y=−120(x−9)2+6.05；
(2)函数图象如图：
(3)根据函数图象可知，本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为20m；
令y=0得：0=−120(x−9)2+6.05，
解得：x=20或x=−2(舍去)，
∴本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为20m．
【解析】(1)根据表格数据即可铅球竖直高度的最大值，则可得函数关系式为y=a(x−9)2+6.05，将(0,2)代入函数关系式中求出a值即可；
(2)根据表格数据，描点，连线即可画出函数图象；
(2)根据函数图象即可得到结果，或令y=0，求出x即可得到结果．
本题主要考查二次函数的应用，熟知二次函数顶点式的特征，并会利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
40.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，
∴抛物线与y轴交点坐标为(0,−3)，
对称轴x=−−4a2a=2；
(2)∵点A(n,y1)，B(n+1,y2)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，
∴y1=an2−4an−3，y2=a(n+1)2−4a(n+1)−3=an2−2an−3a−3，
∵|y2−y1|≤4，
∴|2an−3a|≤4，
①当点A、B在对称轴的右侧时，n≥2，
∴2an−3a≤4，
解得a≤4，
∵a>0，
∴0
解得n≤1，
∴−2an+3a≤4，
解得a≤4，
∵a>0，
∴0
(2)根据点A(n,y1)，B(n+1,y2)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，可得y1=an2−4an−3，y2=a(n+1)2−4a(n+1)−3=an2−2an−3a−3，根据|y2−y1|≤4，可得|2an−3a|≤4，①当点A、B在对称轴的右侧时，②当点A、B在对称轴的左侧时，分别求解a的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
41.【答案】解：(1)∵点A、E关于直线CD对称，
∴∠ACF=∠ECF=α，AC=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACB−∠ACF−∠ECF=90°−α−α=90°−2α，
∵AC=BC，
∴BC=CE，
∴∠CBF=∠CEB=12(180°−∠BCE)=12×(180°−90°+2α)=45°+α，
∴∠CFB=∠CEB−∠ECF=45°+α−α=45°；
(2)线段AF、CF、BF之间的数量关系为：AF+BF= 2CF，证明如下：
如图，过点C作MC⊥CF交FA延长线于点M，
∵点A、E关于直线CD对称，
∴∠AFC=∠CFE=45°，
∵MC⊥CF，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴∠M=∠AFC=45°，CM=CF，
∴∠M=∠CFB，
∵∠ACB=∠MCF=90°，
∴∠MCA=∠BCF，
在△MCA和△FCB中，
∠M=∠CFB∠MCA=∠FCBAC=BC，
∴△MCA≌△FCB(AAS)，
∴MA=BF，
∴MF=AF+MA=AF+BF，
∵△CFM是等腰直角三角形，
∴MF= 2CF，
∴AF+BF= 2CF．
【解析】(1)由轴对称的性质得∠ACF=∠ECF=α，AC=CE，再由直角三角形的性质得∠BCE=90°−2α，进而证BC=CE，则∠CBF=∠CEB=45°+α，即可解决问题；
(2)过点C作MC⊥CF交FA延长线于点M，证△CFM是等腰直角三角形，得∠M=∠AFC=45°，CM=CF，再证△MCA≌△FCB(AAS)，得MA=BF，则MF=AF+MA=AF+BF，然后由等腰直角三角形的性质得MF= 2CF，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
42.【答案】A2
【解析】解：(1)如图：
由图可知，将A(0,2)绕点O逆时针旋转60°可得A2，
∴A2是线段OA关于点O的“完美点”；
故答案为：A2；
(2)设直线y=x+4交x轴于T，交y轴于K，过O作OM⊥BB′于M，如图：
在y=x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=−4，
∴K(0,4)，T(−4,0)，
∴OK=OT=4，
∴△KOT是等腰直角三角形，
∴KT= 2OK=4 2，
∴OM=2 2，
∵点B′是线段BO关于点B的“完美点”，
∴∠OBB′=60°，OB=B′B，
∴∠BOM=30°，△BOB′是等边三角形，
∴B′M=BM=OM 3=2 63，
∴BB′=4 63；
(3)∵点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”，
∴∠DOC=60°，OD=OC，∠OEF=60°，OE=FE，
∴△DOC，△FEO都是等边三角形，
∴OD=OC=4，OF=OE=2，
当F在DO的延长线上时，DF最大为OD+OF=4+2=6，过E作ER⊥OC于R，如图：
∵∠EOR=180°−∠EOF−∠DOC=60°，OE=2，
∴OR=12OE=1，RE= 3OR= 3，
∴CR=OC−OR=4−1=3，
∴CE= RE2+CR2= ( 3)2+32=2 3；
当F在线段OD上时，DF最小为OD−OF=4−2=2，过E作ES⊥OC交CO延长线于S，如图：
∵∠EOS=180°−∠EOF−∠DOC=60°，OE=2，
∴OS=1，ES= 3，
∴CS=OS+OC=5，
∴CE= ES2+CS2=2 7；
∴DF最大时，CE=2 3，DF最小时，CE=2 7．
(1)画出图形，根据“完美点“定义可得答案；
(2)设直线y=x+4交x轴于T，交y轴于K，过O作OM⊥BB′于M，在y=x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=−4，得K(0,4)，T(−4,0)，△KOT是等腰直角三角形，即可得OM=2 2，根据点B′是线段BO关于点B的“完美点”，可得∠BOM=30°，△BOB′是等边三角形，故B′M=BM=OM 3=2 63，从而BB′=4 63；
(3)由点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”，得△DOC，△FEO都是等边三角形，OD=OC=4，OF=OE=2，当F在DO的延长线上时，DF最大，过E作ER⊥OC于R，可求得CE= RE2+CR2=2 3；当F在线段OD上时，DF最小，过E作ES⊥OC交CO延长线于S，同理可得CE= ES2+CS2=2 7．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，旋转变换，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是读懂“完美点“定义，作辅助线，构造直角三角形解决问题．
43.【答案】解：原式=a2−4+a−a2
=a−4，
当a=2023时，
原式=2023−4
=2019．
【解析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
44.【答案】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中被抽到的两名学生都是共产党员的结果有：(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，乙)，(丙，丁)，(丁，乙)，(丁，丙)，共6种，
∴被抽到的两名学生都是共产党员的概率为612=12．
【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和被抽到的两名学生都是共产党员的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
45.【答案】解：设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳(x+18)个，
根据题意列方程，得135x+18=120x，
即135x=120(x+18)，
解得x=144，
经检验x=144是原方程的解，
答：小林每分钟跳绳144个．
【解析】设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳(x+18)个，根据时间相等列方程求解即可．
本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
46.【答案】解：(1)如图1中，结论：AE= 3BD.理由如下：
∵在△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，∠CAB=∠CED=30°，
∴EC= 3CD，AC= 3BC，
∴AE=AC−EC= 3(BC−CD)= 3BD．
(2)结论：如图2中，AEBD= 3，∠AMB=90°，
理由是：
Rt△ECD中，∠DEC=30°，∠DCE=90°，
∴ECCD=tan30°= 33，
同理得：CBCA=tan30°= 33，
∴ECCD=CBCA
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE∽△BCD，
∴AEBD=ECCD= 3，∠EAC=∠DBC，
在△AMB中，∠AMB=180°−(∠MAB+∠ABM)=180°−(∠CAB+∠ABM+∠DBC)=90°．
(3)①点E与点M重合时，如图3，同理得：△ACE∽△BCD，
∴∠AMB=90°，AEBD= 3，
设BD=x，则AE= 3x，
Rt△ECD中，∠CED=30°，CE= 3，
∴CD=1，DE=2，BE=x−2，
Rt△ACB中，∠CAB=30°，CB= 7，
∴AB=2CB=2 7，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
( 3x)2+(x−2)2=(2 7)2，
x2−x−6=0，
(x−3)(x+2)=0，
x1=3，x2=−2，
∴AE=3 3；
②点E与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，
