2023年陕西省西安高新第一中学中考五模数学试题

这是一份2023年陕西省西安高新第一中学中考五模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安高新第一中学中考五模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．计算的结果是（    ）
A．2 B． C．4 D．
2．如图是把一个正方体切割掉一部分后得到的几何体，则它的左视图是（    ）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，平分交于点D，若，则点D到的距离为（    ）

A．2 B． C． D．4
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，若直线分别与x轴、直线交于点A、B，则的面积为（    ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，在菱形中，点E是对角线上一点，连接．若，且，，则的长为（    ）．

A．3 B． C．6 D．
7．如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（    ）

A．5 B． C． D．
8．抛物线（a，b，c为常数）开口向上，且过点，，下列结论：①；②若点，都在抛物线上，则；③；④若方程没有实数根，则，其中正确结论的序号为（    ）
A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④

二、填空题
9．在，0，，，2.02301001中，有理数有____________个.
10．“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为___________．

11．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________.

12．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B、C是x轴负半轴上的两点，且，，若的面积为6，则k的值为__________________.

13．如图，点E是正方形的边上一点，点F是线段上一点，过点A作的垂线交延长线于点G，且，连接、，若，，则的值为______．


三、解答题
14．计算：
15．化简：
16．解不等式组
17．尺规作图：已知，在中，，P为边中点，在边上找一点Q，使得．（不写做法，保留作图痕迹）

18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点的顶点A、C的坐标分别为、．

(1)请在图中正确画出平面直角坐标系；
(2)请作出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别是，，；
(3)点的坐标为______________．
19．如图，在中，E，F为对角线所在直线上的两个点，且，连接，．求证：．

20．数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果共中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）

(1)若转动一次B盘，则转出红色的概率是___________；
(2)若同时转动A盘和B盘，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率．
21．航空航天技术是一个国家综合国力的反映．我国载人航天空间站工程已进入空间站建造阶段，将完成问天实验舱、梦天实验舱、神舟载人飞船和天舟货运飞船等6次重大任务，为了庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办名为“弘扬航天精神·拥抱星辰大海”的书画展览，并给书画展上的作品打分（满分10分），评分结果有6分，7分，8分，9分，10分五种．每位同学只能上交一份作品，现从中随机抽取部分作品，对其份数及成绩进行整理，制成如图所示两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全条形统计图；
(2)所抽取作品成绩的众数为___________，中位数为___________，扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为___________°；
(3)已知该校收到书画作品共1500份，请估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有多少份？
22．为了缓解城市“停车难”问题，我市通过打造“智慧停车平台”，为市民提供便捷的停车服务．某停车场收费标准如下：（不足1小时，按1小时计）
停车时长
费用（元/小时）
不超过30分钟
0
超过30分钟不超过1小时

超过1小时的部分

(1)若张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元，则___________；
(2)若停车时长为小时（取整数且），求该停车场停车费（元）关于停车计时（小时）的函数解析式；若李先生也在该停车场停车，并支付了元停车费，则该停车场是按几个小时计时收费的？
23．4月16日，第37届陕西省青少年科技创新大赛在我校隆重开幕，举办青少年科技创新大赛有利于激发音少年的好奇心和探求欲，有利于培养音少年的创新精神和实践能力．开幕式会场观众席呈阶梯状，每一级台阶的水平宽度都为，垂直高度都为．在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，请你根据以上信息求出前方屏幕的高度．（参考数据：，，，，，）

24．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且．

(1)求证：是切线；
(2)若直径，，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和与x轴交于点A，C两点（A在C左侧），与y轴交于点B．

(1)求抛物线M的解析式及A，C两点的坐标；
(2)将抛物线M平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，直线交x轴于点N，点P为抛物线的顶点，在x轴下方是否存在点P，使得与相似？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
26．问题探究：

(1)如图①，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是____________；
(2)如图②，菱形中，，，点在上，点在上，若平分菱形的面积，且线段的长度最短，请你画出符合要求的线段，并求出此时的长度.
间题解决：
(3)合理开发利用土地资源能为人类持续创造更多财富，如图③，现有一块四边形空地计划改造利用，经测量，，，，，是边上的一个移动观测点，过边上一点修一条垂直于的笔直小路（小路宽度不计），交边于点，在垂足处建一凉亭，在凉亭和顶点之间修一条绿化带（宽度不计），请问是否存在平分四边形土地的面积？若存在，求出在平分四边形土地的面积时绿化带长度的最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案：
1．C
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
2．C
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意看得见的部分为实线，看不见的部分为虚线．
【详解】解：从左面看，是一个长方形，且中间有一条虚线，
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图，理解从不同方向看立体图形是解题的关键，另外要注意虚线和实线的使用区别．
3．C
【分析】直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．C
【分析】过点D作交于点E，过点D作交于点F，则，根据得，则，设，在中，，根据勾股定理得，，则，计算得，则，根据平分得，利用证明，可得，即可得．
【详解】解：如图所示，过点D作交于点E，过点D作交于点F，

