还剩26页未读，
继续阅读
北京市 清华大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷 (含答案)
展开
这是一份北京市 清华大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷 (含答案)，共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市清华附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，13
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．2+＝2 B．﹣＝ C．•＝ D．÷＝9
4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，下列四个结论错误的是（ ）
A．△OBE≌△OCF
B．△OEF始终是等腰直角三角形
C．△OEF面积的最小值是1
D．四边形OECF的面积始终是1
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 ．
10．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比是1：2，则其中较小的角是 °．
11．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为 米．
12．（3分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是 ．
13．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 nmile．
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为 ．
16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共52分，17题10分，18-20题，每小题10分，21-22每小题10分，23题7分，24题8分)
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF．求证：四边形BECF是平行四边形．
20．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：△ABC．
求作：BC边上的中线AD．
作法：如图，
①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；
②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，PC．
∵PC＝AB， ，
∴四边形ABPC是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴DB＝DC（ ）（填推理的依据）．
∴AD是BC边上的中线．
21．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 ．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
23．（7分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
24．（8分）已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系 ；
②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．
2022-2023学年北京市清华附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．
【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：A，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B，22+22＝8＝（2）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．2+＝2 B．﹣＝ C．•＝ D．÷＝9
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2+不能合并，故选项A错误；
＝2，故选项B错误；
＝，故选项C正确；
＝＝3，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
B、AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形；故本选项正确；
C、∠A＝∠B，∠C＝∠D，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
D、AB＝AD，CB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意．
故选D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
6．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5（cm），
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，
∴FE＝AC＝3（cm），
∴DF＝DE﹣EF＝2（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，下列四个结论错误的是（ ）
A．△OBE≌△OCF
B．△OEF始终是等腰直角三角形
C．△OEF面积的最小值是1
D．四边形OECF的面积始终是1
【分析】由正方形性质可得BO＝CO，∠OBE＝∠OCF，由此可以推出三角形△BEO≌△CFO，进一步得出△EOF为等腰直角三角形，所以当OE最小时，△EOF面积最小．四边形OECF的面积不变，此题即可获解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCF＝45°，
又∵BE＝CF，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
故A正确；
∵△OBE≌△OCF，
∴∠BOE＝∠COF，OE＝OF，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠EOC＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴B正确；
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴S△EFO＝，
当OE最小时，S△EFO最小，
∵当OE⊥BC时，OE最小，最小值为1，
∴S△EFO的最小值为，
故C错误；
∵△OBE≌△OCF，
∴S△OBE+S△OEC＝S△COF+S△OEC，
∴S四边形OECF＝S△BOC＝，
故D正确；
故选C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，是一道综合题，关键是熟悉正方形的性质．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比是1：2，则其中较小的角是 60 °．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠B＝×180°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
11．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为 32 米．
【分析】可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且AB＝2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离．
【解答】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且AB＝2DE，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12．（3分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是 （6，3） ．
【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∵A（5，0），
∴OA＝BC＝5，
∵C（1，3），