AEBD= 3，设BD=x，则AE= 3x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
( 3x)2+(x+2)2=(2 7)2
x2+x−6=0，
(x+3)(x−2)=0，
x1=−3，x2=2，
∴AE=2 3；
综上所述，AE的长为3 3或2 3．
【解析】(1)如图1中，结论：AE= 3BD.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
(2)结论：如图2中，AEBD= 3，∠AMB=90°，证明△ACE∽△BCD即可解决问题．
(3)分两种情形：①点E与点M重合时，如图3.②点E与点M重合时，如图4，分别利用参数构建方程解决问题即可．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△ACE∽△BCD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
47.【答案】(1)132；
(2)点D在直线l上即可，答案不唯一．
【解析】
【分析】此题主要考查了作图−应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
(1)作出格点直角三角形，再根据三角形面积公式计算即可求解；
(2)作出与AB距离 132的平行线，找到格点，再连结即可求解．
【解答】解：(1)如图所示：
△ABC面积= 22+32× 22+32÷2=132；
故答案为：132．
(2)见答案．
48.【答案】解：(1)B ；
(2)7，5；
(3)600×320=90(人)，
答：校初一有90名男生不能达到合格标准．
【解析】
【分析】
本题主要考查统计相关知识，熟练掌握加权平均数的计算，中位数的定义，用样本估计总体的思想是解决本题的关键．
(1)根据抽样调查的特点解答即可；
(2)根据平均数计算公式和中位数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体的思想解答即可．
【解答】
解：(1)从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：B；
(2)这组测试成绩的平均数为：120×(2×1+3×1+4×1+5×8+7×5+13×1+14×2+15×1)=7(个)，
中位数为：5(个)，
故答案为：7，5；
(3)见答案．
49.【答案】103 2 8
【解析】解：(1)由图形可知，父亲的速度为2×200120=103(米/秒)，
儿子的速度为200100=2(米/秒)．
故答案为：103，2；
(2)当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y=kt+b，
把(200,200)和(300,0)代入解析式得：200t+b=200300t+b=0，
解得t=−2b=600，
∴当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y=−2t+600；
(3)∵父亲的速度为103米/秒，儿子的速度为2米/秒，
∴10分钟父子所走路程和为10×60×(103+2)=3200(米)，
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200×2+200=600(米)，
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400×2+200=1000(米)，
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600×2+200=1400(米)，
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为200(n−1)×2+200=(400n−200)米，
令400n−200=3200，
解得n=8.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为8，
故答案为：8．
(1)根据图象直接求出父亲和儿子的速度；
(2)根据图象中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
(3)根据父子二人的速度，即可得10分钟二人所走路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所走路程之和(400n−200)米，列方程求出n的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和(400n−200)米．
50.【答案】3 3
【解析】解：(1)①四边形PCQD能成为矩形，AP的长为2或3，理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，假设四边形PCQD是矩形，
则∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
在△ADP中，∠A=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴ADBP=APBC，
∵AD=2，AB=5，BC=3，
设AP=x，则BP=5−x，
∴25−x=x3，
解得：x1=2，x2=3，
∴当AP的长为2或3时，四边形PCQD是矩形；
②四边形PCQD为菱形时，DP=CP，
∵∠A=∠B=90°，
∴AD2+AP2=BC2+BP2，
即22+AP2=32+(5−AP)2，
解得：AP=3，
故答案为：3；
③当四边形PCQD为正方形时，有四条对称轴，
∵同时满足①②的四边形PCQD为正方形，
∴AP=3，
故答案为：3；
(2)存在，理由如下：
过Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，如图②所示：
∵∠B=90°，
∴AB//QH，
∴∠APQ=∠HQP，
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD//QC，PD=QC，
∴∠DPQ=∠CQP，
∴∠APD=∠CQH，
在△ADP和△HCQ中，
∠A=∠H∠APD=∠HQCPD=QC，
∴△ADP≌△HCQ(AAS)，
∴AD=CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，
此时，PQ=BH=5，
∴PQ的长存在最小值，为5．
(1)①证△APD∽△BCP，得ADBP=APBC，设AP=x，则BP=5−x，得25−x=x3，求解即可；
②四边形PCQD为菱形时，则DP=CP，由勾股定理得AD2+AP2=BC2+BP2，即22+AP2=32+(5−AP)2，求解即可；
③四边形PCQD是正方形时，满足条件，即可求解；
(2)过Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，证△ADP≌△HCQ(AAS)，进而求得BH的长，即可求得答案．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质、菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题综合性强，证明△APD∽△BCP和△ADP≌△HCQ是解题的关键，属于中考常考题目．
51.【答案】5 1 5 925
故答案为：5；
(2)如图1，∵点A与点D关于PC的对称，
∴AC=CD=3，
∴点D的运动轨迹是以点C为圆心，AC为半径的半圆，
∴当B，C，D共线，BD最小，其最小值是4−3=1，
当点P在点A处时，D与A重合，此时BD的值最大，最大值是5；
故答案为：1，5；
(3)如图2，当点D落在AB上时，CP⊥AB．
∵∠A=∠A，∠CPA=∠ACB=90°，
∴△APC∽△ACB，
∴APAC=ACAB，
∴AP3=35，
∴AP=95，
∴t=AP5=925；
如图3中，当点D落在BC上时，∠ACP=∠PCB=45°．
过点P作PT⊥AC于点T.则CT=PT，
设CT=PT=x，
∵PT//CB，
∴△APT∽△ABC，
∴PTBC=ATAC，
∴x4=3−x3，
∴x=127，
∴AP= AT2+PT2= (3−127)2+(127)2=157，
∴t=AP5=37，
观察图象可知，满足条件的t的值为：925
(4)如图4中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R．
则CJ⊥AB，CR=CJ=3×45=125，
∴AR=AC−CR=3−125=35，
∵cosA=ACAB=ARAP，
∴35=35AP，
∴AP=1，
此时t=15；
如图5中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，此时AP=AC=3，t=35，
如图6中，当PD⊥AB时，过点C作CH⊥AB于点H．
∵∠CPH=∠CPD=45°，
∴PH=CH=125，
cosA=AHAC=35，
∵AH=35AC=95，
∴AP=AH+PH=95+125=215，
∴t=215÷5=2125，
综上所述，满足条件的t的值为15或35或2125．
(1)利用勾股定理求解；
(2)先确定点D的运动轨迹：以点C为圆心，AC为半径的半圆，当B，C，D共线，BD最小，当点P在点A处时，D与A重合，此时BD的值最大，从而可得答案；
(3)分别求出点D落在AB，落在BC上的时间，可得结论；
(4)分三种情形：如图4中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R.如图5中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，如图6中，当PD⊥AB时，过点C作CH⊥AB于点H.分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，三角形相似的性质和判定，动点运动问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
52.【答案】解：(1)将点A(3,0)代入y=x2+ax，
∴9+3a=0，
解得a=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−3x；
(2)①∵点P的横坐标为m，
∴P(m,m2−3m)，
∴S△OAP=12×3×(m2−3m)=−32(m−32)2+278，
