2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省福州四中桔园洲中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，下列各数是负数的是（　　）
A．﹣4.5 B．0 C．2% D．
2．2022年11月30日7时33分，神舟十五号三名航天员顺利进驻距离地球40万米的中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，将数据40万用科学记数法表示，其结果是（　　）
A．40×104 B．4×105 C．0.4×106 D．4×106
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．a8÷a4＝a2 D．（﹣ab2）2＝a2b4
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）

A．a+1＜b+1 B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＜0
6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．70°
7．某同学在计算一组数据的方差时，得到了这样一个式子：s2＝．下列对于这组数据的描述，错误的是（　　）
A．平均数是7 B．中位数是5 C．众数是6 D．方差是3.2
8．如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，正方形ABCD的边长为，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，且CM＝CB，若AM＝2，则△BCM的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．16
10．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第二象限的图象经过点B，且OA2﹣AB2＝8，则k的值是（　　）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
二、填空题
11．若代数式有意义，则x的取值范围为 　 　．
12．计算：＝　 　．
13．不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在0.3，则绿球的个数约是 　 　．
14．如图，已经二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　 　．

15．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为　 　．

16．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜1时，它们对应的函数值互为相反数：当x≥1时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣4，它的相关函数为y＝，已知点A（b﹣1，2），点B坐标（b+3，2），函数y＝4x﹣3相关函数与线段AB有且只有一个交点，则b的取值范围是　 　．
三、解答题
17．解方程组：．
18．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．将Rt△ABC沿射线BC方向平移BC长度的一半得到Rt△DEF，其中点D，E分别是A，B的对应点，CD交AC于点G．若△ABC的面积是40，求四边形DGCF的面积．

19．化简：．
20．某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．

组别
成绩x（分）
频数
A
75.5≤x＜80.5
6
B
80.5≤x＜85.5
14
C
85.5≤x＜90.5
m
D
90.5≤x＜95.5
n
E
95.5≤x＜100.5
p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）如表中的n＝　 　；扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的大小是 　 　；
（2）为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．
21．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点．
（1）请仅用无刻度的直尺，以EF为边画菱形EFGH（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请证明你所画的四边形EFGH是菱形．

22．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，连接BD交AC于点E，连接AD，CD，OB，且BD＝AB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若CE＝2，AE＝8，求AD的长．

24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）如图1，当a＝1时，
①求证：∠ECD＜45°；
②求证：；
（2）如图2，若D是BC的中点，求tan∠CEF的值（用含a的代数式表示）．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+bx+c经过点A（﹣4，0），点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，若使得S△APC＝a的点P恰好只有三个，求a的值；
（3）请使用圆规和无刻度直尺，在x轴下方的抛物线上确定一点D，使得DA＝2DO，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）．



参考答案
一、选择题
1．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，下列各数是负数的是（　　）
A．﹣4.5 B．0 C．2% D．
【分析】根据负数的定义即可判断．
解：A．﹣4.5是负数，故本选项符合题意；
B．0既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；
C．2%是正数，故本选项不符合题意；
D．是正数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查负数的概念，关键是要牢记负数的定义．
2．2022年11月30日7时33分，神舟十五号三名航天员顺利进驻距离地球40万米的中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，将数据40万用科学记数法表示，其结果是（　　）
A．40×104 B．4×105 C．0.4×106 D．4×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：40万＝400000＝4×105．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．如图所示的几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
解：从上面看，可得图形：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．
4．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6
C．a8÷a4＝a2 D．（﹣ab2）2＝a2b4
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：A、a2与a3不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、a8÷a4＝a4，故C不符合题意；
D、（﹣ab2）2＝a2b4，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（　　）

A．a+1＜b+1 B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．ab＜0
【分析】根据数轴表示点的性质可求相关判断．
解：∵a＜b，
∴a+1＜b+1，
∴A不符合题意；
∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴B 不符合题意；
由图可知，|a|＜|b|，
∴C符合题意；
∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查数轴表示数的相关知识点，解题关键是实数的相关计算．
6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　）

A．30° B．35° C．45° D．70°
【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝70°，然后根据圆周角定理求解．
解：连接OB，如图，
∵B是弧AC的中点，
即＝，
∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×140°＝70°，
∵∠D和∠AOB都对，
∴∠D＝∠AOB＝35°．
故选：B．