∴B（6，3），
故答案为（6，3）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 13 ．
【分析】先设出图1中直角三角形的直角边，然后根据图2和图3列出关于直角边的方程组，即可求出图2中阴影部分的边长，然后求出面积．
【解答】解：由题意知图2中阴影部分为正方形，
设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，
则由图2得：a+b＝5，①
由图3得：b﹣a＝1，②
联立①②得：
，
∴阴影部分的边长为，
∴，
故答案为13．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能求出图中阴影部分的边长，既用直角三角形的直角边求出斜边，要牢记勾股定理的公式a2+b2＝c2．
14．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 20 nmile．
【分析】根据题意，可得∠RPQ＝60°+30°＝90°，利用路程＝速度×时间，分别算出PQ，PR的长度，在直角△PRQ中，利用勾股定理计算出RQ．
【解答】解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，
PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，
∴RQ＝＝20nmile，
故答案为：20．
【点评】本题考查了勾股定理的应用和方位角，利用方位角知识，准确判断出∠RPQ＝90°是解决本题的关键．
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为 ．
【分析】先根据等角对等边，得出DE＝BE，再设DE＝BE＝x，在直角三角形ABE中，根据勾股定理列出关于x的方程，求得x的值即可．
【解答】解：由折叠得，∠CBD＝∠EBD，
由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
设DE＝BE＝x，则AE＝4﹣x，
在直角三角形ABE中，AE2+AB2＝BE2，即（4﹣x）2+32＝x2，
解得x＝，
∴DE的长为．
故答案为：
【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的对应边和对应角相等．解题时，我们常设所求的线段长为x，然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
三、解答题（本题共52分，17题10分，18-20题，每小题10分，21-22每小题10分，23题7分，24题8分)
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）；
＝2﹣2+﹣1
＝3﹣3；
（2）
＝3﹣+4
＝3﹣4+4
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．
【解答】解：原式＝＝＝，
∵，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握分式的化简是解题的关键．
19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF．求证：四边形BECF是平行四边形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠CDA，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，证得BE∥CF，即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BED＝∠CFE，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：△ABC．
求作：BC边上的中线AD．
作法：如图，
①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；
②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，PC．
∵PC＝AB， AC＝PB ，
∴四边形ABPC是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）（填推理的依据）．
∴DB＝DC（ 平行四边形的对角线互相平分 ）（填推理的依据）．
∴AD是BC边上的中线．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，图形如图所示：
（2）连接PB，PC．
∵PC＝AB，AC＝PB，
∴四边形ABPC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴DB＝DC（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：AB＝PB，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点评】本题考查作图﹣基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 2 ．
【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．
【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，
∵＝，
∴如图1所示的四边形即为所求；
（2）∵＝，
＝，
∴如图2所示的三角形即为所求
这个三角形的面积＝×2×2＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，于是得到四边形BFCE是菱形；
（2）连接AD，根据菱形的性质得到BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF＝ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，
∴BE＝CE，
∴四边形BFCE是菱形；
（2）解：连接AD，
∵四边形BFCE是菱形，BC＝4，EF＝2，
∴BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，
∴BE＝＝，
∴AC＝2BE＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AD＝＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（7分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（8分）已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系 AE＝EF ；
②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．
【分析】（1）①根据题意补全图形，在AB上截取BM＝BE，连接ME，根据ASA证△AME≌△ECF即可得出结论；
②根据△BEM是等腰直角三角形，得出BM＝CF，根据△AME≌△ECF即可得出结论；
（2）分点E在线段BC上，E点在BC延长线上，E点在CB延长线上三种情况，构造全等三角形同理（1）得出结论即可．
【解答】解：（1）①根据题意补全图形如下：
AE＝EF，理由如下：
在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴△BEM是等腰直角三角形，AM＝EC，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝180°﹣45°＝135°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝90°，CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠GCF＝45°，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故答案为：AE＝EF；
②CE+CF＝CD，证明如下：
由①知，△AME≌△ECF，
∴ME＝CF，
∵△BEM是等腰直角三角形，
∴BM＝BE＝ME，
∴BM＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∵AM+BM＝AB，
∴CE+CF＝CD；
（2）若点E在直线BC上分以下三种情况：
①由（1）知，当E点在线段BC上时，CE+CF＝CD；
