江苏省南通市崇川区田家炳中学2022-2023学年八年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)

这是一份江苏省南通市崇川区田家炳中学2022-2023学年八年级（上）月考数学试卷（10月份）(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市崇川区田家炳中学八年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
4．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
5．如图，已知O为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．80° B．100° C．105° D．120°
6．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　）

A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
7．在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（　　）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
8．把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
二、填空（每小题4分，共32分）
11．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n＝　 　．
12．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　 　．
13．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为　 　．
14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　 　°．

15．如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是　 　．

16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝　 　度．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF＝，连接AD，则AB＝　 　．

18．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝　 　．

三、解答题
19．如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．

20．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．

21．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想．
（2）如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明．



参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．
解：A．是轴对称图形，共有1条对称轴；
B．不是轴对称图形，没有对称轴；
C．不是轴对称图形，没有对称轴；
D．是轴对称图形，共有2条对称轴．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF＝10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．
解：连接BB′
∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠AC′B′＝∠AB′C′＝70°，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∵∠CAF＝10°，
∴∠C′AF＝10°，
∴∠BAB′＝40°+10°+10°+40°＝100°，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝40°．
故选：C．

4．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
解：①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．
故选：B．
5．如图，已知O为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A．80° B．100° C．105° D．120°
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：解法一，如图1，连接OA，
∵O为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝50°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝130°﹣50°＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
解法二，如图2，连接AO并延长，
∵O为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，∠COD＝∠OAC+∠OCA＝2∠OAC，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝2（∠OAB+∠OAC）＝2∠A＝100°，
故选：B．


6．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　）

A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
【分析】由在等边三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，则可求得CD的长，又由BD平分∠ABC交AC于点D，由三线合一的知识，即可求得答案．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝30°，
∵EC＝1.5，
∴CD＝2EC＝3，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD＝CD＝3，
∴AB＝AC＝AD+CD＝6．
故选：C．
7．在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（　　）
A．2：5或10：1 B．1：10 C．5：2 D．5：2或1：10
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论求解即可．
解：如图，△ABC是锐角三角形时，

∵CA＝CB，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝∠B＝×（180°﹣∠ACD）＝75°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：75°：30°＝5：2；
如图，△ABC是钝角三角形时，

∵∠ACD＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝150°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠B＝×（180°﹣∠ACD）＝15°，
∴这个三角形的底角与顶角的度数比为：15°：150°＝1：10；
故选：D．
8．把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及剪三角形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．
故选：C．

9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确．
故选：A．

10．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】等腰△ABC底边BC上的中线AD与底边BC垂直．线段AC垂直平分线上一点M到线段两边的距离分别为CM和AM．
解：连接AD，

∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴CM＝AM，
∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝9．
故选：C．
二、填空（每小题4分，共32分）
11．若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n＝　0　．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2＝4，3＝n+5，
解得：m＝2，n＝﹣2，
∴m+n＝0，
故答案为：0．
12．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝　或　．
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
解：
①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝
综上所述，特征值k为或
故答案为或
13．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为　18cm或12cm　．
【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系．
解：设该三角形的腰长是xcm，底边长是ycm．
根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分，
∴或，
解得或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm．
故答案为：18cm或12cm．
14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝　30　°．

【分析】根据垂直平分线的性质得到∠B＝∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC＝60°，从而可得∠B的度数．
解：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠B＝∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC＝60°，
∴∠B＝∠BCF＝30°．
故答案为：30．
15．如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是　0＜CD≤5　．

【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
解：当点D与点E重合时，CD＝0，此时∠CDE＝30°不成立，
当点D与点A重合时，
∵∠A＝90°，∠B＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠CDE＝∠E，∠CDB＝∠B，
∴CE＝CD，CD＝CB，
∴CD＝BE＝5，
∴0＜CD≤5，
故答案为：0＜CD≤5．
16．如图，已知O是等边三角形ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且OD＝OA，∠AOB＝120°，那么∠BDC＝　60　度．

【分析】由△ABC为等边三角形可得出AB＝AC、∠BAC＝60°，由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD＝60°，结合OD＝OA可得出△AOD为等边三角形，根据等边三角形的性质可得出AO＝AD、∠OAD＝60°，根据∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°可得出∠BAO＝∠CAD，利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD，根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数，再根据∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO即可求出∠BDC的度数．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵∠AOB＝120°，∠AOD+∠AOB＝180°，
∴∠AOD＝60°．
又∵OD＝OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，∠ADO＝60°．
∵∠BAO+∠OAC＝∠OAC+∠CAD＝60°，
∴∠BAO＝∠CAD．
在△BAO和△CAD中，，
∴△BAO≌△CAD（SAS），
∴∠ADC＝∠AOB＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADO＝60°．
故答案为：60．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D为BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE+DF＝，连接AD，则AB＝　　．

【分析】如图，作BH⊥AC于H．根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，DE⊥AB，DF⊥AC，列等式，由此即可解决问题．
解：过B作BH⊥AC于H，

∵∠BAC＝30°，
∴BH＝AB，
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴＝，
AB＝AB（DE+DF），
AB＝DE+DF＝，
∴AB＝，
故答案为：
18．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝　27°　．

【分析】在DC上截取DE＝BD，连接AE，结合已知可得AD是BE的垂直平分线，从而可得AB＝AE，进而可得∠B＝∠AEB＝54°，然后根据已知和线段的和差关系可得AB＝EC，从而可得AE＝EC，进而可得∠C＝∠EAC，最后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，

∵AD⊥BC，DE＝BD，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝54°，
∵AB+BD＝DC，DE+EC＝DC，
∴AB＝EC，
∴AE＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵∠C+∠EAC＝∠AEB＝54°，
∴∠C＝∠EAC＝∠AEB＝27°，
故答案为：27°．
三、解答题
19．如图，在等边三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边三角形BEF，连接CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）求∠ACF的度数．

【分析】（1）由△ABC是等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，EB＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，求出∠ABE＝∠CBF，根据SAS证出△ABE≌△CBF；
（2）根据等边三角形的性质得出∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，再根据△ABE≌△CBF，得出∠BCF＝∠BAE＝30°，从而求出∠ACF的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABE+∠EBC＝60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF，∠CBF+∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF，，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝30°，∠ACB＝60°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝30°+60°＝90°．
20．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可求∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，由平行线的性质可求∠BPQ＝∠C＝30°，即可求解；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
解：（1）△APB是直角三角形，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ＝∠C，
∴∠APB＝60°，
∴∠BAP＝90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）当AQ＝QP时，
∴∠QAP＝∠APQ＝30°，
∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，
当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，
∴∠BQP＝105°，
当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，
∵P不与B、C重合，
∴不存在，
综上所述：∠BQP＝105°或60°．
21．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想．
（2）如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明．

【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．
解：（1）AB＝CD+AC，理由为：
在AB上截取AG＝AC，连接DG，如图②所示，

∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴DG＝CD，∠AGD＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B，
又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（2）AB＝CD﹣AC，理由为：
在AF上截取AG＝AC，连接DG，如图③所示，

∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ACD中，
，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠FGD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B，
又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．