则，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，根据勾股定理得，，
，
，
，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴D到的距离为，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是掌握这些知识点，适当的添加辅助线．
5．B
【分析】先求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：在中，令，得，
解得，，
∴，，
∴的面积，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得、的坐标是解题的关键．
6．C
【分析】连接，交于点O．由菱形的性质可得出，．由题意结合勾股定理可求出，再利用等积法可求出，最后再次利用勾股定理即可求出，即得出．
【详解】解：如图，连接，交于点O．

∵四边形为菱形，
∴，．
∵，且，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识．正确的连接辅助线是解题关键．
7．B
【分析】连接，先求得，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴即，
解得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，直角三角形的性质，弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据开口方向，对称轴和与y轴的交点可判断①；根据二次函数的增减性可判断②；根据当时，，当时，可判断③；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵过点，即抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵抛物线对称轴为直线，，
∴，
若点，都在抛物线上，则，故②错误；
当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，故③错误；
若方程没有实数根，
即没有实数根，
∴顶点的纵坐标，
∵，
∴，
∴，故④正确，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的，下方的点对应的．
9．3
【分析】根据有理数和无理数的定义逐一判断即可．
【详解】解：在，0，，，2.02301001中，
、0、 2.02301001为有理数；
、为无理数；
∴有理数有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了有理数和无理数的定义，初中范围内学习的无理数有：含的数等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数，掌握无理数的几种常见类型是解题的关键．
10．8
【分析】根据正方形的内角为，正n边形的每个内角为，再结合题意可列出关于n的方程，解出n的值，即得出答案．
【详解】解：正方形的每个内角为，正n边形的每个内角为，
则根据题意有，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角问题．掌握正n边形的每个内角为是解题关键．
11．
【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．
【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，
∴，
∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．
12．
【分析】过点A作交于点D，连接，根据得三角形是等腰三角形，根据的面积为6得，根据可得，则，根据计算得，根据点A在第二象限内，即可得．
【详解】解：如图所示，过点A作交于点D，连接，

∵，
∴三角形是等腰三角形，
∵的面积为6，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵点A在第二象限内，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，添加辅助线．
13．
【分析】过点B作交延长线于点．由题意易证，得出，，即证明为等腰直角三角形，从而可求出，，进而可求出，，，即由股定理可求出．又易证为等腰直角三角形，即得出，从而可求出，最后根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，过点B作交延长线于点．

∵四边形为正方形，
∴，．
∵，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，求角的正切值等知识．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键．
14．
【分析】先计算负指数幂、特殊角的三角函数、立方根、负指数幂及二次根式乘法，再进行实数混合运算即可得解；
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了负指数幂、特殊角的三角函数、立方根、负指数幂、二次根式乘法、实数混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：




．
【点睛】本题考查分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．
16．
【分析】分别解出每一个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”求出其公共解即可．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组．掌握求不等式组的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
17．画图见解析
【分析】作线段的垂直平分线，交于，则线段即为所求．
【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于，

∴线段即为所求．
证明如下：P为边中点，垂直平分，
∴，
∴为的中位线，
∴．
【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的中位线的性质，熟练的利用垂直平分线的性质进行作图是解本题的关键．
18．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)

【分析】（1）选择适合的点为直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可；
（2）先找出A、B、C、三点关于y轴对称的对称点，连接三点画出三角形；
（3）由直角坐标系即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：建立直角坐标系如下图所示：

（2）解：如图所示：

（3）解：由图可知点的坐标为．
【点睛】本题考查构造平面直角坐标系，轴对称，写出直角坐标系中的点的坐标，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
19．证明见解析
【分析】由题意易证，由平行四边形的性质易得出，，即可证明，得出结论．
【详解】解：∵，
∴，即．
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握上述知识是解题关键．
20．(1)
(2)

【分析】（1）由题意可计算出红色扇形区域所占的圆心角是，再根据概率公式计算即可；
（2）由题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，即可列出表格表示所有等可能的情况，再找出能配成紫色的情况，最后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴红色扇形区域所占的圆心角是，
∴转动一次B盘，则转出红色的概率是．
故答案为：；
（2）解：根据题意可将B盘红色扇形区域分成面积相等的两个圆心角是的扇形，
∴可列表格如下，
A盘         B盘
红
红
蓝
红
红，红
红，红
红，蓝
蓝
蓝，红
蓝，红
蓝，蓝
黄
黄，红
黄，红
黄，蓝
由表格可知共有9种等可能的情况，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，即可以配成紫色的情况有3种，
∴配成紫色的概率为．
【点睛】本题考查几何概率，列表法或树状图法求概率．掌握概率公式和正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
21．(1)见解析
(2)8，8，
(3)1100份