②当E点在BC延长线上时，延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴BH＝BE，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠H＝45°，BH＝BE＝HE，
∵CF平分∠DCE，
∴∠ECF＝∠DCE＝45°，
∴∠H＝∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEM＝90°，
∴∠BAE＝∠FEM，
∵∠BAE是△AEH的外角，∠FEM是△CEF的外角，
∴∠HAE＝∠CEF，
在△AEH和△EFC中，
，
∴△AEH≌△EFC（ASA），
∴HE＝CF，
∴BH＝CF，
∵BH﹣AH＝AB，AB＝CD，
∴CF﹣CE＝CD；
③当E点在CB延长线上时，如下图：延长AB至H，使BH＝BE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴BH＝BE，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠H＝45°，BH＝BE＝HE，
∵CF平分∠DCG，
∴∠MCG＝∠DCG＝45°，
∴∠H＝∠ECF＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AEH和△EFC中，
，
∴△AEH≌△EFC（ASA），
∴HE＝CF，
∴BE＝BH＝CF，
∵CE﹣BE＝BC，BC＝CD，
∴CE﹣CF＝CD；
综上所述，当点E在CB延长线上时CE﹣CF＝CD，当点D在BC延长线上时CF﹣CE＝CD，当点D在线段BC上时CF﹣CE＝CD．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年北京市清华附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，13
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．2+＝2 B．﹣＝ C．•＝ D．÷＝9
4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，下列四个结论错误的是（ ）
A．△OBE≌△OCF
B．△OEF始终是等腰直角三角形
C．△OEF面积的最小值是1
D．四边形OECF的面积始终是1
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 ．
10．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比是1：2，则其中较小的角是 °．
11．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为 米．
12．（3分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是 ．
13．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 nmile．
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为 ．
16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共52分，17题10分，18-20题，每小题10分，21-22每小题10分，23题7分，24题8分)
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF．求证：四边形BECF是平行四边形．
20．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：△ABC．
求作：BC边上的中线AD．
作法：如图，
①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；
②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，PC．
∵PC＝AB， ，
∴四边形ABPC是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴DB＝DC（ ）（填推理的依据）．
∴AD是BC边上的中线．
21．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 ．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
23．（7分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
24．（8分）已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系 ；
②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．
2022-2023学年北京市清华附中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，即可判断．
【解答】解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）
A．3，4，5 B．2，2，2 C．2，5，6 D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【解答】解：A，32+42＝25＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
B，22+22＝8＝（2）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C，22+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
D、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．2+＝2 B．﹣＝ C．•＝ D．÷＝9
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：2+不能合并，故选项A错误；
＝2，故选项B错误；
＝，故选项C正确；
＝＝3，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
4．（3分）能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
【分析】直接利用平行四边形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、AB∥CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
B、AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形；故本选项正确；
C、∠A＝∠B，∠C＝∠D，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
D、AB＝AD，CB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；故本选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的判定．注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键．
5．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意．
故选D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
6．（3分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（ ）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5（cm），
在Rt△AFC中，点E是AC的中点，
∴FE＝AC＝3（cm），
∴DF＝DE﹣EF＝2（cm），
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，下列四个结论错误的是（ ）
A．△OBE≌△OCF
B．△OEF始终是等腰直角三角形
C．△OEF面积的最小值是1
D．四边形OECF的面积始终是1
