2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四组数据分别为四个三角形的边长，其中是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  平行四边形中，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列二次根式的运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线，就可以判断，其推理依据是(    )

A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角
C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形

6.  若菱形的两条对角线的长分别为和，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等如图所示”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，、在点，运动的过程中，有下列四个结论：
是等腰直角三角形；
面积的最小值是；
四边形的面积始终不变；
存在两个，使得的周长是．
所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  若有意义，则的取值范围是        ．

12.  比较大小： ______ ．

13.  如图，在数轴上点表示的实数是______ ．

14.  如图，，两点被池塘隔开，在，外选一点，连接和，并分别找出和的中点，，如果测得，那么，两点间的距离是______．

15.  古代著作九章算术中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深______尺．

16.  如图，已知，点，在线段上，且是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求的值．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，，为对角线上上的点，且，求证：．

20.  本小题分
如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，是边上一点．
请只用无刻度的直尺在边上确定一点，使得保留作图痕迹，不写作法；
请证明你所作的点满足．

22.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，过点作交延长线于点．
求证：四边形为菱形；
若是的中点，求证：，，三点共线．

23.  本小题分
先阅读材料，然后回答问题．
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
，
，
，，
在上述化简过程中，第______ 步出现了错误，化简的正确结果为______ ；
请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ______ ；
在中，，，，求的长结果要化为最简形式

24.  本小题分
定义：若某三角形的三边长，，满足，则称该三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题：
判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由；
若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数；
如图，在中，，且证明：为“类勾股三角形”．

25.  本小题分
在正方形中，是边上一点不与点，重合，作点关于的对称点，连接．
如图，连接，若，求证：是的中点；
如图，连接，，作于点，，分别为，的中点，连接，．
求的大小；
猜想线段与的关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据最简二次根式的定义，，那么不是最简二次根式，故A不符合题意．
B.根据最简二次根式的定义，是最简二次根式，故B符合题意．
C.根据最简二次根式的定义，，那么不是最简二次根式，故C不符合题意．
D.根据最简二次根式的定义，，那么不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义不含分母的被开方数中不存在开方开得尽的因数或因式叫做最简二次根式解决此题．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，能构成直角三角形，符合题意；
C、，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：．
要判断三个数是否为直角三角形的三边长，根据勾股定理逆定理只需要判断最大的数的平方是否等于另外两个数的平方和即可．
本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
由平行四边形的性质可直接求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，运算正确，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算可判断，，根据二次根式的乘除运算法则可判断，，从而可得答案．
本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则”是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：．
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：．
故选：．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：是中点，，
，
将折叠，使点与的中点重合，
，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
由折叠的性质可得，根据勾股定理可求的长，即可求的长．
本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】证明：，
又，，，
．
故选：．
根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．
本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，相交于点，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形；
故正确；
当时，最小，此时，
面积的最小值是，
故错误；
由知：≌，
，
故正确；
，
，
假设存在一个，使得的周长是，
则，
由得是等腰直角三角形，
．
，的最小值是，
存在一个，使得的周长是，
故正确；
故选：．
易证得≌，则可证得结论正确；
由的最小值是到的距离，即可求得的最小值，根据三角形面积公式即可判断选项错误；
证明≌，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项正确；
利用勾股定理求得，即可求得选项正确．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
．
故答案为：．
直接根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
先分别计算两个数的平方，然后进行比较即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，

在中，由题意得，，，，
根据勾股定理得：，
由图可知，
点表示的实数为，
故答案为：．
根据勾股定理求出的长度，即可求得点表示的实数．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
．
故答案为：．
三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的倍．
本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质，熟记性质是应用性质解决实际问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意画出图形，

设芦苇长尺，则水深尺，
尺，
尺，
在中，，
解之得，
即水深尺，
故答案为：．
我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的水深．
此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，分别延长、交于点，过点作于点．
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
与互相平分．
为的中点，
也正好为中点，
即在的运动过程中，始终为的中点，
的运行轨迹为的中位线．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长．
是等边三角形，，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹为三角形的中位线作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长．
本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用轴对称解决问题．
 

17.【答案】解：原式；
原式

． 

【解析】先逐项化简，再算加减即可；
先算乘法和除法，再算减法．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，
． 

【解析】先求、的值，再整体代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，再根据“等角的补角相等”证明即可．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的补角相等等知识，证明≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：连接，

，，，
，
，，，
即，
是直角三角形，



． 

【解析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，由即可得出结论．
此题考查了勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，点为所作；

证明：四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先连接、，它们相交于点，再连接并延长交于点；
先根据平行四边形的性质得到，，然后证明≌得到．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质．
 

22.【答案】证明：如图，连接，交于点，

四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
如图，连接，

是的中点，
，
由可知，四边形为菱形，
，
，
是的中点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分，
是的中点，
，，三点共线． 

【解析】连接，交于点，证≌，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
连接，由菱形的性质得，再证是的中点，然后证四边形是平行四边形，得与互相平分，则是的中点，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为，
故答案为：，；


，
故答案为：；
在中，，，，
．
根据材料思考二次根式的化简对于的形式，先化为再求结果；
根据中的材料化简即可；
根据勾股定理和中的材料化简即可．
本题考查了二次根式应用，二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
 

24.【答案】解：等边三角形不是“类勾股三角形”，
理由：设等边三角形的三边长分别为，，，
则，
，
等边三角形不是否“类勾股三角形”；
解：等腰三角形是“类勾股三角形”，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
的度数为；
证明：过点作，垂足为，在上截取，连接，

是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
为“类勾股三角形”． 

【解析】先设等边三角形的三边长分别为，，，则，然后进行计算可得：，即可解答；
根据已知和“类勾股三角形”的定义可得，从而可得，进而可得是直角三角形，且，然后利用等腰直角三角形的性质，即可解答；
过点作，垂足为，在上截取，连接，可得是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，，然后利用线段的和差关系可得，最后分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图中，连接．

，关于对称，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
是的中点；

解：设．
，，
，
，，
；

结论：，．
理由：如图中，延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点，交于点．

在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，，即，． 

【解析】证明≌，推出，可得结论；
设用表示出，，可得结论；
结论：，如图中，延长到，使得，连接，，，延长交的延长线于点，交于点证明是等腰直角三角形，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．