理科数学（一）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（全国通用）

这是一份理科数学（一）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（全国通用），共99页。试卷主要包含了对数绝对值，对数奇偶性函数，偶函数，与关于直线对称，奔驰定理等内容，欢迎下载使用。




目 录 contents
（一）

函数性质与应用………………………………………………………………01

函数与导数……………………………………………………………………18

三角函数性质与恒等变形……………………………………………………46

解三角形………………………………………………………………………57

向量与复数……………………………………………………………………80

天
函数性质与应用函
考点透视
考点透视

函数的性质在高考试卷中是选填一道或者两道，和其他知识，如三角函数，导数数列，不等式等知识点交汇处考察的较多，是中等难度和偏难题型为主。考察点多是综合性题型。涉及到函数轴对称，中心对称，奇偶性，周期性，单调性等基础性质，常见考察函数的图形与性质，考察幂、指、对函数，以及常见的对勾函数，反比例函数，双曲函数等复合型函数图像与性质，考察函数的定义域，值域，以及指对运算等函数基础，利用函数的性质求解不等式，方程，利用函数的性质构造函数比大小，求参或者最值范围等综合应用。
考点透视


满分技巧

对数与指数函数：
1.对数绝对值
对于，若有两个零点，则满足
（1）.
（2）
2.对数奇偶性函数

(4).偶函数:
(5).
对称性结论：
夯实基础，掌握函数基础性质及其应用。
对称性质
1..若满足，则关于中心对称
2.
3.
4.函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；
5.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.
6.与关于直线对称。
关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论
1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。
3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。


真题回顾




真题回顾




1．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故

3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.

4．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

5．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：

此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：

由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
名校预测

1．（2023·贵州·统考模拟预测）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数证明可得，从而得大小关系；再构造函数证明可得再证明即可得的大小关系.
【详解】令，则，
当时，当时，，
在上为减函数，在上为增函数，
，，
，，
令，则，显然在为减函数，
又，，
当时当时，
当时为增函数，当时为减函数，，
，，又，，
，，
下面证明：，即证明：，即证：，显然成立，，，
，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时可以用切线不等式，如在本题中构造的函数就是利用函数与其在处的切线大小关系构造的.也可以用割线不等式，如在本题中构造的函数就是利用函数与割线大小关系构造的，割线是过两点的直线.

2．（2023·四川南充·统考二模）设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ）
A． B．
C．， D．
【答案】A
【分析】由得，结合已知得，进而有，由可判断C项中的对称性；由为奇函数可得的周期、对称性及特殊值，从而化简判断A正误；B、D由，结合A即可判断.
【详解】C：由，则，则，
又，所以，令得，即.
所以，所以函数的图象关于对称，
而，，则的图象关于对称，错；
A：为奇函数，则关于对称，且，
∴，，，，∴.
又，∴，
∴的周期，
∴，对；
D：因为，所以，
所以，错；
B：，错.
故选：A
【点睛】关键点睛：利用导数得，结合已知得到，进而求其周期和对称性，应用周期和对称性求、、的值.
3．（2022·天津·天津市蓟州区第一中学校联考一模）定义在R上的偶函数满足，且当]时，
，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据条件可得出函数是以4为周期的周期函数，作出，的图象，根据函数为偶函数，原问题可转化为当时两函数图象至少有4个交点，根据数形结合求解即可.
【详解】因为，且为偶函数
所以，即，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出，在同一坐标系的图象，如图，

因为方程至少有8个实数解，
所以，图象至少有8个交点，
根据，的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，
由图可知，当时，只需，即，
当时，只需，即，
当时，由图可知显然成立，
综上可知，.
故选：B
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
4．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）设函数的定义域为R，且，当时，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题设得到且，，注意判断函数值的变化趋势，再求得的最大k值，此时结合二次函数性质确定上对应x值，即可得m的范围.
【详解】令，则，故，而，
所以且，
令，则，故，而，
所以且，
结合已知：且时，而，
对且，，即随增大依次变小，
要使对任意都有，令，则且，
则上，且上，
当时，令，则，解得或，
综上，要使对任意都有，只需.
故选：C
【点睛】关键点点睛：注意总结归纳且，随k的变化趋势，进而找到的对应区间，再求出该区间右侧区间中的自变量.
5．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则（    ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，进而数形结合求解即可.
【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象，
再经过向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过翻折变换，可得的图象，如下图：