【分析】由正方形性质可得BO＝CO，∠OBE＝∠OCF，由此可以推出三角形△BEO≌△CFO，进一步得出△EOF为等腰直角三角形，所以当OE最小时，△EOF面积最小．四边形OECF的面积不变，此题即可获解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BO＝CO，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCF＝45°，
又∵BE＝CF，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
故A正确；
∵△OBE≌△OCF，
∴∠BOE＝∠COF，OE＝OF，
∵∠BOE+∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴∠COF+∠EOC＝90°，
∴∠EOF＝90°，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴B正确；
∵△OEF为等腰直角三角形，
∴S△EFO＝，
当OE最小时，S△EFO最小，
∵当OE⊥BC时，OE最小，最小值为1，
∴S△EFO的最小值为，
故C错误；
∵△OBE≌△OCF，
∴S△OBE+S△OEC＝S△COF+S△OEC，
∴S四边形OECF＝S△BOC＝，
故D正确；
故选C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，是一道综合题，关键是熟悉正方形的性质．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比是1：2，则其中较小的角是 60 °．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根据∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B：∠C＝1：2，
∴∠B＝×180°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大．
11．（3分）在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为 32 米．
【分析】可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE∥AB，且AB＝2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离．
【解答】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且AB＝2DE，
∵DE＝16米，
∴AB＝32米．
故答案为：32．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12．（3分）如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是 （6，3） ．
【分析】利用平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC，
∵A（5，0），
∴OA＝BC＝5，
∵C（1，3），
∴B（6，3），
故答案为（6，3）．
【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为 13 ．
【分析】先设出图1中直角三角形的直角边，然后根据图2和图3列出关于直角边的方程组，即可求出图2中阴影部分的边长，然后求出面积．
【解答】解：由题意知图2中阴影部分为正方形，
设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，
则由图2得：a+b＝5，①
由图3得：b﹣a＝1，②
联立①②得：
，
∴阴影部分的边长为，
∴，
故答案为13．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能求出图中阴影部分的边长，既用直角三角形的直角边求出斜边，要牢记勾股定理的公式a2+b2＝c2．
14．（3分）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 20 nmile．
【分析】根据题意，可得∠RPQ＝60°+30°＝90°，利用路程＝速度×时间，分别算出PQ，PR的长度，在直角△PRQ中，利用勾股定理计算出RQ．
【解答】解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，
PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，
∴RQ＝＝20nmile，
故答案为：20．
【点评】本题考查了勾股定理的应用和方位角，利用方位角知识，准确判断出∠RPQ＝90°是解决本题的关键．
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为C′，BC′与AD交于点E，若AB＝3，BC＝4，则DE的长为 ．
【分析】先根据等角对等边，得出DE＝BE，再设DE＝BE＝x，在直角三角形ABE中，根据勾股定理列出关于x的方程，求得x的值即可．
【解答】解：由折叠得，∠CBD＝∠EBD，
由AD∥BC得，∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
设DE＝BE＝x，则AE＝4﹣x，
在直角三角形ABE中，AE2+AB2＝BE2，即（4﹣x）2+32＝x2，
解得x＝，
∴DE的长为．
故答案为：
【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的对应边和对应角相等．解题时，我们常设所求的线段长为x，然后用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．
16．（3分）正方形ABCD的边长为4，点M，N在对角线AC上（可与点A，C重合），MN＝2，点P，Q在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形PMQN是平行四边形；
②存在无数个四边形PMQN是菱形；
③存在无数个四边形PMQN是矩形；
④至少存在一个四边形PMQN是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作线段MN的垂直平分线交AD于P，交AB于Q．
∵PQ垂直平分线段MN，
∴PM＝PN，QM＝QN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAN＝∠QAN＝45°，
∴∠APQ＝∠AQP＝45°，
∴AP＝AQ，
∴AC垂直平分线段PQ，
∴MP＝MQ，
∴四边形PMQN是菱形，
在MN运动过程中，这样的菱形有无数个，当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形，
∴至少存在一个四边形PMQN是正方形，∵当点M与A或C重合时，四边形PMQN是正方形（即是矩形），且MN＝2，∴不可能存在无数个矩形，∴①②④正确，
故答案为①②④．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
三、解答题（本题共52分，17题10分，18-20题，每小题10分，21-22每小题10分，23题7分，24题8分)
17．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）；
＝2﹣2+﹣1
＝3﹣3；
（2）
＝3﹣+4
＝3﹣4+4
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
【分析】先对分式进行化简，然后代值求解即可．
【解答】解：原式＝＝＝，
∵，
∴原式＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值及分母有理化，熟练掌握分式的化简是解题的关键．
19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF．求证：四边形BECF是平行四边形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAD＝∠CDA，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，证得BE∥CF，即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BED＝∠CFE，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：△ABC．
求作：BC边上的中线AD．
作法：如图，
①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；