∴当m≤32且m≠0时，△OAP的面积随m增大而增大；
②∵∠OPA=90°，
∴P点在以OA为直径的圆上，
∴ (m−32)2+(m2−3m)2=94，
解得m=3± 132；
(3)∵P、Q关于直线x=−2m+1对称，
∴Q(−5m+2,m2−3m)，
∴PQ=−6m+2，
∵PQMN是正方形，
∴M(−5m+2,m2+3m−2)，N(m,m2+3m−2)，
当M点在抛物线上时，m2+3m−2=(−5m+2)2−3(−5m+2)，
解得m=0或m=13，
∵m<13，
∴m=0；
当MN经过抛物线的顶点(32,−94)时，−94=m2+3m−2，
解得m=−3+2 22或m=−3−2 22；
综上所述：m的值为0或−3+2 22或−3−2 22．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)①根据三角形面积公式可得S△OAP=12×3×(m2−3m)=−32(m−32)2+278，再结合二次函数的图象及性质即可求解；
②由题意可知P点在以OA为直径的圆上，则有方程 (m−32)2+(m2−3m)2=94，解得m=3± 132；
(3)分别求出Q(−5m+2,m2−3m)，M(−5m+2,m2+3m−2)，N(m,m2+3m−2)，当M点在抛物线上时，m2+3m−2=(−5m+2)2−3(−5m+2)，解得m=0；当MN经过抛物线的顶点(32,−94)时，−94=m2+3m−2，解得m=−3+2 22或m=−3−2 22．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，正方形的性质是解题的关键．
2023年吉林省长春市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体是( )
A. 圆锥
B. 长方体
C. 三棱柱
D. 圆柱
2. 据国家统计局官网发布的“中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报”显示，我国企业研发投入继续保持两位数增长，2022年全年研究与试验发展(R&D)经费支出30870亿元，比上年增长10.4%，将30870用科学记数法表示应为( )
A. 3.087×103 B. 3.087×104 C. 0.3087×105 D. 30.87×103
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. a>−2 B. a−b>0 C. −a>b D. a>−b
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠AOC=36°，则∠DOE的度数为( )
A. 36° B. 54° C. 64° D. 144°
5. 不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的，从中随机同时摸出两枚棋子，则摸出的两枚棋子颜色相同的概率是( )
A. 13 B. 12 C. 23 D. 49
6. 如图，要把角钢(1)变成夹角是90°的钢架(2)，则在角钢(1)上截去的缺口的度数为( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
7. 若关于x的一元二次方程x2−4x−m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<4 B. m<−4 C. m>4 D. m>−4
8. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，沿着水平面继续滚动一段距离后停止.在这个过程中，小球的运动速度v(单位：m/s)与运动时间t(单位：s)的函数图象如图2所示，则该小球的运动路程y(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
10. 古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，1元=129600年，其中129600用科学记数法表示为( )
A. 1.296×104 B. 12.96×104 C. 1.296×106 D. 1.296×105
11. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，据统计全国每年浪费食物总量约59000000000千克，这个数据用科学记数法表示为( )
A. 0.59×1011千克 B. 59×109千克 C. 5.9×109千克 D. 5.9×1010千克
12. 如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是( )
A. − 3 B. − 2 C. 2 D. 5
13. 某品牌净水器的进价为1600元，商店以2000元的价格出售.春节期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该净水器最多可降价多少元？若设净水器可降价x元，则可列不等式为( )
A. 2000−1600−x1600≥20% B. 2000−1600−x1600≤20%
C. 2000−1600−x2000≥20% D. 2000−1600−x2000≤20%
14. 如图，在一块长为a，宽为2b的长方形铁皮中，以2b为直径分别剪掉两个半圆，若a=4，b=1时，则剩下的铁皮的面积为(π取3)( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 12
15. 在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是( )
A. B. C. D.
16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=2 x(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB//x轴，BD⊥x轴与反比例函数y=2x的图象交于点C，与x轴交于点D，若BC=2CD，则k的值为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共14小题，共34.0分）
17. 若 x−6在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
18. 分解因式：a2b−4ab+4b=______．
19. 方程2x−1x−5=12的解为______ ．
20. 在平面直角坐标系xOy中，若点A(2,y1)，B(4,y2)在反比例函数y=m−1x(m>1)的图象上，则y1 ______ y2(填“>”“=”或“<”)．
21. 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E.若AC=2，BC=3，则△ABD的周长是______ ．
22. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠AOC=140°，则∠D的度数为______ ．
23. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者出生年份分布扇形图和1990年后出生的互联网行业从业者岗位分布条形图．
根据该统计结果，估计1990年后出生的互联网行业从业者中，从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是______ .(精确到1%)
24. 某京郊民宿有二人间、三人间、四人间三种客房供游客住宿，某旅游团有25位女士游客准备同时住这三种客房共8间，如果每间客房都要住满，请写出一种住宿方案______ ；如果二人间、三人间、四人间三种客房的收费标准分别为300元/间、360元/间、400元/间，则最优惠的住宿方案是______ ．
25. 因式分解：a2−2ab= ．
26. 若关于x的不等式ax>b的解集是x<25，则关于x的不等式(a−2b)x+a≥0的解集是 ．
27. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤(注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语).这个问题中共有 两银子．
28. 已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______．
29. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．
30. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12(x−3)2+m与y=23(x+2)2+n的一个交点为A.已知点A的横坐标为1，过点A作x轴的平行线.分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则BC的值为______ ．
三、解答题（本大题共22小题，共146.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
31. (本小题5.0分)
计算：|−3|−6tan30°+ 12−( 3−2)0．
32. (本小题5.0分)
解不等式：x−x+12<1−x−34，并把它的解集在数轴上表示出来．
33. (本小题5.0分)
已知x2−2x−1=0，求代数式(x+2)(x−2)+x(x−4)的值．
34. (本小题5.0分)
在证明“等腰三角形的两个底角相等”这个性质定理时，添加的辅助线AD有以下两种不同的叙述方法，请选择其中一种完成证明．
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C．
法一
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D．
法二
证明：如图，取BC的中点D，连接AD．
35. (本小题6.0分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若OF=OA，求证：四边形AECF是矩形．
36. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,1)，(0,−1)，且与x轴交于点A．
(1)求该函数的解析式及点A的坐标；