则函数的图象关于直线对称，
令
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以，要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为,则，或，
所以，关于方程的两个实数根为
所以，由韦达定理得，
故选：B
【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于方程的两个实数根为，进而得.
名师押题

1．已知定义在上的偶函数，满足对任意的实数都成立，且值域为.设函数，（），若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数满足的关系式及奇偶性，值域，得到，再写出，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当时，及时，的图象要位于的下方，得到，求出实数的取值范围.
【详解】变形为，
所以或，即或，
因为为偶函数，且值域为，
所以，
因为，所以，
在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：

要想满足若对任意的，存在，使得成立，
则当时，，所以，
且时，的图象要位于的下方，
故只需，即，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.
2．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
【答案】A
【解析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出，结合函数的对称性得出和都关于对称，由有唯一零点，可知，即可求.
【详解】解：已知，①
且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，
得：，②
①+②得：，
由于关于对称，
则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，
则关于对称，
由于有唯一零点，
则必有，，
即：，
解得：或.
故选：A.
【点睛】本题考查函数基本性质的应用，涉及函数的奇偶函数，对称性和零点，考查函数思想和分析能力.
3．已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有16个交点，在直线斜率的取值范围是______
【答案】
【分析】根据条件判断函数的周期性，函数在一个周期内的解析式，再求出函数的解析式，作出函数的图像，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由题知任取，有，则函数的图象关于直线对称，
又函数的图象关于轴对称，则是周期为的周期函数；
若，则，，
又是偶函数，所以，即，，
则函数在一个周期上的表达式为，
因为，，所以函数，，
其图象可由的图象压缩为原来的得到，故函数的周期为，
作出函数的图像，如图所示：

易知过的直线斜率存在，设过点的直线的方程为，
则要使直线与的图象在上恰有16个交点，则，
又，，
故直线斜率的取值范围是
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
4．已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】先求得的值，由此求得的值.证得是周期为的周期函数，将转化为，根据的周期性和对称性，将转化为，结合求得的取值范围.
【详解】由，令，得.由于当时，，所以.故当时，.，由于为偶函数，所以.由，得，所以是周期为的周期函数.当时，，所以.所以当，.得，故.所以当时，，所以.结合是周期为的周期函数，画出的图像如下图所示.由得（），对于任意成立.时，，解得，所以，即对于任意成立.当时，由得，由于在递减，所以；由得，由于在递增，所以.综上所述，的取值范围是.
故答案为：

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查函数解析式的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.




倒计时19天
函数与导数
考点透视

随着高考改革，函数和导数是高考考察的重要内容，也在高考数学中占据了较大的分值，在试卷中，导数是一道压轴大题，以及1-3个选填小题。考察考察导数的概念，导数的运算 ，导数的应用。考察导数的几何意义，物理意义，常见函数的导数，导数的运算法则，导数求函数的单调性，导数求函数的极值，导数求函数的最值。在选择题和填空题中的导数题，涉及到利用导数研究函数的图像，利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数解决不等式恒成立或者存在性问题，构造函数利用导数求参数求变量范围求最值等。，并且还有许多导数函数数学思维与数学解题技巧的应用分散在数列，解析几何，立体几何，三角函数，概率等等题型中。在新高考改革的背景下，函数和导数的考察在数学关键能力和数学素养方面保持稳定，试题起点低，层次多，落差大，试题源于教材，又在教材基础上有创新。考察函数的性质与应用，抽象函数的奇偶性，对称型，单调性，周期型，以及与具体函数的数形结合等等。
考点透视


满分技巧

一、通过导函数判断极值：
1.导函数零点。
2.零点两侧异号（穿越零点）；
3.导函数先正后负对应极大值，先负后正对应极小值

二．导函数与原函数：
1. 原函数“看增减”，原函数增减的“拐点”（拐点）是导函数的零点。
2. 导函数“看正负”，导函数的零点，是原函数增减的“拐点”（极值点）

三、 单调性求参：
可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.
四、求切线
以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简计算．

五、根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路
先求解出，然后分析的根的个数：
①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；
②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；
③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.

六、导数同构思维
同构式下我们分为两条主线
1．顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.
2．同位同构：
①加减同构是指在同构的过程中“加减配凑”，从而完成同构；
②局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；
③差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.


七、极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K]
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.


极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.



真题回顾




1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
3．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
4．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0