②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PB，PC．
∵PC＝AB， AC＝PB ，
∴四边形ABPC是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）（填推理的依据）．
∴DB＝DC（ 平行四边形的对角线互相平分 ）（填推理的依据）．
∴AD是BC边上的中线．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，图形如图所示：
（2）连接PB，PC．
∵PC＝AB，AC＝PB，
∴四边形ABPC是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
∴DB＝DC（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：AB＝PB，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．
【点评】本题考查作图﹣基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为 2 ．
【分析】（1）根据正方形的面积为10可得正方形边长为，画一个边长为正方形即可；
（2）根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．
【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，
∵＝，
∴如图1所示的四边形即为所求；
（2）∵＝，
＝，
∴如图2所示的三角形即为所求
这个三角形的面积＝×2×2＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．
22．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，于是得到四边形BFCE是菱形；
（2）连接AD，根据菱形的性质得到BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF＝ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，
∴BE＝CE，
∴四边形BFCE是菱形；
（2）解：连接AD，
∵四边形BFCE是菱形，BC＝4，EF＝2，
∴BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，
∴BE＝＝，
∴AC＝2BE＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AD＝＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（7分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 7 + 4 ＝（ 2 + 1 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．（8分）已知正方形ABCD，点E是直线BC上一点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF所在的直线于点F．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，
①请补全图形，并直接写出AE，EF满足的数量关系 AE＝EF ；
②用等式表示CD，CE，CF满足的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上，用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系（直接写出即可）．
【分析】（1）①根据题意补全图形，在AB上截取BM＝BE，连接ME，根据ASA证△AME≌△ECF即可得出结论；
②根据△BEM是等腰直角三角形，得出BM＝CF，根据△AME≌△ECF即可得出结论；
（2）分点E在线段BC上，E点在BC延长线上，E点在CB延长线上三种情况，构造全等三角形同理（1）得出结论即可．
【解答】解：（1）①根据题意补全图形如下：
AE＝EF，理由如下：
在AB上截取BM＝BE，连接ME，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BM＝BE，
∴△BEM是等腰直角三角形，AM＝EC，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝180°﹣45°＝135°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝90°，CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠GCF＝45°，
∴∠ECF＝90°+45°＝135°，
∴∠AME＝∠ECF＝135°，
在△AME和△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF，
故答案为：AE＝EF；
②CE+CF＝CD，证明如下：
由①知，△AME≌△ECF，
∴ME＝CF，
∵△BEM是等腰直角三角形，
∴BM＝BE＝ME，
∴BM＝CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∵AM+BM＝AB，
∴CE+CF＝CD；
（2）若点E在直线BC上分以下三种情况：
①由（1）知，当E点在线段BC上时，CE+CF＝CD；
②当E点在BC延长线上时，延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴BH＝BE，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠H＝45°，BH＝BE＝HE，
∵CF平分∠DCE，
∴∠ECF＝∠DCE＝45°，
∴∠H＝∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEM＝90°，
∴∠BAE＝∠FEM，
∵∠BAE是△AEH的外角，∠FEM是△CEF的外角，
∴∠HAE＝∠CEF，
在△AEH和△EFC中，
，
∴△AEH≌△EFC（ASA），
∴HE＝CF，
∴BH＝CF，
∵BH﹣AH＝AB，AB＝CD，
∴CF﹣CE＝CD；
③当E点在CB延长线上时，如下图：延长AB至H，使BH＝BE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴BH＝BE，∠BAE+∠AEB＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴∠H＝45°，BH＝BE＝HE，
∵CF平分∠DCG，
∴∠MCG＝∠DCG＝45°，
∴∠H＝∠ECF＝45°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AEH和△EFC中，
，
∴△AEH≌△EFC（ASA），
∴HE＝CF，
∴BE＝BH＝CF，
∵CE﹣BE＝BC，BC＝CD，
∴CE﹣CF＝CD；
综上所述，当点E在CB延长线上时CE﹣CF＝CD，当点D在BC延长线上时CF﹣CE＝CD，当点D在线段BC上时CF﹣CE＝CD．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，利用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
相关试卷
北京市清华大学附属中学望京学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷： 这是一份北京市清华大学附属中学望京学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共23页。
北京市海淀区清华大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷： 这是一份北京市海淀区清华大学附属中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共8页。
北京市 清华大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷 (含答案)： 这是一份北京市 清华大学附属中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷 (含答案)，共35页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