(2)当x>12时，对于x的每一个值，函数y=−x+n的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围．
37. (本小题6.0分)
北京市共青团团委为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，鼓励学生积极参加志愿活动.为了解九年级未入团学生参加志愿活动的情况，从A、B两所学校九年级未入团学生中，各随机抽取20名学生，在“志愿北京APP”上查到了他们参加志愿活动的时长.部分数据如下：
a.两校志愿活动时长(小时)如下：
A校：
17ㅤ39ㅤ39ㅤ2ㅤ35ㅤ28ㅤ26ㅤ48ㅤ39ㅤ19
46ㅤ7ㅤ17ㅤ13ㅤ48ㅤ27ㅤ32ㅤ33ㅤ32ㅤ44
B校：
30ㅤ21ㅤ31ㅤ42ㅤ25ㅤ18ㅤ26ㅤ35ㅤ30ㅤ28
12ㅤ40ㅤ30ㅤ29ㅤ33ㅤ46ㅤ39ㅤ16ㅤ33ㅤ27
b.两校志愿活动时长频数分布直方图(数据分成5组：0≤x<10，10≤x<20，20≤x<30，30≤x<40，40≤x<50)：
c.两校志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下：
学校
平均数
众数
中位数
A校
29.55
m
32
B校
29.55
30
n
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全A校志愿活动时长频数分布直方图；
(2)直接写出表中m，n的值；
(3)根据北京市共青团团委要求，“志愿北京APP”上参加志愿活动时长不够20小时不能提出入团申请，若B校九年级未入团学生有180人，从志愿活动时长的角度看，估计B校有资格提出入团申请的人数．
38. (本小题6.0分)
如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，点C在⊙O上，CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，且CE=CF．
(1)求证：CF是⊙O的切线：
(2)若CF=1，∠BAF=60°，求BE的长．
39. (本小题5.0分)
铅球运动员在比赛时，铅球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分.在某次比赛的一次投掷过程中，铅球被掷出后，设铅球距运动员出手点的水平距离为x(单位：m)，竖直高度为y(单位：m).由电子监测获得的部分数据如下：
水平距离x/m
0
3
6
9
12
15
18
…
竖直高度y/m
2.00
4.25
5.60
6.05
5.60
4.25
2.00
…
(1)根据上述数据，直接写出铅球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；
(2)请你建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出y与x的函数图象；
(3)请你结合所画图象或所求函数关系式，直接写出本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离．
40. (本小题6.0分)
已知：抛物线y=ax2−4ax−3(a>0)．
(1)求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；
(2)已知点A(n,y1)，B(n+1,y2)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧.若|y2−y1|≤4，求a的取值范围．
41. (本小题7.0分)
已知：如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB边上，点A关于直线CD的对称点为E，射线BE交直线CD于点F，连接AF．
(1)设∠ACD=α，用含α的代数式表示∠CBF的大小，并求∠CFB的度数；
(2)用等式表示线段AF，CF，BF之间的数量关系，并证明．
42. (本小题7.0分)
给出如下定义：对于线段PQ，以点P为中心，把点Q逆时针旋转60°得到点R，点R叫做线段PQ关于点P的“完美点”．
例如等边△ABC中，点C就是线段AB关于点A的“完美点”．
在平面直角坐标系xOy中．
(1)已知点A(0,2)，在A1( 3,1)，A2(− 3,1)，A3(1, 3)，A4(1,− 3)中，______ 是线段OA关于点O的“完美点”；
(2)直线y=x+4上存在线段BB′，若点B′恰好是线段BO关于点B的“完美点”，求线段BB′的长；
(3)若OC=4，OE=2，点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”.当线段DF分别取得最大值和最小值时，直接写出线段CE的长．
43. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(a+2)(a−2)+a(1−a)，其中a=2023．
44. (本小题8.0分)
某师范类高校计划选派学生到山区进行支教工作，甲、乙、丙、丁4名学生积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.学校决定用随机抽取的方式确定人选.若从这4名学生中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名学生都是共产党员的概率．
45. (本小题6.0分)
小吉和小林进行跳绳比赛.已知小吉每分钟比小林多跳18个，小吉跳135个所用的时间与小林跳120个所用的时间相等.求小林每分钟跳绳的个数．
46. (本小题8.0分)
如图，在△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，∠CAB=∠CED=30°，连接AE交BD点M，将△CDE绕点C顺时针旋转．
(1)如图1，当点E在边AC上，点D在BC上时，请直接写出AE与BD之间的关系：
(2)如图2，将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断AEBD的值及∠AMB的度数，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，将△CDE绕点C在平面内旋转，AE，BD所在直线交于点M.若CE= 3，CB= 7，请直接写出当点E与点M重合时AE的长．
47. (本小题7.0分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长均为1线段AB的端点均在格点上．
(1)在图中画出等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，则△ABC面积为______．
(2)在图中找一点D，并连结AD、BD，使△ABD的面积为134.(要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不写作法)
48. (本小题8.0分)
某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．
(1)A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中______(填“A”或“B”)调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；
(2)根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：
成绩/个
2
3
4
5
7
13
14
15
人数/人
1
1
1
8
5
1
2
1
这组测试成绩的平均数为______个，中位数为______个；
(3)若以(2)中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．
49. (本小题8.0分)
周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开始匀速往返练习.在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s(米)与时间t(秒)的函数图象如图所示．
(1)父亲的速度为 米/秒，儿子的速度为 米/秒；
(2)当200≤t≤300时，求儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式；
(3)若不计转向时间，按照这一速度练习10分钟，父子迎面相遇的次数为 ．
50. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=2，AB=5，BC=3．
(1)如图①，P为AB上的一个动点，以PD，PC为边作▱PCQD．
①请问四边形PCQD能否成为矩形？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
②填空：当AP=______时，四边形PCQD为菱形；
③填空：当AP=______时，四边形PCQD有四条对称轴．
(2)如图②，若P为AB上的一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
51. (本小题10.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.动点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个单位的速度向终点B运动，连接PC，作点A关于PC的对称点D，连结CD、DP，设点P的运动时间为t(秒)．
(1)线段AB的长是______ ；
(2)连结BD，则线段BD的最小值是______ ，最大值是______ ；
(3)当点D落在△ABC的内部时，求t的取值范围______ ；
(4)当直线PD与△ABC的一边垂直时，求出t的值．
52. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+ax与x轴交于点A(3,0)，点P在抛物线上，且点P的横坐标为m．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点P不与点O、A重合时，连结OP、AP．
①直接写出△OAP的面积随m增大而增大时m的取值范围．
②当∠OPA=90°时，求m的值．