【点评】本题考查了圆周角定理：熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理是解决问题的关键．
7．某同学在计算一组数据的方差时，得到了这样一个式子：s2＝．下列对于这组数据的描述，错误的是（　　）
A．平均数是7 B．中位数是5 C．众数是6 D．方差是3.2
【分析】根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵s2＝，
∴样本容量是5，分别为8，6，5，6，10，
样本平均数是：＝7，故选项A不合题意；
从小到大排列为：5，6，6，8，10，中位数为6，故选项B符合题意；
样本众数是6，故选项C不合题意；
样本方差是：s2＝×[（8﹣7）2+（6﹣7）2+（5﹣7）2+（6﹣7）2+（10﹣7）2]＝3.2，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查方差、中位数、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、中位数、算术平均数、众数．
8．如图，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与弧AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由翻折的性质得到CA＝CO，而OA＝OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积．
解：由题意得直线l垂直平分OA，
∴CA＝CO，
∵OA＝OC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴扇形OAC的面积＝＝，△AOC的面积＝OA2＝，
∴阴影的面积＝扇形OAC的面积﹣△OAC的面积＝﹣．
故选：D．

【点评】本题考查扇形面积的计算，关键是证明△OAC是等边三角形．
9．如图，正方形ABCD的边长为，N为AD上一点，连接BN，AM⊥BN于点M，连接CM，且CM＝CB，若AM＝2，则△BCM的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．16
【分析】过点C作CE⊥BM于点E，利用勾股定理求出BM，再在Rt△BCE中利用勾股定理求出CE，即可计算面积．
解：如图，过点C作CE⊥BM于点E．

∵CM＝CB，
∴，
∵AM⊥BN，，AM＝2，
∴，
∴，
在Rt△BCE中，，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数在第二象限的图象经过点B，且OA2﹣AB2＝8，则k的值是（　　）

A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8
【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，则OA2﹣AB2＝8变形为AC2﹣AD2＝4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）＝4，所以（OC+BD）•CD＝4，因为a＜0，b＞0，则有a•b＝﹣4，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝﹣4．
解：设B点坐标为（a，b），（a＜0，b＞0）
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OA＝AC，AB＝AD，OC＝AC，AD＝BD，
∵OA2﹣AB2＝8，
∴2AC2﹣2AD2＝8，即AC2﹣AD2＝4，
∴（AC+AD）（AC﹣AD）＝4，
∴（OC+BD）•CD＝4，
∴a•b＝﹣4，
∴k＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
二、填空题
11．若代数式有意义，则x的取值范围为 　x＞3　．
【分析】二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数．
解：∵代数式有意义，
∴x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴x的取值范围是x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
12．计算：＝　3　．
【分析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
解：原式＝2+1
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查实数指数幂的运算，解题的关键是熟练运用零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
13．不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在0.3，则绿球的个数约是 　35个　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在0.3，列出方程求解即可．
解：设绿球的个数有x个，
根据题意，得：＝0.3，
解得：x＝35，
经检验：x＝35是分式方程的解，
∴绿球的个数约有35个．
故答案为：35个．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
14．如图，已经二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　﹣0.5≤x≤2.5　．

【分析】先根据抛物线的对称性求出直线l与抛物线的另一个交点坐标为（﹣0.5，1），再根据图象法求解即可．
解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线x＝1，直线l与抛物线交于点（2.5，1），
∴直线l与抛物线的另一个交点坐标为（﹣0.5，1）．
∴当﹣0.5≤x≤2.5时，ax2+bx+c≥1，
故答案为：﹣0.5≤x≤2.5．
【点评】本题主要考查了抛物线的对称性，图象法求不等式的解集，正确求出直线l与抛物线的另一个交点坐标是解题的关键．
15．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为　（﹣1，﹣1）　．

【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．
解：∵菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），
∴D点坐标为（1，1）．
∵每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60＝2700°，2700°÷360＝7.5周，
∴OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．
16．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜1时，它们对应的函数值互为相反数：当x≥1时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣4，它的相关函数为y＝，已知点A（b﹣1，2），点B坐标（b+3，2），函数y＝4x﹣3相关函数与线段AB有且只有一个交点，则b的取值范围是　﹣≤b＜﹣或＜b≤．　．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质即可求解．
解：根据题意：函数y＝4x﹣3相关函数是：y＝，
∴当y＝2时，x＝或x＝，
∵点A（b﹣1，2），点B（b+3，2），
∵函数y＝4x﹣3相关函数与线段AB有且只有一个交点，
∴，解得﹣≤b＜﹣，
或，解得＜b≤
故答案为﹣≤b＜﹣或＜b≤．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，解题关键是根据题意结合图象即可得出正确答案．
三、解答题
17．解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
解：①﹣②×2得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°．将Rt△ABC沿射线BC方向平移BC长度的一半得到Rt△DEF，其中点D，E分别是A，B的对应点，CD交AC于点G．若△ABC的面积是40，求四边形DGCF的面积．

