2022-2023学年湖南省长沙市周南集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市周南集团九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  我市某校开展“共创文明班，一起向未来”的古诗文朗诵比赛活动，有位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前位进入决赛．如果小王同学知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，他需要知道这位同学成绩的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5.  已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根

7.  如图，四边形内接于，连接，，，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  不等式组的解集在以下数轴表示中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在矩形中，连接，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，作直线，分别与、交于点、，连接、若，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议如图，班长坐在号座位，四位同学随机坐在四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______．

12.  如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为______．

13.  数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是______ ．

14.  一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为          ．

15.  甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值随自变量的增大而减小”，乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是          ．

16.  如图，矩形与反比例函数是非零常数，的图象交于点，，与反比例函数是非零常数，的图象交于点，连接，若四边形的面积为，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
化简求值：，其中．

19.  本小题分
荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高含底座，先在点处用测角仪测得其顶端的仰角为，再由点向城徽走到处，测得顶端的仰角为已知，，三点在同一直线上，测角仪离地面的高度，求城徽的高参考数据：，，．

20.  本小题分
年月日，湖北日报联合夏风教室发起“劳动最光荣，加油好少年”主题活动．某校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图如图请结合图中信息解答下列问题：
本次共调查了______名学生，并补全条形统计图．
若该校共有名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁名学生中，随机抽取名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
 

21.  本小题分
如图，▱中，，相交于点，，分别是，的中点．
求证：；
设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．

22.  本小题分
近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆．
求菜苗基地每捆种菜苗的价格．
菜苗基地每捆种菜苗的价格是元．学校决定在菜苗基地购买，两种菜苗共捆，且种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对，两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．

23.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，延长交过点的切线于点．
求证：；
求证：；
若，，求的长．

24.  本小题分
若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”．
例如：，，是“勾股和数”；
又如：，，，不是“勾股和数”．
判断，是否是“勾股和数”，并说明理由；
一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当，均是整数时，求出所有满足条件的．

25.  本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点直线由直线平移得到，与轴交于点四边形的四个顶点的坐标分别为，，，．
填空：______，______；
若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求的最大值；
当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．
当时，直接写出的取值范围；
求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可得到结论．
本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：．
利用二次根式的减法法则，完全平方公式，幂的乘方法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：由于总共有个人，要判断是否进入前名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．则应知道中位数的大小．
故选：．
参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：过含角的直角三角板的直角顶点作，交于点，

，
．
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：．
过点作，交于点，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点作，交于点是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在一元二次方程中，
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
首先根据根的判别式求出的值，再进行判断即可得解．
本题主要考查根的判别式，解答的关键是明确：当时，原方程没有实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程有两个不相等的实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出即可．
本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：，
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：由作图过程可得：为的垂直平分线，
，．
设与交于点，如图，

则．
四边形是矩形，
，
，，
在和中，

≌，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为菱形，
四边形的周长．
设，则，
，
在中，
，
，
解得：，
四边形的周长．
故选：．
利用作图过程可得为的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质证明四边形为菱形，利用勾股定理求得，则结论可得．
本题主要考查了基本作图，作线段的垂直平分线，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，判定四边形为菱形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：列表为：

个中每个各有种等可能的结果数，共有种等可能的结果数，其中，两位同学座位相邻的结果数为，
故A，两位同学座位相邻的概率是．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出，两位同学座位相邻的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：要使二次根式在实数范围内有意义，必须，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，求出即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于的不等式是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
，，
的长为：，
故答案为：．
根据题意和图形，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据弧长公式计算即可得到的长．
本题考查轨迹、弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长公式．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数、为常数，且的图象与直线都经过点，
由图象可知，当时，的取值范围是，
故答案为：．
结合图象即可确定的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，

，且是圆周角，
是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
连接，根据得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出是圆形镜面的直径是解此题的关键．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出，，取即可得出结论答案不唯一．
【解答】
解：函数值随自变量的增大而减小，且该函数图象经过点，
该函数为一次函数．
设该一次函数的表达式为，则，．
取，此时该一次函数的表达式为．
故答案为：答案不唯一．  

16.【答案】 

【解析】解：、的图象均在第一象限，
，，
点、均在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
矩形的顶点在反比例函数是非零常数，的图象上，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论．
本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：