(3)点P关于直线x=−2m+1的对称点为点Q，当m<13时，连结PQ，以PQ为边向下作正方形PQMN，若抛物线与正方形PQMN有3个公共点，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选：D．
由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
2.【答案】B
【解析】解：将30870用科学记数法表示应为3.087×104，
故选：B．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵−3
∴A不正确．
B、∵a
∴B不正确．
C、∵−3
∴−a
D、∵3
∴D正确．
故选：D．
利用相反数表示出−a和−b，根据数的比较的方法判断即可．
本题考查了用数轴表示点、相反数、数的比较，灵活的判断和比较是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°．
又∵∠AOC=36°，
∴∠DOE=180°−∠AOE−∠AOC=54°．
故选：B．
根据垂直的定义，由OE⊥AB，得∠AOE=90°.由∠AOC=36°，得∠DOE=180°−∠AOE−∠AOC=54°．
本题主要邻补角、垂直，熟练掌握邻补角的定义、垂直的定义是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：画出树状图如下，可见，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是26=13．
故选：A．
根据本题意，画出树状图即可解答．
本题考查了利用树状图法求概率，要做到勿漏、勿多，同时要适时利用概率公式解答．
6.【答案】B
【解析】解：因为缺口角加90°，在截取之前的角是平角180°，
所以在角钢(1)上截去的缺口的度数为180°−90°=90°．
故选：B．
因为在截取之前的角是平角180°，截完弯折后左右两边重合，所组成的新角是90°，所以缺口角易求．
本题考查了角的计算，截取弯成后的角与缺口角是互补的，理解这个问题是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4×1×(−m)>0，
解得m>−4．
故选：D．
根据判别式的意义得到Δ=22−4×1×3m>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】C
【解析】解：由题意小球在左侧斜坡上时，v=kt(k>0)，
∴y=kt+02⋅t=12kt2，
∴小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动，运动的路程y是t的二次函数，图象开口向上；
小球在水平直线上滚动时，v=at+b(a<0,b>0)，
∴y=at+b+02⋅t=12at2+12bt，
∴小球匀变速直线运动，运动的路程y是t的二次函数，图象开口向下．
故选：C．
根据小球运动时的速度v与时间t图象设出函数解析式，再根据运动的路程=速度×时间分别列出函数解析式判断即可．
本题考查动点问题函数图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9.【答案】C
【解析】解：根据俯视图的定义，从上往下看，C符合题意．
故选：C．
根据三视图的定义解决此题．
本题主要考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：将129600用科学记数法表示应为1.296×105．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】D
【解析】解：59000000000=5.9×1010．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】C
【解析】解：根据图示，数轴上的点P表示的数比1大且比2小，
∵− 3<1，
∴选项A不符合题意；
∵− 2<1，
∴选项B不符合题意；
∵1< 2<2，
∴选项C符合题意；
∵ 5>2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
根据图示，数轴上的点P表示的数比1大且比2小，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数与数轴上的点的一一对应关系，以及无理数的特征和判断，解答此题的关键是要明确：无限不循环小数叫做无理数．
13.【答案】A
【解析】解：根据题意得2000−1600−x1600≥20%．
故选：A．
利用利润率=销售利润进价，结合利润率不低于20%，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：根据题意，得：
剩下的铁皮的面积=长方形的面积−圆的面积
=2ab−πb2
=2×4×1−3×1
=5．
故选：A．
根据题意剩下的铁皮的面积为长方形的面积减去圆的面积即可求解．
本题考查了列代数式、代数式求值，解决本题的关键是列代数式．
15.【答案】C
【解析】解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
故选：C．
如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA=∠BDC=90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：设点C的坐标为(a,2a)，
∵BD⊥x轴，
∴CD=2a，
∵BC=2CD，
∴BC=4a，
∴BD=CD+BC=6a，
∴B(a,6a)，
∵点B在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴6a=ka，
∴k=6．
故选：C．
设点C的坐标为(a,2a)，则CD=2a，BC=4a，BD=6a，进而得到B(a,6a)，将其代入反比例函数y=kx中即可求解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标一定满足该函数解析式．
17.【答案】x≥6
【解析】解：由题意可得x−6≥0，
解得x≥6，
故答案为：x≥6．
根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件(被开方数为非负数)是解题关键．
18.【答案】b(a−2)2
【解析】解：a2b−4ab+4b=b(a2−4a+4)=b(a−2)2
考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．
本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
19.【答案】x=−1
【解析】解：2x−1x−5=12，
2(2x−1)=x−5，
解得：x=−1，
检验：当x=−1时，2(x−5)≠0，
∴x=−1是原方程的根，
故答案为：x=−1．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
20.【答案】>
【解析】解：∵m>1，
∴m−1>0，
∴反比例函数y=m−1x(m>1)的图象在一、三象限，
∵4>2>0，
∴点A(2,y1)，B(4,y2)在第一象限，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>．
先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
21.【答案】5
【解析】解：∵AC垂直平分线DE分别交BC，CA于点D、E，
∴AD=DC，
∴AD+BD=DC+BD=BC=3，
∵AB=AC=2，
∴△ABD周长=AB+BD+AD=AB+BC=2+3=5．
故答案为：5．
由AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E，易得△ABD的周长=AB+BC．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】20°
【解析】解：∵∠AOC=140°，
∴∠BOC=180°−∠AOC=40°，
∴∠D=12∠BOC=20°，
故答案为：20°．
先利用平角定义求出∠BOC的度数，然后再利用圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23.【答案】22%
【解析】解：由图得，整个互联网行业从业者中1990年后占56%，
∵1990年后出生的互联网行业从业者中从事技术岗位的人数占39.6%，
∴56%×39.6%≈22%，
∴从事技术岗位的人数占行业总人数的百分比是22%．
故答案为：22%．
将相关的两个百分比相乘即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，解题关键是百分比的含义．
24.【答案】二人间3间、三人间1间、四人间4间(答案不唯一) 二人间3间、三人间1间、四人间4间
【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
2x+3y+4z=25x+y+z=8，
解得：y+2z=9，
y=9−2z，
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=7，x=0(不符合题意，舍去)，
当z=2时，y=5，x=1；
当z=3时，y=3，x=2；
当z=4时，y=1，x=3；
∴租房方案有3种．
方案①：二人间1间、三人间5间、四人间2间；
方案②：二人间2间、三人间3间、四人间3间；
方案③：二人间3间、三人间1间、四人间4间．
∵方案①：300+5×360+2×400=2900(元)；
方案②：2×300+3×360+3×400=2880(元)；
方案③：3×300+360+4×400=2860(元)；
∵2860<2880<2900，
∴最优惠的住宿方案是：二人间3间、三人间1间、四人间4间，
故答案为：二人间3间、三人间1间、四人间4间(答案不唯一)，二人间3间、三人间1间、四人间4间．
首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组，解方程组可得y+2z=8，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
25.【答案】a(a−2b)
【解析】解：a2−2ab=a(a−2b)．