【分析】利用相似求出面积比为1：4，求出四边形ABEG的面积是30，再用等量差，证出四边形DGCF的面积与四边形ABEG的面积相等即可．
解：∵DE∥AB，
∴△CGE∽△CAB，
∵E是BC中点，
∴CE：CB＝1：2，
∴SCGE：S△CAB＝1：4，
∵△ABC的面积是40，
∴S△CGE＝10，
∴S四边形ABEG＝30，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，
即S四边形ABEG＝S四边形CGDF，
∴四边形DGCF的面积为30．
【点评】本题考查了三角形平移的性质，利用相似求出面积比是解题关键．
19．化简：．
【分析】在进行乘法运算时运用分配律，然后进行加减运算．
解：原式＝﹣+1＝1．
【点评】此题根据乘法的分配律先进行分式的乘法运算，然后再进行加减的运算，使运算简单化了，计算过程要注意符号间的变化．
20．某校开展“党在我心中”党史知识竞赛，竞赛得分为整数，林老师为了解竞赛情况，随机抽取了部分参赛学生的得分并进行整理，绘制成如下不完整的统计图表．

组别
成绩x（分）
频数
A
75.5≤x＜80.5
6
B
80.5≤x＜85.5
14
C
85.5≤x＜90.5
m
D
90.5≤x＜95.5
n
E
95.5≤x＜100.5
p
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）如表中的n＝　8　；扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的大小是 　57.6°　；
（2）为参加上级部门组织的党史知识竞赛活动，现要从E组随机抽取两名学生组成代表队．E组中的小经和小武是黄金搭档，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到这对黄金搭档的概率．
【分析】（1）由B组的人数和所占百分比求出抽取的学生人数，360°×＝360°×＝57.6°；
（2）由该校参赛人数乘以竞赛成绩在90分以上的学生所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小丽和小洁的结果有2种，再由概率公式求解即可．
解：（1）抽取的学生人数为：14÷28%＝50（人），
∴m＝50×36%＝18，
由题意得：p＝4，
∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8，
C组所在扇形的圆心角的是＝360°×＝57.6°，
故答案为：8，57.6°；
即估计竞赛成绩在90分以上的学生有240人；
（2）将“小经”和“小武”分别记为：A、B，另两个同学分别记为：C、D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到小经和小武的结果有2种，
∴恰好抽到小经和小武的概率为：＝．
【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率以及频数分布直方图统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点．
（1）请仅用无刻度的直尺，以EF为边画菱形EFGH（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请证明你所画的四边形EFGH是菱形．

【分析】（1）延长FO交AD于H，延长EO交DC于G，再顺次连接即可；
（2）根据三角形的中位线的性质定理和逆定理，判定G、H是中点，再根据中位线的性质证明．
【解答】（1）解：如下图：菱形EFGH即为所求；

（2）证明：设AC、BD相交于点O，则O平分AC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF∥AB，
∴H平分AD，
同理：G平分CD，
∴EF＝GH＝，EF∥AC∥GH，EH＝BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴▱EFGH为菱形．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
22．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2018年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1+20%）＝8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500﹣m）台，
根据题意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，
解得：m≤880．
答：2018年最多可购买电脑880台．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，列出关于x的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m的一元一次不等式．
23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O，D为⊙O上一点，连接BD交AC于点E，连接AD，CD，OB，且BD＝AB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若CE＝2，AE＝8，求AD的长．

【分析】（1）如图，延长BO交AD于点F，连接OD，先根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，再证明BF垂直平分AD，所以OB∥CD；
（2）先计算出OA＝OC＝5，OE＝3，利用平行线分线段成比例定理得＝＝，则可设BE＝3x，所以DE＝2x，BD＝BA＝5x，在利用双勾股得25x2﹣100＝9x2﹣4，解得x＝，则可计算出BC＝5，OB＝5，然后证明△AOF∽△BOC，利用相似比求出AF，从而得到AD的长．
【解答】（1）证明：如图，延长BO交AD于点F，连接OD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
∴OA＝OD，BA＝BD，∴BF垂直平分AD，
即BF⊥AD，AF＝DF，
∴OB∥CD；
（2）解：∵CE＝2，AE＝8，
∴OA＝OC＝5，OE＝3，
∵OB∥CD，
∴＝＝，
设BE＝3x，则DE＝2x，
∴BD＝BA＝5x，
在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝25x2﹣100，
在Rt△EBC中，BC2＝EB2﹣EC2＝9x2﹣4，
∴25x2﹣100＝9x2﹣4，
解得x＝，
∴BE＝3，
∴BC＝＝＝5，
在Rt△OBC中，OB＝＝＝5，
∵∠AOF＝∠BOC，∠AFO＝∠BCO，
∴△AOF∽△BOC，
∴＝，即＝，
解得AF＝，
∴AD＝2AF＝．