，
当时，
原式
． 

【解析】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用分式的相应的运算法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
 

19.【答案】解：延长交于点，

则，米，米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，

米，
城徽的高约为米． 

【解析】延长交于点，则，米，米，设米，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】解：；
补全条形统计图，如下，

名，
答：该校名学生中参与“洗衣服”的学生约有名；
从甲、乙、丙、丁四个人中选择个人所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有种，
所以甲、乙同时被抽中的概率为． 

【解析】解：名，名，
故答案为：，补全条形统计图如下：

名，
答：该校名学生中参与“洗衣服”的学生约有名；
从甲、乙、丙、丁四个人中选择个人所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，其中甲、乙同时被抽中的有种，
所以甲、乙同时被抽中的概率为．
从两个统计图中可知，样本中参与“做饭”的有人，占调查人数的，由频率可以求出调查人数，进而求出参与“扫地”的频数，补全条形统计图；
用样本中参与“洗衣服”的所占的百分比估计总体中参与“洗衣服”的百分比，进而求出相应的人数；
用列表法表示从甲、乙、丙、丁四个人中选择个人所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，连接，，

四边形是平行四边形，
，，
，分别为，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
；
解：当时，四边形是矩形；理由如下：
当时，，即，
由知：四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
当时，四边形是矩形．
故答案为：． 

【解析】利用平行四边形的性质，即可得到，，进而得出四边形是平行四边形，进而得到；
先确定当时，四边形是矩形，从而得的值．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，注意对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

22.【答案】解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，
种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，
，
解得，
设本次购买花费元，
，
，
随的增大而减小，
时，取最小值，最小值为元，
答：本次购买最少花费元． 

【解析】设菜苗基地每捆种菜苗的价格是元，根据用元在市场上购买的种菜苗比在菜苗基地购买的少捆，列方程可得菜苗基地每捆种菜苗的价格是元；
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗捆，根据种菜苗的捆数不超过种菜苗的捆数，得，设本次购买花费元，有，由一次函数性质可得本次购买最少花费元．
本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
，
；
证明：与相切于点，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：是的直径，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为． 

【解析】利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答；
利用切线的性质可得，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，再利用的结论可得，然后可证，最后利用平行线的性质可得，即可解答；
根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可证∽，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后再利用的结论可证∽，利用相似三角形的性质可求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：，，
不是“勾股和数”，
，
是“勾股和数”；
为“勾股和数”，
，
，
为整数，为整数，
，
为整数，
为的倍数，
，或，，此时或；
，或，，此时或． 

【解析】由“勾股和数”的定义可直接判断；
由题意可知，，且，由为整数，可知，再由为整数，可得为的倍数，由此可得出的值．
本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
 

25.【答案】解：；；
设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
直线平移得到直线，直线与轴交于点，
直线的解析式为，
双曲线经过点，
，
，
直线与双曲线有且只有一个交点，
联立方程组，
整理得，
，即，
，
，
点在第二象限，
，，
，
当时，可以取得最大值；
如图，当直线与抛物线有交点时，联立方程组，
整理得，，
，即，
，
当时，直线与抛物线的交点为；
当时，四边形的顶点分别为，，，，
如图，当直线经过点时，此时点与点重合，
时，直线与四边形、抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标；














如图，当直线经过点时，，















当直线经过点时，如图，，















，
综上所述：的取值范围为：或；
当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，
，
解得；
如图，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上对称轴左侧时，存在直线即经过此时点的直线与四边形、平行同时有交点，且同一直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，
，
解得舍或，
综上所述：的取值范围为．
 

【解析】解：将，代入，
，
解得，
故答案为：；；

将，代入，即可求解；
求出直线的解析式为，直线的解析式为，再由双曲线经过点，可得，再联立方程组，整理得，由题意可得，整理得，根据点的坐标位置，求出，则当时，可以取得最大值；
联立方程组，由，可得，当时，直线与抛物线的交点为；当时，四边形的顶点分别为，，，，当直线经过点时，此时点与点重合，时，符合题意；当直线经过点时，，当直线经过点时，，可得，由此可求解；
当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上时，由，解得；当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这条开口向上的抛物线上对称轴左侧时，由，解得舍或，即可求的取值范围为．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．