故答案为：a(a−2b)．
运用提公因式法进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解决本题的关键．
26.【答案】x≤−5
【解析】解：∵关于x的不等式ax>b的解集是x<25，
∴a<0，且ba=25，即b=25a，
则不等式(a−2b)x+a≥0可变形为15ax+a≥0，
移项，得：15ax≥−a，
系数化为1，得：x≤−5，
故答案为：x≤−5．
由关于x的不等式ax>b的解集是x<25知a<0，且ba=25，即b=25a，据此将不等式(a−2b)x+a≥0变形为15ax+a≥0，再移项、系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
27.【答案】46
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元一次方程的应用，利用银不变得出等量关系是解题关键．
根据题意利用银不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可．
【解答】
解：设总共有x个人，
根据题意得：7x+4=9x−8，
解得x=6，
7x+4=46．
故答案为：46．
28.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式Δ=0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
【解答】
解：∵关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×k=0，
解得：k=1．
故答案为1．
29.【答案】289
【解析】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE=OD=3=AC+BC−BA2，
∴AC+BC−AB=6，
∴AC+BC=AB+6，
∴(AC+BC)2=(AB+6)2，
∴BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36，
而BC2+AC2=AB2，
∴2BC·AC=12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴(BC−AC)2=49，
∴BC2+AC2−2BC·AC=49②，
把①代人②中得
AB2−12AB−85=0，
∴(AB−17)(AB+5)=0，
∴AB=17(负值舍去)，
∴大正方形的面积为289．
故答案为：289．
如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC=AB+6，(BC−AC)2=49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
30.【答案】10
【解析】解：抛物线y=−12(x−3)2+m与y=23(x+2)2+n的对称轴分别为直线x=3与直线x=−2，
∵点A的横坐标为1，
∴点C的横坐标为5，点B横坐标为−5，
∴BC=10，
故答案为：10．
由两抛物线的解析式确定出两抛物线对称轴，利用对称性确定出B与C的横坐标，进而即可求出BC的长．
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
31.【答案】解：原式=3−6× 33+2 3−1
=3−2 3+2 3−1
=2．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
32.【答案】解：x−x+12<1−x−34，
去分母得：4x−2(x+1)<4−(x−3)，
去括号得：4x−2x−2<4−x+3，
移项合并得：3x<9，
系数化为1得：x<3．
在数轴上表示为：
【解析】根据去分母，去括号，移项并合并同类项，系数化为1的步骤计算即可．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
33.【答案】解：原式=x2−4+x2−4x，
=2x2−4x−4，
∵x−2x−1=0，
∴x−2x=1，
∴原式=2x−4x−4，
=2(x2−2x)−4
=2×1−4
=−2．
【解析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
34.【答案】方法一：
证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D，
则∠BAD=∠CAD，
在△BAD和△CAD中，
AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，
∴△BAD≌△CAD(SAS)，
∴∠B=∠C；
方法二：
证明：如图，取BC的中点D，连接AD，
则BD=CD，
在△BAD和△CAD中，
AB=ACAD=ADBD=CD，
∴△BAD≌△CAD(SSS)，
∴∠B=∠C．
【解析】方法一：作∠BAC的平分线交BC于点D，证△BAD≌△CAD(SAS)，即可得出结论；
方法二：取BC的中点D，连接AD，证△BAD≌△CAD(SSS)，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
35.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵BE=DF，
∴OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OF=12EF，OA=12AC，
∵OF=OA，
∴EF=AC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是矩形．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形易知OA=OC，OC=OD，再证得OE=OF，即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质证出EF=AC，根据矩形的判定可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，解题时要注意选择适宜的判定方法．
36.【答案】解：(1)∵函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,1)，(0,−1)，
∴k+b=1b=−1，
∴k=2b=−1，
∴一次函数的表达式为y=2x−1；
(2)如图，把x=12代入y=2x−1得y=12×2−1=0，
把点(12,0)代入y=−x+n得，0=−12+n，
∴n=12，
当x>12时，对于x的每一个值，函数y=−x+n的值小于函数y=kx+b(k≠0)的值，则n的取值范围是n≤12．
【解析】(1)把点(1,1)，(0,−1)代入y=kx+b得到方程组，解方程组即可得到结论；
(2)求得x=12时，函数y=2x−1的对应值，代入y=−x+n求得n的值，即可求得n的取值范围．
题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
37.【答案】解：(1)A校活动时长频数在10≤x<20组的有4人，活动时长频数在30≤x<40组的有7人，
补全A校志愿活动时长频数分布直方图如图所示，
(2)由c表格可知，m=39，n=(30+30)÷2=30，
∴m=39，n=30；
(3)180×1720=153(人)，
答：估计B校有资格提出入团申请的人数为153人．
【解析】(1)根据题意求得在10≤x<20组，在30≤x<40组的人数，补全A校志愿活动时长频数分布直方图即可；
(2)根据众数和中位数的定义即可得到结论；
(3)根据活动时长够20小时的人数占总人数的百分比乘以180，即可得到结论．
本题考查频数分布直方图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
38.【答案】解(1)连接OC、AC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，且CE=CF，
∴OC是∠EAF的平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC//AF，
∴∠OCF=90°，
∵OC是⊙O半径，
∴CF是⊙O的切线．
(2)∵∠BAF=60°，
∴∠2=30°，
∵CF=1，
∴CE=1，
∴AE=CE⋅tan30°= 3，
∵∠COE=2∠2=60°，
OC=CEsin60∘=2 33，
∴AB=4 33，
∴BE=AB−AE=4 33− 3= 33．
答：BE的长 33．
【解析】(1)根据CE=CF证出OC是∠EAF的平分线，再利用平行证出∠OCF=90°即可．
(2)利用三角函数求出OC和AE，再用AB−AE即可．
本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点，计算的准确性是解题关键．
39.【答案】解：(1)铅球竖直高度的最大值为6.05m，
根据表中数据可知，二次函数图象的顶点是(9,6.05)，
∴函数关系式为y=a(x−9)2+6.05，
∵二次函数图象过点(0,2)，
∴2=a(0−9)2+6.05，
解得：a=−120，
∴函数关系式为y=−120(x−9)2+6.05；
(2)函数图象如图：
(3)根据函数图象可知，本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为20m；
令y=0得：0=−120(x−9)2+6.05，
解得：x=20或x=−2(舍去)，
∴本次投掷后，铅球距运动员出手点的最远水平距离为20m．
【解析】(1)根据表格数据即可铅球竖直高度的最大值，则可得函数关系式为y=a(x−9)2+6.05，将(0,2)代入函数关系式中求出a值即可；
(2)根据表格数据，描点，连线即可画出函数图象；
(2)根据函数图象即可得到结果，或令y=0，求出x即可得到结果．
本题主要考查二次函数的应用，熟知二次函数顶点式的特征，并会利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．
40.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，
∴抛物线与y轴交点坐标为(0,−3)，
对称轴x=−−4a2a=2；
