2022-2023学年广东省佛山市禅城区吉利中学八年级（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市禅城区吉利中学八年级（下）第一次月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列是一元一次不等式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，中，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  某电梯标明“载客不超过人”，若载客人数为，为自然数，则“载客不超过人”用不等式表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的长等于，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，中，，平分交于点，，，则到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知等腰三角形的两边长分别为、，则该等腰三角形的周长是(    )

A.  B.  C. 或者 D.

8.  如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若、，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如果点在平面直角坐标系的第四象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图所示，两函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为的斜坡铺设管道，若量得水管的长度为米，那么点离水平面的高度的长为______ 米．

12.  不等式的正整数解是______ ．

13.  已知三角形的两边为和，则第三边的取值范围是______ ．

14.  用反证法证明：在一个三角形中不能有两个角是钝角应先假设：______ ．

15.  如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，若，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式，要求写出详细步骤：，并把解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
如图，在中，，．

作的垂直平分线交于点，交于点；
若，求的长．

18.  本小题分
小明借到一本页的图书，要在天之内读完，开始天每天只读页，在剩下的时间里，小明每天至少要读多少页？

19.  本小题分
如图，，．

求证：≌；
．

20.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
 

21.  本小题分
已知：如图，是等边三角形，是延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接．
求证：；
求的度数．

22.  本小题分
随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：

若该公司三月份的销售收入为万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
如果该公司四月份投入成本不超过万元，应该怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可以使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：购买元会员卡后，乙型口罩一律折请帮学校设计出合适的购买方案．

23.  本小题分
【活动回顾】：
七年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：或的解集，是函数图象在轴上方或轴下方部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
如图，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
如图，观察图象，两条直线的交点坐标为______，方程的解是______；不等式的解是______．
【拓展延伸】：
如图，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
求点，的坐标；
结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______．
若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、中不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、中不含有不等号，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C、含有一个未知数，未知数的最高次数是，是一元一次不等式，故本选项符合题意；
D、中含有一个未知数，但未知数的最高次数等于，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意．
故选：．
根据一元一次不等式的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元一次不等式的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数是的不等式，叫做一元一次不等式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选A．
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以，不等号的方向改变．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故选：．
根据等边对等角可得，结合条件根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故选：．
根据关键词“不超过”就是小于等于，然后列出不等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是抓住关键词语，选准不等号．
 

5.【答案】 

【解析】解：垂直平分，的长等于，
，
，
．
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：作于，

平分，，，
，
即点到的距离为．
故选：．
作于，根据题意求出，根据角平分线的性质求出．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：为腰，为底，此时周长为；
为底，为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
其周长是．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，交于点，交于点．
，，
，，
．
故选：．
根据中，和的平分线相交于点求证，，再利用两直线平行内错角相等，求证出，，即，，然后利用等量代换即可求出线段的长．
本题主要考查了学生对等腰三角形的判定与性质和平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
由得：；由得：，
则不等式组的解集为，表示在数轴上，如图所示：
．
故选：．
根据为第四象限点，得到横坐标大于，纵坐标小于，列出关于的不等式组，求出不等式组的解集，表示在数轴上即可得到结果．
此题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，以及点的坐标，列出不等式组是本题的突破点．
 

10.【答案】 

【解析】解：两个条直线的交点坐标为，
当时，直线在直线的上方，
故不等式的解集为：．
故选：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式解集．
此题主要考查了利用一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
 

11.【答案】 

【解析】解：中，．
米．
故答案为：．
利用所给角的正弦函数求解．
本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
 

12.【答案】， 

【解析】解：，
去括号得，，
移项得，，
故不等式的正整数解是，．
故答案为：，．
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系：，
解得：．
故答案为：．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
 

14.【答案】这个三角形中有两个角是钝角 

【解析】解：用反证法证明命题“在一个三角形中不能有两个角是钝角”第一步应假设这个三角形中有两个角是钝角．
故答案为：这个三角形中有两个角是钝角．
根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可．
此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

在中，，，，
，
由作图过程可知，是线段的垂直平分线，
，，
在中，，即，
解得：，
，
故答案为：．
连接，根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质可得，根据勾股定理计算即可．
本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，根据尺规作图得到是线段的垂直平分线是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：．
把解集在数轴上表示出来，如图：
 

【解析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，再把解集在数轴上表示，即可求解．
本题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，直线即为所求；
；
垂直平分，
，
，
，，，
，，
在中，，，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的作法即可解决问题；
根据线段垂直平分线的性质求得，，在中，利用含度角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

18.【答案】解：设以后每天读页，，
解得．
答：小明每天至少读页才能读完． 

【解析】设以后每天读页，根据小明借到一本有页的图书，要在天之内读完，开始天每天只读页，可列出不等式求解．
本题考查一元一次不等式的应用，关键设出每天读多少页，以总页数作为关系式列不等式求解．
 

19.【答案】证明：，
和是直角三角形，
，，
≌；
≌，
．
． 

【解析】利用“”可证≌；
由全等三角形的性质可得出，利用等角对等边即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
这个不等式组的解集是：．
把解集在数轴上表示为：
． 

【解析】根据不等式的基本性质，分别解不等式，并在数轴上确定不等式的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，解决本题的关键是要熟练掌握不等式的性质和解不等式的步骤．
 

21.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，，
，
在和中

≌，
，
，
；

解：≌，
，
，
． 

【解析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，能推出≌是解此题的关键．
根据等边三角形的性质得出，，，，求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
根据≌和等边三角形性质得出，即可求出答案．
 

22.【答案】解：设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
答：生产甲型口罩万只，乙型口罩万只．
设生产甲型口罩万只，则生产乙型口罩万只，
依题意得：，
解得：．
设该月公司所获利润为万元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
应该安排生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，可以使该月公司所获利润最大，最大利润为万元．
设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为元，选项方案二所需费用为元．
当时，；
当时，；
当时，．
答：当购买数量少于只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠． 

【解析】设生产甲型口罩万只，乙型口罩万只，利用销售总价销售单价销售数量，结合该公司三月份生产两种口罩万只且全部售出后获得的销售收入为万元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设生产甲型口罩万只，则生产乙型口罩万只，根据该公司四月份投入成本不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该月公司所获利润为万元，利用总利润每只的利润生产数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
设购买乙型口罩只，则选择方案一所需费用为元，选项方案二所需费用为元，分，及三种情况，可求出的取值范围或的值，进而可得出：当购买数量少于只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于只时，选择方案二购买更实惠．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；分，及三种情况，求出的取值范围或的值．
 

23.【答案】         

【解析】解：，
随值的增大而减小，
当时，，
当时，，
不等式的解集是，
故答案为：；
通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
的解为两直线交点的横坐标，
方程的解为，
由图象可得，当时，，
不等式的解是，
故答案为：，，；
联立方程组，
解得，
，
当时，，
，
；
由的图象可知，当时，，
当时，，
方程组的解集为，
故答案为：；
存在点，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
，
，
，，，
当时，，
解得舍或，
；
当时，，
或，
或；
当时，，
解得，
；
综上所述：点坐标为或或或．
结合图象即可求解；
通过观察图象求解即可；
根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标即可；
通过观察图象求解即可；
分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．