【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图，用10分的份数除以它所占的百分比可得本次抽取的作品总份数，再求出得8分的作品的份数，然后补全条形统计图即可；
（2）根据众数、中位数的定义即可求得众数和中位数，然后再求得6分所占的比例，最后用乘以6分所占的比例即可解答；
（3）求出样本中8分（及8分以上）的书画作品所占比例，再乘以1500份解答．
【详解】（1）解：份
得8分的作品数为：份
补全条形统计图如下：

（2）解：∵所抽取作品成绩出现次数最多的是8分，
∴所抽取作品成绩的众数为8；
∵共抽取了120份作品，其中成绩排在第60与61名的作品均为8分，
∴所抽取作品成绩的中位数为8；
∵6分所占的比例为，
∴扇形统计图中6分所对应的扇形的圆心角为．
故答案为：8，8，．
（3）解：份．
∴估计得分为8分（及8分以上）的书画作品大约有1100份．
【点睛】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求众数和中位数，由样本估计总体等知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．(1)3
(2)，小时．

【分析】（1）根据张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元列方程即可求解；
（2）根据题意即可得出停车场停车费关于停车计时（单位∶小时）的函数关系式，令，有，求出的值即可．
【详解】（1）解∶∵张先生某次在该停车场停车小时分钟，共交费元，
∴，
解得，
故答案为：；
（2）解：当若停车时长为小时（取整数且），（不足小时，按小时计）
则停车费（元）关于停车计时（小时）的函数解析式∶即，
若李先生也在该停车场停车，支付停车费元，令，有，
∴，
∴停车场按小时计时收费．
【点睛】本题考查了函数，解决本题的关键是理解停车场的收费标准分为规定时间的费用超过规定时间的费用．
23．
【分析】令、分别交于点、，过作于点，交地面于点，过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，且，在中和中，解直角形得，，从而构造方程求解即可得解．
【详解】解：令、分别交于点、，过作于点，交地面于点，过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，且，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，
即，
∴，
在中，
即，
∴，
解得，
∴（）．
【点睛】本题主要考查了本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题以及矩形的判定及性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；
（2）根据已知条件可知，再根据余弦的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段的长度．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；

（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴．
【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，余弦的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切的定义与相似三角形的相似比是解题的关键．
25．(1)抛物线，；
(2)抛物线的表达式为或．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再令即可求得，两点的坐标；
（2）由将抛物线平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线，设（），分当以及当两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线，
令得，解得或，
∵在左侧，
∴；
（2）解：在轴下方是否存在点，使得与相似，
∵将抛物线平移后得到抛物线，已知抛物线的对称轴为直线，抛物线，
∴设（），
∵直线交轴于点，
∴，
∵，，
∴，
令中得，
∴，
∵，
∴，
当时，如图，有即，
∴，
∴即；

当时，如图，有即，
∴，
∴即；

综上所述，抛物线的表达式为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，待定系数法求抛物线，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
26．(1)
(2)画图见解析，
(3)存在平分四边形土地的面积，的最小值为，理由见解析

【分析】（1）设以为直径的半圆圆心为，连接，交于点，此时有最小值．根据勾股定理求出，进而求出结果；
（2）连接，，交点为，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，根据菱形是中心对称图形可知过对称中心的直线平分菱形面积，当时，有最小值，易证是等边三角形，求出，从而求出结果；
（3）取的中点，过作于，交的延长线于，连接，取线段的中点，连接并延长交于，过作于，交于， 取的中点，过作于，作以为直径的，易证四边形是矩形，根据矩形是中心对称图形可知过点的直线平分矩形的面积，再证，可知平分四边形的面积，再证点在以为直径的圆上，解直角三角形分别求出，，，和的长，当点，和三点共线时，有最小值，并求出来．
【详解】（1）设以为直径的半圆圆心为，连接，交于点，此时有最小值．

点是以为直径的半圆圆心，

，

，


故答案为：
（2）连接，，交点为，过点作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，

四边形是菱形，点在线段上，
线段平分菱形的面积．

此时，线段有最小值，
，，
是等边三角形




（3）取的中点，过作于，交的延长线于，连接，取线段的中点，连接并延长交于，过作于，交于， 取的中点，过作于，作以为直径的，

，，
，
四边形是矩形，


点是线段的中点，平分矩形的面积，
过的中点，
为的中点，，
，，
，
，，
，，

平分四边形的面积，
，
， ，

，，





为等边三角形，

点在以为直径的圆上
点是的中点
点是以为直径的圆的圆心，，
当点，，三点共线时，有最小值，
，
，

，，
，


【点睛】本题主要考查了点到圆的最短距离，平行四边形，矩形和菱形的性质与判定，勾股定理的应用，解直角三角形等知识点，添加恰当的辅助线，灵活运用所学知识是解本题的关键．