(2)∵点A(n,y1)，B(n+1,y2)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，
∴y1=an2−4an−3，y2=a(n+1)2−4a(n+1)−3=an2−2an−3a−3，
∵|y2−y1|≤4，
∴|2an−3a|≤4，
①当点A、B在对称轴的右侧时，n≥2，
∴2an−3a≤4，
解得a≤4，
∵a>0，
∴0
解得n≤1，
∴−2an+3a≤4，
解得a≤4，
∵a>0，
∴0
(2)根据点A(n,y1)，B(n+1,y2)在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，可得y1=an2−4an−3，y2=a(n+1)2−4a(n+1)−3=an2−2an−3a−3，根据|y2−y1|≤4，可得|2an−3a|≤4，①当点A、B在对称轴的右侧时，②当点A、B在对称轴的左侧时，分别求解a的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
41.【答案】解：(1)∵点A、E关于直线CD对称，
∴∠ACF=∠ECF=α，AC=CE，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠ACB−∠ACF−∠ECF=90°−α−α=90°−2α，
∵AC=BC，
∴BC=CE，
∴∠CBF=∠CEB=12(180°−∠BCE)=12×(180°−90°+2α)=45°+α，
∴∠CFB=∠CEB−∠ECF=45°+α−α=45°；
(2)线段AF、CF、BF之间的数量关系为：AF+BF= 2CF，证明如下：
如图，过点C作MC⊥CF交FA延长线于点M，
∵点A、E关于直线CD对称，
∴∠AFC=∠CFE=45°，
∵MC⊥CF，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴∠M=∠AFC=45°，CM=CF，
∴∠M=∠CFB，
∵∠ACB=∠MCF=90°，
∴∠MCA=∠BCF，
在△MCA和△FCB中，
∠M=∠CFB∠MCA=∠FCBAC=BC，
∴△MCA≌△FCB(AAS)，
∴MA=BF，
∴MF=AF+MA=AF+BF，
∵△CFM是等腰直角三角形，
∴MF= 2CF，
∴AF+BF= 2CF．
【解析】(1)由轴对称的性质得∠ACF=∠ECF=α，AC=CE，再由直角三角形的性质得∠BCE=90°−2α，进而证BC=CE，则∠CBF=∠CEB=45°+α，即可解决问题；
(2)过点C作MC⊥CF交FA延长线于点M，证△CFM是等腰直角三角形，得∠M=∠AFC=45°，CM=CF，再证△MCA≌△FCB(AAS)，得MA=BF，则MF=AF+MA=AF+BF，然后由等腰直角三角形的性质得MF= 2CF，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
42.【答案】A2
【解析】解：(1)如图：
由图可知，将A(0,2)绕点O逆时针旋转60°可得A2，
∴A2是线段OA关于点O的“完美点”；
故答案为：A2；
(2)设直线y=x+4交x轴于T，交y轴于K，过O作OM⊥BB′于M，如图：
在y=x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=−4，
∴K(0,4)，T(−4,0)，
∴OK=OT=4，
∴△KOT是等腰直角三角形，
∴KT= 2OK=4 2，
∴OM=2 2，
∵点B′是线段BO关于点B的“完美点”，
∴∠OBB′=60°，OB=B′B，
∴∠BOM=30°，△BOB′是等边三角形，
∴B′M=BM=OM 3=2 63，
∴BB′=4 63；
(3)∵点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”，
∴∠DOC=60°，OD=OC，∠OEF=60°，OE=FE，
∴△DOC，△FEO都是等边三角形，
∴OD=OC=4，OF=OE=2，
当F在DO的延长线上时，DF最大为OD+OF=4+2=6，过E作ER⊥OC于R，如图：
∵∠EOR=180°−∠EOF−∠DOC=60°，OE=2，
∴OR=12OE=1，RE= 3OR= 3，
∴CR=OC−OR=4−1=3，
∴CE= RE2+CR2= ( 3)2+32=2 3；
当F在线段OD上时，DF最小为OD−OF=4−2=2，过E作ES⊥OC交CO延长线于S，如图：
∵∠EOS=180°−∠EOF−∠DOC=60°，OE=2，
∴OS=1，ES= 3，
∴CS=OS+OC=5，
∴CE= ES2+CS2=2 7；
∴DF最大时，CE=2 3，DF最小时，CE=2 7．
(1)画出图形，根据“完美点“定义可得答案；
(2)设直线y=x+4交x轴于T，交y轴于K，过O作OM⊥BB′于M，在y=x+4中，令x=0得y=4，令y=0得x=−4，得K(0,4)，T(−4,0)，△KOT是等腰直角三角形，即可得OM=2 2，根据点B′是线段BO关于点B的“完美点”，可得∠BOM=30°，△BOB′是等边三角形，故B′M=BM=OM 3=2 63，从而BB′=4 63；
(3)由点D是线段OC关于点O的“完美点”，点F是线段EO关于点E的“完美点”，得△DOC，△FEO都是等边三角形，OD=OC=4，OF=OE=2，当F在DO的延长线上时，DF最大，过E作ER⊥OC于R，可求得CE= RE2+CR2=2 3；当F在线段OD上时，DF最小，过E作ES⊥OC交CO延长线于S，同理可得CE= ES2+CS2=2 7．
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，旋转变换，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是读懂“完美点“定义，作辅助线，构造直角三角形解决问题．
43.【答案】解：原式=a2−4+a−a2
=a−4，
当a=2023时，
原式=2023−4
=2019．
【解析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
44.【答案】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中被抽到的两名学生都是共产党员的结果有：(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，乙)，(丙，丁)，(丁，乙)，(丁，丙)，共6种，
∴被抽到的两名学生都是共产党员的概率为612=12．
【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和被抽到的两名学生都是共产党员的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
45.【答案】解：设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳(x+18)个，
根据题意列方程，得135x+18=120x，
即135x=120(x+18)，
解得x=144，
经检验x=144是原方程的解，
答：小林每分钟跳绳144个．
【解析】设小林每分钟跳绳x个，则小吉每分钟跳绳(x+18)个，根据时间相等列方程求解即可．
本题主要考查分式方程，根据时间相等列方程求解是解题的关键．
46.【答案】解：(1)如图1中，结论：AE= 3BD.理由如下：
∵在△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD=90°，∠CAB=∠CED=30°，
∴EC= 3CD，AC= 3BC，
∴AE=AC−EC= 3(BC−CD)= 3BD．
(2)结论：如图2中，AEBD= 3，∠AMB=90°，
理由是：
Rt△ECD中，∠DEC=30°，∠DCE=90°，
∴ECCD=tan30°= 33，
同理得：CBCA=tan30°= 33，
∴ECCD=CBCA
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE∽△BCD，
∴AEBD=ECCD= 3，∠EAC=∠DBC，
在△AMB中，∠AMB=180°−(∠MAB+∠ABM)=180°−(∠CAB+∠ABM+∠DBC)=90°．
(3)①点E与点M重合时，如图3，同理得：△ACE∽△BCD，
∴∠AMB=90°，AEBD= 3，
设BD=x，则AE= 3x，
Rt△ECD中，∠CED=30°，CE= 3，
∴CD=1，DE=2，BE=x−2，
Rt△ACB中，∠CAB=30°，CB= 7，
∴AB=2CB=2 7，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
( 3x)2+(x−2)2=(2 7)2，
x2−x−6=0，
(x−3)(x+2)=0，
x1=3，x2=−2，
∴AE=3 3；
②点E与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，
AEBD= 3，设BD=x，则AE= 3x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
( 3x)2+(x+2)2=(2 7)2
x2+x−6=0，
(x+3)(x−2)=0，
x1=−3，x2=2，
∴AE=2 3；
综上所述，AE的长为3 3或2 3．
【解析】(1)如图1中，结论：AE= 3BD.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
(2)结论：如图2中，AEBD= 3，∠AMB=90°，证明△ACE∽△BCD即可解决问题．
(3)分两种情形：①点E与点M重合时，如图3.②点E与点M重合时，如图4，分别利用参数构建方程解决问题即可．
本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出：△ACE∽△BCD，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题，本题是一道比较好的题目．
47.【答案】(1)132；
(2)点D在直线l上即可，答案不唯一．
【解析】
【分析】此题主要考查了作图−应用与设计，以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积求法是解题关键．
(1)作出格点直角三角形，再根据三角形面积公式计算即可求解；
(2)作出与AB距离 132的平行线，找到格点，再连结即可求解．
【解答】解：(1)如图所示：