【点评】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质、勾股定理和相似三角形的判定与性质．
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠ABC＝a，D是BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）如图1，当a＝1时，
①求证：∠ECD＜45°；
②求证：；
（2）如图2，若D是BC的中点，求tan∠CEF的值（用含a的代数式表示）．

【分析】（1）①由tan∠ABC＝＝1得，∠ABC＝45°，由外角定理得∠EDC＝45°+∠BAD，从而∠ECD＝90°﹣∠EDC＜45°．
②过点B作BH∥AC，交CE的延长线于H，证明△ACD≌△CBH，得到BH＝CD，再证明△BEH∽△FEC，得到，即可得结论．
（2）过点B作BM⊥CE，交CE的延长线于M，设BC＝2m，证明△BCM∽△DAC，表示出BM、CM、EM的长，tan∠CEF＝tan∠BEM＝求得结果．
【解答】（1）①证明：∵∠ACB＝90°，tan∠ABC＝＝1，
∴AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BAD＝45°+∠BAD，
∴∠EDC＞45°，
∵CE⊥AD于点E，
∴∠DEC＝90°，
∴∠ECD＝90°﹣∠EDC，
∴∠EDC＜45°．
②证明：如图1，过点B作BH∥AC，交CE的延长线于H，CH与AB交于G，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBH＝90°，
∴∠BCH+∠ACE＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCH，
又∵tan∠ABC＝＝1，
∴BC＝AC，
∴△ACD≌△CBH（ASA），
∴BH＝CD．
∵BH∥AC，
∴△BEH∽△FEC，
∴，
∴．
（2）解：如图2，过点B作BM⊥CE，交CE的延长线于M，
则∠BMC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCM+∠ACE＝90°，
∵CE⊥AD，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，
∴∠BCM＝∠DAC，
∴△BCM∽△DAC，
∴．
设BC＝2m，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD＝m，
∵tan∠ABC＝＝a，
∴AC＝2am，
∴AD＝＝＝m，
∴，
∴BM＝，CM＝，
∵BM∥AD，D是BC中点，
∴ME＝CM＝，
∴tan∠CEF＝tan∠BEM＝＝．


【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性比较强，合理添加辅助线，把所学知识串联起来熟练运用是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝+bx+c经过点A（﹣4，0），点B在y轴上，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，若使得S△APC＝a的点P恰好只有三个，求a的值；
（3）请使用圆规和无刻度直尺，在x轴下方的抛物线上确定一点D，使得DA＝2DO，并说明理由（保留作图痕迹，不写作法）．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）若使得S△APC＝a的点P恰好只有三个，则点P在AB下方时，只有一个P点，进而求解；
（3）证明△ADO∽△AHD，得到HD＝x2＝AH，进而求解．
解：（1）由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x①；

（2）若使得S△APC＝a的点P恰好只有三个，则点P在AB下方时，只有一个P点，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝x+4，
过点P作PN交y轴于点N使PN∥AC，

则设直线PN的表达式为：y＝x+t②，
联立①②并整理得：x2+2x﹣2t＝0，
则Δ＝4+8t＝0，则t＝﹣，
则点N（0，﹣），则BN＝4+＝，
过点N作NH⊥AC交于点H，
由直线AB的表达式知，OB＝OA，
则∠ABO＝45°，
则NH＝BN，AB＝OA＝4，
则a＝AB•NH＝＝9；

（3）设OD＝x，则ADA＝2x，
在线段AO上取点H，使AH＝x2，

则AH：AD＝AD：AO，
∵∠OAD＝∠HAD，
∴△ADO∽△AHD，
∴OD：DH＝AO：AD，
即x：HD＝4：（2x），
则HD＝x2＝AH，
即AH＝2HD，
∵AD＝2x＜AO＝4，即x＜2，
设m非常接近2，令AH＝m2、HD＝m2，
则以点A为圆心，以m2的长度为半径作弧，交x轴于点H，以点H为圆心，以m2，长度为半径作弧，交抛物线于点D，
则点D为所求点．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到函数作图、解直角三角形、三角形相似等，综合性强，难度适中．