△ABC面积= 22+32× 22+32÷2=132；
故答案为：132．
(2)见答案．
48.【答案】解：(1)B ；
(2)7，5；
(3)600×320=90(人)，
答：校初一有90名男生不能达到合格标准．
【解析】
【分析】
本题主要考查统计相关知识，熟练掌握加权平均数的计算，中位数的定义，用样本估计总体的思想是解决本题的关键．
(1)根据抽样调查的特点解答即可；
(2)根据平均数计算公式和中位数的定义解答即可；
(3)用样本估计总体的思想解答即可．
【解答】
解：(1)从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，
故答案为：B；
(2)这组测试成绩的平均数为：120×(2×1+3×1+4×1+5×8+7×5+13×1+14×2+15×1)=7(个)，
中位数为：5(个)，
故答案为：7，5；
(3)见答案．
49.【答案】103 2 8
【解析】解：(1)由图形可知，父亲的速度为2×200120=103(米/秒)，
儿子的速度为200100=2(米/秒)．
故答案为：103，2；
(2)当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y=kt+b，
把(200,200)和(300,0)代入解析式得：200t+b=200300t+b=0，
解得t=−2b=600，
∴当200≤t≤300时，设儿子在竞走过程中y与x之间的函数关系式为y=−2t+600；
(3)∵父亲的速度为103米/秒，儿子的速度为2米/秒，
∴10分钟父子所走路程和为10×60×(103+2)=3200(米)，
父子二人第一次迎面相遇时，两人所走路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所走路程之和为200×2+200=600(米)，
父子二人第三次迎面相遇时，两人所走路程之和为400×2+200=1000(米)，
父子二人第四次迎面相遇时，两人所走路程之和为600×2+200=1400(米)，
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和为200(n−1)×2+200=(400n−200)米，
令400n−200=3200，
解得n=8.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为8，
故答案为：8．
(1)根据图象直接求出父亲和儿子的速度；
(2)根据图象中数据，用待定系数法求函数解析式即可；
(3)根据父子二人的速度，即可得10分钟二人所走路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所走路程之和(400n−200)米，列方程求出n的值，即可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第n次迎面相遇时，两人所走路程之和(400n−200)米．
50.【答案】3 3
【解析】解：(1)①四边形PCQD能成为矩形，AP的长为2或3，理由如下：
∵四边形PCQD是平行四边形，假设四边形PCQD是矩形，
则∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
在△ADP中，∠A=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△APD∽△BCP，
∴ADBP=APBC，
∵AD=2，AB=5，BC=3，
设AP=x，则BP=5−x，
∴25−x=x3，
解得：x1=2，x2=3，
∴当AP的长为2或3时，四边形PCQD是矩形；
②四边形PCQD为菱形时，DP=CP，
∵∠A=∠B=90°，
∴AD2+AP2=BC2+BP2，
即22+AP2=32+(5−AP)2，
解得：AP=3，
故答案为：3；
③当四边形PCQD为正方形时，有四条对称轴，
∵同时满足①②的四边形PCQD为正方形，
∴AP=3，
故答案为：3；
(2)存在，理由如下：
过Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，如图②所示：
∵∠B=90°，
∴AB//QH，
∴∠APQ=∠HQP，
∴∠APD+∠DPQ=∠PQC+∠CQH，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴PD//QC，PD=QC，
∴∠DPQ=∠CQP，
∴∠APD=∠CQH，
在△ADP和△HCQ中，
∠A=∠H∠APD=∠HQCPD=QC，
∴△ADP≌△HCQ(AAS)，
∴AD=CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，
此时，PQ=BH=5，
∴PQ的长存在最小值，为5．
(1)①证△APD∽△BCP，得ADBP=APBC，设AP=x，则BP=5−x，得25−x=x3，求解即可；
②四边形PCQD为菱形时，则DP=CP，由勾股定理得AD2+AP2=BC2+BP2，即22+AP2=32+(5−AP)2，求解即可；
③四边形PCQD是正方形时，满足条件，即可求解；
(2)过Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，证△ADP≌△HCQ(AAS)，进而求得BH的长，即可求得答案．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质、菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题综合性强，证明△APD∽△BCP和△ADP≌△HCQ是解题的关键，属于中考常考题目．
51.【答案】5 1 5 925
故答案为：5；
(2)如图1，∵点A与点D关于PC的对称，
∴AC=CD=3，
∴点D的运动轨迹是以点C为圆心，AC为半径的半圆，
∴当B，C，D共线，BD最小，其最小值是4−3=1，
当点P在点A处时，D与A重合，此时BD的值最大，最大值是5；
故答案为：1，5；
(3)如图2，当点D落在AB上时，CP⊥AB．
∵∠A=∠A，∠CPA=∠ACB=90°，
∴△APC∽△ACB，
∴APAC=ACAB，
∴AP3=35，
∴AP=95，
∴t=AP5=925；
如图3中，当点D落在BC上时，∠ACP=∠PCB=45°．
过点P作PT⊥AC于点T.则CT=PT，
设CT=PT=x，
∵PT//CB，
∴△APT∽△ABC，
∴PTBC=ATAC，
∴x4=3−x3，
∴x=127，
∴AP= AT2+PT2= (3−127)2+(127)2=157，
∴t=AP5=37，
观察图象可知，满足条件的t的值为：925
(4)如图4中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R．
则CJ⊥AB，CR=CJ=3×45=125，
∴AR=AC−CR=3−125=35，
∵cosA=ACAB=ARAP，
∴35=35AP，
∴AP=1，
此时t=15；
如图5中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，此时AP=AC=3，t=35，
如图6中，当PD⊥AB时，过点C作CH⊥AB于点H．
∵∠CPH=∠CPD=45°，
∴PH=CH=125，
cosA=AHAC=35，
∵AH=35AC=95，
∴AP=AH+PH=95+125=215，
∴t=215÷5=2125，
综上所述，满足条件的t的值为15或35或2125．
(1)利用勾股定理求解；
(2)先确定点D的运动轨迹：以点C为圆心，AC为半径的半圆，当B，C，D共线，BD最小，当点P在点A处时，D与A重合，此时BD的值最大，从而可得答案；
(3)分别求出点D落在AB，落在BC上的时间，可得结论；
(4)分三种情形：如图4中，当PD⊥AC时，延长DP交AC于点R.如图5中，当DP⊥BC时，四边形ACDP是菱形，如图6中，当PD⊥AB时，过点C作CH⊥AB于点H.分别求解即可．
本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，解直角三角形，三角形相似的性质和判定，动点运动问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
52.【答案】解：(1)将点A(3,0)代入y=x2+ax，
∴9+3a=0，
解得a=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−3x；
(2)①∵点P的横坐标为m，
∴P(m,m2−3m)，
∴S△OAP=12×3×(m2−3m)=−32(m−32)2+278，
∴当m≤32且m≠0时，△OAP的面积随m增大而增大；
②∵∠OPA=90°，
∴P点在以OA为直径的圆上，
∴ (m−32)2+(m2−3m)2=94，
解得m=3± 132；
(3)∵P、Q关于直线x=−2m+1对称，
∴Q(−5m+2,m2−3m)，
∴PQ=−6m+2，
∵PQMN是正方形，
∴M(−5m+2,m2+3m−2)，N(m,m2+3m−2)，
当M点在抛物线上时，m2+3m−2=(−5m+2)2−3(−5m+2)，
解得m=0或m=13，
∵m<13，
∴m=0；
当MN经过抛物线的顶点(32,−94)时，−94=m2+3m−2，
解得m=−3+2 22或m=−3−2 22；
综上所述：m的值为0或−3+2 22或−3−2 22．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)①根据三角形面积公式可得S△OAP=12×3×(m2−3m)=−32(m−32)2+278，再结合二次函数的图象及性质即可求解；
②由题意可知P点在以OA为直径的圆上，则有方程 (m−32)2+(m2−3m)2=94，解得m=3± 132；
(3)分别求出Q(−5m+2,m2−3m)，M(−5m+2,m2+3m−2)，N(m,m2+3m−2)，当M点在抛物线上时，m2+3m−2=(−5m+2)2−3(−5m+2)，解得m=0；当MN经过抛物线的顶点(32,−94)时，−94=m2+3m−2，解得m=−3+2 22或m=−3−2 22．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，正方形的性质是解题的关键．
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